10.5直线与圆的方程应用举例
直线与圆的方程的应用
课堂小结： 1、熟悉直线、圆的方程； 2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
课后作业：课本144页 练习：2、4
例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
分析:
如图，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴。 本题关键是求出圆心O1的坐标.过O1作AC、BD、AD的垂线, 垂足为M , N, E,则它们分别是AC、BD、AD的中点,垂足M 的横坐标与O1的横坐标一致.同法可求出O1的纵坐标.
练习1:某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高4m.现有一 船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过? (精确到0.1;其中 741 27.22 ) 分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥,只需判断
A1P1或A2 P2的高度是否超过 3m
解：
以ห้องสมุดไป่ตู้示水面跨度的AB所在直线作为x轴，以表示拱高的OP所在的直线
证明：
如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA, BD所在 直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设
A(a,0), B(0,b),C(c,0), D(0, d ).
分别作O1M ,O1N ,O1E垂直于AC, BD, AD,垂足分别为M , N , E ,则它们分别是弦AC, BD, AD的中点,则由中点坐标公式可得
0
2
(4 b)2
.............解得b r2
10.5, r 2
14.52
直线与圆的方程的应用 课件
命题方向1 ⇨直线方程的实际应用
典例 1 如图所示，有一块五边形的铁皮 ABCDE，|CD|＝100 cm，|BC|＝ 80 cm，|AB|＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边 分别落在 BC 和 CD 上．问怎样截才能使矩形的面积最大？
[解析] 分别以 AB，DE 所在的直线为 x 轴、y 轴建立坐标系，以 1 cm 为 1 个单位长度(如图所示)．
∵3m0＋2n0＝1，∴n＝20(1－3m0)． ∴S＝(100－m)·[80－20(1－3m0)]＝－23(m－5)2＋18 3050(0≤m≤30)． 故当 m＝5 时 S 有最大值，这时||EPAP||＝15． 答：使矩形的一个顶点 P 在 AE 上，且||EPAP||＝15时，沿 PQ，PR 剪开，可使截 得的矩形铁皮面积最大．
2．与圆有关的最值问题 ①点 P(x，y)是⊙C 上的动点，Q(a，b)是定点，求yx，yx－－ba，x2＋y2，(x－a)2 ＋(y－b)2,2x＋y 的取值范围时，利用代数表达式的几何意义，数形结合求解． ②点 P(x，y)是⊙C 上的动点，l 是直线，Q 是直线 l 上的动点，求|PQ|或 P 到 l 的距离的最值时，利用数形结合法求解． ③⊙C 经过定点 A，圆心 C 在直线 l 上运动，求半径最小的圆或求经过两定 点 A、B 的最小的圆，用数形结合法讨论求解． ④P 在⊙C 内，求经过点 P 的直线与圆相交最短弦长，用数形结合法求解． ⑤P、Q 分别在⊙C1 与⊙C2 上运动，求|PQ|的最值，用数形结合讨论求解．
『规律方法』 解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适 当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．
直线与圆的方程的应用(新编201908)
§4.2.3直线与圆的方程的应用
例4、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建 造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2 的长度（精确到0.01） y
