计算机图形学 第7章 三维图形学基础
计算机图形图像技术
最常用旳图形输入设备是键盘和鼠标。人们 一般经过某些图形软件由键盘和鼠标直接在屏幕 上定位和输入图形，如CAD系统就是用鼠标和键盘 命令制作多种工程图旳。另外还有跟踪球、空间 球、数据手套、光笔、触摸屏等输入设备。跟踪 球和空间球是根据球在不同方向受到旳推或拉旳 压力来实现定位和选择。数据手套则是经过传感 器和天线来发送手指旳位置和方向旳信息。这几 种输入设备在虚拟现实场景旳构造和漫游中尤其 有用。光笔是一种检测光旳装置，它直接在屏幕 上操作，拾取位置。
可用于美术创做旳软件诸多，如二维平面旳 绘图程序CorelDraw, photoshop, paintshop, 三 维动画建模和渲染软件3D MAX, Maya等
23
❖ 7.3 图形与图像旳区别与联络 图形和图像有着较大不同。因而计算机图形学和
数字图像处理目前仍被作为两门不同课程。 计算机图形学是指将点、线、面、曲面等实体生
计算机图形学一种主要旳目旳就是利用计算 机产生令人赏心悦目旳真实感图形。为此，必须 建立图形所描述旳场景旳几何表达，再用某种光 照模型计算在假想旳光源、纹理、材质属性下旳 光照明效果，所以，计算机图形学与计算机辅助 设计有着亲密联络。
4
❖ 7.1.2 计算机图形处理旳基本概念 计算机图形处理是指把由概念或数学描述
目前正在研究下一代顾客界面，开发面对主流 应用旳自然、高效多通道旳顾客界面。研究多通道 语义模型、多通道整合算法及其软件构造和界面范 式是目前顾客界面和接口方面研究旳主流方向，而 图形学在其中起主导作用。
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➢ 地形地貌和自然资源图 国土基础信息是国家经济系统旳一种构成部
分。利用这些存储旳信息可绘制平面图、生成三 维地形地貌图，为高层次旳国土整改进行预测和 提供决策，为综合治理和资源开发研究提供科学 根据，在军事方面也有主要价值。
计算机图形学基础（第2版）课后习题答案__陆枫__何云峰
计算机图形学基础（第2版）课后习题答案__陆枫__何云峰第⼀章绪论概念：计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、图形的⼏何要素、⾮⼏何要素、数字图像处理；计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。
第⼆章图形设备图形输⼊设备：有哪些。
图形显⽰设备：CRT的结构、原理和⼯作⽅式。
彩⾊CRT：结构、原理。
随机扫描和光栅扫描的图形显⽰器的结构和⼯作原理。
图形显⽰⼦系统：分辨率、像素与帧缓存、颜⾊查找表等基本概念，分辨率的计算第三章交互式技术什么是输⼊模式的问题，有哪⼏种输⼊模式。
第四章图形的表⽰与数据结构⾃学，建议⾄少阅读⼀遍第五章基本图形⽣成算法概念：点阵字符和⽮量字符；直线和圆的扫描转换算法；多边形的扫描转换：有效边表算法；区域填充：4／8连通的边界／泛填充算法；内外测试：奇偶规则，⾮零环绕数规则；反⾛样：反⾛样和⾛样的概念，过取样和区域取样。
5.1.2 中点 Bresenham 算法（P109）5.1.2 改进 Bresenham 算法（P112）习题解答习题5（P144）5.3 试⽤中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且⼤于1的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
（P111）解： k<=-1 |△y|/|△x|>=1 y为最⼤位移⽅向故有构造判别式：推导d各种情况的⽅法(设理想直线与y=yi+1的交点为Q)：所以有： y Q-kx Q-b=0 且y M=y Qd=f(x M-kx M-b-(y Q-kx Q-b)=k(x Q-x M)所以，当k<0，d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点 P l(x i-1,y i+1)。
d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点 Pr(x i,y i+1)。
d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点 Pr(x i,y i+1) 。
