江西省南昌市第三中学2020—2021学年度高三第一学期第四次月考考试数学试卷

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江西省南昌市第三中学2020-2021学年度上学期12月考试高一数学试题

南昌三中2020-2021学年度上学期12月考试高一数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1、函数)62sin(2π+=x y 的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23B.23C.21 D.±23 3、已知集合A ={y|y =log 2x,x >1},集合B ={y|y =(12)x,x <1},则A⋂B =( )A. {y |y >12}B. {y |0<y <12} C. {y |y >1}D. {y |12<y <1}4、若角α的终边落在直线0x y +=上，则2tan tan 1cos ααα+-的值等于（） A 、2或2- B 、2-或0 C 、0 D 、0或2 5、若()tan()4f x x π=+，则（）A 、(0)(1)(1)f f f >->B 、(0)(1)(1)f f f >>-C 、(1)(0)(1)f f f >>-D 、(1)(0)(1)f f f ->>6. 若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则此圆心角所夹的扇形的面积是（）A 、1sin1 B 、21sin 1 C 、1sin1cos 2- D 、tan1 7．sin()(0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数表达式（）A ．)48sin(4π+π-=x yB ．)48sin(4π-π=x yC ．)48sin(4π-π-=x yD ．)48sin(4π+π=x y8．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（）A ．21-B ．21C ．23-D ．239. 若1a b >> ，(0,)2πθ∈ ，则( )A ．sin sin a b θθ<B ．sin sin ab ba θθ<C ．log sin log sin a b a b θθ<D ．log sin log sin a b θθ<10. 已知[]()()0,,sin cos x f x x π∈=的最大值为a ，最小值为b ，()()cos sin g x x =的最大值为c ，最小值为d ，则（）A 、b d a c <<<B 、d b c a <<<C 、b d c a <<<D 、d b a c <<<11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,4x ∈时，()2f x x =-，则（） A ．11sincos 22f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()sin1cos1f f <D ．33sincos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于( )A ．1B ．2524- C ．257 D ．725-二、填空题（每小题5分，共20分） 13、函数()()1log 143++--=x x xx f 的定义域是；14、如图是函数),0,0()sin(πϕωϕω<>>++=A B x A y的图象的一部分，则函数的解析式为15、已知41)6sin(=π+x ，则=-π+-π)3(cos )65sin(2x x ．16、对于任意实数a ，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间[a,a+3]上的值54出现的次数不少于4次，又不多于8次，则k 的值是 .三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（10分）已知关于x 的方程()22310x x m -++=的两根为sin θ和cos θ：（1）求m 的值；（2）求1sin cos 2sin cos 1sin cos θθθθθθ+++++的值．18．（12分）已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = ,)1,0(≠>x x ,试比较)()(x g x f 和的大小。

《精编》江西省南昌三中高三数学第一次月考试题理新人教A版.doc

江西南昌三中2021届高三第一次月考数学〔理〕试题一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

{}0,2,A a =,{}21,B a =,假设{}0,1,2,4,16A B =,那么a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．42．函数，()2lg(31)f x x =++的定义域为A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．假设α是第四象限角，5tan 12α=-，那么sin α=A ．15B ．15-C ．513D ．513-4．以下有关命题的说法正确的选项是 A ．命题“假设21x =，那么1=x 〞的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠〞．B ．“1x =-〞是“2560x x --=〞的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<〞的否认是：“x R ∀∈，均有210x x ++<〞．D ．命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆否命题为真命题．5．函数()22f x x ax =-+与2a 1g(x)x 1=＋＋在区间[1，2]上都是减函数，那么a 的取值范围是A ．1(,1]2-B ．1,0(0,1)2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭C ．1,0(0,1]2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭6．cos2x2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，0<x <π，那么tan x 为A ．－43B ．－34C ．2D ．－27．函数y=f 〔x 〕在〔0，2〕上是增函数，函数f 〔x+2〕是偶函数，那么A ．)27()25()1(f f f <<B ．)25()1()27(f f f <<C ．)1()25()27(f f f <<D ．)27()1()25(f f f <<8．如以以下列图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，那么2221x x +A ．32 B ．34C ．38D ．3169．假设f 〔a 〕＝〔3m －1〕a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时f 〔a 〕≤1恒成立，那么a ＋b 的最大值为A ． 13B ． 23C ． 53D ． 7310．两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +〔m ＞0〕，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D ．记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为[来源%&:中国~*教育#出版网]A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．假设))3((.2),1(1,2,2)(21f f x x g x e x f x 则⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=-的值为． 12．sin2α=34,32ππα<<，那么sinα＋cosα的值为。

江西省南昌三中2021届高三数学4月月考理(1)

江西省南昌三中2021届高三4月考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合{0,1,2,3,4,5},{0,2,3}M N ==，那么MN＝（） A ．{0,2,3}B ．{0,1,4}C ．{1,2,3}D ．{1,4,5}2．假设函数121)(+=x x f ，那么该函数在()+∞∞-,上是（）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了取得函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．设01,a b <<<那么以下不等式成立的是( )A ．33a b > B ．11a b < C ．1b a > D ．()lg 0b a -< 5．“数列n n a aq =为递增数列”的一个充分没必要要条件是（）A ．0,1a q <<B ．10,2a q >>C ．0,0a q >>D ．10,02a q <<<6．已知函数)2,2(tan ππω-=在x y 内是减函数，那么（）A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－17．M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出以下命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行.其中真命题是（）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③8．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点别离为A ，B ，O 为坐标原点，那么△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝209．已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'()f x ，且'(0)f ＞0，()f x 的图象与x轴恰有一个交点，那么'(1)(0)f f 的最小值为 ( )A ．3B ．32C ．2D ．5210．设1F ，2F 别离为双曲线C ：22221x y ab -=(0,0)a b >>的左、右核心，A 为双曲线的左极点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且知足：120MAN ∠=︒，那么该双曲线的离心率为（）A ．3B ．3C ．73 D ．3二、选做题：请在以下两题中任选一题作答。

江西省南昌市第三中学2016届高三数学上学期第四次月考试题理

南昌三中2015-2016学年度上学期第四次月考高三数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1. 设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（） A. -5 B. 5 C. -4+i D. -4-i2. 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝4. 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β ”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝18－a 7，则S 12＝( ) A ．18 B ．54 C ．72 D ．1086. 由直线2y x =与曲线23y x =-所围成的封闭图形的面积为( )A.9-353 D. 3237. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．16π3B ．8π3C ．4 3D ．23π8. 已知O 是坐标原点，点A (－1,0)，若点M (x ，y )为平面区域错误!上的一个动点，则|OA →＋OM →|的取值范围是( )A ．[1，5]B ．[2，5]C ．[1,2]D ．[0，5] 9. 已知函数y =f (x )(x ∈R )满足f (x +1)＝f (x -1)且当x ∈[-1,1]时，f (x )=x 2，则函数y =f (x )-5xlog 的零点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (p )＝(12，x ，y )，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－211. 设函数y =f (x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：()()k f x f x k ⎧=⎨⎩ (())(())f x k f x k ≤>,取函数f (x )=2-x -e -x ，若对任意的x ∈(-∞,+ ∞)，恒有f k (x )＝f (x )，则( )A. k 的最大值为1B. k 的最小值为1C. k 的最大值为2D. k 的最小值为2 12. 已知函数f (x )＝e x(sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( ) A ．e 2π1－e 2012πe 2π－1B ．e π 1－e 2012π1－e2πC ．e π 1－e 1006π1－e2πD ．e π 1－e 1006π1－eπ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省南昌市第三中学高三数学上学期第四次月考试题

南昌三中2015—2016学年度上学期第四次月考高三数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知集合错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

则错误!未找到引用源。

（）A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

2．复数()2z i i =-的虚部是（）A ．2B ．2iC ．1-D ．i - 3．“1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[)+∞,2上为增函数”的（） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,1)1(0),4(log )(2x x f x x x f ，则(4)f 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7 5．下列说法错误的是（）A ．命题“若x 2-5x +6=0，则x =2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2-5x +6≠0”. B ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假.C ．若x ，y ∈R ，则“x =y ”是“22x y xy +⎛⎫⎪⎝⎭≥”的充要条件.D ．若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x ++<，则p :x R ⌝∀∈，x 2+x +1≥0.6. 直线1y kx =+与曲线3y ax x b =++相切于点()1,5，则a b -=（）A ．2-B ．0C ．2D ．67．如图，在ABC ∆中，E 为边BC 上任意一点，F 为AE 的中点，μλ+=，则μλ+的值为（）A ．21 B 31 C 41D 18. 已知点错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

