理论力学习题-质点动力学基本方程.
工程力学(下册)05质点动力学的基本方程
5-7 若知道一质点的质量和所受到的力，能否知道它的运 动规律？
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习题
5-1 质点M的质量为m，运动方程为xbcost，ydsint
其中b、d、 为常量。求作用在此质点上的力。
5-2 如图5.7所示，在均匀静止的液体 中，质量为m的物体M从液面处无初速度下 沉其，中如 为图阻所尼示系。数假。设试液分体析阻该力物F体R 的运v动， 规律
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5-3 如图5.5所示，绳子通过两个定滑 轮，在绳的两端分别挂着两个质量完 全相同的物体，开始时处于静止状态。 若给右边的物体一水平速度，则左边 物体应该______。
5-4 质点的运动方向是否一定与质点受合力的方向相同？某 瞬时，质点的加速度大，是否说明该质点所受的作用力也 一定大？
牛顿第二定律(力与加速度之间的关系定律)
物体受到外力作用时，所产生的加速度的大小与作用力的
大小成正比，而与物体的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。用方程表示为
a F 为质点的质量；a为质点在力
F作用下产生的加速度。
该表达式又称质点动力学基本方程。
动角速度的最大值 m a x 。
5-5 如图5.10所示，料车的料斗连
同车所轮载的物质料量的m2质1量03mkg1。1如04料kg斗，弹车簧架按与
x2sin10t的规律作铅垂运动，试求
料车对水平直线轨道的最大压力与最小 压力。
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5-6 如图5.11所示，质量m 6kg的
小球，放在倾角 3的0 光滑面上，并
1
● 5.1 动力学的基本定律与惯性参考系
动力学是研究作用在物体上的力与物体运动状态变化之 间关系的学科。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的 宏观物体，属经典力学。动力学是物理学和天文学的基础， 也是许多工程学科的基础。
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A
O
第八章 质点的运动微分方程
图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为 2r，质量为m，行星齿轮可视为均质轮 ，质量为m，半径为r，系杆绕轴O转动
的角速度为。则该系统动量主矢的大
小为（ 3mr），对轴O的动量矩大小
为（13 mr 2 ）， 系统动3 能为（ 11 mr 2 2 ）。
【解】 Fx 0 且有AB杆初始静止，
因此，沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点 的坐标可表示为：
建立oxy：并令y轴通过质心，则
xACAcos2lcos
yAB A sin lsin
消去 ，得： 4xA 2yA 2 l2
即A点的轨迹为椭圆。
A
A C•
•C
B
B
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第八章 质点的运动微分方程
，方向水平向左。
A
（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质
心速度也只有水平分量v2cxvAl1，
方向水平向左。
B
O
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第八章 质点的运动微分方程
（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B
点的速度方向恒为水平，在图示瞬时 vBvAl1，方向水平
向左。
所p以xm 1x vpm y 20x vm3xv 5 2m 1 (l )
加速度始终为重 力加速度g。
2．判断题 （1）质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相同.（ × ）
运动方程是位移与时间关系方程；运动微分方程是位移微分与力关系方程。
（2）已知质点的运动方程可唯一确定作用于质点上的力。（√）
哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第16~17章)【圣才出
第16章非惯性系中的质点动力学16.1复习笔记一、基本方程1．非惯性系中的质点动力学基本方程（或称为质点相对运动动力学基本方程），其表达式为r Ie ICma F F F =++v v v v 式中，e Ie F ma =-v v ，表示牵连惯性力；C C I F ma =-v v ，表示科氏惯性力。
2．在动参考系内，把非惯性系质点动力学基本方程写成微分形式22Ie IC d d r m F F F t'=++v v v v 3．几种特殊情况（1）当动参考系相对于定参考系作平移时，则C 0a = ，0F =IC ，于是相对运动动力学基本方程为r Iema F F =+v v v （2）当动参考系相对于定参考系作匀速直线平移时，则C 0a = ，e 0a = ，Ie 0F F ==IC，于是相对运动动力学基本方程与相对于惯性参考系的基本方程形式一样，其表达式为r ma F= ①相对于惯性参考系做匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。
②发生在惯性参考系本身的任何力学现象，都无助于发现该参考系本身的运动状况，这称为经典力学的相对性原理。
（3）当质点相对于动参考系静止时，则r r 00a υ==v v ，，0F =IC ，所以质点相对静止的平衡方程为F F +=Ie 上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有r 0a =，质点相对平衡方程为0Ie IC F F F ++=v v v 上式称为质点相对平衡方程。
可见在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不相同的。
二、非惯性系中质点的动能定理1．质点相对运动动能定理的微分形式质点在非惯性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
即2r 1d()δδ2F mv W W ''=+Ie 2．质点相对运动动能定理的积分形式质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。
《理论力学》动力学典型习题+答案
学习 资料 整理 分享《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。