计算机形学三维建模
计算机形学三维建模计算机形学三维建模是一种利用计算机技术对三维模型进行建立、编辑和渲染的过程。
它是计算机图形学的重要应用领域，广泛应用于电影特效、游戏设计、工业设计等领域。
本文将介绍计算机形学三维建模的基本概念、方法和应用。
一、概述计算机形学三维建模是指利用计算机生成三维物体模型的过程。
它通过数学和计算方法模拟现实物体的形状、结构和外观，并将其表示为计算机可识别的数据形式。
这种数据形式可以被进一步处理、编辑和渲染，用于实现各种视觉效果。
二、基本概念1. 顶点：三维建模中的基本元素，用于定义物体的位置和形状。
顶点通常由三个坐标值(x, y, z)表示。
2. 多边形：由多个顶点连接而成的平面图形，是构建三维物体的基本元素。
常见的多边形包括三角形、四边形等。
3. 网格：由多个相邻的多边形组成的三维物体表面。
网格可以用于表示复杂物体的形状和拓扑结构。
4. 法向量：用于定义物体表面的朝向和光照效果。
法向量垂直于表面，并指向物体外部。
5. 纹理映射：将二维图像映射到三维物体表面，用于增加物体的视觉效果和真实感。
三、建模方法计算机形学三维建模有多种方法和技术，常见的方法包括以下几种：1. 实体建模：基于物体的几何形状和结构进行建模。
可以通过对几何体进行布尔运算、体素细分等操作，实现复杂物体的建模。
2. 曲面建模：利用数学曲面方程对物体进行建模。
常见的曲面建模方法有贝塞尔曲线、B样条曲面等。
3. 多边形建模：将物体表示为由多边形组成的网格。
可以通过调整多边形的顶点和边界，实现物体形状的变化和编辑。
4. 数字雕刻：利用专业的数字雕刻软件对物体进行建模。
可以通过在三维空间中添加、删除和变形等操作，实现精细的物体建模。
四、应用领域计算机形学三维建模广泛应用于各个领域，主要包括以下几个方面：1. 电影特效：三维建模可以用于电影中的特殊效果制作，如人物角色、场景和特殊物体的建模。
2. 游戏设计：三维建模是游戏设计中必不可少的一部分。
计算机图形学习题参考答案(完整版)
区域二（下半部分）
k (x k, yk) pk 0 (7, 3) b 2(x 0 1/2)2 a 2(y01)2a 2b 2 23 1 (8, 2) p02a 2y1a 22b 2x1 361 2 (8,1) p12a 2y2 a 2 297 3 (8, 0)
2a yk pk 2 2 2 1600 b a b (1/4)a 332 768 p0 2b2x1b2 224 768 p12b 2x 2 b 2 44 768 p2 2b 2x 3 b2 208 2 640 p3 2b x 4 b 22a 2y 4 108 640 p4 2b 2x 5 b 2 288 512 p5 2b 2x 6 b 22a 2y6 244 384
10、使用中点椭圆算法，绘制中心为 (0, 0) ，长半径 a 8 ，短半径 b 6 的椭圆在第一象限中的部分。 解： 区域一（上半部分）
k (x k, yk) 2b x k 0 (0, 8) 0 1 (1, 8) 72 2 (2, 8) 144 3 (3, 8) 216 4 (4, 7) 288 5 (5, 7) 360 6 (6, 6) 432 7 (7, 6) 504 8 8, 5
第 2 章 基本图元的显示
1、假设 RGB 光栅系统的设计采用 810 英寸的屏幕，每个方向的分辨率为每英寸 100 个像素。如果 每个像素 6 位，存放在帧缓冲器中，则帧缓冲器需要多大存储容量（字节数）？ 解： 8100101006/8600000 （字节） 。 2、假设计算机字长为 32 位，传输速率为 1 MIP（每秒百万条指令） 。300 DPI(每英寸点数)的激光打 印机，页面大小为 8.511 英寸，要填满帧缓冲器需要多长时间。 解：
2
11、已知： A(0, 0) 、 B(1, 1) 、 C(2, 0) 、 D(1, 2) ，请判断多边形 ABCD 是否是凹多边形。 解： 多 边 形 的 边 向 量 为 AB (1,1, 0) ， BC (1, 1, 0) ， CD (1, 2, 0) ， DA(1, 2, 0) 。 因 为
计算机图形学第7章曲线和曲面分析
基矩阵: Ms
几何约束条件: G
基函数(blenging function)，或称混合函数。
