弹性力学应力分析部分
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学_第二章__应力状态分析
弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。
体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。
弹性力学 第二章 应力分析
ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，
∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0
∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
② 积分方程法 上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量 方程为
应力分析
10. 偏应力
σ1′＝σ1－σ
σ2 ′＝σ2－σ
σ3 ′＝σ3－σ
地壳深部一般应力状态：σ1＝σ2＝σ3＝ρgh，接近于静岩应力状态。
1. 应力场：受力物体内部各点瞬时应力状态的组合
均匀应力场：各点应力状态相同（可以按点应力方法处理）
5. 主应变和应变主方向
在均匀变形条件下，变形物体内部总是可以截取这样一个立方体，其三个相互垂直的截面上只有线应变而无剪应变，这三个线应变称为主应变，这三个主平面称为主应变面。
最大伸长方向：最大应变主方向(λ1)或最大主应变轴(X or A)
最大压缩方向：最小应变主方向(λ3)或最小主应变轴(Z or C)
3. 均匀变形和非均匀变形
均匀变形：各部分的变形性质、方向、大小均相同。特征：
变形前的平面、直线变形后仍保持平面和直线；
变形前相互平行的平面和直线变形后仍保持平行
非均匀变形：物体内部各部分变形的方向、大小和性质不一致。
非均匀连续变形可以分解成若干部分，按均匀变形的方法加以研究。
1.应力状态:过物体中某一点的各个不同方向截面上的应力情况(18个)。
弹性力学(剪应力互等定理)证明：任何受力 主平面（主应力面）：
主应力所作用的截面：S1, S2, S3
3. 主应力：
σ1(最大)，σ2 (中间) ，σ3 (最小) ；?1- ?3 之值称为应力差。
4. 主应力轴：σ1，σ2，σ3每对主应力的方向线
5. 应力椭球：以物体内一点主应力s1， s2 ， s3为主轴的椭球体。
直观表达物体内该点受力状况。
6. 应力椭圆：应力椭球的三个主切面
弹性力学的应力分析与优化
弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。
在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。
本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。
一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。
应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。
应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。
拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。
拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。
拉应力越大，物体的变形程度越大。
剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。
剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。
剪应力越大，物体的变形程度越大。
压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。
压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。
压应力越大，物体的变形程度越大。
在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。
解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。
数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。
二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。