是坐标原点，点错误!未找到引用源。

的坐标满足错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

江西省南昌三中2016届高三上学期第四次月考数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1，2，4} D．{0，1，4}2．若复数z=（2﹣i）i的虚部是（）A．1 B．2i C．2 D．﹣23．“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=，则f（4）的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C．若x，y∈R，则“x=y”是“xy≥”的充要条件D．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥06．直线y=kx+1与曲线y=ax3+x+b相切于点（1，5），则a﹣b=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．67．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．已知点A（3，），O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足，在上的投影的最大值为（）A．B．3 C．2D．69．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．1 C．D．210．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（）A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．812．已知函数f（x）=（a为常数），对于下列结论①函数f（x）的最大值为2；②当a＜0时，函数f（x）在R上是单调函数；③当a＞0时，对一切非零实数x，xf′（x）＜0（这里f′（x）是f（x）的导函数）；④当a＞0时，方程f[f（x）]=1有三个不等实根．其中正确的结论是（）A．①③④ B．②③④ C．①④D．②③二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为．14．已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为．15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为．16．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f（1﹣x）．当x ∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．某高中有高一、高二、高三共三个学年，根据学生的综合测评分数分为学优生和非学优生两类，某月三个学年的学优生和非学优生的人数如表所示（单位：人），若用分层抽样的5010（2）用随机抽样的方法从高二学年学优生中抽取8人，经检测他们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个分数a．记这8人的得分的平均数为，定义事件E={|a﹣|≤0.5，且f（x）=ax2﹣ax+2.31没有零点}，求事件E发生的概率．18．已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+b2=6abcosC，sin2C=2sinAsinB，求f（C）的值．19．已知公差不为零的等差数列{a n}，等比数列{b n}，满足b1=a1+1=2，b2=a2+1，b3=a4+1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和．20．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．21．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]有表达式f（x）=x（x﹣2）（I）求出f（﹣1），f（2.5）的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，2]的最大值与最小值分别为m，n，且m﹣n=3，求k的值．22．已知f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）在定义域上的最小值；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞成立．2015-2016学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1，2，4} D．{0，1，4}【考点】并集及其运算．【分析】求出B中y的范围确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由y=log2x，x∈A={1，2，4}，得到y=0，1，2，即B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，4}．故选：C．2．若复数z=（2﹣i）i的虚部是（）A．1 B．2i C．2 D．﹣2【考点】复数的基本概念．【分析】由复数的运算法则知复数z=（2﹣i）i=1+2i，由此能求出复数z=（2﹣i）i的虚部．【解答】解：∵复数z=（2﹣i）i=2i﹣i2=1+2i，∴复数z=（2﹣i）i的虚部是2．故选C．3．“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）=|x﹣a|的图象是关于x=a对称的折线，在[a，+∞）上为增函数，由题意[2，+∞）⊆[a，+∞），可求a的范围，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：若“a=1”，则函数f（x）=|x﹣a|=|x﹣1|在区间[1，+∞）上为增函数，当然满足在区间[2，+∞）上为增函数；而若f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数，则a≤2，所以“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选A．4．已知函数f（x）=，则f（4）的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论．【解答】解：由分段函数可得f（4）=f（3）+1=f（2）+2=f（1）+3=f（0）+4，∵f（0）=log24=2，∴f（0）+4=2+4=6，故选：C5．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C．若x，y∈R，则“x=y”是“xy≥”的充要条件D．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由四种命题及关系判断A；根据复合命题p∨q的真假，可判断B；由充分必要条件的定义来判断C；由存在性命题的否定是全称性命题，可判断D．【解答】解：A．由“若p则q”的逆否命题是“若￢q则￢p”，得A正确；B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，若p∨q为真命题，则p，q 中至少一个为真命题，故B不正确；C．若x，y∈R，则“x=y”．可推出“xy≥”，又“xy≥”可推出“x2+y2﹣2xy≤0”即“（x﹣y）2≤0”即“x=y”，故C正确；D．由命题的否定方法得D正确．故选：B．6．直线y=kx+1与曲线y=ax3+x+b相切于点（1，5），则a﹣b=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据曲线y=ax3+x+b过点（1，5）得出a、b的关系式，再根据切线过点（1，5）求出k，然后求出x=1处的导数并求出a，从而得到b，即可得到a﹣b的值．【解答】解：∵y=ax3+x+b过点（1，5），∴a+b=4，∵直线y=kx+1过点（1，5），∴k+1=5，即k=4，又∵y′=3ax2+1，∴k=y′|x=1=3a+1=4，即a=1，∴b=4﹣a=4﹣1=3，∴a﹣b=1﹣3=﹣2．故选：A．7．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【考点】向量的共线定理．【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设则====（）∴∴故选A．8．已知点A（3，），O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足，在上的投影的最大值为（）A．B．3 C．2D．6【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设z表示向量在方向上的投影，∴z===，即y=，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=，当y=经过点B时直线y=的截距最大，此时z最大，当y=经过点C（﹣2，0）时，直线的截距最小，此时z最小．此时2z=+y，z min=﹣，由，得，即B（1，），此时最大值z=，故选：A9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．1 C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图，我们可以判断出几何体的形状及几何特征，求出其底面面积、高等关键几何量后，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以1为高的四棱锥由于正视图是一个上底为1，下底为2，高为1的直角梯形故棱锥的底面面积S==则V===故选A10．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【考点】基本不等式．【分析】首先分析题目由已知x ＞0，y ＞0，x +2y +2xy=8，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式，整理得（x +2y ）2+4（x +2y ）﹣32≥0即（x +2y ﹣4）（x +2y +8）≥0，又x +2y ＞0，所以x +2y ≥4故选B ．11．设f （x ）是连续的偶函数，且当x ＞0时f （x ）是单调函数，则满足的所有x 之和为（）A ．﹣3B ．3C ．﹣8D ．8【考点】偶函数．【分析】f （x ）为偶函数⇒f （﹣x ）=f （x ），x ＞0时f （x ）是单调函数⇒f （x ）不是周期函数．所以若f （a ）=f （b ）则a=b 或a=﹣b【解答】解：∵f （x ）为偶函数，且当x ＞0时f （x ）是单调函数∴若时，必有或，整理得x 2+3x ﹣3=0或x 2+5x +3=0，所以x 1+x 2=﹣3或x 3+x 4=﹣5．∴满足的所有x 之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故选C ．12．已知函数f （x ）=（a 为常数），对于下列结论 ①函数f （x ）的最大值为2；②当a ＜0时，函数f （x ）在R 上是单调函数；③当a ＞0时，对一切非零实数x ，xf ′（x ）＜0（这里f ′（x ）是f （x ）的导函数）； ④当a ＞0时，方程f [f （x ）]=1有三个不等实根．其中正确的结论是（）A ．①③④B ．②③④C ．①④D ．②③【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数f （x ）的图象，通过图象观察得到，通过a ＞0，a ＜0即可判断①；通过a ＜0的图象，即可判断②；通过a ＞0的图象，结合单调性与导数的关系，即可判断③；通过a ＞0的图象运用换元法，即可解出方程，从而判断④．【解答】解：画出函数f （x ）的图象，通过图象观察得到：①当a ＞0时，函数f （x ）的最大值为2，当a ＜0时，无最大值．故①错；②当a ＜0时，函数f （x ）在R 上是单调函数且为减函数，故②对；③当a＞0时，x＜0，f（x）为单调增函数；x＞0时，f（x）为减函数．故当a＞0时，对一切非零实数x，xf′（x）＜0成立，故③正确；④当a＞0时，方程f[f（x）]=1，令f（x）=t，则f（t）=1，解得t=﹣，则x=﹣﹣，则方程仅有一解，故④错．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为﹣．【考点】等差数列的性质．【分析】由条件利用等差数列的性质求得a5=，可得a3+a7 =2a5=，再由cos（a3+a7）=cos，利用诱导公式求得结果．【解答】解：{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则有3a5 =8π，∴a5=．∴a3+a7 =2a5=，∴cos（a3+a7）=cos=﹣cos=﹣，故答案为：﹣．14．已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为18．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y=1，∴=（x+2y）=10+=18，当且仅当x=4y=时取等号．∴的最小值为18．故答案为：18．15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．16．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f（1﹣x）．当x ∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为①②③．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据奇函数的性质和f（1+x）=﹣f（1﹣x），求出函数的周期，再由所给的解析式和周期性，求出函数在一个周期性的解析式，再画出函数在R上的图象，由图象进行逐一判断．【解答】解：令x取x+1代入f（1+x）=﹣f（1﹣x）得，f（x+2）=﹣f（﹣x）∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（x），则函数是周期为2的周期函数，设0＜x＜1，则2＜x+2＜3，∵当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），∴f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设﹣1＜x＜﹣0，则0＜﹣x＜1，由f（x）=﹣f（﹣x）得，f（x）=﹣log2（﹣x+1），根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：由上图得，函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；且函数y=|f（x）|的图象是将y=f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，则函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；故①②③正确，而函数y=f（|x|）=，则图象如下图：由图得，图象关于y轴对称，故y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上不是单调递增的，故④不正确，故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．某高中有高一、高二、高三共三个学年，根据学生的综合测评分数分为学优生和非学优生两类，某月三个学年的学优生和非学优生的人数如表所示（单位：人），若用分层抽样的（2）用随机抽样的方法从高二学年学优生中抽取8人，经检测他们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个分数a．记这8人的得分的平均数为，定义事件E={|a﹣|≤0.5，且f（x）=ax2﹣ax+2.31没有零点}，求事件E发生的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；众数、中位数、平均数．【分析】第（1）问涉及分层抽样知识，第（2）问涉及古典概型与平均数的计算．【解答】解：（1）根据分层抽样的特征，有，解得z=400．（2）由题意，．由||≤0.5，得8.5≤a≤9.5．由f（x）=ax2﹣ax+2.31没有零点，得0＜a＜9.24．所以，符合上述两个条件的a=8.6，9.2，8.7，9.0，共4个值，故所求概率为．18．已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+b2=6abcosC，sin2C=2sinAsinB，求f（C）的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；（2）已知第二个等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将第一个等式及化简得到的关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，即可求出f（C）的值．【解答】解：（1）∵=（cos，﹣1），=（sin，cos2），∴f（x）=+1=sin cos﹣cos2=sinx﹣cosx+=sin（x﹣）+，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+（k∈Z），得到2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z），所以所求增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；（2）由a2+b2=6abcosC，由sin2C=2sinAsinB，利用正弦定理化简得：c2=2ab，∴cosC===3cosC﹣1，即cosC=，又∵0＜C＜π，∴C=，∴f（C）=f（）=sin（﹣）+=+=1．19．已知公差不为零的等差数列{a n}，等比数列{b n}，满足b1=a1+1=2，b2=a2+1，b3=a4+1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的条件建立方程组，即可求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）利用错误相减法即可求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵b1=a1+1=2，∴a1=2﹣1=1，∴b2=a2+1=2+d，b3=a4+1=2+3d．∴，即（2+d）2=2（2+3d），即d2=2d，解得d=0（舍去）或d=2，∴a n=2n﹣1，∵b2=2+d=2+2=4，∴公比q=，∴．即a n=2n﹣1，．（Ⅱ）∵，，，∴，，∴．20．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥B1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B1﹣A1DC的体积===121．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]有表达式f（x）=x（x﹣2）（I）求出f（﹣1），f（2.5）的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，2]的最大值与最小值分别为m，n，且m﹣n=3，求k的值．【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）直接根据定义得f（x+2）=f（x），求得f（2.5）和f（﹣1）；（2）先求出f（x）的解析式f（x）=，再求出各分段的值域，得出m，n的值．【解答】解：（1）因为f（x）=kf（x+2），所以，f（x+2）=f（x），因此，f（2.5）=f（0.5）=﹣，f（﹣1）=kf（1）=﹣k；（2）根据题意，当x∈[0，2]，f（x）=x（x﹣2），当x∈[﹣2，0]时，x+2∈[0，2]，所以f（x）=kf（x+2）=k（x+2）x，其中，k＜0，因此，x∈[﹣2，2]时，f（x）=，当x∈[0，2]，f（x）=（x﹣1）2﹣1∈[﹣1，0]，当x∈[﹣2，0]，f（x）=k[（x+1）2﹣1]∈[0，﹣k]，所以，函数的最大值为m=﹣k，最小值为n=﹣1，如右图，因为，m﹣n=3，﹣k+1=3，解得k=﹣2．22．已知f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）在定义域上的最小值；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出导数，极值点和单调区间，可得极小值和最小值；（Ⅱ）讨论时，时，运用单调性，即可得到所求最小值；（Ⅲ）问题等价于证明．由（1）设，求出导数，求出最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，x＞0得f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，得．当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．可得最小值为﹣…（Ⅱ）当，即时，…当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，此时f（x）min=f（t）=tlnt…所以…（Ⅲ）问题等价于证明．由（1）知f（x）=xlnx，x＞0的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当x=1时取到．从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．…2016年11月4日。

江西省南昌市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试卷文(1)

江西省南昌市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试卷文一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1.已知集合}4,2,0{=A ，那么A 的子集中含有元素2的子集共有 ( ) A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个2. 已知α,β是空间中两个不同平面，m , n 是空间中两条不同直线，那么以下命题中错误的是( )A. 若m//n , m 丄α, 则n 丄αB. 若m//α， n ⊂α, 那么 m//nC. 若m 丄α , m 丄β，那么α//βD. 若m 丄α, m ⊂ β, 则 α 丄β3. 执行如下图的程序框图，那么输出的结果是（）A. OB. -1C.47-D. 23- 4．为了取得函数sin 2y x =的图像，只需把cos 2y x =的图像( )A. 向左平移4π个单位B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移2π个单位 D. 向右平移2π个单位5．已知直线y kx b =+与曲线2()2ln f x ax x =++相切于点(1,4)P ，那么b = ( ) A ． 3B ．1C ．1-D ．3-6. 在斜三棱柱111C B A ABC -中，00,B A 别离为侧棱11,BB AA 上的点，且知100A A BB =，过100,,C B A 的截面将三棱柱分成上下两个部份体积之比为（）A ．2:1B ．4:3C ． 3:2D ．1: 17.假设概念在R 上的函数)(x f y =知足55()()22f x f x +=- 且5()()02x f x '->，那么关于任意的21x x <，都有)()(21x f x f >是521<+x x 的（）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件343322 正视图(第13题)侧视图俯视图C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件8.概念在R 上的函数)(x f 知足),2()2(),()(+=--=-x f x f x f x f 且)0,1(-∈x 时，,512)(+=x x f 则=)20(log 2f ( )A. 1B ．45C ．1D ．4510.函数x x f x 2log )31()(-=，正实数c b a ,,知足c b a <<且0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

江西省南昌三中2021届高三数学上学期第一次月考试题理 (1)

南昌三中2014—2015学年度上学期第一次月考高三数学（理）试卷一．选择题（每题5分，共50分）一、集合，集合Q= ，那么P 与Q 的关系是（） A.P=Q B.PQ C.D.2. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，那么“非p ”形式的命题是（）A.存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根；B.对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根；C.对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；D.最多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根； 3. 条件x x p =|:|，条件x x q -≥2:，那么p 是q 的 ( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4、设f （x ）是概念在R 上奇函数，且当x ＞0时，等于（）A ．－1B ．C ．1D ．－5. 设()ln f x x x =，假设0'()2f x =，那么0x =（） A. 2eB. eC.ln 22D. ln 26. 已知y ＝f(2x )的概念域为[－1，1]，那么y ＝f(log 2x)的概念域为( ) A ．[－1，1]B ．[12，2]C ．[1，2]D ．[2，4]7. 已知1220()(2)f a ax a x dx =⎰-，那么()f a 的最大值是( )A ．23 B ．29 C ．43 D ．49八、设函数是概念在R 上周期为3的奇函数，假设，那么有 ( )A .且 B. 或 C. D.9. 已知()1,()2,()6,xf x xg xh x x =+==-+设函数()min{(),(),()}F x f x g x h x =，那么()F x 的最大值为（）A ．1 B. 2 C.72D.4 10. 已知概念在实数集R 上的函数)(x f 知足)1(f =2，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有)(x f '<)(1R x ∈，那么不等式1)(+<x x f 的解集为（）A ．),1(+∞B ．)1,(--∞C ．)1,1(-D ．)1,(--∞∪),1(+∞二．填空题（每题5分，共25分） 1一、函数的值域为．12. 假设不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,那么实数a 的取值范围是13. 假设曲线a x x y +-=93的一条切线方程为43+=x y ，那么实数a 的值为14、已知，那么的增区间为_________.15. 已知二次函数22()2(2)2f x x a x a a =----，假设在区间[0，1]内至少存在一个实数b ，使()0f b >，那么实数a 的取值范围是。

