弹性力学应力分析部分

yx l y m yz n p y zx l zy m z n pz
应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物 体的应力边界条件
面力边界条件
x l xy m xz n px
yx l y m yz n p y zx l zy m z n pz
pi ij n j (在S 上）
x l xy m xz n px
面力分量与 物体内部应 力分量之间 的关系
S AMC
z
1 dzdx mdA 2 C
τxy
S BMC
N
pz
σx pN
1 dydz ldA 2
dz
τyx σy
dA
τyz
py
px M τxz τzx σz
dy
dx
A
o
τzy
B
y
S AMB
1 dxdy ndA 2
x
S AMC
1 dzdx mdA 2
S BMC
M
y
x’
T l1 m1 n1 1 T [ ] l 2 m2 n2 2 T l3 m3 n3 3
x

显然新坐标系的各坐标平面可分别看作是旧坐标的 斜截面。
z
Z x
z’
例如，y’M’z’平面是外法线为x’轴的斜截面。
M τxz τzx σz B
A
o
y
x
cos( N , x) l , cos( N , y) m , cos( N , z ) n
C
z
τxy τyx σy τyz
N
pz
σx py pN
px
M τxz τzx σz B
τzy
A
o
y
x
百度文库
F
x
0：
px dA x S BMC yx S AMC zx S AMB 0
y’
Yx
M
X x x l1 xy m1 xz n1 Yx yx l1 y m1 yz n1
y
Z x zx l1 zx m1 z n1
[ px ] [ ] [ 1]
x
X x
x’
l1, m1, n1
y’
Z x l3 , m3 , n3 z
Elasticity Mechanics
除了基本假设之外，为了简化 数学推导，还有附加假设，结 论有一定近似。如:平面截面 假设及横力弯曲情况下，梁横 截面上剪应力的分布假设。 与材料力学基本相同 常只作基本假设，在此基础上运 用数学理论通过演绎与推理求解 力学模型，其分析更为精确。
[例1] 满载均荷简支梁 Example 1:The Simply Supported Beam under Simply Supported Beam
斜截面上剪应力
p
2 n 2 n
2 n
§2.3 应力分量的坐标变换式
Coordinate Transformation of the stress Components z y’ ’ ， y’ ， z’ 对旧坐标 x ， 设新坐标系 x z’ y，z 的轴的方向余弦分别为， l1,m1,n1; l2,m2,n2; l3,m3,n3 。用矩阵表示为
common ground 有所需的强度、刚度、稳定
性，并寻求或改进它们的计
算方法
Difference 1
材料力学
Material Mechanics
研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等问题。 在材料力学基础上研究杆系
研 究 对 象 区 别
结构力学
Structural Mechanics
x z
主平面
pz
N
px
N p py
o
图. 2-7
y
如图2-7所示，如果主应力 N 在 x , y , z 轴方向的应力分量 分别为
px N l,
p y N m,
pz N n
(a)
将(a)式代入式（2-4）,移项整理后得：
( x N )l xy m xz n 0 yx l ( y N )m yz n 0 zx l zy m ( Z N )n 0
q



