分析力学 00第八章力学的变分原理

第八章 力学的变分原理 §1. 哈密顿原理
凡力学原理用到变分运算时，称为力学变分原理。 凡力学原理用到变分运算时，称为力学变分原理。 微分变分原理 如虚功原理 如哈密顿原理
力学变分原理
积分变分原理
由于变分原理牵扯到变分运算， 由于变分原理牵扯到变分运算，因此我们先简单介绍一下变分运算的几个 法则。 法则。 一、变分及其运算的几个法则 1. 变分和微分 当自变量x变化时引起的函数变化, 对于函数f= f(x )当自变量x变化时引起的函数变化, 称为函数 f(x) 的微 分，记为df。 记为df。 df
又因为
∂L d d ∂L d ∂L δ qα = δ qα − (δ qα ) & & & dt ∂qα dt ∂qα ∂qα dt ∂L d ∂L & δ qα − δ qα = & & dt ∂qα ∂qα
∫
t2
t1
s d ∂L ∂L ∂L & δ qα − δ qα − δ qα dt = 0 ∑ & & ∂qα α =1 dt ∂qα ∂qα
s
(1)
∑
α=1
s
∂L & δq α = & ∂q α
∑
α=1
s
∂L d (δq α ) & ∂q α dt (2 )
=
∑
α=1
s
d ∂L d ∂L δq α − δq α , & & dt ∂q α dt ∂q α
δq α
t = t1
将(2)代入(1), 并注意到 (2)代入(1), 代入
s s d d & & Q ∑ pα δ qα = ∑ pα (δ qα ) = ∑ ( pα δ qα ) − ∑ pα δ qα dt α =1 α =1 α =1 dt α =1
s
∴ ∑ pα δ qα
α =1
s
t2
+∫
t1
t2
t1
∂H & ∑ qα − ∂p α =1 α
s
→ P ′ → Q ′:
P(t = t1) 1
P C (q1, q2 L qs )
q α +δq α +d(q α +δq α )
于是
q α +dq α +δ(q α +dq α )=q α +δq α +d(q α +δq α )
即：
δ(dq α )=d(δq α )
是可对易的。 可见变分δ 和微分d是可对易的。 (2)、 与 (2)、δ d 对易关系
dq α 但当 δ t= 0 时，则有 δ dt
因此在 δt 把 δt
d = ( δq α ) 。 dt
d 是对易的。 是对易的。 dt
=
的情况下， 0 的情况下， δ 与
时的变分称为等时变分， = 0 时的变分称为等时变分，而δt ≠ 0 时的变分称为不等时变分或
全变分。 全变分。 我们为了区别, 常用△表示不等时变分, 表示等时变分，于是有： 我们为了区别, 常用△表示不等时变分, 用 δ 表示等时变分，于是有： 等时变分
，则Q点和 P ′
Q: qα +dqα
（a）质点自 P → Q → Q′:
P′:
qα +δqα
P′
′ ′ ′ C ′( q1, q2 L qs )
至于 Q′ 的坐标则可从两方面来考虑： 的坐标则可从两方面来考虑：
Q′ Q
P (t = t2 ) 2
qα +dqα +δ(qα +dqα )
（b）质点自 P
于是有
d ∂L ∂L ∑1 − dt ∂q + ∂q &α α= α
s
δ qα = 0
互相独立， 考虑到各δ qα 互相独立，则有
d ∂L ∂L − + =0 & dt ∂qα ∂qα
因此得到
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂ qα ∂ qα
----这就是所求的保守系下的拉氏方程。 这就是所求的保守系下的拉氏方程。 这就是所求的保守系下的拉氏方程
s
& L = L ( qα , qα , t )
∂L ∂L & δ L = ∑ δ qα + δ qα & ∂qα α =1 ∂qα
将上式代入 δ
∫t
t2
1
Ldt= ∫ δLdt=0中，得
t1
t2