2020-2021学年江西南昌高三上数学月考试卷

2020-2021学年江西南昌高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2,3}，若集合N 满足N ⊆M ，则N 可能为( ) A.{−3,−2,−1,0,1,2,3} B.{−3,−2,−1} C.{−2,−1,0,1,2,3,4} D.{0,1,2}2. 已知函数f (x )=e x −3x 2+1，则曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线斜率为( ) A.1 B.−4 C.0 D.23. 已知平面向量a →=(m +2,6)，b →=(−4,4)，若a →与b →共线，则m =( ) A.8 B.−8 C.−4 D.44. 已知等差数列{a n }中，a 3=14，a 5=20，则数列{a n }的公差为( ) A.2 B.−2 C.3 D.−35. 函数f (x )=2sin (x −π4)的单调递减区间为( ) A.[−π4+2kπ,3π4+2kπ](k ∈Z ) B.[3π4+2kπ,7π4+2kπ](k ∈Z )C.[−π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z ) D.[3π4+kπ,7π4+kπ](k ∈Z )6. 已知点M ， N 分别在圆C 1:(x −1)2+(y −2)2=9与圆C 2:(x −2)2+(y −8)2=64上，则|MN|的最大值为( ) A.√7+11 B.17 C.√37+11D.157. 已知实数x ，y 满足 {2x +1≤y ，y ≤3，x +y ≥0，则z =x −3y 的最小值为( )A.−43 B.−8 C.−12 D.−148. 已知α∈R ，则“sin 2α>0”是“tan α>0”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件9. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是所在棱的中点，则下列图形中，满足B 1E//平面ACD 的是( )A. B.C. D.10. 函数f (x )=2ln x −3x −52x 2在[13,1]上的最小值为( )A.−2ln 3−2318B.−112C.−2ln 2−178D.−13211. 设数列{5n−1⋅a n }的前n 项和为T n ，若T n =n ，则a 2020=( ) A.151010 B.152021C.152020D.15201912. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 满足|PF 1|−|PF 2|=2a ，点M 为线段F 1P 上靠近P 的三等分点，O 为坐标原点，且OP ⊥MF 2，若|OP|=√6a ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y =±2√2xB.y =±√2xC.y =±2√3xD.y =±√3x二、填空题若cosα=45，则cos2α=________.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，若S4S2=32，则q的值为________.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为3，若其外接球表面积为24π，则棱AA1的长为________.已知函数f(x)的定义域为R，图象关于原点对称，将f(x)的图象往左平移1个单位后关于y轴对称，且f(1)= 5，则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2020)+f(2021)=________.三、解答题寒假即将到来，6位同学计划外出旅游，其中2人选择去桂林，4人选择去厦门，选择去厦门的同学中有3位女生，选择去桂林的同学中有1位女生．(1)从6人中随机抽取1人，求抽到选择去桂林的女生或选择去厦门的男生的概率；(2)从6人中随机抽取2人，求至少有1人选择去桂林的概率．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=14，a5=6.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1a2n a2n+2，求数列{b n}的前n项和T n.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B2=b sin A，点D是线段AB的中点．(1)若b=3，求△ABC外接圆的面积；(2)若A=30∘,CD=√7，求△ABC的面积．已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1，点M为线段A1B1的中点．(1)若点N在直线AC1上运动，求证：A1D⊥BN；(2)如图所示，若A1D1=2√2，求多面体MA1BDD1的体积．已知函数f(x)=ax2+(2−a)ln x+2(a∈R).(1)若a=−1，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l:y=2x+1与抛物线C交于M，N两点，且|MN|=20. (1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线l′与抛物线交于P，Q两点，若点R在抛物线C的准线上，且∠PRQ=90∘，△PRQ的面积为8√2，求直线l′的方程．参考答案与试题解析2020-2021学年江西南昌高三上数学月考试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】无【解答】解：∵ N ⊆M ，∴ 集合N 为集合M 的子集. A ，−3∉M ，故A 错； B ，−3∉M ，故B 错； C ，4∉M ，故C 错； D ，0,1,2∈M ，故D 正确. 故选D ． 2.【答案】 A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，f ′(x )=e x −6x ，所以f ′(0)=1. 故选A ． 3. 【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】解：依题意，4m +8=−24，故m =−8，故选B ．【解答】解：因为a →与b →共线，所以4(m +2)=−4×6，即4m +8=−24，解得：m =−8.故选B ． 4.【答案】 C【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为{a n }为等差数列，a 3=14，a 5=20，所以d =a 5−a 32=3.故选C ． 5.【答案】 B【考点】正弦函数的单调性正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：可知函数y =sin t 的单调递减区间为：[π2+2kπ,3π3+2kπ](k ∈Z )，令π2+2kπ≤x −π4≤3π2+2kπ(k ∈Z )，得3π4+2kπ≤x ≤7π4+2kπ(k ∈Z ).故选B ． 6. 【答案】 C【考点】圆与圆的位置关系及其判定两点间的距离公式【解析】无【解答】解：依题意，圆C 1：(x −1)2+(y −2)2=9，圆心C 1(1,2)，半径r 1=3，圆C 2：(x −2)2+(y −8)2=64，圆心C 2(2,8)，半径r 2=8，故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2 =√(2−1)2+(8−2)2+3+8 =√37+11. 故选C ．7.【答案】 C【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，将目标函数z =x −3y 变形为y =13x −13z ，则当直线y =13x −13z 过点A 时，截距最大，则z 有最小值，联立{y =3，x +y =0，解得{x =−3，y =3，故点A (−3,3)，则z min =−3−3×3=−12. 故选C ． 8.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断二倍角的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】暂无【解答】解：依题意，sin 2α>0⇔2sin αcos α>0⇔sin αcos α>0⇔tan α>0，故“sin 2α>0”是“tan α>0”的充要条件. 故选A ． 9.【答案】 D【考点】直线与平面平行的判定【解析】解：D 选项中，由于点D ，E 分别是所在棱的中点，故B 1E//AD ，而B 1E ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，则B 1E//平面ACD ，故选D ．【解答】解：D 选项中，由于点D ，E 分别是所在棱的中点，故B 1E//AD ，而B 1E ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，则B 1E//平面ACD . 故选D ． 10.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】无【解答】解：依题意，f ′(x)=2x −3−5x=−5x 2+3x−2x =−(5x−2)(x+1)x，故当x ∈[13,25)时，f ′(x )>0，函数单调递增，当x ∈(25,1]时，f ′(x )<0，函数单调递减，而f (1)=−112，f (13)=−2ln 3−2318，因为−112<−2ln 3−2318，所以函数f (x )的最小值为−112. 故选B ． 11. 【答案】 D【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，a 1+5a 2+25a 3+⋯+5n−1⋅a n =n ①，故当n =1时，a 1=1；当n ≥2时，a 1+5a 2+25a 3+⋯+5n−2⋅a n−1=n −1②， ①−②可得，5n−1⋅a n =1，则a n =15n−1．故a n =15n−1,n ∈N ∗，故a 2020=152019. 故选D ． 12.【答案】 D【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程余弦定理向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：易知点P 在双曲线C 的右支上，取F 1P 的另一个三等分点N ，则有ON//MF 2，记OP 与F 2M 交于点Q ，又因为M 是PN 的中点，则 Q 是线段OP 的中点，且OP ⊥MF 2，所以|F 2P|=|OF 2|=c ，则|PF 1|=2a +c ，因为PO →=12(PF 1→+PF 2→)，所以|PO →|2=14(|PF 1→|2+|PF 2→|2+2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)，因为cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，所以2|PF 1|2+2|PF 2|2=|F 1F 2|2+4|PO|2，化简可得ba =√3，故所求渐近线方程为y =±√3x .故选D ．二、填空题【答案】 725【考点】二倍角的余弦公式【解析】无【解答】解：依题意，cos 2α=2cos 2α−1=725．故答案为：725. 【答案】√22【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n 项和【解析】解：显然q ≠1，则q 2+1=32，解得q 2=12，故q =√22. 【解答】解：由题得，q ≠1，且q >0，则S 4S 2=a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 2)1−q=1−q 41−q 2=q 2+1=32，解得q 2=12，所以q =√22. 故答案为：√22. 【答案】 2√3【考点】球的表面积和体积【解析】解：设三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球半径为R ，底面正△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 2=24π，2r =3sin 60∘，则R 2=6,r =√3，故6=3+(AA 12)2，解得AA 1=2√3.【解答】解：设三棱柱ABC−A1B1C1的外接球半径为R，底面正△ABC的外接圆半径为r，则4πR2=24π，2r=3sin60∘，则R2=6，r=√3，即6=3+(AA12)2，解得AA1=2√3.故答案为：2√3.【答案】5【考点】函数的周期性函数的求值函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意f(−x)=−f(x)，f(x+1)=f(−x+1)，故f(x+1)=f(−x+1)=−f(x−1)，所以f(x+2)=−f(x)，f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，f(0)=0，f(1)=5，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(−1)=−f(1)=−5，则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2020)+f(2021)=0×505+f(0)+f(1)=5.故答案为：5.三、解答题【答案】解：(1)依题意，选择去桂林的女生有1人，选择去厦门的男生有1人，故抽到选择去桂林的女生或选择去厦门的男生的概率为：P1=1+16=13.解：(2)记选择去厦门的同学为A，B，C，D，选择去桂林的同学为a，b，从中任选2人，所有的情况为：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(C,D)，(C,a)，(C,b)，(D,a)，(D,b)，(a,b)，共15种；其中满足条件的情况为：(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(D,a)，(D,b)，(a,b)，共9种；所以至少有一人去桂林的概率为：P2=915=35.【考点】古典概型及其概率计算公式列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】答案未提供解析。

2021年高三上学期第四次月考数学文试题word版含答案

2021年高三上学期第四次月考数学文试题word 版含答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={x|-2≤x ≤2，x ∈Z}，则P ∩（M ）等于（）A 、{0}B 、{1}C 、{-2，-1，0}D 、Ø2．已知直线，直线，且，则的值为（）A 、-1B 、C 、或-2D 、-1或-23．在数列{}中，若，且对任意的有，则数列前15项的和为（）A ．B ．30C ．5D ．4．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A.7B.C.D.5．过点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（） A . B .或 C . D .或6．若为等差数列，是其前n 项的和，且，则=（）A. B. C. D. 7.若直线经过点M(cosα,sinα),则( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C. D.8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 9.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若，则( ) A.3 B.8 C.13 D.1610.若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,满足则下列不等式一定成立的是（） A ． B ． C ． D ．侧视图正视图11．若不等式对于任意的正整数恒成立,则实数的取值范围是（） A . B . C . D .12. 已知动点在椭圆上,为椭圆的右焦点,若点满足且,则的最小值为( ) A ． B ．3 C ． D ． 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

江西省2020届高三第四次月考数学(文)试题 Word版含解析

2019-2020学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，0，1，，则A. B.C. D. 0，1，2.A. B. C. D.3.如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A. B. 33 45 35 C. D.4.若，则A. B. C. D.5.已知平面向量的夹角为，且，，则A. B. 2 C. D.6.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D.7.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的y值的取值范围是A. 或B.C. 或D. 或8.观察下列各式：，，，，，，则A. 322B. 521C. 123D. 1999.已知，若存在三个不同实数a，b，c使得，则abc的取值范围是A. B. C. D.10.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A. 2B. 4C.D.11.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，面ABCD，则球O的体积为A. B. C. D.12.已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为______．14.已知，为第二象限的角，，则的值为______．15.设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，，若函数且在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为______．16.已知实数x，y满足，则的最大值是_________．三、解答题（本大题共7小题）17.2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：，，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；若从样本中年龄在的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；已知该小区年龄在内的总人数为2000，若18岁以上含18岁为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．18.已知数列的各项均为正数，且，．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，且底面ABCD．证明：平面PBD；若Q为PC的中点，求三棱锥的体积．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1．求椭圆的标准方程；若P为椭圆上的一点点P不在y轴上，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．21.已知函数．Ⅰ设，曲线在点处的切线在y轴上的截距为b，求b的最小值；Ⅱ若只有一个零点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线的方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的直角坐标方程；若与有且仅有三个公共点，求的方程．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，0，1，，则．故选：A．直接利用集合的交集的运算法则求解即可．本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：．故选：D．3.【答案】B【解析】解：从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32、34，所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；最大值是47，最小值是12，故极差是：35，故选：B．根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可．本题考查了茎叶图的应用以及中位数、众数以及极差的求法问题，求中位数时，要把数据从小到大排好，再确定中位数，也要注意数据的个数．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题．根据能求出结果．【解答】解：，．故选B．5.【答案】A【解析】解：由，得：，即：，解得：．将进行平方运算可化为关于的方程，解方程求得结果．本题考查了利用平面向量的数量积求模长的计算问题，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．根据程序框图，分析程序的功能，结合输入自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出的值．如图：若：，则满足条件输出，若：，则不满足条件，此时，则：输出的y值的取值范围是或．故选：C．8.【答案】A【解析】解：根据题中数据，归纳推理，即可得出结果．因为，，，，，，等式右边对应的数为1，3，4，7，11，，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；因此，求，即是求数列“1，3，4，7，11，”中的第12项，所以对应的数列为“1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322”，即第12项为322．故选：A．观察1，3，4，7，11，的规律，利用归纳推理即可得到．本题考查归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决本题的关键，比较基础．【解析】解：由题意，可画出函数的图象大致如下：存在三个不同实数a，b，c，使得，可假设，根据函数图象，可知：，，．又，，即：．，即．．，．故选：C．本题可先画出分段函数的图象，然后根据图象分析a、b、c的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出，即可得到abc的取值范围．本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质．本题属中档题．10.【答案】A【解析】解：，，，，，，，，故选：A．先根据正余弦定理求出，，再将，化为，后用数量积可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为等腰梯形，作，与E，F，则，可得，取BC中点M，连接AM，易得，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径，故球O的体积为：，故选：B．利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM 中，求得半径OA，得解．此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，点到直线的距离公式，不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，如图所示：，．取，点M到直线l的距离不小于，，解得．．椭圆E的离心率的取值范围是．故选A．13.【答案】，或【解析】解：当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：，即；当在坐标轴上截距不为0时，在坐标轴上截距互为相反数，可设直线方程为，将代入得，，此时所求的直线方程为．综上，要求的直线的方程为，或，故答案为：，或．可分当在坐标轴上截距为0时、与在坐标轴上截距不为0时，分类讨论解决．本题主要考查求直线的方程的方法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，为第二象限的角，，所以，，又因为，所以，故答案为：．由，为第二象限的角，，可得，，由于，再结合两角和的正弦公式展开运算即可得解．本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．15.【答案】【解析】解：对任意的实数x，恒有，函数是周期为2的偶函数，当时，，若，则，即，即，，而在有且仅有三个零点可化为函数与在上有三个不同的交点，故作函数与在上的图象可得，若，则两个函数只有一个交点，不满足条件．则，若函数与在上有三个不同的交点，则，即，即，故；故答案为：．由题意可判断出函数是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象，利用数形结合进行求解即可求a的取值范围．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的奇偶性和函数在一个周期内的图象，利用数形结合是解决本题的关键．16.【答案】15【解析】解：如图，由，可得，，则，令，得，如图，要使最大，则直线在y轴上的截距最小，由，得．则，即或．由题意可得z的最大值为15．故答案为：15．由题意可得，，去绝对值后得到目标函数，然后结合圆心到直线的距离求得的最大值．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：平均数，前三组的频率之和为，故中位数落在第3组，设为x，则，解得，即中位数为35样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y则从中选取2人共有如下15个基本事件：，，，，，，，，，，，，．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：，，，，，，，，．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率为．样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为．【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，考查了古典概型的概率计算，用频率分布直方图估计平均数和中位数．做题时要认真审题，准确把握题意．本题属于中档题．以每一个小矩形的下方中点为该组的代表值，以频率为权加权平均即可得到平均数，根据中位数处于中间位置，即在中位数之前的数频率为估计即可；样本中，年龄在的人共有人，其中年龄在的有4人，设为a，b，c，d，年龄在的有2人，设为x，y列举出取出的两人的所有情况，数出2人中至少有1人年龄不低于60岁包含的基本事件个数和基本事件的总数即可求出2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；以频率当做概率的近似值，又年龄在内的总人数为2000，相乘即可得到估计值．18.【答案】解：由，得，所以或，又因为的各项均为正数，负值舍去，所以；由，所以前n项和由得：，化简可得．【解析】将所给等式分解因式，结合条件可得所求通项公式；求得，运用数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，化简整理可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：，，，．又底面ABCD，．，平面PBD．解：三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而．所以三棱锥的体积．【解析】证明，然后证明平面PBD．利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，，且，解得，，椭圆的标准方程为设，，由题意知OP的斜率存在，当OP的斜率为0时，，，，当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，由，得，解得，，，，直线OQ的方程为，由，得，，，综上所述，．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，是难题．由椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程当OP的斜率为0时，，，；当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为，由，得，由此利用直线与直线垂直，结合已知条件，求出的值．21.【答案】解：Ⅰ函数的导数为，可得，，可得曲线在点处的切线方程为，令，可得，由，可得b在递增，b的最小值为；Ⅱ若，或；，可得在递减，在，递增，即有的极小值为，极大值为，，若只有一个零点，则或，由，解得或，由，可得；由，即，由，可得，解得；则或；若，，在R上递增，，只有一个零点；若，或；，可得在递减，在，递增，即有的极小值为，极大值为，，，若只有一个零点，，即，由，可得，解得；综合可得或．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，可令，求得b关于a的二次函数，由二次函数的最值，可得所求最小值；Ⅱ讨论，，，求得的增区间和减区间，进而得到极值，由只有一个零点，可得极值的符号，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查函数的零点的求法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：，转换为标准式为：．由于曲线的方程为，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点．由于该射线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线的距离等于半径2．故：，或解得：或0，当时，不符合条件，故舍去，同理解得：或0经检验，直线与曲线没有公共点．故C的方程为：．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．23.【答案】解：Ⅰ或或，解得，故不等式的解集为Ⅱ，，即，又a，b，且，z则，设，，，，，同理：，，，，，即，当且仅当时，取得最大值．【解析】Ⅰ分3段去绝对值解不等式，在相并；Ⅱ先求得，再设，，，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