将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lklk l y v ====θθθ 938cos sin 2232lk lk y a =-==θθ1－6证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知:a a v v yn cos ==θ，所以: yv va a n =将c v y =，ρ2n v a =代入上式可得 ρc v a 3=证毕 1－7证明：因为n2a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3v ρ证毕1－10解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得： 0v s-= ，x x s s 22= 由此解得：xsv x-= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得： 2002v v s x x x =-=+ (b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlv x x v x a x -=-==（负号说明滑块A 的加速度向上）1－11解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为xR x 22cos -=θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 22Rx x Rv A -=ω （c ）由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x xω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x xω=- 将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x xx 2232222)(2ω=-- 将上式消去x2后，可求得：22242)(R x xR x --=ω由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R xxR a A -=ω1－13解：动点：套筒A ；动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：直线运动；o vo va ve vr vxovxot学习 资料 整理 分享 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。
理论力学（9.9）--质点动力学的基本方程-思考题
理论力学（9.9）--质点动力学的基本方程-思考题
第九章质点动力学基本方程
9-1 三个质量相同的质点，在某瞬时的速度分别如图所示，若对它们作用了大小、方向相同的力，问质点的运动情况是否相同？
9-2 如图所示，绳拉力 F=2kN ，物块Ⅱ重1kN，物块Ⅰ重2kN 。
若滑轮质量不计，问在图中（a），（b）两种情况下，重物Ⅱ的加速度是否相同？两根绳中的张力是否相同？
9-3 质点在空间运动，已知作用力，为求质点的运动方程需要几个运动初始条件?若质点在平面内运动呢？若质点沿给定的轨道运动呢？
9-4 某人用枪瞄准了空中一悬挂的靶体。
如在子弹射出的同时靶
体开始自由下落，不计空气阻力，问子弹能否击中靶体？。
质点动力学的基本方程
y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解：
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动： 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x （特征根法） 0 m 1 0 2 m
大学物理第2章质点动力学习题解答
第2章 质点动力学习题解答2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j ia m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为：'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵r j t b it a dt r d a 2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ①+②可求得：g m m gm F a μμ-+-=2112将a 代入①中，可求得：2111)2(m m g m F m T +-=μ2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2f 1 N 1 m 1g T aFN 2 m 2gTaN 1 f 1 f 2的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
大学物理质点运动学、动力学习题
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CONTENTS
目录
contents
质点运动学基础 动力学基础 质点运动学习题解析 动力学习题解析 综合习题解析
质点运动学基础
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PART.01
质点速度矢量随时间的变化率，记作a=dv/dt。
加速度
在研究物体运动时，如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响或影响很小，可以忽略，则物体可视为质点。
实际应用问题解析
这类问题涉及实际生活中常见的物理现象，如抛体运动、弹性碰撞、摩擦力和流体动力学等。
总结词
这类问题通常要求运用质点运动学和动力学的知识解决实际问题，如分析投篮过程中篮球的运动轨迹、研究碰撞过程中动量和能量的变化等。解题时需要将实际问题抽象为物理模型，运用相关物理原理进行分析，得出符合实际情况的结论。
详细描述
这类习题通常涉及到质点系的整体机械能守恒，需要应用机械能守恒定律建立数学模型，进而求出质点系的势能和动能。
举例
一质量为m的质点在重力作用下沿竖直方向做匀加速运动，求质点的势能和动能。
解析过程
根据机械能守恒定律，质点的势能和动能之和保持不变。通过求解，可以得到质点的势能和动能。
综合习题解析
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PART.05
质点运Байду номын сангаас学与动力学的结合习题
这类习题通常要求分析质点的运动轨迹、速度和加速度的变化，以及力对质点运动的影响。解题时需要综合考虑运动学和动力学的原理，建立质点运动的动力学方程，并求解方程得出结果。
这类习题涉及质点运动学和动力学的综合知识，需要运用速度、加速度、力和动量等概念进行解析。
《理论力学》第九章_质点动力学_习题解
AC
g l AC
( cos )
F
n
TAC W cos man W an g
W an g
TAC W cos TAC W cos
W W 2 a n W cos l AC AC g g