优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。
优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。
形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。
例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。
形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。
弹性力学中的形变与应力分析
弹性力学中的形变与应力分析弹性力学是力学的一个分支，关注物体在受到外力作用下的形变与应力分析。
在弹性力学中，形变是指物体由于外力作用而产生的形状的改变，而应力则是指物体内部的力。
形变和应力是密切相关的，它们之间的关系可以通过弹性模量来描述。
弹性模量是一个物质特性参数，它反映了物质在受力作用下形变和应力之间的关系。
在弹性力学中，常用的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量是描述物体沿一个方向受拉或受压时形变与应力之间关系的参数。
它可以用来衡量物体的刚性程度，即物体在受力作用下的变形程度。
剪切模量是描述物体在受到剪切力作用时形变与应力之间的关系的参数。
泊松比则是描述物体在受到拉力作用时，在垂直方向上的横向收缩程度与拉伸程度之间的比值。
弹性力学通过研究物体在外力作用下的形变和应力，可以预测和解释物体的力学行为。
例如，当一个弹性体受到拉力作用时，由于杨氏模量的存在，它会发生形变，但形变后能够恢复到原始形状。
这是因为杨氏模量描述了物体形变与应力之间的线性关系，即形变与应力成正比。
当拉力消失时，物体会恢复到原始形状，这就是弹性力学的基本原理之一。
在弹性力学中，还有一些常用的形变和应力分析方法。
例如，拉伸实验是常用的实验方法之一，它可以通过将材料置于拉伸装置中，施加拉力并测量形变和应力来研究物体的力学性质。
另一个常用的方法是剪切实验，它用于研究材料在受到剪切力作用时的形变和应力。
这些实验方法可以帮助工程师和科学家更好地了解材料的性质，并为工程和设计提供依据。
弹性力学的应用十分广泛。
它在工程领域中被广泛应用于材料的选用和设计。
例如，在建筑工程中，工程师需要了解材料在受到外力后的变形情况，以确保建筑物的结构安全可靠。
在航空航天工程中，弹性力学被用于研究飞机和宇航器的结构，并优化设计，以提高飞行性能和安全性。
此外，弹性力学还在其他领域如汽车制造、电子设备以及医学器械等方面有着广泛的应用。
总结起来，弹性力学中的形变与应力分析是研究物体在受到外力作用下的变形和力学行为的重要内容。
应力分析原理
应力分析原理
应力分析原理是一种用于研究物体受力情况的方法。
应力是物体内部受到的力的分布情况，通常以单位面积上的力来描述。
应力分析原理主要包括以下几个方面。
首先，应力分析原理基于弹性力学理论。
弹性力学是研究物体在受到外力作用后，形状和尺寸发生变化的性质和规律。
它假设物体在受力后会恢复到原来的形状和尺寸，同时也假设物体的变形与受力有一定的数学关系。
其次，应力分析原理基于克希荷夫定律。
克希荷夫定律是弹性力学的基本定律之一，它描述了物体内部各点的应力与应变之间的关系。
根据克希荷夫定律，应力与应变成正比例，比例系数为物体的弹性模量。
再次，应力分析原理基于受力平衡条件。
根据受力平衡的原理，物体各点受到的合力和合力矩为零。
通过分析物体的受力平衡条件，可以得到物体内部各点的应力分布情况。
最后，应力分析原理还基于材料的力学性质。
不同的材料具有不同的力学性质，例如刚度、强度、韧性等。
根据材料的力学性质，可以预测物体在受力后的变形情况，并进一步分析应力的分布。
综上所述，应力分析原理是基于弹性力学、克希荷夫定律、受力平衡条件和材料的力学性质等基本原理，通过对物体受力情况进行分析，揭示物体内部应力的分布情况。
弹性力学的应力松弛与损伤分析
弹性力学的应力松弛与损伤分析弹性力学是研究物体在受力后的形变与应力关系的学科，应力松弛与损伤分析是弹性力学的一个重要分支。
应力松弛指的是物体在受到外力作用后逐渐减弱的应力现象，而损伤分析则研究物体在应力松弛过程中可能出现的破裂、断裂等损伤情况。
应力松弛是弹性材料在长时间受到恒定外力作用后产生的一种现象。
材料在外力作用下会发生形变，但是当外力移除后，材料会逐渐恢复到初始状态。
然而，如果外力一直施加在材料上，由于内部分子的重新排列与运动，应力会逐渐减弱。
这种现象被称为应力松弛。
应力松弛的机制与材料的结构以及外力作用方式密切相关。
多晶金属材料晶粒之间的位错滑移、扩散等过程是应力松弛的重要机制。
此外，纤维增强复合材料中的纤维与基体之间的应力传递也会导致应力松弛现象。