江西省南昌三中2021届高三数学4月月考文(1)

江西省南昌三中2021届高三4月考试数学（文）试卷一．选择题1.已知z ＝1－i(i 是虚数单位)，那么4z ＋z2＝( )A ．2B ．2iC ．2＋4iD ．2－4i 2.设U ＝R ，M ＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝1x －1的概念域为D ，那么M∩(CUD)＝( )．A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．{1} 3.设5π2<θ<3π，且|cosθ|＝15，那么sin θ2的值为( )A.105 B ．－105 C ．－155 D.1554.已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x≤1，－x2＋2x ＋3，x ＞1，那么函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 5. 执行如下图的程序框图，输出的S 值为( ) A ．3 B ．6- C ．10 D ．15-6. 已知2log6x ＝1－log63，那么x 的值是( ) A.3 B.2 C.2或－2 D.3或27. 一空间几何体的三视图如下图，该几何体的体积为12π＋853，那么正视图与侧视图中x 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．28. 已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，那么k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)9. 如图，设点A 是单位圆上的必然点，动点P 从A 动身在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，那么函数d=f （l ）的图象大致为（）10．如图，F1，F2是双曲线C ：2222100x y (a ,b )a b -=>>的左、右核心，过F2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点．假设1ABF ∆为等边三角形，那么双曲线的离心率为 ( ) A ．13 B ． 7 C ．5 D ．2二：填空题11. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD的中点，那么AE BD ＝________.12．设等比数列{}n a 的前n 和为n S ，已知42242,3a a S S -=则的值是．13. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，y≥－x ，x≤a，表示的平面区域S 的面积为4，点P(x ，y)∈S ，那么z ＝2x ＋y 的最大值为________．14. 已知曲线22:C x y m +=恰有三个点到直线125260x y ++=距离为1，那么m = ． 15. 已知球的半径为5，球面被相互垂直的两个平面所截，取得的两个圆的公共弦长为23，假设其中一个圆的半径为4，那么另一个圆的半径为 _________ 三.解答题16. （12分）已知函数231()sin 2cos ,22f x x x x R =--∈．]（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，假设sin 2sin B A =，求a ，b 的值．17．（12分）某日用品按行业质量标准分成五个品级，品级系数x 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其品级系数进行统计分析，取得频率散布表如下：(1)假设所抽取的20件日用品中，品级系数为4的恰有3件，品级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值； (2)在(1)的条件下，将品级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，品级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被掏出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的品级系数恰好相等的概率．18．（12分）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a4＝S2， a2n +2=2 an ，(1)求数列{an}的通项公式；(2)假设 bn14=n n a a +,求数列{bn}的前n 项和Tn ，并求Tn 的取值范围.19. （12分）如图，三棱柱ABC －A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA1＝2.(1)求证：CF ∥平面AB1E ； (2)求三棱锥C －AB1E 在底面AB1E 上的高．20.(13分) 双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A(0，－b)，B(a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 是双曲线的右核心，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．假设点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，知足PN QN ＝0，且PQ |＝10，求直线l 的方程．21.（14分）已知函数32()(63)x f x e x x xa .(1) 当a=1时，求函数()f x 在（0,(0)f 处的切线方程；（2）假设函数()f x 有三个极值点，求实数a 的取值范围。