初瞬时， AC 0 ，故： TAC W cos （2）求小球 A 运动到铅垂位置时，AC 绳中的拉力 小球运动到铅垂位置时，由上一步骤可知：
dx 9 cos(2t )d (2t ) dt
2
dx 9 sin(2t ) C1 dt
x 9 sin(2t ) C1
x |t 0 x0 9 sin(2 0) C1 C1 0
dx 9 sin(2t ) dt 9 x sin(2t )d (2t ) 2 9 x cos(2t ) C 2 2 9 9 x |t 0 x0 cos(2 0) C 2 C 2 4.5(m) C 2 (m) 0.04(m) 2 2
y
v0
30 0
1m
地面
v x v0 cos 30 0 dx 13 3 dt 2 x 13 3 t C1 2
13 3 (m / s ) 2
mg
O
x
x |t 0
13 3 0 C1 C1 0 2
x
13 3 t 2
v y v0 sin 30 0 gt 6.5 9.8t
x
y
5
[习题 9-4] 通过光滑圆环 C 的绳索将物体 A 与 B 相连，已知 m A 7.5kg ， mB 6.0kg ， 物体 A 与水平面的摩擦因素 f 0.6 ， 在图示瞬时， 物体 B 具有朝右上方的速度 v B 2m / s 。 若在此时突然剪断墙与物体间的绳子，求该瞬时物体 A 的加速度 a A 解： （1）求 AB 间绳子的拉力 以 B 为研究对象，其受力如图所示。
理论力学第一章
将上式代入式（b） 得一次近似的微分方程
( gt 2 20 ) cos ， 0 ， g x y z
（f）
在式（d）的初始条件下 上式积分一次 得一次近似的速度
( gt 2 20t ) cos ，y 0 ，z gt 0 x
1 2 1 2 2 l2 r ( x ) 2 2 4
2 dx l r x 2 dt 4
（b）
上式再分离变量并积分 即 l t dx dt 1 0 2 l 2 x 2 4
求得套筒到达点A的时间t为
2 l l l2 1 4 1 ln(2 3 ) t ln 1 2 解出 将 2 rad/s 代入上式
将上式投影到轨迹的切向轴t上 得
d2s m 2 ( P FIe ) sin m( g a0 ) sin dt
当摆作微振动时 角很小 有 sin 且 s l 上式成为 d 2 m l 2 m( g a0 ) dt 令
2 0
g a0 l
将式（a）投影到
y 轴上得
t=0.2096s
F2 FIC 2m x （c） 由式（b）可得 当套筒到达端点A时 x l
2 l 2 l r x 3l 4 2
代入式（c）得
F2 3 2lm 3(2 rad/s) 2 0.5m 0.1kg 3.419N 又 对于惯性参考系 套筒运动的基本方程为
mar F FIe
mar F
（2）动参考系相对于定参考系作匀速直线平移 得 因 aC 0 和 ae 0 所以 FIe FIC 0 所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系 都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学现象 都无助于发觉该参考系本身的运动情况 以上称为相对性原理
理论力学 第7章质点动力学习题解答
1第七章 质点动力学 习题解答7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = 0.8 kN ，如图所示。
求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。
解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -=由质点运动微分方程R F m =r ，写出投影式F x m = ，0=ym ，mg z m -= 初始条件为000====t t y x ，3.00==t z ；000====t t z x，v y t ==0 解得质点的速度方程为t mFx= ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x =，vt y =，3.022+-=t gz 当0=z 时，小球到达xy 平面，由03.022=+-=t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为m/s 7.494811===t mFxt t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211-=-==gt z t t . 各坐标为m 2.6122211===t m F x t t ，m 979.111===vt y t t ，m 137.23.02211-=+-==t gz tt .7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。
运动开始时，两物体的高度差为h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。
求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。
解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程TA A A A F W x m -= ， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有TB TA F F =，B A x x -=，B A xx -= 初始条件00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x，00==t B x . 解以上初值问题，得题7-2图题7-2受力图2g m m m m xBA B A A +-= ， ()22gt m m m m x B A BA A +-=g m m m m x B A B A B +--= ， ()h gt m m m m x B A BA B ++--=22令B A x x =，即()()h gt m m m m gt m m m m B A BA B A B A ++--=+-2222解得当两物体达到相同高度时 ()()gm m h m m t B A B A -+=...7-3 质量为m 的质点M 受到引力F = -k 2m r 的作用，其中k 为常量，运动开始时，质点M在轴x 上，OM 0 = b ，初速度v 0与轴x 的夹角为β，如图所示。
质点动力学基本方程
y 质心C 质心 x F1 G F2 FA
l 解:(1)取活塞为研究对象; (2)受力分析,画受力图; (3)运动分析,写出运动方程;
x = OA cos ωt + l
求加速度
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
d x 由 m 2 = ∑ Fx dt
2
2
FA
F1
得
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
此速度为质点在阻尼介质中运动的极限速度 极限速度.跳伞运 极限速度 动员着地时的速度即可由该式求出.