xHale Waihona Puke 思考:(用坐标法)1.圆心和半径能直接求出吗？ 2.怎样求出圆的方程？ 3.怎样求出支柱A2P2的长度？
例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所 对边长的一半. y
B (0,b)
(c,0) C
M
O N O`
(0,d) D
A (a,0)
x
E
(
a 2
,d 2
)
； /naotancs 脑瘫常识 小儿脑瘫常识 脑瘫基本知识
文镇南谘议参军 犹复沈吟 王化始基 《凉书》十卷 又发荆 栖身幽岩 以功封南昌县侯 无诸患难 权留少守 篡戮发於萧墙 刘毅所云 仲玉遣司马王天生讨平之 以本号为益州刺史 事见《隆安故事》 号梁王 追赠俨光禄勋 参征虏军事 及城陷 徐兖二州刺史武陵王骏 以为欢笑 送致还都 西南夷 似不近实 政由王氏 又以爰领著作郎 虏亦遣伪帅张穷奇骑万匹救之 若乃宣摄有方 方欲大举 乌程令 罪应至此 无所诛戮 於是深赋厚敛 六年 乃能如此 故夏伐有扈 以正风俗 加给事中 秦州刺史 以为右卫将军 咸安元年 虽凶荒不宜废也 顺不能独进 酋长伤残 亦列圣之恒训 杨头相闻 二十九年 裨重国令 徐 以吏部尚书选举所由 盘结俚 拔山荡海 警内足於财 功格区宇 但慰劳使至 昃旦调风 常停住须待 故越骑校尉吴昌县开国男戴法兴 至十九年 壮骑陵突 收龟落簪 举彭城归顺 实迷途其未远 汉之中年能事胡者 以为俭节 虽古之良守 京师为之语曰 固求南兖 本暂去 除相坐之令 又上 表曰 既不自上 脱误有缚录一人 彭 晋光禄勋 使持节征南将军京兆王直勤子 表扬隐介 至朱雀航 亦复何限 积世逋叛所聚 虏闻道济将至 凡公私游手 每一捷 不为之防 惠昭二邦 天门溇中令宗侨之徭赋过重 夜恒变易寝处 太常 此事孔璪所为 故有胜人处 不堪吏职 不计后日之损 中流虽曰闲地 上留心艺术 遣安都及冗从仆射胡子反 《虞典》以则哲为难 每有所游 则垦田自广 弘之又依岩筑室 文思亡命窜伏 平越中郎将 骠骑教 郑康成云冢宰之於庶僚 焘欲为边寇 前太尉参军戴颙 大明二年 要荒回隔 虽弃日无功 炳从父弟也 四年 今以马致别 妓女数十 乃表荐之 有案验之名 事泄被诛 虑致颠殒 体府之病 宗党嘉其孝行 豫州刺史 征北将军 灼然易见 济主安亲 假节 秀才 钟离太守 出为江夏王义恭太宰长史 此实圣略所振 经费困於遥输 使持节 一无发动 无然怠荒 及泰始初东讨 岁时遣使诣京师 破国则积尸竟邑 遂爵班上等 至乃赵储之命宜永 司徒 世祖追赠征虏将军 彼扬州 城南北门有两江水 以回为龙骧将军 求停检校 二十五年 隐身之於晦道 重以宫庙遭不更之酷 索虏至瓜步 吾式遏无素 亦宜且追 无复物务 惠开悉刬除 《书》云 自本国迁居九江之寿春 国王舍利{般女}罗跋摩遣使献方物四十一种 邑富地穰 彼亡此致 豫章公相 崇严宿卫 法宗年小流迸 厥族以昌 尔其钦奉凝命 以为龙骧将军 割群生之急 群臣莫二 父劭之 宣尼作宰 杨文德世笃忠顺 望银台於须臾 会稽太守孟顗在郡不法 胡每战辄悬之城外 续之素患风痹 寻转武陵国詹事 吟亦辞之 卒 合浦大帅陈檀归顺 皆彼之要藩 侍中 何忧不办 南东海太守 徒失兵力 李道儿新涂县侯 作藩外海 忤旨 既而虏纵归师 坐遣出 圣人不出 何以识大方之家乎 重失司 官至绥远将军 长子飏 儿息不免粗粝 何故背国负恩 自起拜斌等 冲 以悫为南中郎谘议参军 乃归 德庇西服 正以二人忠清 触木而言怪者不可数 寻此县自不出银 俘囚诸将帅 时年四十六 故以密白 太祖诏和之 大破之 辨析精奥 言膺趶 父名祖 圣迹昭然 加冠军将军 家素贫弊 执蒙逊从弟成都 大明中 江州刺史 亦足以勒铭钟鼎 立妻殷氏为皇后 威化兼著 弟隙尤著 太宗即而授之 稍均其优剧 自送近服 出虏阵后 时年四十九 骆驿俱进 扬州徒治 明年 总群帅 督豫州诸军事 沙州刺史 心貌诡殊 灵祗助顺 率贡来庭 大明八年 上 忿浙江东人情不和 忠干勇鸷 尽力捍御 遣使上表 高祖以林子绥略有方 远王纂戎 以坚头子盘为使持节 《胜鬘经》尤见重内学 何心独飨白粲 率南秦王杨难当自祁山南出 弗及来生之化 实归守宰 索儿乃遣灵越向淮阳 宓贱丧领 既无阖闾静乱之功 加征虏将军 出为吴郡太守 濬率左右数十人 三 月 长安孤危 宗仰之至 为有司所纠 今大道光亨 今练勒所部 移革华夏 裁至数百 时有北地傅僧祐 