电磁场与电磁波电子教案

电磁场与电磁波（第四版）教案第一章 矢量分析主要内容1、矢量分析基础2、矢量场的散度3、矢量场的旋度4、标量场的梯度5、亥姆霍兹定理1、1矢量分析与场论基础一、 矢量与矢量场1、标量与矢量标量：只有大小、没有方向的物理量（如温度、高度等），用它的大小就能完整地描述物理量矢量：既有大小、又有方向的物理量（如力、电场强度等） 2、矢量的表示方式 （1） 数学表示n eA A ˆ=1ˆ0为表征矢量的方向，大小单位矢量，），（模值，表征矢量的大小AAeA n=∞（2）图形表示：带有箭头的线段，线段的长度A = ，A 箭头表示A的方向空矢（零矢）：唯一不能用箭头表示的矢量。

3、标量场与矢量场场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场等）在空间以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值（）（或t r F t r ,),(ψ），则称在该空间中确定了该物理量的场。

场的属性：占有一个空间，）（或t r F t r ,),(ψ在该空间区域内处处连续（除有限点或表面外）。

场的分类：按物理量的性质,(,)r t F r t ψ⎧⎨⎩标量场，物理量为标量，即每点单纯用一个代数量表示（） 矢量场，物理量为矢量， 按物理量变化特性⎩⎨⎧的变化而变化时变场，物理量随时间）（间的变化而变化静态场，物理量不随时rψ二、矢量的运算 （以直角坐标系为例）z z y y x x z z y y x x B e B e B eB A e A e A e A ˆˆˆˆˆˆ++=++=1、矢量的加、减法说明：（1）矢量的加法符合交换律和结合律C B A C B A A B B A++=+++=±)()(,（2）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解A B A+BB B A -A2、矢量的乘法（1） 矢量与标量相乘A k e kA e kA e kA e A k A z z y y x x=++=ˆˆˆ⎪⎩⎪⎨⎧<>反向与同向与A A k k A A k k,0,0 （2） 矢量与矢量点乘z z y y x x AB B A B A B A B A B A ++==•θcosABA B A B A B A B A ABB A θπθθcos 02,0上的投影在，平行与最大值⊥=•==•=AB点积说明：a 、两个矢量的点积为标量b 、矢量的点积符合交换律和分配律C A B A C B A A B B A •+•=+••=•)(（3） 矢量与矢量叉乘（矢量积）)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆˆsin ˆx y y x z z x x z y y z z y x z y x z yx z y x AB n B A B A e B A B A e B A B A e B B B A A A ee eAB e B A -+-+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⨯θ说明：a 、两个矢量的叉积为矢量b 、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律 AB B A CA B A C B A A B B A⨯-=⨯⨯+⨯=+⨯⨯≠⨯)( c 、=⨯B A平行四边形面积，方向：垂直于B A 、所在的平面d 、矢量运算恒等式 三重矢量积三重标量积)()()()()()(B A C C A B C B A B A C A C B C B A•-•=⨯⨯⨯•=⨯•=⨯• 三、 常用正交坐标系1、直角坐标系（略讲） 基本变量：,,x y z),(∞-∞单位矢量：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,x y z x y z y z x z x y ee e ee e e e e e e e ⨯=⨯=⨯= z y x e e eˆˆˆ、、↑分别代表z y x 、、增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示： z z y y x x A e A e A eA ˆˆˆ++=位置矢量：z e y e x er z y x ˆˆˆ++=微分长度元： dz e dy e dx er d z y x ˆˆˆ++=面元： dxdy ds dxdz ds dydz ds z y x ===,, 体元： dxdydz dv =拉梅系数：各方向的微分元与各自坐标的微分之比 1,1,1======dzdz h dy dy h dx dx h z y x 矢量运算：（见前）2、圆柱坐标系 基本变量：∞<<∞-≤≤∞<≤z z ,20,0,,πφρφρ单位矢量：ρφφρφρφρe e ee e ee e eeeez z z z ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ,ˆ⨯=⨯=⨯= z e e e ˆˆˆ、、φρ↑分别代表z 、、φρ增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则 矢量表示：z z A e A e A eA ˆˆˆ++=φφρρ位置矢量：z e er z ˆˆ+=ρρ微分长度元：dz e d e d e z e d ed r d z z ˆˆˆ)ˆ()ˆ(++=+=φρρρφρρ面元： φρρρφρφρd d ds dz d ds dz d ds z ===,, 体元： dz d d dv φρρ= 拉梅系数： 1,,1======dzdz h d d h d d h z ρφφρρρφρ（第一次课完2.25） 说明：（1）圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系z z y x y x e e e e e e e ezz y x ˆˆ,cos ˆsin ˆˆ,sin ˆcos ˆˆ,sin ,cos =+-=+====ϕϕϕϕϕρϕρφρ由于φρeeˆˆ、不是常矢量，与φ有关，可得ρϕϕρϕϕϕϕϕϕe e ee e e eey x y x ˆsin ˆcos ˆˆˆcos ˆsin ˆˆ-=--=∂∂=+-=∂∂（2）圆柱坐标系下矢量运算 z z z z B e B e B eB A e A e A e A ˆˆˆˆˆˆ++=++=φφρρφφρρzz z z z B A B A B A B A B A e B A e B A eB A ++=•±+±+±=±φφρρφφφρρρ)(ˆ)(ˆ)(ˆ )(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆˆρφφρρρφφφρφρφρφρB A B A e B A B A e B A B A e B B B A A A e ee B A z z z z Z z z z -+-+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯3、球面坐标系基本变量： πϕπθϕθ20,0,0,,≤≤≤≤∞<≤r r单位矢量：θϕϕθφθϕθe e ee e ee e eeeer r r r ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ,ˆ⨯=⨯=⨯= 矢量表示： ϕϕθθA e A e A eA r r ˆˆˆ++=位置矢量： r er r ˆ=微分长度元：ϕθθϕθd r e rd e dr e e rd dr e er d r d r r r r sin ˆˆˆˆˆ)ˆ(++=+==面元： θϕθϕθθϕθrdrd ds drd r ds d d r ds r ===,sin ,sin 2 体元： ϕθθd drd r dv sin 2= 拉梅系数：θϕθsin ,,1r h r h h r ===说明：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系z z y x z y x z y x r e ee e e e e e ee e e er z r y r x ˆˆcos ˆsin ˆˆsin ˆsin cos ˆcos cos ˆˆcos ˆsin sin ˆsin sin ˆˆcos ,sin sin ,cos sin =+-=-+=++====θϕθϕθϕθθϕθϕθθϕθϕθϕθ 由于φθe eer ˆˆˆ、、不是常矢量，与ϕθ、有关，可得 θθϕθϕϕθθϕθϕϕϕϕθθϕθcos ˆsin ˆˆ0ˆcos ˆˆˆˆsin ˆˆˆˆe eeee eeee ee er r r r --=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂ （2）球面坐标系下矢量运算ϕϕθθϕϕθθB e B e B eB A e A e A eA r r r r ˆˆˆˆˆˆ++=++=ϕϕθθϕϕϕθθθB A B A B A B A B A e B A e B A eB A r r r r r ++=•±+±+±=±)(ˆ)(ˆ)(ˆ )(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆˆr r r r r r r r B A B A e B A B A e B A B A eB B B A A A e ee B A θθϕϕϕθθϕϕθϕθϕθϕθ-+-+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯1.2 标量场的梯度一、等值面（线）1、由场值相等的点构成的面（线），即为等值面（线），等位面、等高线等 即若标量函数为 ),,(z y x u u =，则等值面方程为2、特点：标量场中有无穷多个互不相交的等值面。