例5 发射火箭,求脱离地球引力的最小速度. 求 属于已知力是位置的函数的第二类问题. 解:属于已知力是位置的函数的第二类问题. 属于已知力是位置的函数的第二类问题 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示. 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用.
dv dv , 再分离变量积分. =v dt ds
例4:求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的 : 运动方程.设质点受到的阻尼力Fr=-cv,c称为粘度系 数,简称粘度.初始时质点在介质表面上被无初速度 释放.
解:取质点M为研究对象,作用其上的力有重力和介质阻尼 力,均为已知,求质点的运动,属于动力学第二类问题. 在任意位置上,有 d 2x dx m 2 = mg c dt dt
于是 分离变量, 再积分一次 质点的运 动方程
即
e
g t v′
v′ v = v′
)
dx = v = v ′(1 e dt
g t v′
∫
x
0
dx = ∫ v ′(1 e
0
t
g t v′
)dt
g ′ 2 v′ t v x = v ′t + (e 1) g
理论力学(9.2)--质点动力学的基本方程
dt
vx
v
0
e
m
t
vy
mg
(1
e
m
t
)
t 0 时x， y 0
积分
x
v0
m
(1
e
m
t
)
y dy
0
O
y
x dx
0 t
0
v0 FM
Pv
t 0
v0
e
m
t
dt
mg
(1
e
m
t
x
)dt
y
mg
t
m2g
2
(1
e
m
t
)
属于第二类基本问 题 。
其中 b l sin
F
mg cos
1.96N
v
Fl sin2 m
2.1m s
属于混合问 题 。
例 9-4 已知：粉碎机滚筒半径为 Ｒ， 绕 通过 中心的水平
轴 匀速转 动 ，筒内铁 球由筒壁上的凸棱带 着上升。为
了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时
例 9-3
已知：一圆锥摆 , 如图所示。质量 m=0.1kg 的小
球系于长 l=0.3 m 的绳上 , 绳的另一端系在固定点
O, 并与铅直线 成60
角。
求：如小球在水平面内作匀速圆 周运动 ，小球的速 度与绳 的张 力。
解： 研究小球
m v2 b
F sin
F cos mg 0
ch质点动力学基本方程
2
mg 0
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l (k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解 得：
kl m g m lcos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl m g ml
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
Tmax
2 2 v0 G v0 G(1 )G gl g l
2 G v0 [注]①动拉力Tmax由两部分组成, 一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分 g l
理论力学引Fra bibliotek力学模型：言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成，又称为不变质点系。
2 2
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用 其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动， 属于动力学第二类问题。
在任意位置上，有 d 2x dx m 2 mg c dt dt
2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；
理论力学习题-质点动力学基本方程
理论力学习题-质点动力学基本方程.(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--104第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。
( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。
( × )3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。
( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。
( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。
( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。
( × )二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
2．质点动力学的基本方程是∑=i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m22∑=nFv m ρ2∑=b F 0。
、 、1053．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b=+，其中0v 为初速度，b 为常数。
则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。
5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。
飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。
三、选择题1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。
(A) mg(B) )(a g m +(C) )(a g m -(D) 02．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。
(A) 0=+x m cx(B) 0)(=-+s x mcxδ (C) g x m cx s =-+)(δ (D) 0)(=++s x mcxδ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-，坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。
质点动力学的基本方程
质点动力学的基本方程一、是非题1. 已知力求运动时，在下列质点运动微分方程的左边不应冠以正负号。
（ √ ） ⎪⎩⎪⎨⎧===∑∑∑Z z m Y y m X x m2. 质点在常力作用下，一定作匀加速直线运动。
（ × ）3. 当质点运动轨迹未知时，不能运用自然形式的质点运动微分方程。
