分式的混合运算

详解点一、分式的混合运算

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序与分数的加减乘除混合运算一样，先要乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

（1）在运算过程中，灵活运用交换律、结合律、分配律，简化计算。运算结果应化为最坚实或整式。（2）对于分式运算，应注意符合问题，同时注意加减乘除及乘方时，应把分子或分母当作一个整体。

详解点二、整数指数幂

1、正整数指数幂的运算性质

（1）（正整数指数幂的性质）

（2）

（3）

（4）

（5）

n n

n

a a

b b

=⎛⎫

⎪

⎝⎭

2、零指数幂的性质：

01(0)

a a

=≠，

3、负指数幂的性质：

1

p

p

a

a

-=

（a≠0，n为正整数）即任何不等于零的数的-n（n为正数）次幂，等

于这个数的n次幂的倒数。

4、引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适用。

详解点三、科学计数法

（1）绝对值大于1的数，用科学计数法表示成a×n

10的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数。（2）绝对值小于1的数，用科学计数法表示成a×-n

10的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数。确定n的方法：

（1）用科学计数法表示绝对值大于1的数，那么n=该数的整数位数-1。例如5位数20300记为 2.3×4

10

（2）用科学计数法表示绝对值小于1的数，那么n=原数第一个非零数字前面所有零的个数。 例如0.0000203记为2.03×-5

10

例题1、计算

x x

-4÷4

4-1--2-2x 122））（

（++x x x x x

分析 在分式混合运算中，加减应先通分；乘除运算，除法应转化为乘法，有括号事，应先算括号内的。

解：（1）原式=x

-4x

· ]2)-(x 1--)2-(x 2x [

2x x + =4)

-(x -x

· ])2-()1-(-)2-(2)-)(x 2(x [

2

2x x x x x x + =4)-(x -x ·)

2-(-4-2

22x x x x x + =4

4x -x 1

-

2+

特别提醒：（1）在分式的四则运算中，要注意运算顺序并且要根据式子的特点，选择灵活简便的计算方法，使运算过程简化。（2）要注意使用运算律，寻求合理的运算途径。

易错提示：分子或分母的系数是负数时，要把“-”号转化为分时本身的符号。

点评：（1）分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简；（2）分子或分母的系数是负数时，应把“-”号转化为分时本身的符号；（3）“1”可以化成任意一个分子、分母的分式，这个可根据题目特点来定。

例1：计算：

）（a

ab a b a 222-2a b a · 1-2a 12+++

【变式练习】

（1）112

---a a a ； （2）)12()2

1444(22

2+-⋅--+--x x x x x x x

例2:先化简，再求值:4

421642

++-÷-x x

x x ，其中 x = 3

【变式练习】

先化简，再求值：()2

11

1211

x x x ⎛⎫+÷-- ⎪--⎝⎭，其中x =

例3：若

1

11

312-+

+=

--x N

x M x x ，试求N M ,的值.

【变式练习】 若2

x B

2-x A 4-2-72

++=x x ，其中A 、B 为待定常数，求A 、B 的值。

例4：计算：(a

2b -3)3

(a -2b)2

【变式练习】 填空：（3×10-5）×（5×10-3）=

例5：用科学计数法表示下列各数

（1）0.0000049 （2）-2800000 （3）13707300（保留四维有效数字） （4）-0.0000051

误区一、分式计算通分时符号错误

例题1、计算: 2

-4

a -2a 2a ++ 错解:2-4a -2a 2a ++=

02

-4

a -4-a 22=+a 纠错秘方: 此题错在忽视分数线的括号作用，此类错误在解方程去分母时也常出现。

正解:2-4a -2a 2a ++=2

-8

-2-4-a -4-a 2-4a -2-2)-2)(a (a 222a a a a ==++

误区二、分式运算结果没有化为最简分式 例题2、计算:

22222

2-4y

---2--x -3y x

y x y x y x y x + 错解: 原式=

2

222222222-y

x -4y -x 2y x x -3y -4y --2--x -3y y x y x y x x y x y x y x +=

+++=++ 纠错秘方：（1）分式运算的结果要化为最简分式的形式，不能停止在还能进一步化简的步骤上；

（2）受化简变形的影响，往往出现复活、分式无意义等错误。 正解: 结果应约分为y

x -1

A 组

一、选择题 1、已知b

b a a N b a M ab +++=+++=

=11,1111,1,则M 与N 的关系为( ) A.M >N B.M =N C .M

A 0.36×10-4

B 3.6×10-4

C 36×10-4

D 3.6×10-5