分式的混合运算

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分式的混合运算 (优质课)获奖课件

x＋2 x－1 x－4 (2)( 2 － 2 )÷ x x －2x x －4x＋4 x＋2 x－1 x ＝[ － ]· x（x－2）（x－2）2 x－4 （x＋2）（x－2）－（x－1）x x ＝ · 2 x（x－2） x－4 x2－4－x2＋x ＝（x－2）2（x－4） 1 ＝ 2. （x－2）
点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减．例 6(教材例 8) 计算： 2m－4 5 (1)(m＋2＋ )· ； 2－m 3－m x＋2 x－1 x－4 (2)( 2 － )÷ x . x －2x x2－4x＋4
2m－4 5 解：(1)(m＋2＋ )· 2－m 3－m （m＋2）（2－m）＋5 2m－4 ＝ · 2－m 3－m 9－m2 2（m－2）＝ · 2－m 3－m （3－m）（3＋m）－2（2－m）＝ · 2－m 3－m ＝－2(m＋3)；
角形的外角？
2．探究三角形外角的性质．老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出以下问题：你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
学生归纳得出三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析例1 如图， ∠ BAE ， ∠ CBF ， ∠ ACD 是△ ABC 的三个外角，它们的和是多少？
三、巩固练习 x2 1．(1) －x－1； x－1 2 2 x－1 (2)(1－ )÷ ； x＋1 x＋1 2ab 2bc (3) ＋；（a－b）（a－c）（a－b）（c－a） 1 1 xy (4)( ＋ )÷ 2 2. x－y x＋y x －y 2．教材第 142 页第 1，2 题．
四、课堂小结 1 ．分式的混合运算法则是先算 ( ( 的． 2．一些题应用运算律、公式能简便运算．五、布置作业 1．教材第 146 页习题 15.2 第 6 题．

分式混合运算(习题及答案)

分式混合运算(习题及答案)混合运算（题）例1：混合运算：解：原式可以化简为：frac{4-x}{x-2} \div \frac{12}{x+2-x^2}$$frac{4-x}{x-2} \times \frac{x+2-x^2}{12}$$frac{-(x-4)}{(x-2)(x+4)}$$例2：先化简，然后在$-2\leq x\leq 2$的范围内选取一个合适的整数$x$代入求值．解：先化简原式：frac{x(x+1)}{(x-1)(1-x)} \div \frac{2x}{x+1}$$frac{x(x+1)}{(x-1)(x-1)} \times \frac{x+1}{2x}$$frac{1}{2}$$由于$-2\leq x\leq 2$，且$x$为整数，因此使原式有意义的$x$的值为$-2$，$-1$或$2$。