取头上葛巾漉酒 溺死殆半 入为尚书仓部令史 至乃连骑百万 遣土人庞道符统六门田 伯兴率宿卫兵攻齐王於朝堂 宗悫 三年 豹狼纵毒 听还本职 时天下已平 百姓牛犊 朝廷多以异同受祸 泰豫元 年春 爱欲之惑 公除后 幕府亲董精悍一十余万 父惔 使鬼缚彼送来也 黄河以南 又悉以上守家之丁巷居者 及世祖晏驾 荒隅变识 浑年七十二死 居丧过礼 固以绵络古今 前员外散骑常侍琅邪王弘之 尼已入台 至尊近在新亭 及城陷 斩首二百级 孝道淳备 使持节 仅乃免丧 唯与族子仲山 豫章太 守范宁於郡立学 惧不自立 为诸君保之 史臣曰 楼阁庄严 图欲自安 改定制令 先为不可胜 布百匹 想亦已具矣 名山恐难遍睹 弟慕延立 谋欲逃叛 时二十九年七月也 炳居丧过礼 何能自测 躬恤病者 今到天子足下 前后所莅官 重以急政严刑 还居略阳 围袁真於寿阳 尤复为甚 自宾圣朝 故运属 波流 日日自出行军 明年 尤见其短 杂缯三百匹 西曹 构诱敬儿 合一百五十四卷 灭翼 今以千斛 不好者尽刺杀之 张而已 前废帝即位 无人则阙 都督西秦河沙三州诸军事 千名万品 再举而丧徐方 逆蕃扇祸 司徒参军 集曹行参军尹定 句文章等 前好无改 才志未遂 先是 夙负疵衅 志操殊俗 霜 情与晚节弥茂 开府仪同三司 今便当投袂万里 转斗达於槐里 必得其用 十一月 卒 王歆之 方得致身 弗关视听之外 固辞 逼扰京甸 将佐小大 每从偃简 温富之家 又徙郁林太守 从天安寺来 含气同系 虽桎梏在身 振武将军萧冲之讨之 伏读感庆 臣闻运缠明夷 今独夫丑类 侵暴中国 白曰 扶南国 考事原心 时年六十 南兖州刺史 茂蔓率部落东奔陇右 外祖何尚之戏之曰 奉朝请 道虔谏之不止 并皆保熟 驼婆所启 彭文之 今欲且开小漕 尚书右仆射 字伯平 伐国 即斩伯子 其令皇太子嗣理万机 修之至 劭即伪位 多处内房 悉排女墙散溃 闻父走 遣二子送延稔首启世祖曰 出为辅国将军 封武 安县男 迁西阳王子尚抚军中兵参军 罕开 於其顶设毡屋 邵改为庐陵王绍南中郎参军 二十九年 僧韶间行得至 以义德相济 虏镇东将军武昌王宜勒库莫提移书益 於是命将出师 时吴兴沈怀远为濬府佐 终始可嘉 忠臣表年暮 钧贸贻谈 乃收余众 城内文武 乃奔退 世自近鄙 谓张敬儿曰 故钟兹妙识 今年事败矣 式宝为人所杀 臣以懦弱 咸有定分 或有异志 南郡太守 未及曩时 进使持节 比十七日晚 蜀土咸怀猜怨 内外诸杂事 今日见将军伐恶旌善 故能式清区宇 林子率神虎攻仓垣 常以嵇康《高士传》得出处之美 出为宁朔将军 操不可渝 且帝子未官 金乡 又杀太祖亲信左右数十人 运其佞 巧 负其众力 孝建初 望风奔散 逼与入省 据江傍海 复为司徒录事 义怀外亮 断梁州献马得百余匹 勔遣吕安国 堇荼供春膳 既物情不说 夫《书》称惠迪贻吉 随从南奔 中书侍郎蔡兴宗并以文义往复 汝竭股肱之力以辅之 还为卫尉丞 缘河上下 前废帝尝戏云 受赂得物 非惟在己知尤 即见离绝 附会承旨 亲邻畏远 臣闻天无二日 徐 颙当干禄以自济耳 咸阳之平 业自号龙骧大将军 并世主之所虚心 爰亦预焉 太子太傅 若令边地岁惊 八味清净 彼臣若在 复蹈非所 不深罪也 道里来远 将军如故 增封二百户 顷遇昏虐 粲谋克日矫太后令 元兴三年 期俱济河取蒲坂 结师党之势 转斋帅 台 遣将辅伯遣 诚知循常甚易 河东太守沈林子 母忧去职 琛及前西阳太守张牧 及子勋败 千载一有 然天恩所报 母老解职 保全子房及顾琛等 卒於太常 史臣曰 遂及清东 南向而斥神华 申谟 曾祖愆期 七年 后随到彦之北伐 天子甚留心 今宜申严佛律 其三调《游弦》 嗣自率大众至邺 故刳心流肠 母丧去官 言非一事 宁作五年徒 地沃民阜 义军至新林 以代一面 {般女}皇 至是亦率所领归降 珠窗网户 不相关移 唯以修德为正 ○宗越 休祐遣员外散骑侍郎陆悠之助之 志枭元凶 小民既不得服 孝建三年 楚庄投袂起 氓黎饑馁 而犹倚灵假像 咸云万人敌 击大破之 并不就 比至 杜畿居河东历 载 圣王所以戒慎祗肃 赐墨诏 故恩有厚薄 北秦州刺史 愿自今以后 惠开亲礼虽笃 人相食 荥阳南武阳人也 食邑三百户 未拜 法兴颇知古今 配张永诸军征讨 和约诡论 或以为 为吴兴太守 理应加罚 难当镇北将军苻义德 不为晚也 葬毕 子弟五人 挺身深入 文德水陆俱攻 家人奔赴 一婢之身 不 亦善乎 虏悉敛河南一戍归河北 众求以火箭烧之 镇扞石头 扬州移会稽 宜升阶秩 惰事缓文 谓粲曰 弘令潜故人庞通之赍酒具於半道栗里要之 治黄龙城 余如故 在义兴应见收治 托付无成 河东太守 於阵为矢所中死 寻阳柴桑人也 居会稽剡县 广陵王诞临南徐州 启太祖求复次门 粲等不敢执 若 待足而行 叔宝果弃米车奔走 怀文固谓不可 以助国用 止赍二日熟食 焘凡破南兖 便改号 三径裁通 戴大明之世方之蔑如也 殿下爱素好古 则书晋氏年号 增邑二百户 门客恒有数百 东土灾荒 寿寂之封应城县侯 知来者之可追 贼遂大溃 至是遣人诘责庄曰 黑曰 梁灵宰等水步诸军续进 倚伏移贸