应力松弛的时间常常与材料的温度、应力水平、外力作用时间等因素有关。
损伤分析是研究材料在应力松弛过程中可能出现的损伤现象及其机制。
当材料受到过大的外力作用时，其内部可能发生破裂、断裂、脆化等现象，造成材料的损伤。
损伤分析旨在预测材料损伤的发生与发展，并提供相应的修复措施。
损伤分析主要涉及断裂力学、疲劳寿命分析、材料裂纹扩展等相关理论和方法。
断裂力学是研究材料在外力作用下破裂的力学行为，包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学等。
疲劳寿命分析是预测材料在交变应力作用下发生疲劳破坏的寿命，该分析方法常用于工程结构的疲劳寿命评估与设计。
材料裂纹扩展研究材料中裂纹因外力作用下的扩展行为，对于评估材料的损伤程度和寿命具有重要意义。
应力松弛与损伤分析在许多工程领域中具有广泛的应用。
例如，在航空航天领域，对于航空发动机涡轮叶片的设计与检修需要考虑到应力松弛与损伤分析结果，以确保叶片的可靠性与安全性。
在建筑结构领域，研究材料的应力松弛与损伤特性可以帮助工程师进行结构的合理设计与维护。
综上所述，弹性力学的应力松弛与损伤分析是研究物体在受力后的形变与应力关系的重要分支。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
弹性力学应力分析(1)
ji n j
基本关系
ij n j
矩阵
ij pij
形式
任意斜截面上的应力大
p σ 0
0 p
0
0
小的平方
0 0 p
t2
t t (n) (n)
ii
( pijnj )(pik nk )
p 2ni ni
p2
或
t1( n )t1( n )
t
(n 2
32 31 13
11
33
x2
x3
x1
3
土木工程专业：弹性力学
任意斜截面上的应力矢量
面积 dA，外法线单位矢量n
斜平面上应力矢量t(n)
四面体为 脱离体：
微元面积之 间的关系：
2019/11/25
dA1 dAcos dA n1 dA2 dAcos dA n2 dA3 dAcos dA n3
xy y p
yz
zx yz
z p
2019/11/25
9
土木工程专业：弹性力学
第二节 斜截面上应力分量
一、应力矢量的坐标分量
t (n) i
ji n j
ij n j
展 开
t1(n) 11n1 12 n2 13n3
t
(n 2
土木工程专业：弹性力学
第三章 应力分析
第一节 柯西应力张量 第二节 斜截面上应力分量 第三节 应力张量坐标变换 第四节 主应力和主方向 第五节 八面体上的应力 第六节 平衡微分方程
2019/11/25
1
土木工程专业：弹性力学
弹性力学的应力弛豫与塑性变形分析
弹性力学的应力弛豫与塑性变形分析弹性力学是研究物体在变形后能够恢复原状的力学学科。
在实际应用中，很多材料在受力后会发生塑性变形，即不能完全恢复原来的形状。
本文将重点探讨弹性力学中的应力弛豫和塑性变形现象，并分析其原因和应用。
一、应力弛豫应力弛豫是指材料在受力后，其内部应力随时间逐渐减小的过程。
这种现象可以在实验中观察到，常见于高分子材料、液晶等多种物质中。
应力弛豫的形成可以归结为材料内部的结构重排和分子运动。
在弹性力学中，材料受力后会发生分子位移和能量重分布，导致内部结构的变化。
这些变化需要一定的时间来完成，因此材料内部的应力也会随时间逐渐减小。
这种时间相关的应力变化称为弛豫，表现为应力-时间的曲线。
应力弛豫的具体原因可以从分子层面进行解释。
在材料受力后，分子会发生位移和转动，从而改变原有的排列和结构。
这些结构的变化需要时间来完成，直到达到新的力平衡状态。
因此，在应力弛豫过程中，材料内部的分子会经历一系列的位移和调整，导致应力逐渐减小。
应力弛豫对材料的影响是多方面的。
首先，它可以改变材料的物理性质，如导电性、热传导性等。
其次，它还可以影响材料的力学性能，如强度、刚度等。
因此，对于需要长时间保持稳定性能的材料，在设计和选择时需要考虑应力弛豫的效应。
二、塑性变形分析与应力弛豫不同，塑性变形指的是在外力作用下，材料发生的不可逆性变形。
这种变形无法通过解除外力或应力恢复为原始状态。
塑性变形是金属材料等多种材料中常见的力学现象。
塑性变形的发生需要材料达到一定的应力水平，使其超过了其弹性极限。
当材料达到弹性极限后，其内部原子会发生塑性畸变，从而导致整体的变形。
这种塑性畸变包括原子间的位移和滑移等，使得材料的晶格结构变得不规则。
塑性变形的原因可以从晶体结构和材料缺陷两个方面进行解释。
首先，晶体结构本身在受力时会发生弹性和塑性的变化。
其次，材料中的晶界、位错和孔隙等缺陷也会在受力时起到重要作用，促进塑性变形的发生。
应力分析和强度理论
要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。