∫
t2
t1
∂L ∂L & ∑ ∂q δq α + ∂q δq α dt=0, α=1 & α α
t2
1
Ldt=0
。
保守系的Hamilton Hamilton原理 即 δS = 0 —保守系的Hamilton原理 ；而 其中S=
∫
t2
t1
Ldt
——Hamilton作用量或主函数。 Hamilton作用量或主函数。 Hamilton作用量或主函数
Hamilton原理的内容表述为： Hamilton原理的内容表述为： 原理的内容表述为 在相同的时间、相同的起始和终了位置以及相同的约束条件下， 在相同的时间、相同的起始和终了位置以及相同的约束条件下，完整保守 力学系统在各种可能的运动中，其真实运动的Hamilton作用量具有稳定值。 力学系统在各种可能的运动中，其真实运动的Hamilton作用量具有稳定值。 Hamilton作用量具有稳定值 即对真实运动来说， Hamilton作用量的变分为零 作用量的变分为零。 即对真实运动来说， Hamilton作用量的变分为零。
的变分.记为: 把函数 f(x) 本身的改变而引起的变化称为 f(x)的变分.记为:
δf=f(x)-f(x)=εφ(x)
是大于0的无限小量， 同类的函数。 其中ε 是大于0的无限小量， φ(x) 是与f(x)同类的函数。 变分法是研究如何确定泛函极值的普遍方法(函数的函数叫泛函 变分法是研究如何确定泛函极值的普遍方法 函数的函数叫泛函), 函数的函数叫泛函 变分是泛函改变量的主要线性部分. 变分是泛函改变量的主要线性部分 微分是函数改变量的主要线 性部分. 性部分 2. 变分的几个运算法则 变分的有些运算法则和微分的运算相同， 变分的有些运算法则和微分的运算相同，如
t2
∂L ∑1 ∂q δ qα &α α=
s
−∫
t1
t2
t1
∂L ∂L & ∑1 ∂q δ qα + ∂ q δ qα &α ห้องสมุดไป่ตู้= α
s
dt = 0
而 δq α
t = t1
= δq α
t =t2
=0,
所以有
∫t
又由于 L
t2
1
∂L ∂L &α + ∑1 ∂ qα δ q ∂ qα δ qα & α=
P(t = t1) 1
δt=0 δqα p1 =δqα p2 =0
上两对应点， 上的点， 设 P 及 P′是C及 C′上两对应点，Q是P点附近的位于C上的点， Q ′是位于C′ 对应的点， 上的与Q对应的点，如果P点坐标为 q 点的坐标分别为: 点的坐标分别为:
α
(α = 1 ,2 , L , s)
dt
dqα dtδ ( dqα ) − dqαδ ( dt ) δ ( dqα ) dqαδ ( dt ) δ = − = 2 2 dt dt ( dt ) ( dt ) d ( δqα ) dqαd ( δt ) = − 2 dt ( dt )
d 一般来说不对易。 故 δ与 一般来说不对易。 dt
q α =q α (t,c 1 ,c 2 , L , c 2s )
当t变化时，上式在S维 变化时，上式在S 空间中描出一条曲线
(α =1,2, L , s ）
哈密顿找真实轨道的思想 下面用拉氏方程推导保守系统的哈密顿原理。 下面用拉氏方程推导保守系统的哈密顿原理。 对完整约束下的保守系统
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂q α ∂q α
至P 并对t积分， ( t = t 2 ) 并对t积分，有
( α=1,2,L ,s )
1
求和，然后沿S 上式乘以 δq α ，且对 α 求和，然后沿S维空间的任一条曲线自 P
2
( t = t1 )
∫
t2
t1
s d ∂L ∂L ∑ dt ∂q − ∂q &α α=1 α
δq α dt=0
δ(A+B)=δA+δB
δ(AB)=AδB+BδA
A BδA-AδB δ = B2 B
3. 变分与微分和微商的对易关系 下面我们讨论变分和微分及微商的对易关系 (1)、 (1)、δ与d对易关系