08:43
曲线和曲面
7.2 三次样条
给定n+1个点，可得到通过各个点的分段三次多项式曲线：
x(t) y(t)
axt ayt
3 3
bxt byt
2 2
cxt cyt
dx dyz(t)源自azt3bzt
6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来
08:43
曲线和曲面
7.1.4 插值和逼近样条
▪ 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。
▪ 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连 续条件。
▪ 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来 描述。
08:43
曲线和曲面
x(t) y(t)
ant n bnt n
a2t b2t
2 2
a1t1 b1t1
a0 b0
z(t)
cnt n
c2t
2
c1t1
c0
t [0,1]
08:43
曲线和曲面
x(t )
p(t)
y(t)
tn
z(t)
t
an
1 aa10
bn
b1 b0
cn
c1 c0
T C T M S G t[0,1]
特点: 只适用于型值点分布比较均匀的场合 不能“局部控制”
08:43
曲线和曲面
7.2.2 三次Hermite样条
定 义 ： 假 定 型 值 点 Pk 和 Pk+1 之 间 的 曲 线 段 为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条 曲线：
计算机图形学基础：三维建模和渲染技术
计算机图形学基础：三维建模和渲染技术三维建模和渲染技术是计算机图形学的重要分支，它们在影视、游戏、设计等领域广泛应用。
本文将从三维建模和渲染技术的基本概念、流程以及常见的应用领域进行阐述。
一、三维建模技术1.1三维建模是指利用计算机软件创建虚拟三维模型的过程。
常见的三维建模软件包括3ds Max、Maya、Blender等。
建模的基本单位是顶点、线段和多边形等基本几何体。
1.2三维建模的流程包括：准备工作、构建基础几何体、细节建模、纹理贴图和调整光照等步骤。
建模的目的是根据设计需求创建逼真的虚拟模型。
1.3常见的三维建模技术包括多边形建模、体素建模、曲面建模等。
每种建模技术都有其适用的场景和优缺点，建模师需要根据具体需求选择合适的建模技术。
二、三维渲染技术2.1三维渲染是指将建模好的三维模型投影到屏幕上并进行光照和材质处理的过程。
常见的三维渲染软件包括V-Ray、Arnold、Unity等。
2.2三维渲染的流程包括：场景设置、材质贴图、光照设置、相机参数调整等步骤。
渲染的目的是呈现出逼真的影像效果，让模型看起来更加真实。
2.3常见的三维渲染技术包括光线追踪、辐射度追踪、光线投射等。
这些技术可以模拟出真实世界的光影效果，提高渲染效果的真实感和逼真度。
三、应用领域3.1三维建模和渲染技术在影视制作中广泛应用，可以制作逼真的角色、场景和特效。
比如《阿凡达》中的潘多拉星球就是利用三维建模和渲染技术制作的。
3.2游戏行业也是三维建模和渲染技术的主要应用领域，通过三维建模可以制作出精美的游戏场景和角色，提升游戏的视觉效果和玩家体验。
3.3除此之外，建筑设计、工业设计、动画制作等领域也都需要用到三维建模和渲染技术。
通过三维建模和渲染，可以提升设计效率和呈现效果，加快设计师的创作过程。
综上所述，三维建模和渲染技术在当今数字时代发挥着重要作用，不仅可以提高设计效率，还可以创造出更加逼真的虚拟世界。
随着技术的不断发展，三维建模和渲染技术将会在更多领域得到应用，并为人们带来更多视觉上的惊喜和乐趣。
OpenGL学习笔记：三维数学基础（一）坐标系、向量、矩阵
OpenGL学习笔记：三维数学基础（⼀）坐标系、向量、矩阵接触OpenGL和计算机图形学有⼀段时间了，⼀直想写⼀点东西，记录⾃⼰的学习历程，或许也能够为有意愿向计算机图形学发展的菜鸟们提供⼀条捷径。
闲话不多说，本章主要介绍计算机图形学中三维数学的⼀些基础知识，主要包括2D、3D笛卡尔坐标系，向量、矩阵的数学和⼏何意义以及公式。
由于篇幅限制，其中的推导过程本⽂不作叙述，感兴趣的读者可以去看《3D数学基础+图形与游戏开发》，已上传，链接地址在本⽂末尾。