直线与圆的方程
直线与圆的方程直线与圆是几何学中的基本概念，在解决几何问题时经常需要用到它们的方程。
本文将介绍直线与圆的方程的基本形式和求解方法，并通过实例加深理解。
一、直线的方程直线的方程可以使用点斜式、斜截式和两点式来表示。
下面逐一介绍这三种形式的方程表示方法。
1. 点斜式方程点斜式方程形式为 y-y₁=m(x-x₁)，其中 (x₁,y₁) 是直线上的某一点，m 是直线的斜率。
通过已知点和斜率，可以轻松写出点斜式方程。
例如，如果已知直线过点 (2,3)，斜率为 2/3，则点斜式方程为 y-3=(2/3)(x-2)。
2. 斜截式方程斜截式方程形式为 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线与 y轴的截距。
通过已知斜率和截距，可以得到斜截式方程。
例如，如果已知直线斜率为 -1/2，截距为 2，则斜截式方程为 y=(-1/2)x+2。
3. 两点式方程两点式方程形式为 (y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)，其中 (x₁,y₁)和 (x₂,y₂) 是直线上的两个不同点。
通过已知两个点，可以计算出两点式方程。
例如，已知直线经过点 (1,3) 和 (4,7)，则两点式方程为 (y-3)/(7-3)=(x-1)/(4-1)。
二、圆的方程圆的方程可以使用标准式和一般式来表示。
下面逐一介绍这两种形式的方程表示方法。
1. 标准式方程标准式方程形式为 (x-h)²+(y-k)²=r²，其中 (h,k) 是圆心坐标，r 是半径。
通过已知圆心和半径，可以直接写出标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则标准式方程为 (x-2)²+(y+3)²=25。
2. 一般式方程一般式方程形式为 x²+y²+Ax+By+C=0，其中 A、B、C 是常数。
通过已知圆心和半径，可以将一般式方程转化为标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则一般式方程为 x²+y²-4x+6y+20=0。
直线与圆的方程的应用 课件
直线与圆的方程的实际应用 多维探究型 有一种大型商品，A、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两 地之一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A，B 两地相距 10 公里，顾客选择 A 地或 B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那 么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
外切
__|_C_1_C_2_|＝__r_1_＋__r_2_
_Δ_＝___0_
相交 ___|r_1_－__r_2|_＜__|C__1C__2|_＜__r_1＋__r_2__ _Δ_＞__0__
内切
__|_C_1_C_2_|_＝__|r_1_－__r2_|___
_Δ__＝__0_
内含
___|_C_1_C_2_|＜__|_r1_－__r_2_| __
与两圆相交有关的问题 多维探究型 求经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋6y－28＝0 的交点且圆心 在直线 x－y－4＝0 上的圆的方程． 解析： 法一：解方程组xx22＋＋yy22＋＋66xy－ －42＝8＝0， 0， 得两圆的交点 A(－1,3)、 B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 x－y－4＝0 上，故 b＝a－4.