M
I
y
z
x

y

Qs ; I zb
y
0
公式成立的条件
Ｌ＞５ｈ； Ｌ—梁的垮长；ｈ—梁高；
q
y
x
x

y
2
z



My
I
Z
y y 3 q (4 2 ) h h 5
QS I zb
弹性力学的结果可以检验材料力学结果是否合理。
q y 2y 2 y 2 (1 h )(1 h )
第2章 应力分析 (Stress Analysis)
参考教材
《弹性力学》（第4版），徐芝纶主编，高等
教育出版社，2006 《弹性理论》（第3版），S.P.Timoshenko J.N. Goodier 主编，清华大学出版社，2007 《弹性力学》，徐秉业、王建学编著，清华 大学出版社，2007 《弹性力学与有限单元法》，蒋玉川、张建 海、李章政编著，科学出版社，2006
y
xz xy
yz
y
2﹑斜截面的应力公式(Stress Equations on Oblique Plane)
C
z
τyx σy τyz τzy A τxy px pz
N
σx pN py M τxz τzx σz B
o
y
x
C
z
τxy τyx σy pz
N
σx py pN
τyz
τzy
px
l1, m1, n1
xz X xl3 Yxm3 Z xn3 3T px
[ px ] [ ] [ 1]
x X xl1 Yx m1 Z xn1 1T px xy X xl2 Yx m2 Z x n2 2 xz X xl3 Yx m3 Z xn3 3
微分方程。
§1.2 弹性力学的研究方法
Study Method of the Elasticity Mechanics
解析法(Analytical Method )
数值法(Numerical Method) 实验法(Experimental Method )
解析法
弹性力学问题
偏微分方程 分离变量法 级数解法 偏微分方程的边值问题 常微分方程 复变函数法 积分变换法
x xy xz xy y yz T ij xz yz z
(2-14a)
§2.4 主应力 应力状态的不变量 Principal Stresses & Stress Invariants 过一点切应力为零的平面 称为主平面，主平面上的正 应力称为主应力，主平面的 外法线方向称为主方向。为 了建立复杂应力状态下的强 度条件，必须研究物体内任 意点的主应力和主方向。
材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情 况下精度可以满足工程要求的 [例2] 徐变截面杆的分析
Example 2: Analysis of the bar with creep
section
o
x x
?
x
P x
P
Difference 3
取分离体(isolated body)方面
结构（如 桁架、刚架等）。 研究各种形状的弹性体，如 杆件、平面体、空间体、板 壳、薄壁结构等问题。
弹性力学
Elasticity Mechanics
Difference 2
材料力学
基 Material Mechanics 本 假 结构力学 设 Structural Mechanics 区 别
弹性力学
S.P.Timoshenko Beams on elastic
foundation Timoshenko beam theory Mechanics of plates and shells Elastic vibration
弹性力学、材料力学、结构力学三者关系 The Relation of the Three Mechanics 分析各种结构物或其杆件在 弹性阶段(Elastic Stage)的应 共同点 力和位移，校验它们是否具
1 1 dydz ldA S AMB dxdy ndA 2 2
px dA x S BMC yx S AMC zx S AMB 0
px dA xldA yxmdA zx ndA 0
px xl yxm zx n
和
z 3 T 3 zx zy
1 3 T 2 3
T
(2-13)
因此，在新坐标系 o x y z 中，表示M点的应力状态的应力张量表示为
T T
px p x
x 1T 1 xy 2
T
xz 3 T
1 1
同理，可求得在以 y 和 z 轴为外法线方向的斜截面上的正 应力和切应力分别为 y 2 T 2 T (2-12) yx 1 2 yz 3 T 2
斜截面上总应力
2 2 2 pn px py pz
斜面上的正应力为总应力分量px、py、pz在斜面法线上的投影之和
n px l p y n pz m
n xl y n z m 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
2 2 2
材料力学
一般截取部 分杆段研究 一般截取微 单元体研究
得到力的平衡方程
Equilibrium Equation
Material Mechanics
弹性力学
得到偏微分方程
Elasticity Mechanics
Partial Differential Equations
Difference 4
数学计算(Numerical Computation)方面
z’
投影于 x , y , z 方向
xz
M x
xy
x
x’
X x
Yx l2 , m2 , n2
x X xl1 Yxm1 Z xn1 1 px
T
y
xy X xl2 Yx m2 Z x n2 2 T px
从微分单元体入手，严格考虑静力学、几何
弹性力学
Elasticity Mechanics
学、物理学三个方面的条件，边界上严格考 虑受力和约束条件，三维数学问题，求解偏 微分方程边值问题。 也考虑上述条件，但不是十分严格。常采
材料力学
Material Mechanics
用近似的假设如平面截面假设来简化问题 ，基本上是一维数学问题，基本方程是常
(2-15)
式(2-15)是求主平面的方向余弦 l , m, n 的线性方程组。 而它们不能同时为零。
l 2 m2 n2 1
(2-16)
由齐次方程组(2-15)可见，如果要使 l , m, n 有非零解，则 系数行列式的系数必须等于零。令：
封闭的精确解
有限差分法
工程上的实 际问题能真 正获得解析 解的情况实 属少数
有限体积法
数值法
有限单元法 边界单元法 无单元法 DDA法 流形元法
§2-2 一点的应力状态 Stress at a Point
1.正截面应力
z
z
yx
zx
zy
y
O x
yz x yx zx zy z