代入计算可得：当$x=2$时，原式为$-2$。

巩固练1.计算：1)$$\frac{x-y}{x+2y} \div \frac{1}{2x+4y}$$化简原式：frac{x-y}{x+2y} \times \frac{2x+4y}{1}$$frac{2(x-y)}{x+2y}$$2)$$\frac{\frac{a}{a-1}-1}{a^2-2a+1} \div \frac{1}{a+1}$$ 化简原式：frac{\frac{a}{a-1}-1}{(a-1)^2} \times (a+1)$$frac{a-2}{(a-1)^2}$$3)$$\frac{2a-2ab}{a^2-b^2} \div \frac{a+b}{a+b}$$化简原式：frac{2a-2ab}{a^2-b^2} \times \frac{a+b}{a+b}$$frac{2a-2ab}{(a-b)(a+b)} \times \frac{a+b}{1}$$frac{2(1-b)}{a-b}$$4)$$\frac{y-1-\frac{8}{y-1}}{y^2+y} \div\frac{1}{y(y+1)}$$化简原式：frac{y-1-\frac{8}{y-1}}{y(y+1)} \times \frac{y(y+1)}{1}$$ frac{(y-1)^2-8}{y(y+1)^2}$$5)$$\frac{a^2-2ab+b^2}{b}\div \frac{1}{a-b}-1$$化简原式：frac{(a-b)^2}{b} \times \frac{a-b}{1}-1$$frac{(a-b)^3}{b}-1$$6)$$\frac{x^2-4x+4}{x(x-1)} \div \frac{x+2}{x-1}$$化简原式：frac{(x-2)^2}{x(x-1)} \times \frac{x-1}{x+2}$$frac{(x-2)^2}{x(x+2)}$$7)$$\frac{2}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2(x+1)}$$化简原式：frac{2(x+1)-1}{(x-1)^2(x+1)}$$frac{2x+1}{(x-1)^2(x+1)}$$8)$$\frac{3-x}{2(x-2)} \div \frac{5}{x-2}-\frac{5}{x-3}$$ 化简原式：frac{3-x}{2(x-2)} \times \frac{x-2}{5} - \frac{5}{x-3}$$ frac{(x-3)(x-1)}{2(x-2)5} - \frac{5}{x-3}$$frac{x^2-4x+7}{10(x-2)(x-3)}$$9)$$\frac{x-1}{x+1} \div \frac{x-3}{x-2} - \frac{5}{x^2-3x}$$化简原式：frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x-3)} - \frac{5}{x(x-3)}$$frac{x^2-3x-2}{x(x-3)(x+1)(x-3)} - \frac{5(x+1)}{x(x-3)(x+1)(x-3)}$$frac{x^2-3x-2-5x-5}{x(x-3)(x+1)(x-3)}$$frac{x^2-8x-7}{x(x-3)(x+1)^2}$$10)$$\frac{1}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x(x-1)}$$化简原式：frac{x-(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$$frac{1}{x(x+1)}$$11)$$\frac{2}{x+y} - \frac{1}{y-x} \times \frac{y^2-x^2}{11}$$化简原式：frac{2(y-x)}{(y-x)(x+y)} - \frac{y+x}{11(x+y)}$$frac{y-x-2}{11(x+y)}$$2.化简求值：1)先化简，再求值：$\frac{x^2+2x+1}{x+2x+2} \div \frac{1}{x+2}$，其中$x=3-1$。

分式的混合运算

2、分式的乘方
8x6 y 3 2x y 3 ( ) 27 z 3 ————
2
先乘方，再乘除，然后加减
3z
分时乘方：把分子、分母分别乘方
3、分式的加减法 1 a3 a 2 a 2 ————
1
2x 1 1 x 1 x 1 ( x y)( x y) ————
★例题
1 1 1 1 （3）( ) ( 2 2 ) a b a b
x2 4 x2 ) （4）( x2 2 x 2x
b a b2 a2 解：原式 ( ) ( 2 2 2 2 ) ab ab ab ab
b a b2 a 2 2 2 ab ab
b a a 2b 2 2 ab b a 2
★例题
15.2 分式的运算
——分式的混合运算
★知识回顾 1、分式的乘除法
6ab 10c 2 5c 3b
4a c ————
xy 1 2 2 2 2 x y x yx y
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
x2 4 x 2 解：原式 x2 2x
( x 2)( x 2) 2 x x2 x2
2x

ab ba
★例题
a b a2 b2 （1）1 2 a 2b a 4ab 4b 2
a b a 2 4ab 4b 2 解：原式 1 a 2b a2 b2
从高到低，从左到右，括号从小到大
同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减．