第二章_应力讲解
第二章 应力分析研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。
第1节 内力和外力1.1 外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。
我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。
1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。
量纲：力/（长度）3。
求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法：X X 2X X 2第2节 应力和应力张量2.1 应力当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法：过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力）FF -l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。
即n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++==,,1S n P B C S A B C ∆∆∆∆==0)()(=++-V f S t S t i i n ∆∆∆而 S n S t t i i i i ∆∆=-=-,)()(代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ∆∆或 )()(i i n t n t =展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n++= 或n t m t l t t z y x n )()()()( ++=2.1 应力张量每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1jxj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1(x 2x 1 x 1(x)x 3,,32S n PAB S n PAC ∆=∆∆=∆同理，得j yj j j z yz y yy x yx y e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==2323222121)()2(jzj j j z zz y zy x zx z e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==3333232131)()3(将法线方向n 取为单位长度，则将式（3.25）代入式（3.26），得3.3.2.讨论：） （ ３３３３３３２２２２２２253.l p l p l p l p ⎪⎪⎪⎭⎪⎬====σσσσ） （2631232221.l l l =++７）＝１ （）（）＋（） （２３３２２２２2311.p p p σσσ+（1）：如果以p 1，p 2，p 3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一椭球面方程，主半轴分别为σ1，σ2，σ3，称为应力椭球面。
应力分析知识点总结
应力分析知识点总结一、引言应力分析是指在实际工程中，对物体内外受到的力在空间和时间上的分布规律进行研究，从而了解物体受力情况的一种理论和方法。
应力分析在工程领域中有着重要的应用，可以帮助工程师们更好地设计和制造各种工程结构，确保结构的安全性和稳定性。
本文将从应力分析的基本概念、应力分析的理论基础、常用的应力分析方法以及应力分析在工程中的应用等方面进行总结和介绍。
二、应力分析的基本概念1. 应力的定义应力是指物体内部分子间的相互作用所产生的一种内在力，通常表示为单位面积上的力。
在工程中，应力常常用来描述物体受力时的内部力状态，可以分为正应力和剪应力两种类型。
正应力是指垂直于物体截面的应力，可以表示为施加在物体上的正向压力或拉力。
而剪应力是指与物体截面平行的应力，通常形成剪切力。
2. 应变的定义应变是指物体在受力作用下发生的形变现象，通常用来描述物体受力后的形状和大小变化。
应变可以分为线性应变和剪切应变两种类型，线性应变指物体在受到正应力作用下发生的长度变化，而剪切应变则是描述物体在受到剪应力作用下产生的形变。
3. 应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，这一关系通常通过材料的力学性能参数来描述。
在弹性范围内，应力与应变之间存在着线性关系，可以通过杨氏模量、泊松比等参数来描述。