′ 2 s 临近的一曲线。 设C是S维空间的运动轨迹, C′是C临近的一曲线。 C′(q1,q′ ,L ,q′ ) 维空间的运动轨迹,
理论力学教材P368(5.30),试用哈密顿原理求复摆的微振动周期. 例3. 理论力学教材P368(5.30),试用哈密顿原理求复摆的微振动周期. P368(5.30),试用哈密顿原理求复摆的微振动周期 解：
δ qα = 0
考虑到各
δp α ,δq α 是相互独立的，则有 是相互独立的，
∂H & qα = , ∂pα
∂H & pα = − ∂qα
---这就是所求的正则方程。 ---这就是所求的正则方程。 这就是所求的正则方程
例2. 由哈密顿原理推导保守系统的拉氏方程 解: 拉格朗日函数为
同一轨道曲线上因自变量的微小变化而引 起的差异是微分， 起的差异是微分，以d表示。两个相差甚 表示。 微的轨道曲线C 之间的差异就是变分， 微的轨道曲线C与 C ′ 之间的差异就是变分， 用 表示。 表示。则在 和 P1 点上有 P2 δ
Q′
P2 (t = t2 )
P′
Q
P C(q1 , q2 ,L, qs )
s
dt = 0
& = L ( q α ,q α ,t )
s
得
∂L ∂L & δL =∑ δ qα + δ qα & ∂ qα α =1 ∂ q α
所以有
∫t
t2
δ Ldt = 0
是对易的， ∫ 是对易的，而 δt = 0 ，故上式可写成 δ ∫t
t1 t2
1
可以证明 δ 与
dqα d δ = ( δqα ) dt dt
非等时变分
dqα d dqα d ∆ ( ∆t ) = ( ∆qα ) − dt dt dt dt
二、完整约束下保守系统哈密顿原理 设n个质点组成的系统受到k个完整约束，则其位形由s=3n-k个广义坐标 q α 个质点组成的系统受到k个完整约束，则其位形由s=3ns=3n 确定。 确定。 由qα 的s个二阶微分方程可得到描写系统运动状态的积分
t2 s
∂H ∂H & & ∑ pαδ qα + qαδ pα − ∂q δ qα − ∂p δ pα dt = 0 α =1 α α
∫
t2
t1
∂H ∂H & & ∑1 pα δ qα + qα δ pα − ∂q δ qα − ∂p δ pα α= α α
s
s
dt = 0
= δq α
t =t2
=0
,
得
∫
t2
t1
s d ∂L ∂L + ∑ − & α =1 dt ∂ qα ∂ qα
δ qα dt = 0
这个等式对任何的积分区间， 都是正确的。 这个等式对任何的积分区间，即对任何的积分上下限 t1 及 t 2 都是正确的。 由数学分析知，一个定积分在任何区间都等于零，当且仅当被积函数等于 由数学分析知，一个定积分在任何区间都等于零， 零时才成立。 零时才成立。
s
δ pα
∂H & − pα + ∂qα
要使上式对任一积分过程都成立，则必须是被积函数等于零， 要使上式对任一积分过程都成立，则必须是被积函数等于零，即
∂H & ∑1 qα − ∂p α = α
s
∂H & δ pα − pα + ∂qα
例1. 试由哈密顿原理导出哈密顿正则方程 解:
& H = ∑ pα qα − L
α =1
s
⇒
得
& L = ∑ pα qα − H
α =1
s
根据哈密顿原理 δ
∫t
t2
Ldt = 0
1
δ
∫
t2
t2 t1
s & ∑ p α q α − H dt = 0 α =1
∫
∫
t1
t1
s & & ∑ ( pα δ qα + qα δ pα ) − δ H dt = 0 α =1
δ pα
∂H & − pα + ∂qα
2
δ qα dt = 0
由于可能运动的起点和终点相同， 由于可能运动的起点和终点相同，有 δq α
t =t1
= δq α t =t = 0 ，于是有
δ qα dt = 0
∫
t2
t1
∂H & ∑ qα − ∂p α =1 α