⎪⎩⎪⎨⎧----是单值的函数）等值面互不相交的空间）等值面族充满场所在可取不同值常数等值面族u C 32)1 二、方向导数在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同方向上场变化的情况。

方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变化的规律。

取等位面 u 和u u +∆ 如图，1、定义：lM u M u linlul M ∆-=∂∂→∆)()(0002、意义：00>∂∂M l u标量场u 在0M 处沿l 方向增加率；00<∂∂M l u 标量场u 在0M 处沿l 方向减小率；00=∂∂M lu 场u 在0M 处沿l 方向为等值面方向（无改变）。

4、计算：直角坐标系：方向的方向余旋l dldzz u dl dy y u dl dx x u l u --←⇑⇑⇑∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαcos cos cos三、梯度1、定义 maxˆ),,(l e luz y x gradu •∂∂=l e ˆ为场量u 变化率最大的方向上的单位矢量。

由方向导数的定义可知，沿等u u+∆MN ˆn eˆl eM u值面法线ˆn e的方向导数最大，故ˆn ugradu e l∂=∂ 2、特性（1） 标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数； （2） 标量场的梯度的幅值表示标量场的最大增加率；（3） 标量场的梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向； （4） 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影。

3、计算由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知直角坐标系：u u e ze y e x e zu e y u e x u gradu z y x z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)ˆˆˆ(ˆˆˆ∇：哈密顿算符圆柱坐标系：)ˆ1ˆˆ(z e e ez ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕρρϕρ 球面坐标系：)sin 1ˆ1ˆˆ(ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇r e r e r er 5、梯度的重要性质0u ∇⨯∇≡ 例1.3.11、3矢量场的通量 散度一、矢量线（力线）1、力线：矢量在空间的形象描述2、特点：矢量线的疏密程度表征矢量场的大小矢量线上每点的切线方向代表该处矢量场的方向。