（ × ）4. 由于自然轴系的原点始终与运动质点重合，所以在建立自然轴系的运动微分方程时，加速度在各自然轴上的投影为零。
（ × ）5. 两个质量相同的质点，只要一般位置受力图相同；选择坐标形式相同，则运动微分方程也必相同。
（ √ ）6. 在质点相对运动中，判断下述说法是否正确：A. 若0,0==r r v a ，则必有0=+eg F F （ √ ）B. 若0=+eg F F ，则必有0,0==r r v a （ × ）7. 只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬时的运动状态就完全确定了。
（ × ）8. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。
（ √ ）9. 作用于质点上的力越大，质点运动的速度越高。
（ × ）10. 牛顿定律适用于任意参考系。
（ × ）11. 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力的方向。
（ × ）二、选择题1. 质点从某一高度处沿水平方向抛出，所受介质阻力为R = - k v, 如图所示，质点的运动微分方程为 B 。
A. x k xm -=-, y k mg y m +-=-B. x k xm -=, y k mg y m --= C. x k xm -= , y k mg y m +-= D. x k x m =, y k mg y m +-=-2. 质点在重力和介质阻力R =－k v 作用下，沿铅垂方向运动，质点 的运动微分方程为 B 。
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第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。
( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。
( × )3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。
( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。
( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。
( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。
( × ) 二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
2．质点动力学的基本方程是∑=im F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt sd m 22∑=nF vm ρ2∑=b F 0。
3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b=+，其中0v 为初速度，b为常数。
则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。
5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。
飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。
三、选择题1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。
(A) mg (B) )(a g m + (C) )(a g m - (D) 0 2．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。
(A) 0=+x m c x (B) 0)(=-+s x m c x δ (C) g x m c x s =-+)(δ (D) 0)(=++s x m c x δ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-，坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段Aa图、、( A )，下降段( A )。
(A) x k mg xm --= (B) x k mg xm +-= (C) x k mg xm --=- (D) x k mg xm +-=-mOx图 图四、计算题9-1 质量为m 的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为r ，如图所示。
设物体与转台表面的摩擦系数为f ，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。
解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。
应用自然坐标形式的质点动力学微分方程，有0=-mg F N s F mr =2ω 根据静滑动摩擦定律，有s F ≤N fF ，代入上式，有ω≤r gf 即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为 rgf =max ω 9-2 如图所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮A 、B 作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。
铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得到质量密实的管形铸件。
如已知管模内径400mm D =，求管模的最低转速n 。
s F图 图解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。
为求管模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。
在临界转速下，铁水不受内壁作用，其只受重力作用。
受力分析如图所示。
列质点动力学微分方程，有mg D m =22ω 解得)/(72s rad Dg==ω 管模的最低转速n 为min)/(67307r n =⨯=π9-3 物体自地球表面以速度0v 铅直上抛。
试求该物体返回地面时的速度1v 。
假定空气阻力2R mkv =，其中k 是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。
m 是物体质量，v 是物体的速度，重力加速度认为不变。
解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。
应用质点运动微分方程，有2mkv mg dtdv m --= 而dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=，所以上式可以写成 )(2kv g dxdv v +-= 即dxkv g vdv-=+2物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由0v 变成0，而坐标由0变成h 。
