高中数学必修一集合与集合的关系知识点总结与练习

1.2子集、全集、补集 一、课本扫描 二、基本概念 1、子集的概念

对于两个集合A 与B

（1）如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或说集合B 包含集合A ，记作A B ⊆或B A ⊇，这时，集合A 叫做集合B 的子集。

（2）如果A B A B ⊆

≠且，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊄B 。

（3）如果A B ⊆同时B A ⊆，那么A B =。

子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合

A 与

B 之间的关系如下：

A B A B B A A B A B A B

A B ⎧=⇔⊆⊆⎧⊆⎨⎪

≠⇔⊄⎨⎩⎪⎩

且 其中记号A

B （或B A ）表示集合A 不包含于集合B （或者集合B 不包含集合A ）

。 2、子集具有以下性质： ①A A ⊆

，即任何一个集合都是它本身的子集。

②如果,A B B A ⊆⊆，那么A B =。 ③如果,A B B C ⊆⊆，那么A C ⊆。 ④如果,A

B B

C ，那么A

C 。

⑤空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3、关于有限集合子集个数的讨论。 ①n 个元素的集合有2n

个子集。 ②n 个元素的集合有21n -个真子集。 ③n 个元素的集合有21n

-个非空子集。

④n 个元素的集合有22n

-个非空真子集。

4、全集与补集

设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于集合A 的元素组成的集合，叫做S 中的子

集

A 的补集，记作s C A 用数学式子表示为：

{}S C A x x S x A =∈∉且。

如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，我们称集合S 为全集，记作U 。 5、全集与补集的性质 （1）()

U U C C A A =，（2）,U A U C A U ⊆⊆，（3）,U U C U C U

=∅∅=

6、关于全集与补集的理解

（1）全集具有相对性，是相对于我们所研究的问题而言的一个概念。如：小学数学研究的问题常在有理数集内，则有理数集是全集。初中代数研究的问题常在实数集内，则实数集就是全集。

补集是以全集为前提加以定义的，因此它们是相互依存不可分离的两个概念。如：

{}{}{}1,2,3,4,1,2U A B ===，则{}{}2,3,4,1,3,4U U C A C B ==。

（2）用数学的三种语言互泽表示全集与补集：

三、基本题型

例1、判断下列关系是否正确 （1）

{}{}a a ⊆；（2）{}{}1,2,33,2,1=；

（3）{}0∅⊄；（4）{}00∈；（5）{}0∅∈；（6）{}0∅=；（7）{}0,1,2∅⊄；（8）{}{}15x x ⊄≤ 解：（1）任何一个集合是它本身的子集，因此，

{}{}a a ⊆正确；

（2）两个集合中的元素相同，故用“=”号正确； （3）空集是任何非空集合的真子集，正确； （4）

{}0中只有一个元素0，{}00∈正确；

（5）∅与

{}0是两个集合，不能用∈连接；

（6）∅中没有任何元素，而

{}0中有一个元素，二者不相等；

（7）空集是任何非空集合的真子集，正确； （8）

{}{}{}15,15,15x x x x <∴∈≤∴⊄≤正确。

由以上分析可知：（1）（2）（3）（4）（7）（8）正确，（5）（6）错误。 例2、已知集合M 满足

{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆，则这样的集合M 有多少个？

分析：由已知集合M 中至少含有1，2两个元素，至多含有1，2，3，4，5五个元素，故满足条件的集合M 的个数是{}3,4,5的子集个数。

解：因集合

{}3,4,5的子集有∅，{}{}{}{}{}{}{}3,4,5,3,4,3,5,4,5,3,4,5共8个，故满足

条件的集合M 共有8个。 评注：本题易丢掉∅或

{}3,4,5两个集合，若集合P 中有m 个元素，集合Q 中有n 个元素，且

Q P ⊆，则满足P Z Q ⊆⊆的集合Z 共有n m Z -个。

例3、设{}

{}2

230,10A x x

x B x ax =

--==

-=，若B A ⊆，求实数a 。

分析：B A ⊆，即B 是A 的子集，表明集合B 的元素都是A 的元素。

解：{}

{}2

2303,1A x x

x =

--==-，∵B A ⊆，∴方程10ax -=无解或其解为3或1-。

0a ∴=或

11a =-或31=a ，0a ∴=或1

3

a =或1a =-。 评注：因为A 是二元素集，而B 的元素最多一个，所以由B A ⊆可知，B 是A 的真子集，所以B 有三种可能，在做题过程中很容易丢掉B =∅的情况。

例4、已知{}{}22,,,2,2,M

a b N a b ==，且M N =，求,a b 的值。

分析：由M N =可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题。

解：根据集合中元素的无序性，有：22

2,,

;2.a a a b b b b a =⎧⎧=⎨⎨==⎩⎩

或 解方程组得1,

0,0,40;1;1.

2

a a a

b b b ⎧=⎪==⎧⎧⎪⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩或或 再根据集合中元素的互异性，得01a b =⎧⎨=⎩或14

1

2

a b ⎧

=

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

评注：集合中元素的互异性在解决此类问题时至关重要，要引起足够的重视。 例5、设集合)(Φ≠U U 以及集合,,M N P ，且()U U U M C N C C P ==，则M

与

P 的关系

是 。

分析：本题主要考查全集与补集的概念，可选用适当的方法解题。 解法1：利用补集的性质，()U U U M C N C C P P ===，故M P =。

解法2：由图2-1可知。

图2-1

评注：对于较抽象的集合之间的关系，一般用韦恩图比较简单，可达到变抽象为直观的目的。 例6、已知全集{}22,0,3U

a =-，子集{}22,2P a a =--，且{}1U C P =-，求a 。

分析：要注意到(),U C P U P

U ⊄⊄。