⼀、计算机图形学计算机图形学（Computer Graphics）是⼀种使⽤数学算法将⼆维或三维图形转化为计算机显⽰器的栅格形式的科学。
其⼴泛应⽤于游戏、动画、仿真、虚拟现实（VR）、增强现实（AR）等领域。
在数学之中，研究⾃然数和整数的领域称为离散数学，研究实数的领域称作连续数学。
在计算机图形学中，为虚拟世界选择度量单位的关键是选择离散的精度。
⼀种错误的观点认为short、int是离散的，⽽float、double是连续的，⽽事实上，这些数据类型都是离散的。
于是，计算机图形学有如下准则：计算机图形学第⼀准则：近似原则——如果它看上去是对的，它就是对的。
⼆、笛卡尔坐标系2D笛卡尔坐标系是⼀个精确定位点的框架。
2D坐标的标准表⽰法是(x,y)，相信⼤家初中都学过。
⼀般，标准的笛卡尔坐标系是x轴向右，y轴向上。
⽽计算机图形学中的屏幕坐标往往是x轴向右，y轴向下。
如图1所⽰。
图1：2D笛卡尔坐标系和2D屏幕坐标系3D笛卡尔坐标系类似，增加了第三个维度，z轴。
3D坐标系分为完全不同的2种坐标系，左⼿坐标系和右⼿坐标系。
判断⽅法为，左⼿坐标系：伸出左⼿，让拇指和⾷指成“L”形，⼤拇指向右，⾷指向上，其余⼿指指向前⽅。
此时，拇指、⾷指和其余三指分别代表x、y、z轴的正⽅向。
右⼿坐标系，相同，只是把左⼿换成右⼿。
如图2所⽰。
图2：左⼿坐标系与右⼿坐标系其中左⼿坐标系⼴泛应⽤于计算机图形学、D3D之中，⽽右⼿坐标系⼴泛应⽤于OpenGL、线性代数、3DSMax之中。
计算机图形学知识要点
单元分解法优缺点
优点
表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 物体的表示不唯一 物体的有效性难以保证 空间位置枚举表示----同样大小立方体粘合在一起表示 物体 八叉树表示----不同大小的立方体粘合在一起表示物体 单元分解表示----多种体素粘合在一起表示物体
阴极射线管(CRT)：光栅扫描图形显示器； 平板显示器：液晶显示器、等离子体显示板等； 光点、像素、帧缓存（frame buffer）、位平面；三种 分辨率（屏幕、显示、存储）； 黑白、灰度、彩色图形的实现方法（直接存储颜色数据、 颜色查找表）； 光栅图形显示子系统的结构
基本概念
第四章 图形的表示与数据结构
2、规则三维形体的表示
形体表示的分类 线框模型
缺点 多边形表，拓扑信息： 显示和隐式表示
表面模型
显示表示：在数据结构中显式的存储拓扑结构。例如，翼边结构 表示（Winged Edges Structure） 隐式表示：即根据数据 之间的关系在运行时实
时的解算。 平面方程 多边形网格 分解表示、构造表示、边界表示
Bresenham算法绘制圆弧
基本原理 从（0，R）点，顺时针开始； 上一个确定像素点为p（x, y），则下一个像素点只 能是p1和p2中的一个；
P(x, y) P1(x＋1, y)
p2 (x＋1, y－1)
误差判据：像素点到圆心的距离平方与半径平方之 差； 一般关系式取值对应的几何意义，即和下一个像素 的对应关系；
3、椭圆的光栅化方法
计算机图形学基础：三维建模和渲染技术
计算机图形学基础：三维建模和渲染技术计算机图形学是研究计算机生成的图像和图形处理技术的学科。
其中，三维建模和渲染技术是计算机图形学中重要的分支，它们在电影、游戏、虚拟现实等领域中发挥着重要的作用。
三维建模是通过计算机生成三维物体的过程，可以通过一系列的数学算法和计算方法来描述物体的形状、纹理等属性。
三维建模通常包括几何建模和表面细节建模两个方面。
几何建模是用数学表示物体的形状，包括点、线、面等基本元素的组合，并采用曲线和曲面来拟合真实物体的形状。
而表面细节建模则是对物体表面的细节进行描述，包括色彩、纹理、光照等信息。
三维建模可以通过手工建模、扫描、建模软件等方式实现。
三维渲染是将三维模型转化为二维图像的过程。
在渲染过程中，计算机会对模型进行光照计算、颜色计算、纹理映射等操作，以产生逼真的图像。
其中，光照计算是最关键的一步，通过模拟光的传播和反射，计算每个表面像素的亮度和颜色。
同时，纹理映射可以将二维图像映射到模型的表面上，以增强对物体表面细节的描述。
为了提高渲染效果，还可以使用阴影、抗锯齿等技术对图像进行处理。
渲染技术可以通过硬件加速或软件算法来实现。