分式的混合运算

年级：八年级学科名称：数学分式的混合运算
授课学校：授课教师：
分式的混合运算
分式混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里的。
当除法写成乘法的形式时，灵活的应用乘法交换律和结合律可起到简化运算的作用；
分式的乘除混合运算
例
计算：
2x 5x-3
m2
1 2mn
n2
1 m2
1 n2
mn m3n3
分析与解：原式
(m
2
n)3
mn mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
(m
2
n)2
1 mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
2mn m2 n2 mn (m n)2 (m n)2 m n
(3) x 3 x(x 2)
分式的加减运算
1.通分，化成同分母； 2.最后结果化成最简分式或整式.
分式的混合计算
1.计算
(1)1 1 x x 1 x2 1
(1) x 1
(2)( x 2 x 1 ) x 4 x2 2x x2 4x 4 x
(2)
1 (x 2)2
(3) 1 1 m n m n
谢谢聆听，再见！
3 25x2 -9
x. 5x+3
解：
2x 5x-3
3 25x2 -9
x 5x+3
=
2x 5x-3
25x2 -9 3
x 5x+3
= 2x2 . 3
分式的乘除混合运算
1. 除法统一为乘法（分子分母有多项式，要分解因式）； 2.约分，化成最简分式或整式.

八年级数学 15.2.2分式的混合运算

b d b c bc
同分母加减：b c b c
加减法
aa a
异分母加减：b d bc ad bc ad
a c ac ac ac
一新课讲解
2
问题：如何计算
2m

n

1 m-n
-
m n

n 4
？
请先思考这道题包含的运算，再确定运算顺序，并独立完成.
b

a
1
b

a
1
b

a
1
b

a
1
b

a
1
b

a
1
b

2a
a2 b2
巧用公式
一能力提升
例4.若
2 x2 1

A x 1
B ，求A、B的值. x 1
解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.
2.课本p146 习题15.2 第6题
一课堂练习
1.
计算
1
3x 2y

