CLLX压杆稳定性

解：
F cr
l α α
2 2 EI F2cr 2 (0.7l ) l2 2 EI 2 EI 2 F1cr F3cr cos 2 2 (l cos ) l 2 2 EI 3 Fcr 2 F1cr cos F2cr ( 1 cos ) 2 l
2 EI
2
Pcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力
公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为： P P
EIyM ( x) PyM
M0
令:k 2
P
x M0
2
x L
P EI
2
M EI yk yk P
= 0.5
例2 求下列细长压杆的临界力。 y x z y
z L1 L2
h
b
b3h , 解：①绕 y 轴，两端铰支： =1.0， I y 12 ②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
Pcry
2
EI y
2
L2 2
2
=0.7 ，
③压杆的临界力
bh3 Iz , 12
Pcrz
EI z
各个方向的约束μ、惯性矩I都不相同时，分别求出各面的λ，取 最大的λ。
二、然后比较压杆的实际长细比值与极限值，判断属于哪一 类 压杆，选择合适的临界应力公式，确定临界载荷。
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆）， 其临界力用欧拉公式求 。
s P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
P cr
2 EImin
L
2
Pcr
2 EI min
L2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
二、此公式的应用条件： 1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆wenku.baidu.com界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
§11–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
例6
两根直径均为d的压杆，材料都是Q235钢，但二者 长度和约束条件各不相同。试； 1.分析: 哪一根压杆的临 界载荷比较大； 2.已知： d =160 mm、 E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷 1.分析: 哪一根压杆的临界载 荷比较大：
l i I d A 4 i
l 1 5m 20m a＝ d i d 4 l 0.5 9m 18m b＝
工作安全因数 ：
cr FPcr 276.2 nw 1.834 wr FP 150
nw> [n]st=1.8
压杆的稳定性是安全的
例8 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式 求临界压力和安全系数。 解：一个角钢：
二、中小柔度杆的临界应力计算 1.直线型经验公式 ①P<<S 时：
cr ab

cr ab s
s
s a
b
s P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
②S< 时：
cr s
S 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
cr
(0.7 L1 )
P P cr min( cry , P crz )
例3 求下列细长压杆的临界力。 解：图(a) P P
10
50103 I min 1012 4.17109 m 4 12
30
2 I min E 24.17200 Pcr 67.14kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
§11–2
细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
P
x M P x y
P ①弯矩：
M ( x, y)Py
P
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
S
P
cr ab
③临界应力总图
2E cr 2
L
i

s s a
b
P

2E P
2.抛物线型经验公式 ①P<<s 时： 我国建筑业常用：
cr a1b1
2
2 cr s 1 c
2E 对于 A3钢、 A5钢和16锰钢： 0.43，c 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
三类不同压杆的不同失稳形式
细长杆—长细比大于或等于某个极限值p时，压杆将发生 弹性弯曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不 超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
sinkL 0

0
1
sinkL coskL
0
k
n P L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
FPcr
π E π d π 206GPa 10 π 160mm 10 cr A 2 ＝ 2 4 4 112.5
2 2 2 9

-3 2

3.2110 N 3.2110 kN
6 3
§11–4
压杆的稳定校核及其合理截面
一、压杆的稳定容许应力: 1.安全系数法确定容许应力:
A
因此，压杆将在正视图平面内弯曲。
z=132.6
π E π d FPcr ( z ) cr A 2 276.2kN 4
工作安全因数 ：
2
2
cr FPcr 276.2 nw 1.834 wr FP 150
nw> [n]st=1.8
压杆的稳定性是安全的
L 图(b)
L
z
y
(4545 6) 等边角钢
I min I z 3.89108 m4
图(b)
图(a)
2 I min E 20.389 200 Pcr 76.8kN 2 2 ( 2l ) (20.5)
例4 图示结构，各杆的EI相同，均为细长压杆，求 临界力Fcr。
yccoskxd sinkx
边界条件为:
P
M0
P
M0
x0, y y0;xL, y y0
M c ,d 0,kL 2n 并 kL n P
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
kL 2
所以，临界力为：
4 2 EI 2 EI Pcr 2 L ( L/2) 2
例5 图示结构，各杆的EI相同，均为细长压杆， 试求α =？F最大。
解：
α
F
4 2 EI 4 2 EI F1cr , F2cr o 2 2 (l cos30 ) 3l l2
2 EI
① 30
o
②
F1cr 4 2 EI Fcr ' 2 sin 3l sin
F1cr 4 2 EI Fcr ' ' 2 cos l cos
二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。
对于两端铰支的压杆
FPcr π E π d π 206GPa 10 π 160mm 10 cr A 2 ＝ 2 4 4 125
2 2 2 9

-3 2

2.6 10 6 N 2.60 10 3 kN
对于两端固定的压杆
l
1 Fcr ' Fcr ' ' , tg , 18.43o 3
§11–3 一、 基本概念
超过比例极限时压杆临界应力
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
Pcr cr A
2.细长压杆的临界应力：
Pcr 2 EI 2E 2E cr 2 2 2 A ( L) A ( L/i)
Pcr B
Pcr
0.7l l
0.5l
D
l 2l l
C— 挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
长度系数μ
Pcr
2 EI
l
2
Pcr
2 EI
(0.7l )
2
Pcr
2 EI
(0.5l )
2
Pcr
2 EI
(2l )
S 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
三、进行计算杆件承受压缩载荷P，即工作状态下的应力
对于简单结构，则需应用受力分析方法。对于复杂结构，
则灵活解题 四、最后，计算压杆的工作安全系数，并验算是否满足稳定性准 则。
例7
正视图
俯视图
已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢E＝205 GPa, FP＝ 150 kN, [n]st=1.8 校核: 稳定性是否安全。
长中杆—长细比小于p，但大于或等于另一个极限值s时， 压杆也会发生弯曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正 应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。 这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。 粗短杆—长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但 将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
表11–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支
一端固定 另端自由 Pcr
两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr
Pcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
2E 即： cr 2
3.柔度：
I i ——惯性半径。 A

L
i
——杆的柔度（或长细比 ）
4.大柔度杆的分界：
2E cr 2 P
2E P P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
F
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
QQ
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力 临界状态
稳 定 过 平 衡
对应的
压力
临界压力:
Pcr
不 稳 度 定 平 衡
st
cr
nst
2.折减系数法确定容许应力:
st
它是的函数。
折减系数 ,
二、压杆的稳定条件:
P st A
稳定性设计过程
一、 根据上述设计准则，进行压杆的稳定性的设计，首先必须根 据材料的弹性模量与比例极限E、σP、 σs ，计算出长细比的极 限值p 和s ，再根据压杆的长度l、横截面的惯性矩I和面积A， 以及两端的支承条件μ，计算压杆的实际长细比λmax。 各个方向的约束μ相同时，λmax取决于Imin 各个方向的惯性矩I相同时，λmax取决于μmax
i
FPcr a FPcr b
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷. 首先计算长细比，判断属于哪一类压杆：
d 4
d
20 20m a 125 d 0.16m
Q235钢 p=101
18 18m b 112.5 d 0.16m
解：压杆在正视图平面内， 两端约束为铰支,弯曲时横 截面将绕z轴转动： z=z l / iz , Iz=bh3/12 z=132.6
iz Iz A
压杆在俯视图平面内，两端约束为固定端,屈曲时横截面将绕y轴 转动： y=y l / iy , Iy 3/12 I =hb y=99.48 y iy