在三维建模和渲染技术中，还涉及到一些重要的概念和技术。
比如，三维坐标系统用来描述物体在三维空间中的位置和方向，它通常通过三个坐标轴来表示。
透视投影是将三维物体投影到二维平面上的一种方式，通过远近关系来模拟人眼的视角。
多边形填充算法可以将模型的表面细分为多个小区域，并对每个区域进行颜色计算和纹理映射。
光照模型用于模拟物体表面反射的光线，常用的光照模型有环境光、漫反射光和镜面光等。
纹理映射可以将二维图像贴到三维模型的表面上，以增强模型的真实感。
除了上述基础概念和技术，三维建模和渲染技术还包括很多高级的算法和技巧。
例如，光线追踪算法可以模拟光线在场景中的传播和交互过程，以产生高质量的渲染效果。
纹理映射可以使用压缩算法来减少存储和传输的开销，同时在导入和导出模型时对纹理进行处理。
计算机图形学第七章自由曲线与曲面
x(t)
y(t)
axt3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t)
azt3
bzt
2
czt
dz
矢量表示：
p(t) at 3 bt 2 ct d
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,1d 〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
1
p(t) Pi Bi,1 (t) (1 t) P0 t P1 i0
可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。
2.二次Bezier曲线
当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有 三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线 是二次多项式。
2
p(t) Pi Bi,2 (t) (1 t) 2 P0 2t(1 t) P1 t 2 P2 i0 (t 2 - 2t 1) P0 (2t 2 2t) P1 t 2 P2
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物 线。
3.三次Bezier曲线
当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形 有四个控制点P0、P1、P2和P3， Bezier曲线是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0
计算机图形学-第7章-消除隐藏线和隐藏面
可能的四种形体
隐藏线和隐藏面
不可见的线和面分别称为隐藏线和隐藏面。 隐藏线和面不仅仅有形体自身的，而且还 有形体之间互相遮挡的。消除它们即称为 消除隐藏线和消除隐藏面。
形体之间互相遮挡的隐藏线
当我们显示线条图或用笔式绘图仪或其 它线画设备绘制线条图形时，要解决的 主要是消除隐藏线的问题。而当用光栅 扫描显示器显示物体的明暗图形时，就 必须要解决消除隐藏面的问题。
设n={A,B,C}，而
n
A ( y j )(zi z j ) i 1 n
B (zi z j )(xi x j ) i 1 n
C (xi x j )( yi y j ) i 1
式中若 i n，则j=i+1；否则i=n，j=1。 以上算法适合任何平面多边形。
非平面但接近平面的多边形的最佳逼近平面 的法矢量也可用此算法求出。为避免在程序 中出现两种计算平面外矢量的方法，建议凸 多边形也采用该算法计算外法矢量。多边形 所在平面的方程可写成
Ax By Cz D 0
其中 D ( Ax0 By0 Cz0 ，)
(x0 , y0 , z0 ) 为平面上任意一点。
7.2.2 深度检验
深度检验是比较位于同一条投射线的若干 个点的深度坐标（一般为z坐标），以确定 哪个点是可见的，将可见点表示出来。消 隐时必须进行深度检验。一般将需要比较 的各点的z坐标按递增或递减排序，也可从 中选出最大或最小的z坐标。至于选最大或 最小与所选的坐标系有关。
7.2.1 平面多边形的外法矢量
为了判别物体上各表面是朝前面还是朝后
面，需求出各表面(平面多边形)指向体外
的法矢量。设物体在右手坐标系中，多边
形顶点按逆时针排列。当多边形为凸多边
形时，则其法矢可取成多边形相邻两边矢