3x 2y

2y 3x
的结果是（ C
）
2 y 6xy
A. 9x2
2y 3x
B. 2y
3x 2y
C. 3x
3x
D. 2 y
2.
化简(
x y

y) x

x
x
y
的结果是
x y y.3.化简来自1x y x 3y
解：∵ A B x 1 x 1

分式的混合运算教案

分式的混合运算教案教案标题：分式的混合运算教案教案目标：1. 理解分式的概念和基本运算规则。

2. 能够进行分式的加减乘除混合运算。

3. 掌握解决实际问题时运用分式的能力。

教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾分式的概念和基本运算规则。

2. 提示学生分式的应用场景，如食谱中的比例、商业中的折扣等。

教学活动：步骤一：分式的加减法运算1. 通过示例和讲解，引导学生理解分式的加减法运算规则。

2. 给学生提供一些练习题，让他们在小组内互相讨论和解答。

3. 随机抽查学生解答的过程和答案，进行讲解和纠正。

步骤二：分式的乘除法运算1. 通过示例和讲解，引导学生理解分式的乘除法运算规则。

2. 给学生提供一些练习题，让他们在小组内互相讨论和解答。

3. 随机抽查学生解答的过程和答案，进行讲解和纠正。

步骤三：分式的混合运算1. 给学生提供一些包含分式的混合运算题目，让他们在小组内互相讨论和解答。

2. 引导学生分析题目，确定运算的顺序和方法。

3. 随机抽查学生解答的过程和答案，进行讲解和纠正。

应用活动：1. 提供一些实际问题，要求学生运用分式的混合运算解决。

2. 学生在小组内互相讨论和解答问题。

3. 随机抽查学生解答的过程和答案，进行讲解和纠正。

总结活动：1. 回顾本节课所学内容，强调分式的混合运算的重要性和应用。

2. 鼓励学生继续练习和应用分式的混合运算。

教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与和表现。

2. 收集学生完成的练习题和应用题，对其答案进行评估。

3. 根据学生的表现评估教学效果，及时调整教学方法和内容。

教案扩展：1. 鼓励学生自主探索更多分式的混合运算题目，并且解决实际问题。

2. 提供更复杂和挑战性的分式运算题目，提高学生的运算能力。

3. 引导学生运用分式的混合运算解决更复杂和抽象的数学问题。

《分式的混合运算》教案精品 2022年数学

第2课时分式的混合运算1．掌握分式加减乘除法的法那么，并会运用法那么进行分式加减乘除法的计算．(重点) 2．能够运用分式加减乘除法那么来解决混合运算的实际问题．(难点)一、情境导入提出问题：1．说出有理数混合运算的顺序．2．类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？今天我们共同探究分式的混合运算．二、合作探究探究点：分式的混合运算【类型一】分式的化简计算： (1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a ；(2)(x ＋xx 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)．解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分即可得到结果．解：(1)原式＝3a 2＋9a －a 2＋3a 〔a ＋3〕〔a －3〕·〔a ＋3〕〔a －3〕a ＝2a ＋12；(2)原式＝x 3〔x ＋1〕〔x －1〕÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1〔x ＋1〕〔x －1〕＝x 3〔x ＋1〕〔x －1〕·〔x ＋1〕〔x －1〕2x 2＝x2. 方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【类型二】分式的化简求值先化简代数式x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3x ＋1)，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个适宜的整数x 代入求值．解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x 的取值范围内选取一数值代入即可．解：原式＝〔x －1〕2〔x ＋1〕〔x －1〕÷(x ＋1x ＋1－3x ＋1)＝〔x －1〕2〔x ＋1〕〔x －1〕×x ＋1x －2＝x －1x －2，令x＝0(x ≠±1且x ≠2)，得原式＝12.方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是根本环节，注意选数时，要求分母不能为0.【类型三】利用公式变形对分式进行化简a ＋1a＝5，求a 2a 4＋a 2＋1的值．解析：此题假设先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将a 2a 4＋a 2＋1的分子、分母颠倒过来，即求a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2的值，再利用公式变形求值就简单多了．解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a )2＝25，即a 2＋1a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a2＝23＋1＝24.所以a 2a 4＋a 2＋1＝124. 方法总结：利用x 和1x互为倒数的关系，沟通条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．【类型四】分式混合运算的应用甲、乙两人同时在同一个超市分两次购置同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a ≠b )．(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？ (2)谁的购置方式更合算？请说明理由．解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．解：(1)甲的平均价格为20a ＋20b 20＋20＝a ＋b 2；乙的平均价格为20＋2020a ＋20b＝2aba ＋b；(2)甲的平均价格－乙的平均价格为a ＋b2－2ab a ＋b ＝〔a ＋b 〕22〔a ＋b 〕－4ab 2〔a ＋b 〕＝〔a －b 〕22〔a ＋b 〕，∵a ≠b ，∴〔a －b 〕22〔a ＋b 〕＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，那么乙的购置方式更合算．方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．三、板书设计分式的混合运算分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的．在学习这局部内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法那么并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过根本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率．第3课时多项式1．理解多项式的概念；(重点)2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数； 3．能正确区分单项式和多项式．(重点)一、情境导入列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b ，那么长方形的周长是________； (2)图中阴影局部的面积为________；(3)某班有男生x 人，女生21人，那么这个班的学生一共有________人．观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？假设不是，它又是什么代数式？二、合作探究探究点一：多项式的相关概念【类型一】单项式、多项式与整式的识别指出以下各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x 2＋y 2，－x ，a ＋b3，10，6xy ＋1，1x ，17m 2n ，2x 2－x －5，2x 2＋x，a 7.解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．解：2x 2＋x ，1x的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．单项式有：－x ，10，17m 2n ，a 7；多项式有：x 2＋y 2，a ＋b3，6xy ＋1，2x 2－x －5；整式有：x 2＋y 2，－x ，a ＋b3，10，6xy ＋1，17m 2n ，2x 2－x －5，a 7. 方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．【类型二】确定多项式的项数和次数写出以下各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式． (1)23x 2－3x ＋5； (2)a ＋b ＋c －d ；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2.解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．解：(1)23x 2－3x ＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；(2)a ＋b ＋c －d 的项数为4，次数为1，一次四项式；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2的项数为3，次数为4，四次三项式．方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．【类型三】根据多项式的概念求字母的取值－5x m ＋104x m －4x m y 2是关于x 、y 的六次多项式，求m 的值，并写出该多项式．解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m ＋2＝6，解得m ＝4，进而可得此多项式．解：由题意得m ＋2＝6，解得m＝4，此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．【类型四】与多项式有关的探究性问题假设关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．解析：多项式不含二次项和一次项，那么二次项和一次项系数为0.解：∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，∴m＝0，n－1＝0，那么m＝0，n＝1.方法总结：多项式不含哪一项，那么哪一项的系数为0.探究点二：多项式的应用如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影局部面积是长方形面积减去一个圆面积．解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言表达中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．三、板书设计多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．常数项：不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称整式．这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握．虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了．事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约．。