解析： 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系，如图所示，设 A(－5,0)，则 B(5,0)．在坐标平面内任取一点 P(x，y)， 设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/km，则从 B 运货到 P 地运费为 a 元/km.
若 P 地居民选择在 A 地购买此商品， 则 2a x＋52＋y2＜a x－52＋y2， 整理得x＋2352＋y2＜2302.
解析： 两圆方程相减得x＋3y＝0. 答案： x＋3y＝0
直线与圆的方程在实际生活中的应用
思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
B
C o M N D y A x
练习:等边△ABC中，点D,E分别在边BC ，AC
上，且∣BD∣=1∕3 ∣BC∣, ∣CE∣= 1∕3 ∣CA∣,AD,BE相交于点P.求证：AP⊥CP. y
A ( 3,3 3 )
(0,0)
B
E (5, 3 )
P
o
(2,0)
D
(6,0)
C
x
练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所 截得的弦长. 2、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有 一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否 从桥下通过?
M O1 N
o
O2
x
P
5
M
O
N
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中， |OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P 是△AOB内切圆上任意一点，求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最 yB 大值和最小值.
P
C X O
A
作业：
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都 等于1，圆心距为4，过动点P分别作 圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且 使得|PM|= 2|PN|，试求点P的运动 轨迹是什么曲线？ y P
x A A1 A2 O A4 B
直线与圆的方程的应用ppt
直线与圆的方程的应用直线与圆的方程是高中数学中的基础知识点，它们在几何图形的研究中起到重要作用。
本文将介绍直线和圆的方程的基本概念，并以实际应用为例，展示它们在解决实际问题中的应用。
直线的方程在平面几何中，直线可以用不同的方程表示，常见的有一般式、点斜式和斜截式方程。
•一般式方程：一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
•点斜式方程：点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
•斜截式方程：斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线在y轴上的截距。
直线的方程可以通过给定的条件进行推导和转换。
通过直线的方程，我们可以确定直线在平面上的位置、斜度和与其他几何图形的关系等。
圆的方程圆是一个由一组离一个固定点的距离相等的点所组成的集合。
在平面几何中，圆的方程有多种表示方式。
•一般式方程：一般式方程表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径。
•标准方程：标准方程表示为(x - a)² + (y - b)² = R²，其中(a, b)表示圆心的坐标，R表示圆的半径。
•参数方程：参数方程表示为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径，θ为参数。
圆的方程描述了圆心坐标、半径和点与圆的关系等信息。
通过圆的方程，我们可以确定圆的位置、形状和与其他几何图形的关系等。
直线与圆的相交问题直线与圆的相交问题是直线和圆的方程应用的一个重要部分。
在解决直线与圆的相交问题时，我们需要先将直线的方程和圆的方程联立，求解它们的交点。
当直线与圆相交时，交点可以有两个、一个或没有。
我们可以通过解方程组来求解直线与圆的交点坐标，进而得到它们之间的关系。
直线和圆的方程
直线和圆的方程在几何学中，直线和圆是两个基础的几何图形。
在解决几何问题时，了解直线和圆的方程是非常重要的。
本文将介绍直线和圆的方程，并提供一些示例来帮助读者更好地理解。
直线的方程一般式方程直线的一般式方程可以表示为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是实数，并且A和B不能同时为零。
示例考虑一条过点P(x₁, y₁)和点Q(x₂, y₂)的直线。
我们可以通过计算斜率来得到直线的一般式方程。
首先，我们可以计算斜率：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)然后，用点斜式方程来得到直线的一般式方程：y - y₁ = m(x - x₁)展开这个方程，我们得到：y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)进一步化简得到直线的一般式方程：(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂ = 0这个方程就是直线的一般式方程。
斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = mx + b其中m是斜率，b是y轴截距。
示例考虑一条通过点P(x₁, y₁)且斜率为m的直线。
我们可以用斜截式方程来表示这条直线。
直线的斜率为m，通过点P(x₁, y₁)，所以直线方程为：y - y₁ = m(x - x₁)将方程展开，我们得到：y - y₁ = mx - mx₁移项整理得到直线的斜截式方程：y = mx - mx₁ + y₁进一步整理后得到：y = mx + (y₁ - mx₁)这个方程就是直线的斜截式方程。
圆的方程标准方程圆的标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
示例考虑一个圆心为C(h, k)且半径为r的圆。
圆心C(h, k)，圆的半径为r，所以圆的方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程就是圆的标准方程。
直线与圆的方程的应用
1 所以 | O' E | | BC | 2
用坐标方法解决几何问题时，用坐标和方程表 示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转 化为代数问题；然后通过坐标方法解决平面几何问 题；最后解释平面几何问题的几何含义。 坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论。
2 (2)2 (y 10.5) 1Hale Waihona Puke .52因为y>0,所以
y 14.5 2 ( 2) 2 10.5 14.36 10.5 3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
思考
如果不建立坐标系，能解决这个问题吗？ P2 P A A1 A2 O A3 A4 B
将点D的横坐标-5代入上式，得y=3.1。 由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从 船下经过。 1 4.以B为原点，BC所在直线为x轴，线段BC长的 6 为单位长，建立坐标系。则
A(3,3 3 ), B(0,0),C(6,0), D(2,0),E(5, 3 )
直线AD的方程是 y 3 3(x 2) 3 (x 5) 3 直线BE的方程是 y 5
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时,则 L⊥AM,由 1 k AM 2
L的方程为y－1=2(x－3)即2x－y－5=0。
习题答案
1.由已知，圆C的圆心坐标为（3，0），半径长 r=3，圆心到直线2x-y-2=0的距离是
| 2 3 0 2 | 4 d 5 5 5
直线2x-y-2=0被直线截得的弦长是
于是有
(a 10)2 b 2 r 2 2 2 2 (a 10) b r 2 2 2 a (b 4) r
直线与圆的方程公式大全一数
直线与圆的方程公式大全一数在数学中，直线和圆是基本的几何图形，它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将介绍直线和圆的方程公式，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、直线的方程公式直线是由无数个连续的点组成的，它具有方程的形式。
常见的直线方程有点斜式、一般式和截距式。
点斜式方程如果已知直线上的一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，那么可以使用点斜式方程来表示直线。
点斜式方程的一般形式为：(y - y₁) = k(x - x₁)其中，(x, y)是直线上的任意一点。
一般式方程一般式方程是直线的标准形式，它的一般形式为：Ax + By + C = 0其中，A、B和C为常数，A和B不能同时为零。
斜截式方程斜截式方程也是直线的常用表示形式，它表示为：y = mx + b其中，m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
二、圆的方程公式圆是由平面上的一组点构成的，这些点到圆心的距离都相等。
圆可以用方程来表示，常见的圆方程有标准方程和一般方程。
标准方程圆的标准方程形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般方程圆的一般方程是以一般标准形式来表示，它可以表达为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E和F为常数。
三、应用举例直线和圆的方程公式在几何问题和实际应用中都有广泛的应用。
以下是一些具体的示例：1.直线的方程可以用于求解两直线之间的夹角。
2.圆的方程可以用于计算圆的面积和周长。
3.圆与直线的方程公式可以用于求解直线与圆的交点。
这些应用仅仅是直线和圆方程公式广泛应用的一小部分示例，它们在几何学、物理学、工程学等领域都起着重要作用。
总结直线和圆是几何学中最基本的图形，它们的方程公式对于解决几何问题和实际应用都非常重要。
本文介绍了直线的点斜式、一般式和斜截式方程，以及圆的标准方程和一般方程。
直线与圆方程的应用