2020-2021学年江西省南昌三中教育集团九年级(下)第四次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江西省南昌三中教育集团九年级（下）第四次月考数学试卷1.在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则cos A的值是()A. 1213B. 513C. 512D. 1252.从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2.从正面看图2的几何体，得到的平面图形是()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()A. (−2,1)B. (−8,4)C. (−2,1)或(2,−1)D. (−8,4)或(8,−4)4.如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB⏜=AD⏜，AC交BD于点G.若∠COD=126°，则∠AGB的度数为()A. 99°B. 108°C. 110°D. 117°5.如图，把一个含45°角的直角三角板OAB的斜边OA放在x轴的正半轴上，点O与坐标原点重合，OA=4，把三角板OAB绕坐标原点O按顺时针方向旋转75°，使点B的对应点B′恰好落在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，由此k的值为()A. −4B. −4√3C. −2√2D. −2√36.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴交于A、B两点，顶点P(m,n).给出下列结论，正确的有()①abc>0；②9a−3b+c<0；③若点(−12,y1)，(12,y2)，(32,y3)在抛物线上，则y2<y1<y3；④关于x的ax2+bx+k=0有实数解，则k≥c−n；⑤当n=−3a时，△ABP为等边三角形．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.有一个圆心角为120°，半径长为8cm的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是______ cm．8.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2.若1x1+1x2=−1，则k的值为______．9.某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是______ ．10.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是______．11.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2√2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ=______ ．12.如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=8√3，点E是BC的中点，点F在AB上，FB=4，P是矩形上一动点.若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE=30°时，FP的长为______ ．13.计算：4cos30°+(π−2021)0−√12+|√3−2|．14.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，求该几何体的表面积．15.已知，如图，点C、D在⊙O上，直径AB=6cm，弦AC、BD相交于点E，CE=BC．(1)求图中阴影部分的面积．(2)求CD的长．16.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°，然后沿斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i=1：2.4，求大树CD的高度．17.如图，A，B，C是⊙O上的三上点，且四边形OABC是菱形，请用无刻度直尺完成下列作图．(1)如图①，作出线段OA的垂直平分线；(2)如图②，作出线段BC的垂直平分线．18.某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg.在销售过程中发现销量y(kg)与售价x(元/kg)之间满足一次函数关系，对应关系如表所示：(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？19.为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式(参与问卷调查的市民都只从五个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)参与本次问卷调查的市民共有______ 人，其中选择B类的人数有______ 人；(2)根据统计图信息，求A类对应扇形圆心角α的度数，补全条形统计图；(3)该市约有10万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数．20.近年来，共享单车服务的推出(如图1)，极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图(车轮半径约为30cm)，其中BC//直线l，∠BCE=71°，CE=54cm．(1)求单车车座E到地面的高度；(结果精确到1cm)(2)根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高(腿长)的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．(结果精确到0.1cm)(参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90)(x<0)的图象过点21.如图，已知∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数y=−3x(x>0)的图象过点A．B(−3,a)，反比例函数y=kx(1)求a和k的值；(2)过点B作BC//x轴，与双曲线y=k交于点C.求△OAC的面积．x22.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)连接DG，若AC//EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cosC=4，AK=√10，求BF的长．523.我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B(或∠BCD=∠A)，则称满足这样条件的点D为△ABC边AB上的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=3√2，AB=6，试判断点D是不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由．(2)如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB=10，AC=8，若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．(3)如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2)，B(0,−3)，C(6,0)，且满足∠ACB=45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．24.在直角坐标系xOy中，定义点C(a,b)为抛物线L：y=ax2+bx(a≠0)的特征点坐标．(1)已知抛物线L经过点A(−2,−2)、B(−4,0)，求出它的特征点坐标；(2)若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示：①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为______；②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则AC=√AB2−BC2=√132−52=12，∴cosA=ACAB =1213，故选：A．根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看是，故选：D．3.【答案】C【解析】解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是(−4,2)，以原点O为位似中心相似比为1：2将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，∴−12×4=2，12×2=1，−12×(−4)=2，−12×2=−1，即(−2,1)，(2,−1)．故选：C．根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k得出是解题关键．4.【答案】B【解析】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵AB⏜=AD⏜，∴∠B=∠D=45°，∵∠DAC=12∠COD=12×126°=63°，∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°．故选：B．根据圆周角定理得到∠BAD=90°，∠DAC=12∠COD=63°，再由AB⏜=AD⏜得到∠B=∠D=45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．5.【答案】D【解析】解：过点B′作B′C⊥OA，垂足为C，在Rt△AOB中，OA=4，∴OB=AB=√22OA=2√2=OB′，∵∠AOA′=75°，∠A′OB′=45°，∴∠B′OC=75°−45°=30°，在Rt△B′OC中，∴B′C=12OB′=√2，OC=√32OB′=√6，∴点B′(√6,−√2)，∴k=−√6×√2=−2√3，故选：D．在Rt△AOB中，斜边OA=4，可求出直角边OB，由旋转可得OB′的长，由旋转角为75°，可求出∠AOB′=30°，在Rt△B′OC中，通过解直角三角形可求出点B′的坐标，进而得出k的值．本题考查解直角三角形、旋转的性质以及反比例函数k的几何意义，求出点的坐标是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵抛物线对称轴在y轴的右侧，∴ab<0，∵抛物线交y轴的负半轴，∴abc>0，故①正确，；由图象可知，当x=−3时，y>0，∴9a−3b+c>0，故②错误；若点(−12,y1)，(12,y2)，(32,y3)在抛物线上，由图象法可知，y2<y1<y3，故③正确，∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，∴ax2+bx+c−t=0有实数解要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c−t≤c−n；故④错误，设抛物线的对称轴交x轴于H．∵4ac−b24a =−3a，∴b2−4ac=12，∴x=−b±2√32a，∴|x1−x2|=2√3a，∴AB=2√33PH，∵BH=AH，∴BH=√33PH，∴∠PBH=60°，∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形．故⑤正确．综上，结论正确的是①③⑤，故选：B．利用二次函数的图象与性质一一判断即可．本题是二次函数的应用，考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，等边三角形的判定等，数形结合是解题的关键．7.【答案】83【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径是r cm，根据题意得2π⋅r=120π×8180，解得r=83，即这个圆锥的底面圆的半径是83cm．故答案为83．这个圆锥的底面圆的半径是rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2π⋅r=120π×8180，然后解关于r的方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8.【答案】3【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=−(2k+3)，x1x2=k2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−2k+3k2=−1，解得：k1=−1，k2=3．∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=(2k+3)2−4k2>0，解得：k>−34，∴k1=−1舍去．故答案为：3．利用根与系数的关系结合1x1+1x2=−1可得出关于k的方程，解之可得出k的值，由方程的系数结合根的判别式△>0可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合1x1+1x2=−1，求出k值是解题的关键．9.【答案】16【解析】解：根据题意画图如下：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，则恰好选中甲、乙两位选手的概率是212=16，故答案为：16．根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.【答案】2【解析】【试题解析】解：如图，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC//BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF=2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2．故答案为：2．首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．11.【答案】4【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AB=CD=6，∠BCD=90°，∴△PDE∽△PBA，∴DEAB =PDPB，∵E为CD的中点，∴PDPB =12，∴PBBD =23，∵PQ⊥BC，∴PQ//DC，∴△BPQ∽△BDC，∴BPBD =PQDC，∴23=PQ6，∴PQ=4．故答案为：4．由矩形的性质得出AB//CD，AB=CD=6，∠BCD=90°，证明△PDE∽△PBA，得出比例线段DEAB =PDPB，证明△BPQ∽△BDC，由相似三角形的性质得出BPBD=PQDC，则可得出答案．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．12.【答案】8或16或8√3【解析】解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE.以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°，∵BF=4，BE=4√3，AF=8，AD=8√3，∴tan∠FEB=tan∠ADF=AFAD =√33，∴∠ADF=∠FEB=30°，∴EF=OF=OD=8，∴△OEF是等边三角形，∴∠EP1F=∠FP2F=∠FP3E=30°，∴FP1=8，FP2=16，FP3=8√3，故答案为：8或16或8√3．如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE.以O为圆心画⊙O交CD于P3.只要证明∠EP1F=∠FP2F=∠FP3E=30°，即可推出FP1=8，FP2=16，FP3=8√3解决问题．本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．13.【答案】解：原式=4×√32+1−2√3+2−√3=2√3+1−2√3+2−√3=3−√3．【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14.【答案】解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为2，高为4，故其边心距为√3，所以其表面积为2×4×6+2×12×2×√3×6=48+12√3，故该几何体的表面积为48+12√3．【解析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其表面积即可．本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．15.【答案】解：(1)连接OD、OC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CE=BC，∴∠DBC=∠CEB=45°，∴∠DOC=2∠DBC=90°，∴S阴影=S扇形−S△ODC=90⋅π⋅32360−12×3×3=(9π4−92)cm2．(2)∵AB=6cm，∴OA=OD=OC=3cm，∵∠DOC=90°，∴CD=√32+32=3√2cm．【解析】(1)连接OD、OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC= 90°，根据S阴影=S扇形−S△ODC即可求得．(2)根据直径AB=6cm，得出OA=OD=OC=3cm，再根据勾股定理即可得出CD的长．本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积等，有一定的难点，求得∠DOC=90°是本题的关键．16.【答案】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=4米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+(2.4x)2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=16米，在Rt△ACE中，CE=AE⋅tan45°=16×1=16(米)，∴CD=CE−DE=16米−5米=11米；故大树CD的高度为11米．【解析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=4米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF和AF的值，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．17.【答案】解：(1)BE是OA的垂直平分线；(2)OG为BC的垂直平分线．【解析】(1)作直径CE ，直线BE 即为所求；(2)设BE 交OA 于F ，连接AC 、OB 交于K ，作直线FK 交BC 于G ，直线OG 即为所求；本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】解：(1)设关系式为y =kx +b ，把(12,36)(14,32)代入得：{12k +b =3614k +b =32，解得{k =−2b =60．故y 与x 的之间的函数关系式为y =−2x +60，通过验证(15,30)(17,26)满足上述关系式，因此y 与x 的之间的函数关系式就是y =−2x +60．x 的取值范围为：10≤x ≤18；(2)W =(x −10)(−2x +60)=−2x 2+80x −600=−2(x −20)2+200， ∵a =−2<0，抛物线开口向下，对称轴为x =20，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，∵10≤x ≤18，∴当x =18时，W 最大=−2(18−20)2+200=192(元)，答：W 与x 之间的函数关系式为W =−2(x −20)2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．【解析】(1)根据一次函数过(12,36)(14,32)可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式；(2)先求出总利润W 与x 的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．本题考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．19.【答案】800 240【解析】解：(1)200÷25%=800(人)，800×30%=240(人)，故答案为：800，240；(2)A类对应扇形圆心角α=360°×(1−25%−30%−14%−6%)=90°，800×(1−25%−30%−14%−6%)=200(人)，条形统计图如图所示．(3)10×(1−14%−6%)=10×80%=8(万人)，答：估计该市“绿色出行”方式的人数为8万人．(1)根据C组人数以及百分比求出总人数即可解决问题．(2)求出A组人数的百分比×360即可得A类对应扇形圆心角α的度数和A组人数，画出条形图即可．(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可．本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)如图1，过点E作EM⊥BC于点M，由题意知∠BCE=71°、EC=54，∴EB=ECsin∠BCE=54sin71°≈51.3，则单车车座E到地面的高度为51.3+30≈81cm；(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥BC于点H，由题意知E′H=70×0.85=59.5，则E′C=E′Hsin∠ECB =59.5sin71∘≈62.6，∴EE′=CE′−CE=62.6−54=8.6(cm)．【解析】(1)作EM⊥BC于点M，由EB=ECsin∠BCE=54sin71可得答案；(2)作E′H⊥BC于点H，先根据E′C=E′Hsin∠ECB求得E′C的长度，再根据EE′=CE′−CE可得答案．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．21.【答案】解：(1)∵比例函数y=−3x(x<0)的图象过点B(−3,a)，∴a=−3−3=1，∴OE=3，BE=1，分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠BOE+∠OBE=90°，∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，∴∠BOE+∠AOD=90°，tan30°=OBOA =√33，∴∠OBE=∠AOD，∵∠OEB=∠ADO=90°，∴△BOE∽△OAD∴OEAD =BEOD=OBOA=√33，∴AD=√3⋅OE=√3×3=3√3，OD=√3⋅BE=√3×1=√3∴A(√3,3√3)，∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点A，∴k=√3×3√3=9；(2)由(1)可知AD=3√3，OD=√3，∵BC//x轴，B(−3,1)，∴C点的纵坐标为1，过点C作CF⊥x轴于F，∵点C在双曲线y=9x上，∴1=9x，解得x=9，∴C(9,1)，∴CF=1，∴S△AOC=S△AOD+S梯形ADFC −S△COF=S梯形ADCF=12(AD+CF)(OF−OD)=12(3√3+1)(9−√3)=13√3．【解析】(1)把B(−3,a)代入反比例函数y=−3x即可求得a的值，分别过点A、B作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，易证得△BOE∽△OAD，根据相似三角形的性质即可求得A点的坐标，然后代入反比例函数y=kx(x>0)，根据待定系数法即可求得k的值；(2)由B的纵坐标求得C的纵坐标，根据图象上点的坐标特征求得C的坐标，然后根据S△AOC=S△AOD+S梯形ADFC −S△COF=S梯形ADCF求得即可．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，求得A、C点的坐标是解题的关键．22.【答案】解：(1)如图，连接OG．∵EG=EK，∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，∴∠KGE+∠OGA=90°，∴EF是⊙O的切线．(2)①∵AC//EF，∴∠E=∠C，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，又∠DKG=∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵cosC=45，AK=√10，设cosC=45=CHAC=k，∴CH=4k，AC=5k，则AH=3k∵KE=GE，AC//EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK−CH=k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即(3k)2+k2=(√10)2，解得k =1，∴CH =4，AC =5，则AH =3，设⊙O 半径为R ，在Rt △OCH 中，OC =R ，OH =R −3k ，CH =4k ，由勾股定理得：OH 2+CH 2=OC 2，即(R −3)2+42=R 2，∴R =256，在Rt △OGF 中，cosC =cos∠GOF =45=OG OF ，∴OF =12524，∴BF =OF −OB =12524−256=2524．【解析】(1)连接OG ，由EG =EK 知∠KGE =∠GKE =∠AKH ，结合OA =OG 知∠OGA =∠OAG ，根据CD ⊥AB 得∠AKH +∠OAG =90°，从而得出∠KGE +∠OGA =90°，据此即可得证；(2)①由AC//EF 知∠E =∠C =∠AGD ，结合∠DKG =∠CKE 即可证得△KGD∽△KGE ； ②连接OG ，由cosC =45设CH =4k ，AC =5k ，可得AH =3k ，CK =AC =5k ，HK =CK −CH =k.利用AH 2+HK 2=AK 2得k =1，即可知CH =4，AC =5，AH =3，再设⊙O 半径为R ，由OH 2+CH 2=OC 2可求得R =256，根据cosC =cos∠GOF =45=OG OF 知OF =12524，从而得出答案．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．23.【答案】解：(1)结论：点D 是△ABC 的“理想点”．理由：如图①中，∵D 是AB 中点，AB =6，∴AD =DB =3，∵AC 2=(3√2)2=18，AD ⋅AB =18，∴AC2=AD⋅AB，∴ACAD =ABAC，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B，∴点D是△ABC的“理想点”，(2)如图②中，∵点D是△ABC的“理想点”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，当∠ACD=∠B时，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠CDB=90°，当∠BCD=∠A时，同法证明：CD⊥AB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，AC=8，∴BC=√AB2−AC2=6，∵12AB⋅CD=12AC⋅BC，∴CD=245．(3)如图③中，存在．有2种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．∵∠MAC=∠AOC=∠AHM=90°，∠ACM=45°，∴∠AMC=∠ACM=45°，∴AM=AC，∵∠MAH+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，∴∠MAH=∠ACO，∴△AHM≌△COA(AAS)，∴MH=OA，OC=AH，∵A(0,2)，B(0,−3)，C(6,0)，∴OC=6，①当∠D1CA=∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”.设D1(0,m)，∵∠D1CA=∠ABC，∠CD1A=∠CD1B，∴△D1AC∽△D1CB，∴CD12=D1A⋅D1B，∴m2+62=(m−2)(m+3)，解得m=42，∴D1(0,42)．②当∠BCA=∠CD2B时，点A是△BCD2的“理想点”．易知：∠CD2O=45°，∴OD2=OC=6，∴D2(0,6)．综上所述，满足条件的点D坐标为(0,42)或(0,6)．【解析】(1)结论：点D是△ABC的“理想点”.只要证明△ACD∽△ABC即可解决问题；(2)只要证明CD⊥AB即可解决问题；(3)如图③中，存在．有2种情形：过点A 作MA ⊥AC 交CB 的延长线于M ，作MH ⊥y 轴于H.构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C 坐标，分2种情形求解即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】(1)解：将点A(−2,−2)、B(−4,0)代入到抛物线解析式中，得{−2=4a −2b 0=16a −4b ，解得：{a =12b =2． ∴抛物线L 的解析式为y =12x 2+2x ，∴它的特征点为(12,2)．(2)①y =−ax 2+bx ；②解：∵抛物线L 2的对称轴为直线：x =−b 2×(−a)=b 2a ．∴当抛物线L 1的特征点C(a,b)在抛物线L 2的对称轴上时，有a =b 2a ，∴a 与b 的关系式为b =2a 2．③解：∵抛物线L 1、L 2与x 轴有两个不同的交点M 、N ，∴在抛物线L 1：y =ax 2+bx 中，令y =0，即ax 2+bx =0，解得：x 1=−b a ，x 2=0(舍去)，即点M(−b a ,0)；在抛物线L 2：y =−ax 2+bx 中，令y =0，即−ax 2+bx =0，解得：x 1=b a ，x 2=0(舍去)，即点N(b a ,0)．∵b =2a 2，∴点M(−2a,0)，点N(2a,0)，点C(a,2a 2).∴MN =2a −(−2a)=4a ，MC =√[a −(−2a)]2+4a 4，NC =√(a −2a)2+4a 4．因此以点C 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：(i)MC =MN ，此时有：√[a −(−2a)]2+4a 4=4a ，即9a 2+4a 4=16a 2，解得：a =0，或a =±√72，∵a <0，∴a =−√72； (ii)NC =MN ，此时有：√(a −2a)2+4a 4=4a ，即a 2+4a 4=16a 2，解得：a =0，或a =±√152， ∵a <0，∴a =−√152； (iii)MC =NC ，此时有：√[a −(−2a)]2+4a 4=√(a −2a)2+4a 4，即9a 2=a 2，解得：a =0，又∵a <0，∴此情况不存在．综上所述：当以点C 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形时，a 的值为−√72或−√152．【解析】解：(1)见答案；(2)①∵抛物线L 1：y =ax 2+bx 与抛物线L 2关于原点O 对称，∴抛物线L 2的解析式为−y =a(−x)2+b(−x)，即y =−ax 2+bx ．故答案为：y =−ax 2+bx ．②见答案；③见答案．(1)结合点A 、B 点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线L 的函数解析式，再结合特征点的定义，即可得出结论；(2)①由抛物线L 1：y =ax 2+bx 与抛物线L 2关于原点O 对称，可将y 换成−y ，将x 换成−x ，整理后即可得出结论；②根据抛物线L 2的解析式可找出它的对称轴为：x =b 2a ，由抛物线L 1的特征点C 在抛物线L 2的对称轴上可得出a =b 2a ，变形后即可得出结论；③结合②的结论，表示出点C 、M 、N 三点的坐标，由两点间的距离公式可得出MN 、MC 、NC 的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，分别根据线段相等得出关于a 的一元四次方程，解方程再结合a 的范围即可得出a 的值．本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质以及解一元高次方程，解题的关键是：(1)利用待定系数法求二次函数解析式；(2)①明白关于原点对称点的特征；②利用二次函数的性质找出对称轴关系式；③分情况讨论求值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，首先根据特征点的定义找出a、b之间的关系，再结合两点间的距离公式以及等腰三角形的性质找出关于a的一元高次方程，解方程即可得出结论．。

江西省南昌市第三中学2021届高三上学期第四次月考考试数学试题(解析版)