分式的混合运算

分式的混合运算一、知识回忆1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 分式除法法则：分式除以分式，把除式．．的分子、分母颠倒位置后，与被除式 .. 即：a cb d ⋅=； a cb d ÷= = . 2.分式的乘方：()n a b=nn a b .3.分式的加、减法法则：同分母的分式相加，；异分母的分式相加， .即： = a b a b c c c ±±； = =a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±±.二、知识的运用（练习例题）例1、计算（1）231649a b b a ⋅ （2）2222524ab a bc cd -÷（3）2222255343m n p q mnp pq mn q ⋅÷ （4）)2(216322b aa bc ab -⋅÷（5）22232()()2a b ab c cd d a ÷⋅- （6）3423232263()()ab a c c d b b--÷⋅(1)221642816282a a a a a a a ---÷⋅++++ （2）226(3)(2)(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-（3）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （4）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-例3、计算（1）231 33x x x --- （2）22142x x x +--（3）2232 2(2)m n m mn m n m n ----- （4）223693x xx x x x---++（5）233x x x --- （6）22222222a b b ab a b a b a b ++-+--.（1）22211()x y x y x y x y +÷-+- （2）2()224a a aa a a-÷-+-（3）74(3)3xx x x -+-÷- （4）265(2)22x x x x -÷----（5）2222124()244a a a a a a a a a a +----⋅÷--+ （6）2222421()(1)4441x x x x x x x +--+⋅---+-三、问题探究例5、先化简，再求值：（1）222111a a aa a ++---，其中1a =+. （2）53(2)224x x x x ---÷++，其中2x =．例6、根据下列条件求值（1）2221412211a aa a a a--⋅÷+-+-，其中a满足20a a-=.（2）已知:2:3x y=，求2222()()x y x y xx yxy x y--÷[+]÷的值.（3）已知2317x xx++=，求4221x xx++的值.例7、先化简22122()121x x x xx x x x----÷+++，再给x取一个值，求这个代数式的值.例8、若等式4815(1)(5)A B xx x x x-+=+-+-成立，求实数A、B的值.四、（附加题）1.如图，△ABC 中，∠BAC =120°，D 是BC 边的中点，且AD ⊥AC.求证：AC =12AB.2.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°， BD 平分∠ABC 交AC 于D. 求证：AB + CD =BC.CC。

分式的混合运算

分式的混合运算
对于分式混合运算,一般应按运算顺序,有括号先做括号内的运算,若利用乘法对加法的分配律,则可简化运算。

分式混合运算法则
分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘)；
乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；
加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；
变号必须两处，结果要求最简。