而在非弹性范围内，应力和应变之间的关系则需要通过材料的本构方程来描述。
三、应力分析的理论基础1. 弹性力学理论弹性力学理论是应力分析的重要理论基础，其研究范围包括材料的应力分布规律、应力和应变的关系、材料的本构关系等内容。
弹性力学理论可以帮助工程师们更好地理解和预测物体在受力条件下的力学性能，进而设计和优化工程结构。
2. 材料力学性能参数材料力学性能参数是描述材料抗力性能的重要指标，包括杨氏模量、泊松比、屈服强度、极限强度、断裂韧性等内容。
这些参数可以帮助工程师们更好地了解材料的力学特性，从而在设计和制造过程中选择合适的材料和工艺。
理论力学中的弹性力学与材料应力分析与设计案例分析
理论力学中的弹性力学与材料应力分析与设计案例分析弹性力学是力学中的一个重要分支，涉及弹性体的变形和应力响应。
在工程设计和材料分析中，正确理解和应用弹性力学理论非常关键。
本文将首先介绍弹性力学的基本原理和公式，并随后分析一个实际案例来展示如何使用弹性力学理论进行材料应力分析和设计。
一、弹性力学基本原理弹性力学研究的对象是处于弹性变形范围内的固体材料。
主要涉及的参数有应力、应变、模量等。
1. 应力（Stress）应力是指单位面积上的力，常用符号为σ。
根据弹性理论，应力与应变之间存在线性关系。
应力可以分为各向同性应力和各向异性应力。
2. 应变（Strain）应变是指物体的形变程度，常用符号为ε。
在弹性变形情况下，应变与应力之间存在线性关系。
3. 模量（Modulus）模量是描述与应力应变相关性的物理量。
常见的模量有弹性模量、剪切模量和泊松比。
弹性模量表示物体在受压缩或拉伸时的应力和应变关系，通常用符号E表示。
二、材料应力分析案例假设我们的案例是设计一个弹簧，需要分析材料的应力分布并进行设计验证。
1. 材料力学性质分析首先，我们需要获取材料的力学性质参数。
假设使用的材料是钢，具有已知的弹性模量E和屈服应力σy。
2. 弹簧设计与力学分析根据设计要求和材料的力学性质，我们可以计算出合适的弹簧长度、直径和线径。
接下来，我们进行力学分析，包括弹簧的应力和位移。
应力分析：根据弹性力学理论，弹簧的应力可以通过应变和材料的模量来计算。
假设弹簧在工作状态下产生的应变为ε，那么应力可以用以下公式计算：σ = E · ε。
位移分析：弹簧在受力时会发生弹性变形，根据胡克定律，弹簧的位移与力和弹簧刚度相关。
位移可以通过以下公式计算：δ = F / k，其中F为受力，k为弹簧刚度。
3. 弹簧设计验证通过以上的力学分析，我们可以得到弹簧的应力和位移。
我们需要验证这些结果是否满足设计要求和材料的承载能力。
比如，我们可以将应力与材料的屈服应力进行比较，确保不会出现超出材料极限造成破裂的情况。
9.2、弹性力学应力分析 静力学和材料力学
have
ij ji
2020/4/16
8
土木工程专业：弹性力学
三、应力张量分解
1
柯西应力张量还可以表示为
ij
1 3
kk
ij
sij
The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called
)
t3(n)t3(n)
p2
令
x
t (n)
1
x2 y2 z2 p2
y
t(n) 2
球面方程
2020/4/16
z
t(n) 3
18
土木工程专业：弹性力学
x
t(n)
1
,
y
t(n) 2
,
z
t(n) 3
❖应力球面
球面 方程 x2 y2 z2 p2
• 若以斜截面上应力矢量的分量为直角坐标轴， 则应力球面的球心位于坐标原点，半径为p
土木工程专业：弹性力学
在x1方向平衡： t1(n)dA 11dA1 21dA2 31dA3 0
t1(n)dA 11dA n1 21dA n2 31dA n3 0 消去dA，得 t1(n) 11n1 21n2 31n3 j1n j
同理；在x2、 x3方向平衡：
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t(n) 2
j2nj
t(n)
3
j 3n j
t (n) i
ji n j
6
土木工程专业：弹性力学
二、柯西应力张量
❖应力张量
t (n) i
ji n j
Since ti(n) and ni denote vectors, it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the
弹性力学_第二章__应力状态分析
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
弹性力学-第四章 应力分析
Ti = σ ji n j
（4.12b） ）
第四章 应力分析 §4-2 应力张量
T x = n1σ x + n 2τ yx + n 3τ zx T y = n1τ xy + n 2σ y + n 3τ zy T z = n1τ xz + n 2τ yz + n 3σ z