计算机图形学_PPT完整版
图形软件主要类型
3. 专用图形软件包 针对某一种设备或应用，设计/配置专用的图形 生成语言或函数集，例如： 场景描述：Open Inventor 建立虚拟世界的三维模型：VRML 生成三维Web显示：Java3D 创建Java applet中的二维场景：Java 2D 生成各种光照模型下的场景：Renderman Interface（Pixar）……
图元的绘制、显示过程
顶点
法向量、颜色、纹理…
像素
图元操作、像素操作 光栅化（扫描转换）
像素信息 帧缓存 显示器
调用底层函数，如 setPixel (x,y)；将当 前像素颜色设定值存 入帧缓存的整数坐标 位置（x,y）处。
图元描述与操作
几何图元由一组顶点（Vertex）描述 这一组顶点可以是一个或是多个。每个顶点信息二维或 三维，使用 2~4 个坐标。顶点信息由位置坐标、颜色 值、法向量、纹理坐标等组成。 图元操作： 几何变换、光照、反走样、消隐、像素操作等，然后准 备进行光栅化处理。 扫描转换或光栅化（Rasterization ） 将对象的数学描述、颜色信息转换成像素信息（像素段 写入帧缓存），送到屏幕显示。
应用程序
图形应用程序
图形语言连接 外部应用 数据库 内部应用 数据库 API GKS/GKS 3D PHIGS OpenGL
图形编程软件包，如OpenGL、 VRML、Java2D、Java3D……
GKSM
图形设备驱动程序，如显卡驱动、 打印机/绘图仪驱动…… 支持图形处理的操作系统,如 Macintosh、Windows、Unix、 Linux 、各种嵌入式OS…… 图形输
计算机图形软件的标准化意义
可移植性 通用、与设备无关 推动、促进计算机图形学的推广、应用 资源信息共享
第七章 图形的表示
数学中的点、线、面是其所代表的真实世界中的 对象中的一种抽象，它们之间存在着一定的差距。例 如，数学中的平面是二维的，它没有厚度，体积为0； 而在真实世界中，一张纸无论多么薄，它也是一个三 维体具有一定的体积。这种差距造成了在计算机中以 数学方法描述的形体可能是无效的，即在真实世界中 可能不存在。尽管在有的情况下要构造无效形体，但 用于计算机辅助设计与制造系统设计生产的形体必须 是有效的，所以在实体造型中必须保证实体的有效性 ，原则上的标准是要求“客观存在”。
第7章 图形的表示
图形的表示方法一直是计算机图形学关注的主要问 题。在计算机图形学发展的旱期，计算机图形系统的性 能较差，线框模型是表示三维物体的主要方法。线框模 型仅仅通过定义物体边界的直线和曲线来表示三维物体 ，其特点是模型简单目运算速度较快，但由于每一条直 线或四线都是单独构造出来的，不存在面的信息，因此 三维物体信息的表示不全面，在许多场合不能满足要求 。事实上，研究表示复杂形体的模型与数据结构是计算 机造型等技术的关键。经过近20年的发展，买体的边界 表示法、扫描表示法、构造的实体几何法及八叉树表示 法等已经发展成熟。
7.2 实体表示的三种模型
形体在计算机中常用线框模型、表面模型和实体 模型三种模型来表示。线框模型是在计算机图形学和 CAD、CAM领域中最早用来表示形体的模型，并且至 今仍在广泛应用。线框模型是用顶点和棱边表示形体 ，其特点是结构简单，易于理解，并是表面和实体模 型的基础。如前所述，用线框模型表示形体时曲面的 轮廓线无法随视角的变化而改变；线框模型无法给出 全部连续的几何信息，只有顶点和棱边，不能明确地 定义给定的点与形体之间的关系，以致不能用线框模 型处理计算机图形学和CAD、CAM领域中的多数问题 ，如图7.8所示。
计算机图形学基础
计算机图形学基础计算机图形学是研究计算机如何表示、处理和生成图像的学科。
它涵盖了从数学基础知识到图像处理算法的各个方面。
在当今数字化时代，计算机图形学在各个领域中发挥着重要的作用，例如电影制作、游戏开发、数字艺术、虚拟现实等。
一、图像的表示和处理首先，我们需要对图像进行表示和处理。
图像可以看作是由像素组成的矩阵，每个像素代表图像中的一个点。
在计算机中，图像可以以不同的形式进行表示，如位图、矢量图等。
位图是通过每个像素的颜色和位置来表示图像，而矢量图则是通过数学方程来描述图像中的线条和曲线。
图像处理是对图像进行操作以改变其外观或特征的过程。
图像处理算法可以用于图像的增强、去噪、分割等。