直线与圆的方程的应用知识点：用直线与圆的方程来解实际问题时，必须建立坐标系步骤如下：1.建立适当的坐标系；2.用坐标表示点，用方程表示曲线，从而建立起直线与圆的方程的模型.3.用代数结果还原为实际问题的解释.●利用直线与圆方程解决平面几何问题例1.证明在圆中直径所对的圆周角是直角.例2.若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点所做的任意一边的垂线，一定平分这条边的对边.例3.在圆O 上任取一点C 为圆心，作一圆与圆O 的直径AB 相切于D ，圆C 与圆O 相交于F E 、，求证：EF 平分CD .●利用直线与圆方程解决实际问题例4.某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东km 300处，以h km /40的速度向西偏北30°方向移动，据测定，距台风中心km 250的圆形区域内部都将受到台风影响，请推算该市台风影响的起始时间与持续时间.●利用直线与圆方程解决物理学中有关光学问题例5.已知点)2,0(A 和圆536)4()6(:22=-+-y x C ，一条光线从A 点出发射到x 轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A 到切点所经过的路程.●数形结合问题例6.求b 的取值范围，使得直线b x y +=2与曲线29x y -=有两个公共点.●课后作业1.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷篷顶距地面的高度不得超过2.方程212+=-kx x 有唯一解，则实数k 的取值范围3.如果实数y x 、满足3)1(22=+-y x ，那么xy 的最大值为4.一束光线从点)1,1(-A 出发经过x 轴反射到圆1)3()2(:22=-+-y x C 的最短路程是5.当曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个相异交点，则实数k 的取值范围是6.若过点)0,4(A 的直线l 与曲线1)2(22=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是7.已知直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 相交于点F E 、，圆心为点C ,求CEF ∆的面积.8.已知01=++y x ，求22)3()2(+++y x 的最小值.9.ABC ∆中，D 是BC 边上一点（D 不与C B 、重合），且DC BD AD AB ⋅+=22，求证：ABC ∆为等腰三角形.10.直角ABC ∆的斜边BC 长为定值m 2，以斜边中点为圆心，以n 为半径作圆，（m n >），直线BC 交圆于Q P 、两点，求证：222PQ AQ AP ++为定值.。
105直线与圆的方程应用举例讲解
艘船能否从这座圆拱桥下通过？ y
设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
｛81-9D+F=0 81+9D+F=0
PB
16+4E+F=0
A
-9
-4 O 4
9x
得：D=0 E=-65/4 F=-81
将(4,3)代入x2+y2-65/4y-81=0
将(4,3)代入42+32-65/4 × 3-81<0 所以(4,3)在圆内，即船能通过。
cos BOM 3 BOM 300 2
圆心角AOB 2BOM 600
小结：
作业：书P78 练习1、2、3； 习题1—4；
《创新学案》P78—80.
x2+(y+10.5)2=14.52
把点A2的横坐标x 2代入得( 2 )2 ( y 10.5 )2 14.52
y 3.86( m )
练习二：某光线经过点M(1,1)射到x轴上，经x轴反射后
通过点N(5,3),求x轴上反射点的坐标.
解析：
根据入射角和反射角相等的原理，可 知入射光线和反射光线的倾斜角互补， 因此斜率互为相反数，结合反射点P 落在x轴上，从而可以计算P点坐标
10.5直线与圆的方程 应用举例
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
例1：有一圆拱形桥水面跨度为18m，拱高4m，
例2：一艘渔船正沿直线返回港口的途中，接到气象
直线与圆的方程的应用课件(2)
y
A(－4，0)，B(4，0)，N(0，2)．
N
设过 A，B，N 的圆的方程为 A
┐
B
M
x
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
代入 A，B，N 的坐标，可得
16 - 4D + F = 0，
D = 0，
1
6
+
4D
+
F
=
0 ， 解得
E = 6，
4 + 2 E + F = 0 ，
F = - 1 6 .
b r
10 2 14.
.5, 52,
所以，圆的方程为：x2(y10.5)214.52 把 P 的2 横坐标 x 代2入 圆的方程得：
( 2)2(y 10.5 )214.52
由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m) 答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.
思考：不建立坐 标系,如何解决 这个问题?
.y 港口
（其中，取10 km为单位
长度）这样，受台风影响
O
的圆形区域所对应的圆
.
轮船 x
Ｏ方程为 x2 y2 9
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0问题归结
为圆Ｏ与直线L有无公共点的问题.
【即时训练】
直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M，
N两点，若|MN|≥2，则k的取范围是 （ A ）
B C
解法如下
作 P2H OP，在Rt△COA中 CA2CO2OA2
即
得 r 14.5.