江西省南昌三中2020—2021学年度第四次月考考试高三数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知集合{}|127A x x =≤≤，(){}2|log 13B x x =+<，则()A B =R（）A. [)1,7B. []7,27C. []1,1-D. (]7,27【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算性质，求得集合{}|17B x x =-<<，得到{|1B x x =≤-R或7}x ≥，再结合交集的运算，即可求解.【详解】由()2log 13x +<，可得018x <+<，解得17x -<< 所以集合{}|127A x x =≤≤，{}|17B x x =-<<，可得{|1B x x =≤-R或7}x ≥，所以(){}[]|7277,27AB x x =≤≤=R.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及对数的运算的性质，其中解答中根据对数的运算性质，求得集合B ，熟练应用集合的交集和补集的运算求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2. 设复数1i1i-=+z ，则z 的共轭复数为（） A. i B. i -C. 1i -D. 1i +【答案】A 【解析】【分析】先化成复数代数形式，再根据共轭复数定义选择.【详解】解：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以z i =，故选：A.【点睛】本题考查复数除法法则以及共轭复数定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 命题：“ 0x ∀≥，都有sin x x ≤”的否定为（） A. 0x ∀<，都有sin x x > B. 0x ∀<，都有sin x x ≤ C. 0x ∃<，使得sin x x > D. 0x ∃≥，使得sin x x >【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可判断；【详解】解：命题：“ 0x ∀≥，都有sin x x ≤”为全称量词命题，全称量词命题的否定为存在量词命题，故其否定为：0x ∃≥，使得sin x x > 故选：D 4. 函数()(0xf x a a =>且)1a ≠是增函数的一个充分不必要条件是（）A. 102a <<B. 01a <<C. 23a <<D. 1a >【答案】C 【解析】【分析】求出当函数()f x 为增函数时a 的取值范围，由此可得出结果. 【详解】若函数()(0xf x a a =>且)1a ≠是增函数，则1a >.因此，函数()(0xf x a a =>且)1a ≠是增函数的一个充分不必要条件是23a <<.故选：C.5. 曲线2()(1)e 2x f x f x '=-+在点(0,(0))f 处的切线的斜率等于（）A.2eB.2e 1- C.2ee 1- D.42ee 1-- 【答案】B 【解析】【分析】求导得到()(1)e 2xf x f x ''=-，取1x =，计算得到2(1)e 1f '=-，代入计算得到切线斜率.【详解】由已知得()(1)e 2x f x f x ''=-，令1x =，则(1)(1)e 2f f ''=-，解得2(1)e 1f '=-，所以2()e 2e 1xf x x '=--，所以曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线斜率2(0)1k f e '==-，故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义及导数的运算，意在考查学生的计算能力. 6. 在ABC中，已知30,2A a c =︒==，则b =（）A. 1B. 11C.+D.【答案】B 【解析】【分析】根据角A 的余弦定理列出关于b 的方程，从而求解出b 的值. 【详解】因为2222cos a b c bc A =+-，所以220b -+=，所以1b =或1b =-，故选：B.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，主要考查学生的基本计算，难度较易.7. 已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A .B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用向量坐标运算法则求出2(2,3)a b m -=+-，再由向量垂直求出8m =-，由此能求出a 与b 夹角的余弦值．【详解】解：向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，∴依题意，2(2,3)a b m -=+-，而(2)0a b b -=，即260m ---=，解得8m =-，则213cos ,565a b a b a b<>===．故选：B ．【点睛】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于基础题．8. 圆M ：22()4x m y -+=与双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线相切于A 、B 两点，若||2AB =，则C 的离心率为（）C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析可知其中一条渐近线的倾斜角为60，即ba=C 的离心率. 【详解】如图所示，2AB =，2MA MB ==，所以ABM 是等边三角形，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以30AMO ∠=，因为OA AM ⊥，所以60AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 60a k b ===b a =所以c e a ===故选：A【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.9. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若223f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A. 2ω=，6π=ϕ B. 53ω=，518πϕ=C. 2ω=，3πϕ=D. 53ω=，6π=ϕ【答案】C 【解析】【分析】由图象结合三角函数的性质可得T π=，即可得ω，再代入特殊点即可得ϕ.【详解】由图象可得函数的最小正周期T 满足766T πππ⎛⎫<--= ⎪⎝⎭，所以该函数图象在y 轴右侧的第一个对称轴648T x ππ=-+<，又223f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数图象在y 轴右侧的第二个对称轴12722312x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，且7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期T 满足37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭即T π=，所以22Tπω==，()()sin 2f x x ϕ=+，所以77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=.故选：C.【点睛】本题考查了由三角函数的图象与性质确定函数的解析式，考查了运算求解能力，属于基础题. 10. 函数()32232f x x ax bx a =-+-在2x =时有极值0，那么+a b 的值为（）A. 14B. 40C. 48D. 14或40【答案】B 【解析】【分析】由导数与函数的关系()()2020f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩得出,a b 的值，再检验2a =，12.b =或4a =，36b =是否成立.【详解】函数()32232f x x ax bx a =-+-，()236f x x ax b =-+'若在2x =时有极值0，可得()()2020f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩则281222012120a b a a b ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得：2a =，12.b =或4a =，36b =当4a =，36b =时，()232436f x x x =-+'，满足题意函数()32232f x x ax bx a =-+-在2x =时有极值0．当2a =，12b =时，()22312123(2)0f x x x x =-=-'+≥，不满足题意：函数()32232f x x ax bx a =-+-在2x =时有极值0． 40a b ∴+=．故选：B11. 在ABC 中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，43AC =，则ADC 面积的最大值为（） A. 62 B. 63C. 42D. 43【答案】D 【解析】【分析】根据AC 为定值以及ADC ∠为定值，判断出D 点的轨迹，根据圆的几何性质求得三角形ADC 面积的最大值.【详解】由已知43AC =，120ADC =∠︒，如图所示；可构造ADC 的外接圆，其中点D 在劣弧AC 上运动，当运动到弧中点时，ADC 面积最大，此时ADC 为等腰三角形，其面积为()21113tan 304343224DAC S AC AC =⨯⋅︒⨯=⨯⨯=△.故选：D .【点睛】本小题主要考查三角形面积最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. 设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，对任意的x ∈R ，有()()0f x f x --=，且[0,)x ∈+∞时，'()2f x x >．若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (,2]-∞D. [2,)+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()2G x f x x =-，由()2f x x '>可得()G x 在[)0,+∞上是增函数，在(),0-∞上单调递减，原不等式等价于()()2,2G a G a a a -≥∴-≥，从而可得结果. 【详解】设()()2G x f x x =-，则()()()2,0,G x f x x x '-∈'=+∞时，()()20G x f x x '-'=>，()()()()()22G x f x x f x x G x -=---=-=()G x ∴为偶函数，()G x ∴在[)0,+∞上是增函数， (),0x ∈-∞时单调递减.所以()()244,f a f a a --≥-可得()()22244f a a a f a a --+-≥-，()()()2222f a a f a a ∴---≥-，即()()2,2,1G a G a a a a -≥∴-≥∴≤，实数a 的取值范围为(],1-∞，故选A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知α是第二象限角，且3sin 5α=，则sin()2πα+=_______．【答案】45-【解析】【分析】先利用平方关系由3sin 5α=，得到cos α，再利用诱导公式求解. 【详解】因为α是第二象限角，且3sin 5α=，所以24cos 1sin 5αα=--=-，所以4sin()cos 25παα+==-，故答案为： 45-14. 已知函数()()1,2{31,2xx f x f x x ⎛⎫≥ ⎪=⎝⎭+<，则(0)f 的值为___________．【答案】19【解析】【分析】根据函数解析式，推导出()()()012f f f ==，由此能求出结果．【详解】因为1,2()3(1),2xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，所以(0)f =()()2111239f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：1915. 设函数()2312sin ,3122x xf x x x ππ⎛⎫⋅+⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N =___．【答案】3 【解析】【分析】将函数转化为()122sin 31x f x x =-++，易得当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 是增函数，进而取得M ，N 即可. 【详解】()()231112sin 22sin 3131x xxf x x x ⋅+-=+=-+++，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以12,2sin 31xy y x =-=+是增函数，所以 ()f x 是增函数，所以当 2x π=-时， ()f x 取得最小值 22331N ππ=-+，当 2x π=时， ()f x 取得最大值 21431M π=-+，所以 22213433131M N πππ+=--=++，故答案为：316. 已知高数()f x 的周期为4，且(1,3]x ∈-时，21,(1,1]()12,(1,3]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩,，若方程()mf x x =恰有5个实数解（其中m ＞0），则m 的取值范围为_____________．【答案】()15,6【解析】【分析】()mf x x =有5个解，等价于为()y f x =与1y x m=的图象有5个交点，利用数形结合可得结果. 【详解】()mf x x =有5个解，等价于为()(](]21,1,112,1,3x x y f x x x -∈-==--∈⎪⎩与1y x m =的图象有5个交点，在同一坐标系内画出函数()y f x =与1y x m=的图象，如图.求出直线1y x m =过点()6,1和直线1y x m=与半圆()2241x y -+=相切时的m，由图可得)m ∈时，()(](]1,112,1,3x y f x x x ∈-==--∈⎪⎩与1y x m =的图象有5个交点，故答案为).【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，等差数列{}n b 的公差为2，设n S ，n T 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23S =，53S T =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n M .【答案】（1）n a n =，21n b n =+；（2）()2111n M n n =+-+. 【解析】【分析】(1)运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； (2）求得n c ，运用数列的求和公式和裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】（1）因为等差数列{}n a 的公差为d ，等差数列{}n b 的公差为2，且13b =，23S =，53S T =，所以113a a d ++=，115(2)3(2)15a d b +=+=，解得11a =，1d =，所以11n a n n =+-=，32(1)21n b n n =+-=+，（2）由11n n n n c b a a +=+⋅知1112121()(1)1n c n n n n n n =++=++-⋅++，11111(3521)(1)()()2231n M n n n ⎡⎤=++⋯+++-+-+⋯+-⎢⎥+⎣⎦,221121(1)11n n n n n =++-=+-++ 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，在运算中充分利用等差数列的性质，可简化运算，利用数列的分组求和和裂项相消求和，属于中档题.18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24、16、16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.【答案】（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人；（2）57. 【解析】【分析】（1）计算出甲、乙、丙三个部门的员工人数之比，进而可计算出应从甲、乙、丙三个部门的员工抽取的人数；（2）将7人中睡眠不足的4人分别记为1A 、2A 、3A 、4A ，睡眠充足的3人分别记为1B 、2B 、3B ，列举出所有的基本事件，并确定事件“抽取的2人中至少有1人睡眠充足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人；（2）将7人中睡眠不足的4人分别记为1A 、2A 、3A 、4A ，睡眠充足的3人分别记为1B 、2B 、3B ，现从这7人中随机抽取2人的所有情况为：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,AB ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ， ()33,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()43,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共21种情况.其中至少有1人睡眠充足的情况有：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ， ()33,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()43,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共15种情况.设所求概率为P ，则155217P ==. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求点A 到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）3010d =. 【解析】【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离. 【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形，所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC +-⋅⋅∠ 11421272=++⨯⨯⨯= 在PDE ∆中227PE PD DE +=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=，故EQ PC ⊥，5EQ AF ==，1225102PEC S ∆=⨯⨯=，13132AEC S ∆=⨯⨯=，所以由A PEC P AEC V V --=得：113102332d ⋅=⋅⋅，解得3010d =.20. 已知函数()ln f x x x =，()()21112g x kx k x =-+-+，曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线互相垂直，记()()()F x f x g x =+. （1）求实数k 的值；（2）若方程()f x m =有两个不相等实根，求m 的取值范围；（3）讨论函数()F x 的单调性. 【答案】（1）1；（2）10m e-<<；（3）()F x 在()0,∞+上单调递减. 【解析】【分析】（1）求出两函数的导函数，根据()11g '=-即可求解.（2）利用导数判断函数的单调性，进而可得()f x 的值域，从而可得10m e-<<，（3）求出()ln 1F x x x '=-+，再求导函数，判断()F x '的符号即可求解. 【详解】（1）()1ln f x x '=+，()11f '=，()1g x kx k '=-+- 由题意得，()11g '=-，即()111g k k '=-+-=-，∴1k = （2）由()1ln f x x '=+，可知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴当1=x e时，()f x 有最小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又0x →时，()0f x →；x →+∞时，()f x →+∞，函数()f x 的大致图像，如图：∴若方程()f x m =有两个不相等实根，则有10m e-<<.（3）由（1）可知，()21ln 12F x x x x =-+，0x >， ()ln 1F x x x '=-+，()111xF x x x-''=-=，易知，当()0,1x ∈时()0F x ''>，()F x '单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0F x ''<，()F x '单调递减，所以()()10F x F '≤=即()0F x '≤恒成立，所以()F x 在()0,∞+上单调递减.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程的根，解题的关键是求出函数()f x 的值域、单调性，作出函数的大致图像，考查了转化与划归的思想.21. 已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F 31F 为圆心以1为半径的圆与以2F 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆上顶点A 斜率为k 的直线l 与椭圆的另外一个交点为B ，若2ABF 求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）1y x =+或1y x =+．【解析】【分析】（1）由两圆交点在椭圆上，2134a =+=，得2a =，由离心率为2，22234a b a -=，得1b =，即可写出标准方程；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程得()24180k x kx ++=，用k 表示出2ABF 的面积，即可求出k ，得到直线l 的方程.【详解】（1）设椭圆方程为22221x y a b+=（0a b >>），由两圆交点在椭圆上，2134a =+=，得2a =，22234a b a -=，得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）因为点A 的坐标为()0,1，所以直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程得到：()()2221141804x kx k x kx ++=⇒++=，因为0A x =，所以2841B k x k =-+，221441B k y k -=+，又因为直线l 与x 轴的交点坐标为1,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭，点2F 的坐标为)，所以2211141241k k k ⎛⎫-⨯-= ⎪+⎝⎭k =或k =，所以，直线l的方程为12y x =+或16y x =+．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中三角形面积问题，属于较难题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=，曲线2C的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若曲线1C 与2C 相交于A 、B两点.（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;（2）求点()1,2M -到A 、B 两点的距离之积. 【答案】（1）2y x ，10x y +-=；（2）2.【解析】【分析】（1）给曲线1C 的极坐标方程2sin cos θρθ=两边同乘ρ，然后利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩进行转化.曲线2C 的参数方程两式相加消去t ，得直角方程；（2）将曲线2C 的参数方程代入曲线1C 的普通方程，然后利用直线参数方程中t 的几何意义求解. 【详解】（1）由曲线1C 的极坐标方程可得曲线1C 的直角坐标方程为2yx ,由曲线2C 的参数方程可得曲线2C 的普通方程为10x y +-=,（2）将曲线2C 的参数方程1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 代入曲线1C 的普通方程得：220t +-=, 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ， ∴12t t +=, 122t t ⋅=-，可得122MA MB t t ⋅=⋅=.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的应用，难度一般.23. 已知a 、b 、c ∈R +，且6a b c ++=. （1）当5c =时，求221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）证明：222242a b b c c +-+-≥-. 【答案】（1）最小值为9；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）依题意，1a b +=，将目标式化简可得21ab+，再利用基本不等式求最值即可；（2）将不等式左边化简可得()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，运用柯西不等式即可得证. 【详解】（1）当5c =时，1a b +=，∴222222111111a b a b a b --⎛⎫⎛⎫--=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111a a b b a b -+-+=()()1121a b ab ab ++==+，又1a b =+≥a ＝b 时取等号），则14ab ≤， ∴221121119a b ab ⎛⎫⎛⎫--=+≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9；（2）证明：()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，由柯西不等式有，()()()()22221211112a b c a b c ⎡⎤+-+-++≥+-+-⎣⎦（当且仅当12a b c =-=-时取等号），∴2222(3)(1)(2)3a b c a b c ++-+-+-≥，又6a b c ++=，∴()()222123a b c +-+-≥，即222242a b b c c +-+-≥-（当且仅当a ＝1，b ＝2，c ＝3时取等号）. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题.。