其中，常用的图像处理技术包括滤波、边缘检测、图像重建等。
滤波是通过对图像进行卷积操作来达到平滑或增强的目的，而边缘检测是用于检测图像中的边缘或轮廓，图像重建则是将低分辨率图像恢复到高分辨率的过程。
二、图形的生成和渲染图形的生成和渲染是计算机图形学中的重要研究方向之一。
生成图形通常是指通过算法生成图像，而渲染图形则是将生成的图形转化为最终的图像。
在生成图形过程中，我们可以使用几何建模和光照模型来描述图形的形状和外观。
几何建模是一种描述图形形状的数学技术，它可以用于创建三维模型。
光照模型则是用于描述光线在物体表面的反射和折射过程，从而获得逼真的光影效果。
图形渲染是将生成的图形转化为最终图像的过程。
在图形渲染过程中，我们需要考虑光照、阴影、纹理等因素，以使图像更加逼真。
其中，光照模型可以用来计算光线的反射和折射效果，而纹理映射可以用来将图像贴在三维模型上，从而使其具有更多细节和真实感。
三、三维图形学和虚拟现实三维图形学是计算机图形学的一个重要分支，它研究的是如何表示、处理和生成三维图形。
在三维图形学中，我们需要考虑深度、透视、投影等因素，以实现逼真的三维效果。
例如，为了实现立体感，我们可以使用透视投影来模拟人眼观察物体时的视角。
计算机图形学基础知识
计算机图形学基础知识计算机图形学是研究如何利用计算机生成和处理图形的学科。
它涵盖了许多领域，如计算机图像处理、计算机辅助设计和虚拟现实等。
掌握计算机图形学的基础知识对于理解和应用这些领域至关重要。
本文将为您介绍计算机图形学的基础知识，并分步详细列出相关内容。
1. 图形学的基础概念- 图形：在计算机图形学中，图形指的是一系列点、线和曲面等的集合。
- 图像：图像是图形学的一种特殊形式，它是由像素组成的二维数组。
- 基本元素：计算机图形学中的基本元素包括点、线和曲面等。
它们是构成图形的基本构件。
2. 图像表示与处理- 位图图像：位图图像是由像素组成的二维数组，每个像素保存着图像的颜色信息。
- 矢量图形：矢量图形使用几何形状表示图像，可以无损地进行放缩和旋转等操作。
- 图像处理：图像处理包括图像的增强、滤波、压缩和分割等操作，用于改善和优化图像。
3. 坐标系统和变换- 坐标系统：坐标系统用于描述和定位图形。
常见的坐标系统有笛卡尔坐标系统和极坐标系统等。
- 变换：变换是指将图形在坐标系统中进行移动、缩放和旋转等操作。
4. 二维图形学- 线性插值：线性插值是计算机图形学中常用的插值方法，用于在两点之间生成平滑的曲线。
- Bézier曲线：Bézier曲线是一种常用的数学曲线模型，可以用于生成平滑的曲线。
- 图形填充：图形填充是指将图形的内部区域用颜色填充，常用的填充算法有扫描线填充算法和边界填充算法。
5. 三维图形学- 三维坐标系统：三维坐标系统用于描述和定位三维空间中的点、线和曲面等。
- 三维变换：三维变换包括平移、缩放、旋转和投影等操作，用于改变和调整三维图形。
- 计算机动画：计算机动画是利用计算机生成连续变化的图像序列，用于呈现逼真的动态效果。
总结：计算机图形学是研究利用计算机生成和处理图形的学科。
它涵盖了图像表示与处理、坐标系统和变换等基础知识。
在二维图形学中，线性插值和Bézier曲线是常用的技术，图形填充则可以实现对图形内部区域的着色。
第七章 图形变换
窗口和视区两者关系
窗口和视区可以是多个 不一定非要矩形，但通常是矩形区域 若要指定一个窗口或视区，只要给出矩形两顶点 的坐标值 观察变换（窗口-视区的坐标变换 窗视变换） 视区的坐标变换， 观察变换（窗口 视区的坐标变换，窗视变换） 窗口（WC）和视区（DC）分别处在不同的坐 标系内，所用的长度单位及大小、位置等均不同 将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过 将窗口到视区的坐标变换处理（视见变换）（观察 变换：世界坐标系=>设备坐标系）
本章基本内容
图形变换的数学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段的裁剪
7.1 图形变换的数学基础
点可以用位置向量（矢量 矢量）表示 矢量 二维空间点的坐标可以用行向量[X，Y]或 列向量[X，Y]T 表示 三维空间点的坐标可以用行向量[X，Y，Z] 或列向量表示 用具有一定关系的点的集合（点集 点集）来表示一 点集 个平面图形学基础 窗口视图变换 图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段的裁剪