或
T1 = n1σ 11 + n 2τ 21 + n 3τ 31 T 2 = n1τ 12 + n 2σ 22 + n 3τ 32 T3 = n1τ 13 + n 2τ 23 + n 3σ 33
dSi = ni dS
u表示质点的位移 表示时间，则加速度为， 表示质点的位移,t表示时间 表示质点的位移 表示时间，
（4.11） ）
ɺɺ 作用在四面体上的体积力和惯性力之和为 ( f − ρ u)dV 1 原理 各面的面力分别为T,-T1,-T2和-T3 由D’Alembert原理 dV = dSh 各面的面力分别为 3 ɺɺ TdS − T dS + ( f − ρ u)dV = 0
σ y ,τ yx ,τ yz
σ z ,τ zx ,τ zy
i,j,k为x,y,z轴的单位矢量 则各面的应力矢 为 轴的单位矢量,则各面的应力矢 轴的单位矢量 量可表示为
Tx = σ xi +τ xy j +τ xzk Ty =τ yxi +σ y j +τ yzk Tz =τ zxi +τ zy j +σ zk
i i
d 2u = u ɺɺ 2 dt
dSi = ni dS
P固定 不变 趋于 固定,n不变 趋于0 固定 不变,h趋于
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xz xy
yz
y
2﹑斜截面的应力公式(Stress Equations on Oblique Plane)
C
z
τyx σy τyz τzy A τxy px pz
N
σx pN py M τxz τzx σz B
o
y
x
C
z
τxy τyx σy pz
N
σx py pN
τyz
τzy
px
封闭的精确解
有限差分法
工程上的实 际问题能真 正获得解析 解的情况实 属少数
有限体积法
数值法
有限单元法 边界单元法 无单元法 DDA法 流形元法
§2-2 一点的应力状态 Stress at a Point
1.正截面应力
z
z
yx
zx
zy
y
O x
yz x yx zx zy z
(2-15)
式(2-15)是求主平面的方向余弦 l , m, n 的线性方程组。 而它们不能同时为零。
l 2 m2 n2 1
(2-16)
由齐次方程组(2-15)可见，如果要使 l , m, n 有非零解，则 系数行列式的系数必须等于零。令：
第2章 应力分析 (Stress Analysis)
参考教材
《弹性力学》（第4版），徐芝纶主编，高等
教育出版社，2006 《弹性理论》（第3版），S.P.Timoshenko J.N. Goodier 主编，清华大学出版社，2007 《弹性力学》，徐秉业、王建学编著，清华 大学出版社，2007 《弹性力学与有限单元法》，蒋玉川、张建 海、李章政编著，科学出版社，2006
common ground 有所需的强度、刚度、稳定
性，并寻求或改进它们的计
算方法
Difference 1
材料力学
Material Mechanics
研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等问题。 在材料力学基础上研究杆系
研 究 对 象 区 别
结构力学
Structural Mechanics
yx l y m yz n p y zx l zy m z n pz
pi ij n j (在S 上）
x l xy m xz n px
面力分量与 物体内部应 力分量之间 的关系
和
z 3 T 3 zx zy
1 3 T 2 3
T
(2-13)
因此，在新坐标系 o x y z 中，表示M点的应力状态的应力张量表示为
x xy xz xy y yz T ij xz yz z
(2-14a)
§2.4 主应力 应力状态的不变量 Principal Stresses & Stress Invariants 过一点切应力为零的平面 称为主平面，主平面上的正 应力称为主应力，主平面的 外法线方向称为主方向。为 了建立复杂应力状态下的强 度条件，必须研究物体内任 意点的主应力和主方向。
材料力学
一般截取部 分杆段研究 一般截取微 单元体研究
得到力的平衡方程
Equilibrium Equation
Material Mechanics
弹性力学
得到偏微分方程
Elasticity Mechanics
Partial Differential Equations
Difference 4
数学计算(Numerical Computation)方面
1 1 dydz ldA S AMB dxdy ndA 2 2
px dA x S BMC yx S AMC zx S AMB 0
px dA xldA yxmdA zx ndA 0
px xl yxm zx n
Elasticity Mechanics