分式运算法则
1、约分
根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

2、公因式的提取方法
系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

3、最简分式
一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

乘法同分母分式的加减法法则进行计算。

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

4、除法
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

也可表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。

5、乘方
分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分。

分式的加减乘除混合运算

例2.计算：
1.
2 3x
x
2
y
x y 3x
x
y
x
x
y
分析与解：
巧用分配律
原式
2 3 x
x
2
y
x y 3x
(x
y )
•
x
x
y
2 3x
2
1 3x
1
•
x
x
y
2• x x y
2x x y
2.
(m
2
n)3
1 m
1 n
m2
1 2mn
n2
1 m2
1 n2
mn
m3n3
例1.(1) ( a 2b )3 •（ c ）2 • ( bc )4 c ab a
解：(1)原式 (a 2b)3 • c2 • (bc)4
(c)3 (ab)2
a4
分子、分母分别乘方
a6b3 c2 b4c4 ••
c3 a2b2 a4 b5c3
（2）( a
b)3
a2 (
b2
)2
2a
ab3
分析与解：原式
(m
2
n)3
mn mn
(m
1
n)2
m2 m
n2 n2 2
m3n3 mn
(m
2
n)2
1 mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
2mn m2 n2 mn (m n)2 (m n)2 m n
2mn m2 n2 mn (m n)2 m n mn
(a b)3 • a2b6 8a3 (a2 b2 )2

分式混合运算

分式混合运算分式混合运算是一种算术技能，可以让学生解决复杂的算术问题。

它包括两种基本类型的算术运算：小数和分数。

本文将探讨什么是分式混合运算，它的基本原理，以及如何在学习和教学中使用分式混合运算。

什么是分式混合运算分式混合运算是指使用小数和分式（或者其他类型的分数）进行算术运算，包括加减乘除和乘幂。

在教学或学习过程中，学生需要学习如何运用这种技能，以解决复杂的算术问题。

运用这种技能，学生可以学习如何解决复杂的算术题目，这可能会有助于提高他们的思维能力，也可能会帮助他们更好地理解数学概念。

基本原理在分式混合运算的过程中，学生需要学习和理解多种算术概念，这些概念可能需要一些时间才能加以掌握，如基数，指数和小数点等。

此外，学生还需要学习一些数学术语，如除法，约分，线性等，以及一些基本的分式，如混合分式，分子分母，以及分数的加减乘除运算。

如何使用分式混合运算要使用分式混合运算，学生需要学习如何计算小数和分数之间的关系，如何计算不同分数的乘法，以及如何计算混合数字的除法。

此外，学生还需要学习如何使用指数来计算某些数字的乘方，如平方和立方。

学生还可以学习如何使用线性方程来解决算术问题，这是一种非常有用的技能，可用于解决很多具体的数学问题。

在学习和教学中使用当学生学习分式混合运算时，他们应该结合实际例子，比如说电费计算，日常消费等等，来理解分式混合运算的概念。

教师可以在课堂上设计分析性的问题来帮助学生解决算术问题，也可以使用实际的例子来提高学生的理解力。

此外，教师还可以使用软件程序，如电子框架或图形化模式，来帮助学生理解分式混合运算的概念，使学生对这些难以理解的概念有更好的理解。

结论分式混合运算是一种有用的数学技能，可以帮助学生学习如何解决复杂的算术问题。

在学习和教学分式混合运算时，学生需要学习基本的算术概念和数学术语，以及如何使用指数和线性方程来解决算术问题。

教师可以利用实际的例子和软件程序来指导学生的学习，使学生更好地理解并掌握分式混合运算技能。

分式的混合运算(教案)