7.2 窗口视图变换
• 世界坐标系 世界坐标系(WC : World Coordinates) • 设备坐标系 • 规格化设备坐标系
1、世界坐标系(WC : World Coordinates) 、世界坐标系
用户定义的图形从窗口到视区的输出过程
从应用程序得到的图形的世界坐标 ↓WC 对窗口进行裁减 ↓NDC 窗口到视区的规格化变换 ↓DC 视区从规格化坐标系到设备坐标系的变换 ↓ 在图形设备上输出图形
从应用 程序得 到图形 的用户 坐标
对窗口区 进行裁剪
窗口区到 视图区的 规格化变换
视图区从规 格化坐标系 到设备坐标 系的变换
1 i i 0 1
视区 viewport
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z D* D O A* A x B B* C* y
T =
0 0 1 0 tx ty tz 1
（2）比例变换
S11 0 0 0
S =
0 S22 0 0 0 0 0 0
0 1
H*
S33 0
z D* D H
E C*
C G* G B
F B*
OA A
*
y
x
E*
F*
（3）旋转变换（右手坐标系，逆时针为正）
5 1 2 x x 1* 2* 5* 6* 8* 7* 4z 5 8 7 4 2 3
z 8* 4* O 3* 5* 6* 1* 2*
5 7* 1 2
6
8 7 4 3 z
6
O
1
6* 5* 2*
7* 8* 3* 1* O 4*
y y
x
y
(a)
(b)
(c)
（5）复合变换
如果对于复合变换，即在图形变换中既有旋转变
7.2.2 平面几何投影的分类 平行投影：投影中心到投影面的距离是无限的，即
投影线互相平行，定义时只需给出投影线的方向。
透视投影：投影中心到投影面的距离是有限的，定 义时需明确给出投影中 心的位置。
7.2.3 透视投影 透视缩小效应：物体透视投影的大小与物体到投影 中心的距离成反比。 透视投影特点：使物体更具有立体感和真实感，但
换，又有平移变换和比例变换，请问变换矩阵的次序
是否可随意调换？
例1：三维变换中，将P点绕Y轴逆时针旋转α角后，
再绕X轴顺时针旋转β角，求变换矩阵M2。
例2：空间线段AB由点A（Xα,Yα,Zα）及其方向数 （a,b,c）确定，空间一点P （Xp,Yp,Zp）绕AB旋转 θ到P*，求变换矩阵T和P*的坐标。
特点：能精确反映物体实际尺寸。
◆正投影
三视图：投影面与某—坐标轴垂直时得到的投影。
正轴测图：投影面与坐标轴不垂直时得到的投影。
◆三视图的实现
第7章 三维图形学基础
1 2
三维图形几何变换 三维图形的投影
7.1 三维图形几何变换
7.1.1 三维坐标系的建立 右手坐标系：伸出右手，当用大姆指指向x轴的正 方向，食指指向y轴的正方向，则与手心垂直的中指方 向就是z轴正向。 左手坐标系用左手类似确定。
在计算机图形学中，两种坐标系都可以使用。
7.1.2 几何变换 （1）平移变换
7.2 三维图形的投影
7.2.1 投影与投影变换的定义
投影：将n维的点变成小于n维的点。
投影变换：把三维物体投射到投影面上得到的二维图
形。
投影中心：三维空间中，选择的一个点。
投影面：不经过投影中心的面。 投影线：从投影中心向投影面引的任意多条射线。 投影：穿过物体的投影线将于投影面相交，在投影面 上形成物体的像。
Rx =
1 0 0 0 cos sin 0 -sin cos 0 0 0 0 0 0 1
Ry = z
cos 0 sin 0
0 -sin 0 1 0 0 0 cos 0 0 0 1
y
x
cos sin Rz = - sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
（4）对称变换（坐标平面）
不能真实地反映物体的精确尺寸和形状。
灭点：进行透视变换时，物体中不平行与投影面的
任意一组平行线的投影汇聚成的点。
主灭点：坐标轴上的灭点，最多有3个。
分类：一点透视、二点透视和三点透视。
7.2.4 平行投影
正投影：当投影方向与投影面的夹角为90°时的投影。
斜投影：当投影方向与投影面的夹角不为90°时的投影。