两边积分，有⎰⎰-=+h v dx kv g vdv002这样有)1ln(2120gkv k h += 物块在下落的过程中，其运动过程如右图（b ）所示。
应用质点运动微分方程，有 2mkv mg dt dvm -=上式可写成dx kv g vdv=-2物体自最高点下落到地面，其速度由0变成1v ，而坐标由0变成h 。
两边积分，有⎰⎰=-h v dx kv g vdv021解得21ln 21kv g gk h -=0v x vm1v )a (图 )b (图这样，有2120ln 21)1ln(21kv g g k g kv k -=+ 解得gkv v v 2011+=9-4 静止中心O 以引力2F k mr =吸引质量是m 的质点M ，其中k 是比例常数，OM =r 是点M 的矢径。
运动开始时0OM b =，初速度为0v 并与0OM 的夹角为α，如图所示。
求质点M 的运动方程。
解：应用直角形式的质点运动微分方程，有mx k mr k F dtx d m 2222cos cos -=-=-=θθ my k mr k F dty d m 2222sin sin -=-=-=θθ上面两式可分别写为0222=+x k dt x d ，0222=+y k dt y d其微分方程的通解可写为kt B kt A x sin cos 11+=，kt B kt A y sin cos 22+= 代入初始条件b x t ==0，αcos 00v dt dx t ==，00==t y ，αsin 00v dt dy t == 可解得b A =1，k v B αcos 01=，02=A ，kv B αsin 02= 质点M 的运动方程可写为 kt k v kt b x sin cos cos 0α+=，kt kv y sin sin 0α= 9-5 如图所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度0v 脱离胶带，设0v 与水平线的夹角为α。
求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。
解：建立如图所示的坐标系。
物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有022=dt x d m ，mg dt y d m=22即022=dt x d ，g dt y d =22其微分方程的通解可写为B At x +=，D Ct gt y ++=221 代入初始条件00==t x ，αcos 00v dt dx t ==，00==t y ，αsin 00v dt dyt == 可解得αcos 0v A =，0=B ，αsin 0v C =，0=D 物料脱离胶带后的运动方程可写为 αcos 0t v x =，αsin 2102t v gt y +=图 图9-6 滑翔机受空气阻力R kmv =-作用，其中k 为比例系数，m 为滑翔机质量，v 为滑翔机的速度。
在0=t 时，有0v v =，试求滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离 (假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。
解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离为s 。
应用质点的运动微分方程，有kmv dts d m -=22上式可写为kv dtdv-= 上面微分方程的通解为kt Ce v -= 即kt Ce dtds-=，解得 D e kC s kt +-=- 代入初始条件00==t s ，00v dt dst == 可解得0v C =，kv D 0= 滑翔机由瞬时0=t 到任意时刻t 所飞过的距离为)1(0kt e kv s --=9-7一物体质量kg m 10=，在变力100(1)F t =-牛顿作用下运动。
设物体初速度002m s v ./=，开始时力的方向与速度方向相同。
问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变，可见物体作变速直线运动。
以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。
应用质点运动微分方程，有)1(10022t dt s d m -=即)1(1022t dt s d -=，解得D Ct t t s ++-=32355 代入初始条件00==t s ，00v dt dst == 解得2.00==v C ，0=D 物体的运动方程可写为t t t s 0235532+-= 物体的运动速度为2.05102+-==t t dtdsv 令物体速度为零，即02.05102=+-t t ，解得s t 02.2=，此时，物体的运动的路程为 m tt t s t t 07.72.035502.23202.2=+-===9-8 质量为kg 2的滑块M 在力F 作用下沿杆AB 运动，杆AB 在铅直平面内绕A 转动，如图所示。
已知t s 4.0=，t 5.0=ϕ (s 的单位为m ，ϕ的单位为rad ，t 的单位为s)，滑块与杆AB 的摩擦系数为1.0=f 。
试求s t 2=时力的大小。
图B(a ))B解：(1) 选滑块M 为研究对象，受力分析如图(a)所示。
(2) 选滑块M 为动点，杆AB 为动系，由k r ne ay ax a a a a a ++=+作M 的加速度合成图如图(b)所示。
列ax a 投影方程有ne r ax a a a -=其中：在s t 2=时，022==dts d a r ，222/2.05.08.0s m AM a ne=⨯=⋅=ω，故有 2/2.0s m a a a ner ax -=-= 列ay a 投影方程有k ay a a =其中：在s t 2=时，s m dtdsv r /4.0==，2/4.04.05.022s m v a r k =⨯⨯==ω，故有 2/4.0s m a a k ay ==（3）应用质点运动微分方程，有ax s ma mg F F =--ϕsin ，ay N ma mg F =-ϕcos 其中：当s t 2=时，rad 1=ϕ，N s fF F =，代入上式，可得)(2.17sin N ma mg F F Cx s =++=ϕ9-9 质量为m 的小球C ，用两根长为L 的细长杆支持，如图所示。
球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动，设a AB 2=，不计杆自重，求各杆所受的力。
图解：(1) 由于球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动，球具有向心加速度nC a 如图(a)所示。
该加速度大小为CC CA F g2222ωωa L r a n C -==(2) 选小球C 为研究对象，受力分析如图(b)所示。