江西省南昌市第三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

南昌三中2024—2025学年度上学期10月考试高三数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}{2},1,0,1,3,5A x B =<=-，则AB =（）A.{}0,1 B.{}0,1,3 C.{}0,1,3,5 D.{}1,0,1,3,5-【答案】B 【解析】【分析】计算出集合A 后，结合交集运算即可得.2<可得04x ≤<，故{}{04},0,1,3A xx A B =≤<=∣．故选：B.2.已知幂函数()(),mnf x x m n =∈Z ，下列能成为“()f x 是R 上奇函数”充分条件的是（）A.3m =-，1n =B.1m =，2n =C.2m =，3n =D.1m =，3n =【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，()331f x x x-==，()f x \的定义域为()(),00,-∞+∞，又()()()33f x x x f x ---=-=-=-，()f x \是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，充分性不成立，A 错误；对于B ，()12f x x ==，()f x \的定义域为[)0,+∞，()f x \为非奇非偶函数，充分性不成立，B 错误；对于C ，()23f x x ==()f x \的定义域为R ，又()()f x f x -===，()f x \是定义在R 上的偶函数，充分性不成立，C错误；对于D ，()13f x x ==，()f x \的定义域为R ，又()()f x f x -===-，()f x \是定义在R 上的奇函数，充分性成立，D 正确.故选：D.3.过曲线4log y x =上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于2log y x =点B ，C .若直线BC 经过原点，则直线BC 斜率为（）A.12B.14C.ln 22D.ln 24【答案】A 【解析】【分析】设()4,log A x x ，表示出,B C 两点坐标，由直线BC 经过原点，求出x 的值，可求直线BC 的斜率.【详解】设()4,log A x x ，则有()2,log B x x，)4Cx ，直线BC经过原点，有221log log 2xx x ==，依题意1x ≠，解得4x =，得()4,2B ，()2,1C ，直线BC 斜率211422k -==-.故选：A.4.已知()0,π,2sin cos 1ααα∈+=，则tan2α=（）A.247B.127 C.127-D.0【答案】A 【解析】【分析】借助22sin cos 1αα+=，并利用sin tan cos ααα=将弦化切后可得tan α的值，再利用二倍角公式计算即可得.【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以224sin 4sin cos cos 1αααα++=，即22224sin 4sin cos cos 1sin cos αααααα++=+，则224tan 4tan 11tan 1ααα++=+，解得4tan 3α=-（tan 0α=舍去），故22tan 24tan21tan 7ααα==-．故选：A .5.给出下列说法，正确的是（）A.若函数()313xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，则1k =B.已知()()2lg 2f x x x a =++的值域为R ，则a 的取值范围是1a >C.已知函数()[]31log ,1,9f x x x =+∈，则函数()()22y fx f x =+的值域为[]2,14D.已知函数()f x 满足()()11f x f x =+-，且()15f -=，则()35f =【答案】D 【解析】【分析】由奇函数的定义可判断A ，函数22y x x a =++的值域M 满足(0,)M +∞⊆，即可判断B ，先求出函数()()22y f x f x =+的定义域，由对数函数和二次函数的性质可判断C ，由周期性可判断D ．【详解】对于A ，函数()313xxk f x k -=+⋅为奇函数，所以()()f x f x -=-，即331313x xx xk k k k ----=-+⋅+⋅，即3(333(13)1)3x x x x x x k k k k ----=-+⋅+⋅，即313313x x x xk k k k --=-++⋅，整理可得22919x x k k -=-，即2(1)(91)0x k --=，所以210k -=，解得1k =±，当1k =时，()1313x xf x -=+，该函数的定义域为R ，满足()()f x f x -=-，合乎题意，当1k =-时，()11313133x xxxf x --==--+，由310x -≠可得0x ≠，此时函数的定义域为{|0}x x ≠，满足()()f x f x -=-，合乎题意.综上所述，1k =±，故A 错误；对于B ，因为()()2lg 2f x x x a =++的值域为R ，则函数22y x x a =++的值域M 满足(0,)M +∞⊆，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，故B 错误；对于C ，因为()[]31log ,1,9f x x x =+∈，由()()22y fx f x =+，得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得13x ≤≤，即函数()()22y fx f x =+的定义域为[1,3]．则30log 1x ≤≤，又()()222233(1log )1log y fx f x x x =+=+++22333(log )4log 2(log 2)2[2,7]x x x =++=+-∈，故函数()()22y fx f x =+的值域为[2,7]，故C 错误；对于D ，函数()f x 满足()()11f x f x =+-，则()()2f x f x +=，故()f x 的周期为2，因为()15f -=，则()()315f f =-=，故D 正确.故选：D.6.已知函数()sin cos f x x x =+，对于()f x 有四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的最小正周期是π：③()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④()f x 的最小值为1-．则四个结论正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.①④【答案】D 【解析】【分析】由偶函数的定义可得①正确；由周期函数的定义可得②错误；由正弦函数的取值范围化简原函数后再结合辅助角公式可得③错误；先求出函数的周期，再结合辅助角公式和正余弦函数的取值可得④正确；【详解】对于①，因为()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-=+，所以()()f x f x -=，故①正确；对于②，()()()()πsin πcos πsin cos f x x x x x f x +=+++=-≠，所以π不是()f x 的周期，故②错误；对于③，当π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，所以()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，又π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以由正弦函数的单调性可得()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调的，故③错误；对于④，由于()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π是()f x 的一个周期，又[]0,πx ∈时，sin 0x ≥，则()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，又ππ5π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 42x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，()f x ∈-⎡⎣；当()π,2πx ∈时，sin 0x <，则()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=+ ⎪⎝⎭，又π5π9π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πcos 42,1x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎭，()(1f x ∈-；综上可得()f x ∈-⎡⎣，所以()f x 的最小值为1-，故④正确；故选：D.7.已知1tan 3α=，1tan 7β=-，且α，(0,π)β∈，则2αβ-=（）A.4π B.4π或5π4C.3π4-D.4π或5π4或3π4-【答案】C【解析】【分析】由正切二倍角公式以及两角差的正切公式求解结果.【详解】∵1tan 03α=>，且(0,π)α∈，∴π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(0,π)α∈，∴22122tan 33tan 201tan 4113ααα⨯===>-⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∵1tan 07β=-<，且(0,π)β∈，∴π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2(π,0)αβ-∈-，又31tan 2tan 47tan(2)1311tan 2tan 147αβαβαβ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-===+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭，∴3π24αβ-=-．答案：C.8.已知函数()π2cos 3f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0ω>）在π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围为（）A.(]40,48 B.[)40,48 C.(]42,46 D.[)42,46【答案】D 【解析】【分析】由余弦型函数的性质列出不等式组，进而得出ω的取值范围.【详解】因为π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππππ,33123x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．令π2cos 03x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πcos 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为()π2cos 3f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点，所以23πππ25π61236ω≤+<，解得4246ω≤<.故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列四个选项，正确的有（）A.()tan ,cos P αα在第三象限，则α是第二象限角B.已知扇形OAB 的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为12C.若角α的终边经过点()(),20≠a a a，则sin 5α=D.sin 3cos 4tan 50>【答案】ABD 【解析】【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由题可得tan 0α<，则α属于第二或者第四象限；cos 0α<，则α属于第二或者第三象限或角度终边落在x 轴的负半轴上；故α属于第二象限，A 正确；对B ：设扇形OAB 的圆心角为(0)αα>，半径为R ，圆心角对的弧长为l ，则142lR =，210l R +=，解得24l R =⎧⎨=⎩或81l R =⎧⎨=⎩，当81l R =⎧⎨=⎩时，=8lR α=不合题意，所以24l R =⎧⎨=⎩，又l R α=，即24α=，解得12α=，B 正确；对C ：根据题意可得25sin 5α===±，故C 错误；对D ：因为3,2ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，334,,5,222ππππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故sin 30,cos 40,tan 50><<，故sin 3cos 4tan 50>，D 正确.故选：ABD.10.设函数2()ee xx f x --=-，则（）A.()f x 的值域为1(,]4-∞B.()f x 在(2],ln -∞单调递增C.曲线()y f x =关于直线ln 2x =对称D.若a b <且()()f a f b =，则02ln 2a b <+<【答案】AB 【解析】【分析】利用配方法结合指数函数的性质求()f x 的值域判断选项A ；利用导数求()f x 单调区间判断选项B ；由函数值的符号否定对称轴判断选项C ；由指数式和对数式的运算结合基本不等式判断选项D.【详解】对于A ，函数e x y -=值域为䖰࢞∞，而22111()e e e 244x xx f x ---⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭，令e x t -=，则21124y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，()0,t ∈+∞，由一元二次函数性质可知21124y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当()0,t ∈+∞时，22111111242244y t ⎛⎫⎛⎫=--+≤--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即当12t =即ln 2x =时等号成立，所以()f x 的值域为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，A 选项正确；对于B ，()2()e2e e 2e 1xx x x f x ----='=-+-，则()0f x '>解得ln 2x <，()0f x '<解得ln 2x >，则()f x 在(2],ln -∞上单调递增，在[)ln 2,∞+上单调递减，B 选项正确；对于C ，0x <时，e 1x ->，2e e x x -->，20()e e x x f x --=-<，0x >时，0e 1x -<<，2e e x x --<，20()e e x x f x --=->，所以曲线爠࠰ 不可能关于直线ln 2x =对称，C 选项错误；对于D ，a b <且()()f a f b =，由BC 选项可知，0ln 2a b <<<，有e e 0a b -->>，由22e e e e a a b b ------=，有()()22ee e e e e ee ab a b a bab ---------=-=-+，0e e a b ---≠，则1e e a b --+=，有1e e a b --=+≥=，由a b ≠，则()1e4a b -+<，()1ln2ln 24a b -+<=-，得2ln 2a b +>，D 选项错误.故选：AB.11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C .0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,≥≥b a b c ，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1xf x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e x x x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,≥≥b a b c ，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1xf x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数112y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是[]2,4，则函数()()()ln 2f x g x x =-的定义域为______．【答案】()2,3.【解析】【分析】由条件求出函数112y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭解析式中112x +的范围，列出使得()()()ln 2f x g x x =-有意义的不等式，解不等式可得结论.【详解】因为函数112y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是䖰࠰，所以24x ≤≤，故12132x ≤+≤，因为()()()ln 2f x g x x =-有意义，所以()2320ln 20x x x ⎧≤≤⎪->⎨⎪-≠⎩，所以23x <<，所以函数()()()ln 2f x g x x =-的定义域为䖰࠰.故答案为：䖰࠰.13.已知0,0x y >>，28x y +=且2425216xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围为________．【答案】31m -<<【解析】【分析】利用基本不等式求出42516xx y+的最小值，再根据不等式恒成立转化为一元二次不等式即可求解.【详解】因为28x y +=，所以82x y =-，所以()2582425442525161628y x x y x y x y -+=+=+-，因为()42514251825149292828288229y x x y x y x y x y ⎡⎛⎫⎛=⎫+=++≥+=⎢ ⎪ ⎝⎣+⎝⎭+⎭，当且仅当8252y x x y =，即45y x =，即1620,77x y ==时取得等号，所以4252528x y +-有最小值为3，因为2425216xm m x y+>+恒成立，所以232m m >+，即2230m m +-<，解得31m -<<，故答案为:31m -<<.14.已知函数()()2e 0xf x ax x x =-≠有3个极值点123123,,()x x x x x x <<，则a 的取值范围是______.【答案】()2e,∞+【解析】【分析】首先通过对函数求一阶导数，分析导数的符号变化来确定函数的单调区间.利用导数等于零的条件，求出临界点，并分析函数在各个区间内的单调性.通过分析函数在不同区间的单调递增与递减，确定函数存在三个极值点的条件.将导数与水平线的交点问题转换为几何意义上的交点问题，通过作图分析函数的交点数量，确定参数的取值范围.【详解】因为函数()()2e0xf x ax x x =-≠，所以，当0x <时，()22e x f x ax =+，()22e 2xf x ax '=+，令()0f x '=得2ex a x=-，所以，当0x >时，()22exf x ax =-，()22e 2x f x ax '=-，令()0f x '=得2exa x =，所以，令()22e ,0e ,0xx x x g x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则()2222(21)e ,0(21)e ,0xxx x xg x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪-<⎩'⎪，所以，当0x <时()0g x '>，102x <<时，()0g x '<，12x >时，()0g x '>，所以，函数()g x 在(),0∞-和1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；因为函数()()2e0xf x ax x x =-≠有3个极值点1x ，2x ，3x （123x x x <<），所以，函数()g x 与y a =有三个交点，因为，当0x <时，当0x >时，12e 2g ⎛⎫=⎪⎝⎭，作出函数()g x 与y a =图象如图，由图可知，函数()g x 与y a =有三个交点，则满足2e a >.故答案为：()2e,∞+【点睛】本题以函数极值点的数量为背景，通过求导数并结合单调性分析，考查了对函数性质的深入理解与灵活应用.通过数形结合的方法，利用图象直观判断交点数量，使得分析更加清晰易懂.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()sin 2cos 2,f x m x n x =+且()y f x =的图象过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求,m n 的值；（2）将()y f x =的图象向左平移(0π)ϕϕ<<个单位长度后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =图象上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的解析式.【答案】（1）m =，1n =（2）()2cos 2g x x =【解析】【分析】（1）根据()f x 图象所过点列方程组，由此求得,m n 的值.（2）根据三角函数图象变换求得()π2sin 226g x x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，根据“函数()y g x =图象上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1”求得ϕ，也即求得()y g x =的解析式.【小问1详解】因为()y f x =的图象过点π12⎛⎝和点π23,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππsin cos 664π4π2sin cos33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩即1221222m n m n =+⎨⎪-=--⎪⎩解得1m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.【小问2详解】由（1）可知()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意，可得()π2sin 226g x x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭.设()y g x =图象上的最高点为()02x ,，由题意可知＝1，所以00x =，即到点()0,3的距离为1的最高点为()0,2.代入()y g x =，得πsin 26ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝1.所以()ππ22πZ 62k k ϕ+=+∈，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 22cos 22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.16.如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//BC AD ，//EF AD，4=AD ，AB =，2BCEF ==，AF =FB ⊥平面ABCD ，M 为AD 上一点，且FMAD ⊥，连接BD 、BE 、BM .（1）证明：⊥BC 平面BFM ；（2）求平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）47【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作EN AD ⊥，垂足为N ，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用勾股定理，可以以BM ，BC ，BF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为FB ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以FB AD ⊥.又FM AD ⊥，且FBFM F =，所以AD ⊥平面BFM .因为//BC AD ，所以⊥BC 平面BFM .【小问2详解】作EN AD ⊥，垂足为N .则//FM EN .又//EF AD ，所以四边形FMNE 是平行四边形，又EN AD ⊥，所以四边形FMNE 是矩形，又四边形ADEF 为等腰梯形，且4=AD ，2EF =，所以1AM =.由（1）知AD ⊥平面BFM ，所以BM AD ⊥.又AB =，所以1BM =.在Rt AFM △中，FM ==在Rt FMB 中，3FB ∴==.由上可知，以BM ，BC ，BF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则(1,1,0)A --，(0,0,0)B ，(0,0,3)F ，(1,3,0)D -，(0,2,3)E ，所以(1,1,0)AB =，(0,0,3)BF =，(1,3,0)BD =-，(0,2,3)BE =，设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11100x y z +=⎧⎨=⎩，可取(1,1,0)m =-.设平面DBE 的法向量为()222,,n x y z =，由0n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222230230x y y z -+=⎧⎨+=⎩，可取()9,3,2n =-.因此，cos ,47m n m n m n ⋅==⋅.依题意可知，平面ABF 与平面DBE的夹角的余弦值为47.17.已知点(12,1A -，1(1,)2B ，平面上的动点P 满足直线PB 与PA 的斜率之差为1.记P 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）若P 在直线1x =右侧，直线PA 与x 轴，y 轴分别交于点,D E ，直线PB 与x 轴，y 轴分别交于点,F G ，求四边形DEFG 面积的最小值.【答案】（1）()221x y x =≠±（2）2【解析】【分析】（1）设(),,1P x y x ≠±,由题意，得出1122111PB PAy y k k x x ---=-=-+，整理即可得C 的方程；（2）由（1）求出直线PA ，PB ，进而得到点,,,D E F G 的坐标，结合图象可求出四边形DEFG 面积，借助导数求其最小值.【小问1详解】设(),,1P x y x ≠±,所以121PAy k x -=+，121PB y k x -=-，由题意,1122111PB PA y y k k x x ---=-=-+,化简得21212y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即22x y =，所以C 的方程为()221x y x =≠±.【小问2详解】由（1）可设2,,12s P s s ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()21122112PAs k s s -==-+，()112PBk s =+.从而PA 的方程为：()()111122y s x -=-+，故,0,0,12s s D E s -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，PB 的方程为()()111122y s x -=+-,故,0,0,12s s F G s ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故四边形DEFG 的面积32112211221s s s s s S DF EG s s s =⨯⨯=⨯+⨯+=+--，设函数()32,11xf x x x =>-，则()()()222231x x f x x--'=，当1x <<时，࠰ ，故()f x单调递减,当x >࠰，故()f x 在)∞+单调递增,故当s =,即32P ⎫⎪⎭时,四边形DEFG 的面积S 取得最小值2.18.已知函数()e cos xf x a x =+在0x =处的切线方程为2y x =+.（1）求实数a 的值；（2）探究()f x 在区间3π,2⎫⎛-+∞ ⎪⎝⎭内的零点个数，并说明理由.【答案】（1）1a =（2）()f x 在区间3π,2∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭有且仅有两个零点,理由见解析.【解析】【分析】（1）运用导数几何意义，结合斜率可解;（2）()()e cos ,e sin x x f x x f x x =-'=+∴，令()()(),e cos xg x f x g x x =-''=，运用()g x '的正负判定()f x '的单调性，再运用()f x '的正负得到()f x 单调性，结合零点存在性定理可解.【小问1详解】由题可知()e sin xf x a x -'=，由0x =处的切线方程为()02,0e 1y x k f =+∴='==，把点()0,2代入得0e cos02,1a a +=∴=．【小问2详解】由（1）可知()()e cos ,e sin x xf x x f x x =-'=+∴，令()()(),e cos xg x f x g x x =-''=，当3π,π2x ∈--⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 在区间3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增．()3ππ23πe 10,πe 02g g --⎛⎫-=-<-=> ⎪⎝⎭，∴由零点存在定理可知，存在03π,π2x -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即00e sin ,x x =∴当03π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间03π,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当()0,πx x ∈-时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,πx -上单调递增，又()3ππ23π3πe cos 0,πe 1022f f --⎛⎫⎛⎫-=+->-=-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴由零点存在定理可知()f x 在区间3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．当[)π,0x ∈-时，()e sin 0xf x x =->'；当[)0,x ∈+∞时，()0e sin e 10xf x x '=-≥-≥：()f x \在区间[)π,-+∞上单调递增．又()()π0πe 10,0e 10f f --=-<=+>，∴由零点存在定理可知，存在唯一零点[)2π,0x ∈-，使得()20f x =，综上可得，()f x 在区间3π,2∞-⎛⎫+⎪⎝⎭有且仅有两个零点．19.对给定的点集12{,,,}n S P P P =，定义22212(|||)|||S n f P PP PP PP =+++，使)(S f P 取得最小值的点P 称为S 的重心.（1）求集合{(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)}S =----的重心；（2）若3n =，且123,,P P P 不共线，证明：S 的重心和123PP P 的重心重合；（3）已知：若12n x x x ⋯，，均为正数，则212()n x n x x +++++≤.若凸n边形12n PP P 的周长为C ，12{,,,}n S P P P =，证明：2()(S Cf P n≥.【答案】（1）()0,0（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据)(S f P 定义代入即可求出S 的重心；（2）设(),,1,2,3k k k P x y k =，由)(S f P 定义化简即可求)(S f P 取最小值()()3222213k k k M x y x y==+-+∑，进而命题得证；（3）借助（2）的结论，结合基本不等式可分别证明()2221111nn kk k k k x nx x x n +==-≥-∑∑，()2221111n n k k k k k y ny y y n +==-≥-∑∑，命题即可得证.【小问1详解】(1)设(),P x y ,由题意，则()()()()()()()()2222222211111111()S x y x y x f P y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--+-++++++-⎣⎦⎣⎦=++⎦+⎣⎣+⎦()2242x y =++，所以当0x y ==时，)(S f P 取最小值8，从而S 的重心为点()0,0.【小问2详解】设(),,1,2,3k k k P x y k =，记()12313x x x x =++，()12313y y y y =++，()()()()2232213()k k S k f M P y =⎡⎤⎡⎤--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+∑，其中()()32213k k k M x y x y==+-+∑为常数，故当,x x y y ==时，)(S f P 取最小值M ，从而S 的重心为()x y ，也即123PP P 的重心.【小问3详解】同(2)可知，)(S f P 的最小值为()()22221n k k k M xy n x y ==+-+∑，其中11n k k x x n ==∑，11n k k y y n ==∑，当1j i -≠或()(),1,i j n ≠时，由基本不等式得222i i i j x y x x ≤+，所以1222211111111222n n n n n nk k i i k k k k k i j i k k n x nx x x y x x x n n n n -+====+==⎛⎫--=-≥- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑()2111n k k k x x n +==-∑，同理，()2221111n n k k k k k y ny y y n +==-≥-∑∑，故()()22221121111n n k k k k k k C M x x y y n n n ++==⎛⎛⎫⎡⎤≥-+-≥= ⎪ ⎣⎦⎝⎭⎝∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解)(S f P 的定义，根据定义列出式子，求出重心.。