除了基本假设之外，为了简化 数学推导，还有附加假设，结 论有一定近似。如:平面截面 假设及横力弯曲情况下，梁横 截面上剪应力的分布假设。 与材料力学基本相同 常只作基本假设，在此基础上运 用数学理论通过演绎与推理求解 力学模型，其分析更为精确。
[例1] 满载均荷简支梁 Example 1:The Simply Supported Beam under Simply Supported Beam
S.P.Timoshenko Beams on elastic
foundation Timoshenko beam theory Mechanics of plates and shells Elastic vibration
弹性力学、材料力学、结构力学三者关系 The Relation of the Three Mechanics 分析各种结构物或其杆件在 弹性阶段(Elastic Stage)的应 共同点 力和位移，校验它们是否具
z’
投影于 x , y , z 方向
xz
M x
xy
x
x’
X x
Yx l2 , m2 , n2
x X xl1 Yxm1 Z xn1 1 px
T
y
xy X xl2 Yx m2 Z x n2 2 T px
M
y
x’
T l1 m1 n1 1 T [ ] l 2 m2 n2 2 T l3 m3 n3 3
x
显然新坐标系的各坐标平面可分别看作是旧坐标的 斜截面。
z
Z x
z’
例如，y’M’z’平面是外法线为x’轴的斜截面。
结构（如 桁架、刚架等）。 研究各种形状的弹性体，如 杆件、平面体、空间体、板 壳、薄壁结构等问题。
弹性力学
Elasticity Mechanics
Difference 2
材料力学
基 Material Mechanics 本 假 结构力学 设 Structural Mechanics 区 别
弹性力学
S AMC
z
1 dzdx mdA 2 C
τxy
S BMC
N
pz
σx pN
1 dydz ldA 2
dz
τyx σy
dA
τyz
py
px M τxz τzx σz
dy
dx
A
o
τzy
B
y
S AMB
1 dxdy ndA 2
x
S AMC
1 dzdx mdA 2
S BMC
T T
px p x
x 1T 1 xy 2
T
xz 3 T
1 1
同理，可求得在以 y 和 z 轴为外法线方向的斜截面上的正 应力和切应力分别为 y 2 T 2 T (2-12) yx 1 2 yz 3 T 2
斜截面上剪应力
p
2 n 2 n
2 n
§2.3 应力分量的坐标变换式
Coordinate Transformation of the stress Components z y’ ’ ， y’ ， z’ 对旧坐标 x ， 设新坐标系 x z’ y，z 的轴的方向余弦分别为， l1,m1,n1; l2,m2,n2; l3,m3,n3 。用矩阵表示为
从微分单元体入手，严格考虑静力学、几何
弹性力学
Elasticity Mechanics
学、物理学三个方面的条件，边界上严格考 虑受力和约束条件，三维数学问题，求解偏 微分方程边值问题。 也考虑上述条件，但不是十分严格。常采
材料力学
Material Mechanics
用近似的假设如平面截面假设来简化问题 ，基本上是一维数学问题，基本方程是常
x z
主平面
pz
N
px
N p py
o
图. 2-7
y
如图2-7所示，如果主应力 N 在 x , y , z 轴方向的应力分量 分别为
px N l,
p y N m,
pz N n
(a)
将(a)式代入式（2-4）,移项整理后得：
( x N )l xy m xz n 0 yx l ( y N )m yz n 0 zx l zy m ( Z N )n 0
yx l y m yz n p y zx l zy m z n pz
应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物 体的应力边界条件
面力边界条件
x l xy m xz n px
材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情 况下精度可以满足工程要求的 [例2] 徐变截面杆的分析
Example 2: Analysis of the bar with creep
section
o
x x
?
x
P x
P
Difference 3
取分离体(isolated body)方面
微分方程。
§1.2 弹性力学的研究方法
Study Method of the Elasticity Mechanics
解析法(Analytical Method )
数值法(Numerical Method) 实验法(Experimental Method )