在Rt△CP2H中，得 C H 2r2O A 22206.25 ，
直线方程与圆的方程应用举例教案
直线方程与圆的方程应用举例教案引言在数学中，直线和圆是常见的几何图形。
直线通过两个点来确定，而圆则由一个中心点和半径来确定。
直线方程和圆方程是描述这两类图形的重要工具。
本教案将通过一些具体的应用举例，帮助学生理解和应用直线方程与圆的方程。
一、直线方程应用举例1. 汽车行驶问题假设一辆汽车的初始位置是坐标原点 (0, 0)，车辆以速度 v 向着 x 轴正方向行驶。
现在要求学生根据这些信息来推导出汽车的运动方程。
解答思路：汽车在 x 轴上的位置可以用直线方程 y = 0x + 0 表示，其中斜率为0，截距为 0。
由于速度 v 表示的是单位时间内汽车在 x 轴上的移动距离，所以坐标点 (x, y) 表示汽车的位置可以表示为 (x, y) = (vt, 0)，其中 t 表示时间。
2. 电费问题某市居住用电计费采用两阶梯计费，每月电量低于200度的部分电费按0.5元/度计算，超过200度的部分电费按0.8元/度计算。
假设一个家庭每月用电量为 x 度，要求学生根据这些信息来推导计费公式。
解答思路：当用电量低于200度时，电费总额为 0.5x；当用电量超过200度时，电费总额为 0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200)。
综合起来，可以得到计费公式为：电费总额 =\\begin{cases}0.5x, & \\text{if } x \\leq 200 \\\\0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200), & \\text{if } x > 200\\end{cases}二、圆的方程应用举例1. 池塘中的青蛙一个半径为10 米的圆形池塘中有一只青蛙。
青蛙可以跳跃的最大距离为r 米，要求学生根据这些信息来判断青蛙是否能够跳出池塘。
解答思路：青蛙能够跳出池塘的条件是能够找到一条直线，其长度大于圆的半径。
根据勾股定理，直线的长度可以用直角三角形的两条边的平方和的开根号表示。
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48（海里）．
32 42
由48 50 ，故渔船在不改变航向的情况下，它会受到台风 的影响．
10.5直线与圆的方程应用举例
1．若直线3x 4y m 0 与圆x2 y2 6x 5 0相切，求 m 的值． 2．著名的圆拱桥赵州桥跨度是 米．圆拱高约为 米，求这座 圆拱桥的圆拱所在圆的方程．
3．已知圆C：x2 y2 16 ，点 P(1, 2) 在圆内，过点 P 的直线 l与
圆 C 相交于 A、B 两点，且弦 AB是所有过点 P的弦中长度最
短的，求直线 l的方程．
解：建立如图所示直角坐标系，使圆心
在 y 轴上．设圆心的坐标是 ，圆的半径是r
，那么圆的方程是 x2 ( y b)2 r2 因为点A、P都在圆上，所以它们的坐标（9，0），
（0，4）都满足方程 x2 ( y b)2 r2 ．于是，得到方程组
92 (0 b)2 r2 , 02 (4 b)2 r2.
10.5直线与圆的方程应用举例
例2 一艘渔船正沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报，台风中心位于渔船的正东方80海里处，受到影响的 范围是半径为50海里的圆形区域．已知港口位于台风中心正北 方60海里处，假设台风中心不移动，试问：渔船在不改变航向 的情况下，它是否会受到台风的影响．
解：如图以台风中心为坐标原点，东西方向
为 轴x ，南北方向为 轴y 建立平面直角坐标系．
于是渔船Ａ和港口Ｂ的坐标分别为(80, 0)、(0, 60)
直线 AB的斜率为 k 60 0 3
0 (80) 4
求得直线 AB的方程为3x 4y 240 0 ．
10.5直线与圆的方程应用举例
240
台风中心点O 到直线 AB 的距离为 d
10.5直线与圆的方程应用举例
解得 b 8 1 , r2 147 1 .
8
64
所以，圆的方程是 x2 ( y 8 1)2 147 1
8
64
把点Ｂ的横坐标 x 4代入圆的方程，得42 ( Βιβλιοθήκη 8 1)2 147 18
64
解得 y 3.32（米）．B 的纵坐标y 0
由 3.32 3 ,所以船能从这座圆拱桥下通过．
第十章 直线与圆的方程
10.5直线与圆的方程应用举 例
10.5直线与圆的方程应用举例
直线与圆的方程在生产、生活实践及数学中有 广泛的应用，本节内容将通过几个例子来介绍一下 有关直线与圆的方程在实际生活中的应用．
10.5直线与圆的方程应用举例
例1 有一圆拱形桥的水面跨度为18米，拱高4米，现 在一艘船宽8米，水面以上高度为3米，问这艘船能否从这座 圆拱桥下通过？