江西省2022届高三数学第四次月考试题理

江西省南昌市第二中学2021届高三数学第四次月考试题理一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知实数集R ，集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x }，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．[2，4]B ．{2，3，4}C ．{1，2，3，4}D ．[1，4]2.若复数z 满足z (1－i )＝|1－i |＋i ，则z 的虚部为( ) A ．2－12 B ．2+1 C ．2＋12i D ．2＋123．设a ＝log 318，b ＝log 424，432=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜a D ．c ＜b ＜a4．以下四个命题中，真命题的是（） A ．∃x∈（0，π），使sinx ＝tan xB ．“对任意的x ∈R ，x 2+x +1＞0”的否定是“存在x 0∈R，x 02+x 0+1＜0”C ．△ABC 中，“sinA+sin B ＝cosA+cosB”是“C＝2π”的充要条件 D ． ∀θ∈R，函数f （x ）＝sin （2x+θ）都不是偶函数5. 函数21sin x xx y ++=的部分图象大致为（）6.为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北19°7′方向上，塔顶T 处的仰角为30°，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B处，测得铁塔在东偏北79°7′方向上，塔顶T 处的仰角为60°，则铁塔OT 的高度为（） A.720米 B.725米 C.2120米 D.2125米7．函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（﹣π，0）的部分图象如右图所示，要得到函数y ＝A sinωx 的图象，只需将函数f （x ）的图象（） A ．向右平移B ．向左平移C ．向左平移D ．向右平移8．已知函数f (x )＝ln (1+|x |)﹣211x+,则最新x 的不等式f （lnx ）+f (x 1ln )＜2f (1)的解集为（）A ．（0，+∞）B ．（0，e ）C ．（e1，e ） D ．（1，e ） 9.已知向量与夹角为θ,||＝3，||＝1且若对∀x ∈R，恒有|+x |≥|+|,则tan2θ等于（） A ．2 B ．2﹣ C ．2﹣2 D ．2210. 如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AD CD ⊥，150BAD ∠=︒，2AB =，3AD =若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（） A ．254 B ．2516 C ．234D ．2316ABCDE11．已知函数的图象与直线y ＝m （x +2）（m ＞0）恰有四个公共点A （x 1，y 1），B （x 1，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（x 4+2）tan x 4＝（） A ．﹣1B ．0C ．1D ．12.设0>a ，若对任意的),0(+∞∈x ，不等式0ln ≥-x ae ax恒成立，则a 的最小值为（） A.e 1B.e 21 C. e 2D.3e二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为.14.在△ABC 中，∠A=600,∠A 的平分线AD 交边BC 于点D,已知AD=43，且)(31R AC AB AD ∈+=λλ，则AB 在AD 方向上的投影的值为 . 15. 已知奇函数f （x ）＝3sin （ωx +φ）-cos （ωx +φ）（|φ|＜,ω>0）任意的x ∈R都有f （x ）＋f （x ＋）=0，则当ω取最小值时，f （）的值为 .16．若∀m ∈（0，e ），∃x 1，x 2∈（0，e ）且x 1≠x 2，使得，则实数a 的取值范围是．（e 为自然对数的底数）三、解答题（共6小题，共70分） 17.( 本小题满分10分）已知α)2,0(π∈，向量＝（1，3）与＝（tan(α-4π)，1）平行,（I ）求cos(2021π-2α)-cos(2π+2α)的值（II ）若1010)sin(=-βα，且)2,0(πβ∈，求角β的值.18.( 本小题满分12分）如图，在△ABC 中，C=4π,CA ·CB =48,点D 在BC 边上，且AD=25，cos∠ADB=53.(I)求AC,CD 的长; （II ）求cos∠BAD. .19．( 本小题满分12分）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）(Ⅰ)当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数1()cos (3sin cos )(0,2f x x x x A B ωωωω=-+>），分别是y ＝f （x ）上的一个最高点和一个最低点，AB 的最小值为2+44π（I ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,12ππx ，求函数y ＝f （x ）的值域；（II ）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且的外接圆半径为，求△ABC 周长的取值范围．.21.(本小题满分12分）已知函数()()sin cos 0f x x x x x =-≥. (I)求函数()f x 的图象在π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程； (II)若任意()0,x ∞∈+，不等式()3f x ax <恒成立，求实数a 的取值范围；22. (本小题满分12分）已知函数)0<(1)ln()(a a x x x f ++=.(I)若函数)(x f 在定义域上为增函数，求a 的取值范围； (II)证明：cosx e <)(x+x f .高三第四次考试理科数学试卷参考答案1--12 BDDCB CAC DC AA13. 4﹣ln 3 14. 33 15．3 16．e a e <≤510．C C c 【解析】依题可求得3CD =，设DE x =，则03x ≤≤，于是22()()AE BE AD DE BA AD DE AD BA AD DE BA DE ⋅=+⋅++=⋅++⋅+221123332()()224x x x =++⋅-+=-+，所以，当12x =时，AE BE ⋅有最小值234．11.A 【解析】由其图象如图所示，当x ∈[，]，f （x ）＝﹣cos x ，f ′（x ）＝sin x ，由图知切点坐标为（x 4，﹣cos x 4），切线方程为：y +cos x 4＝sin x 4（x ﹣x 4），又切线过点（﹣2，0），则cos x 4＝sin x 4（﹣2﹣x 4），即（x 4+2）tan x 4＝﹣1，故选：A ． 12.A 【解析】互为反函数与因为axy e y ax ln ==⇒0ln ≥-a x e ax ，所以只需要0≥-x e ax，ea 1≥.16【解析】∵m ∈（0，e ）， ∴y ＝（m ﹣）2+2∈[2，4），由题意，得y ＝ax ﹣lnx 在（0，e ）上不单调，∴y ′＝a ﹣＝，∴∈（0，e ），a ＞，①当时，y ′＜0，y ∈（1+lna ，+∞），②当时，y ′＞0，y ∈（1+lna ，ae ﹣1）．∴y 在x ＝1+lna 时有极小值，因此，故答案为：≤a ＜e ．17. 【解析】(1) 由已知tan α=25551cos ,55252sin ====∴αα 54555522cos sin 22sin =⨯⨯==∴ααα5315521cos 22cos 22-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-=αα 所求为5153542cos 2sin =-=+∴αα (2) 由)2020πβπα，（），，（∈∈得)2,2(ππβα-∈-1010)sin(=-βα10103)1010(1)(sin 1)cos(22=-=--=-∴βαβα则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=--- 2531051025105102=⨯-⨯=因π(0)2β∈，，则π4β=. 18. 【解析】19．【解析】（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞242221()()x x e x xe f x k x x x ⋅-'=--+3(2)()(0)x x e kx x x --=>由0k ≤可得0xe kx ->所以当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减，所以当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增，所以 ()f x 的单调递减区间为(0,2)，()f x 的单调递增区间为(2,)+∞ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，0k ≤时，()f x 在(0,2)内单调递减，故()f x 在(0,2)内不存在极值点；当0k >时，设函数()xg x e kx =-，[0,)x ∈+∞，因此ln ()xxkg x e k e e=-=-．当01k <≤时，(0,2)x ∈时()0xg x e k '=->，函数()y g x =单调递增故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点；当1k >时，x (0,ln )kln k(ln ,)k +∞()g x '-0 +()g x函数在(0,2)内存在两个极值点当且仅当(0)0(ln )0(2)00ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，解得22e e k <<综上函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为2(,)2e e ．20．【解析】解：由1()cos (3sin cos )sin(2)26f x x x x x πωωωω=-+=-,因为AB 的最小值为2+44π，所以,=122T πω=因此故＝．（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,12ππx 时，值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-1,23 （2）由f （）＝，得sin （B +）＝，可得，则．又∵sin B ≠0，∴，即sin （A ﹣）＝．由0＜A ＜π，得＜A ﹣＜，∴A ﹣，即A ＝．又△ABC 的外接圆的半径为，∴a ＝2sin A ＝3．由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc，即b +c ≤6，当且仅当b ＝c 时取等号，又b +c>3 ∴周长的取值范围为（6，9]．21.【解析】且()00,x x ∈时， ()()00h x g x >⇒'>'，∴()g x 递增，∴()()00g x g >= (不符合题意) 综上： 13a ≥. 22..。