教学内容：分式的混合运算教学目标：1．熟悉分式混合运算的运算顺序； 2．熟练地实行分式的混合运算；3.通过度式混合运算的学习，进一步提升学生的分析水平和运算水平．教学重点：熟练地实行分式混合运算．教学难点：分式混合运算的顺序．教学过程：一、引入新知：1.回忆有理数混合运算的顺序：问题1：说：说有理数混合运算的顺序. （1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右实行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次实行. 2.讲解分式混合运算的顺序：问题2：分式的混合运算与有理数的混合运算顺序相同.实行分式混合运算时，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；同级运算，按从左到右实行；如有括号，做括号内的运算. 提醒：混合运算后的结果分子、分母要实行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式；分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 二、应用举例：例题1：计算 34121311222+++-⋅-+-+x x x x x x x 注意：此题要注意运算顺序，先乘后减.解：原式=)1)(3()1()1)(1(3112++-⋅-++-+x x x x x x x （先因式分解，便于约分） =2)1(111+--+x x x =22)1(1)1(1+--++x x x x （通分） =2)1(11++-+x x x （注意符号） =2)1(2+x例2．计算 x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+解：原式=xx x x x x x 4])2(1)2(2[2-÷----+ （括号里的分母先因式分解）4)2()1()2)(2(2-⋅----+=x xx x x x x x （将括号里的先通分，并将除法转化为乘法） 4)2(4222-⋅-+--=x xx x x x x （计算分子、注意符号） 22)2(14)2(4-=-⋅--=x x x x x x （注意符号、约分）练习：计算：（1）2131111x x x x +⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭ （2） 22224y y x x ⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分析：这两道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,有括号的先算括号内的，最后结果分子、分母要实行约分，注意运算的结果要是最简分式.（3）211x x x -++ ⑷ 221111x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭ [分析] 这道题能够看做三部分，或两部分． [分析]先算括号内的，再乘方，然后做除法．（5）m m m m --•⎪⎭⎫ ⎝⎛-++342252 （6）2214a ab b a b b ⎛⎫⋅-÷ ⎪-⎝⎭ [分析] 这道题先算括号内的，再做乘法法 [分析]先乘方再乘除，然后加减．三、课堂测试计算：（1）232a b ba b b a ++-- （2）2293424a a a a --÷-+ （3）2222x y x y x y x y -+-+- （4）422a a ++- （5）x y y x x y y x 22222÷-•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）b a b b a a b a a a -÷⎪⎭⎫⎝⎛--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12 （7）4222xx x x x x⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ （8）()()2211121a a a a a ---÷--分式的混合运算（测试一）计算：（1）b cc ab 310562• （2）3210452n m n m ÷ （3）22215544b a b a ab b a -•+ （4）3661232-+÷-+x x x x x （5）d abc abd c cd b a 3245342222÷• （6）x x x x x x -•-+÷+212222 （7）a a a -+-111 （8）2210352abbb a a + （9）y x y x x 8164222--- （10）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221111b a b a （11）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x xy y x y y x x 1122 （12）b a b a a b a ba b a b a ÷--+-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22223322 分式的混合运算（测试二）（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-•-22937x y yz x （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷22545y x y x （3）xy x x x x y x 6324442222++•++- （4）yx yx xy x x y 4545222-+÷-- （5）1313+-+x x x （6）224352mp n p n m - （7）xy x xyy x y +++22223 （8）x y y x x y y x 22222223243÷+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （9）a a a a a a-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2422 （10）22221112y x x y y y y x -•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ （11）()22222x y x xy y xy x x xy -•+-÷-（12）121111222+-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a a a a a 分式的混合运算（测试三）1.计算：（1）t s s s t s 26322+•- （2）1212+++a a a （3）22332p mnp n n m ÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛• （4）41681622-+++-x x x x x （5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷xx x 2121 （6）22224421b ab a b a b a b a ++-÷+--（7）14111222-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+a a a a a （8）⎪⎭⎫⎝⎛--+÷--13112x x x x 2．已知2-=+n m ，1=mn ，求2++nmm n 的值． 3．先化简，再求值：已知342=-x x ，求x x x x x x x x -÷⎪⎭⎫⎝⎛+----+44412222的值．分式的混合运算（测试四）1．计算：（1）()2y x y x y x -÷+- （2）224222v u v u v u --+- （3）q r p r pq 212223+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-a b ab a a b a 22 （5）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x xy y x y x xy y x 44 （6）322444222++-÷-+-x x x x x x （7）x x x x x x x +-⨯-+÷+--111112122 （8）1211122+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m m m2．先化简，再求值：（1）()()13214212-+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+x x x x x ，其中6=x ．（2）12222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---b a a b a ab a a b a a ，其中3,32-==b a ．。

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