20-1 数学分析全套课件

f (x, y)ds =
β
f ( x(t), y(t))
x2 (t) + y2 (t)dt
L
α
用对称性 奇偶，轮换
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则 f ( x, y)ds f ( y, x)ds.
L
L1
例1
计算
( x 2 y 1)2ds,
L
L
x2 y2 R2.
例2 计算 x2ds, 其中 L为球面 x2 y2 z2 a2 L
被平面 x y z 0 所截得的圆周. 前页 后页 返回
五． 应用
例 求线密度为 ( x, y) y 的曲线段
设有光滑曲线
L
:
x y ( x, y) 为定义在 L 上的连续函数, 则
f ( x, y)ds
f ((t), (t))
2(t) 2(t)dt.
L
x (t),
:
y
(t
),
t
[
,
]
z (t)
L f ( x, y, z)ds
f ((t), (t),(t))
B(1,1) 为顶点的三角形。
例4 计算 L 2 y2 z2ds, L
x2 y2 z2 a2 x y
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2.用对称性
奇偶：若 f (x, y) 关于x是奇函数且 L关于y 轴对称
则 L f ( x, y)ds 0.
轮换： L g( x, y) 0, L1 g( y, x) 0,
记为si , 分割 T 的细度为 || T || max si , 在 Li上任取
1i n
一点 (i ,i ) (i 1, 2, L , n). 若有极限
n
lim
||T ||0 i 1
f (i , i )si
J,
且J 的值与分割 T 与点 (i , i ) 的取法无关, 则称此
极限为 f ( x, y) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
1 x2 L : y ln x,1 x 2 对于 y 轴的转动惯量.
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本次课内容
1.对弧长曲线积分的概念
n
L
f
(x , y )ds
lim λ0
i 1
f
(ξi ,ηi )Δsi
2.对弧长曲线积分的性质
3.对弧长曲线积分的计算
用公式 L: x=x(t),y=y(t) (≤t ≤ )
1. 若 L fi ( x, y)ds(i 1, 2,L , k) 存在，ci (i 1, 2, L , k)
k
为常数,
则
k
L ci fi ( x, y)ds 也存在, 且
i 1
k
L ci fi ( x, y)ds ci L fi ( x, y)ds.
i 1
i 1
2. 若曲线段 L 由曲线 L1, L2 ,L , Lk 首尾相接而成,
第二十章 曲线积分
§1 第一型曲线积分
y
B
实例:曲线形构件的质量
L Mn1
匀质之质量 M s.
分割 M1, M2 ,L , Mn1
si ,
(i ,i ) Mi
A
M2 M1
M i 1
o
x
取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
n
求和 M (i ,i ) si .
2(t) 2(t) 2(t)dt.
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例1 计算
x yds. L
L
x2 y2 a2 b2 1, x 0, y 0
例2 设 L 是 y2 4x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段,
试计算第一型曲线积分 L yds.
例3 计算 L( x y)ds, L 为以O(0, 0), A(1, 0),
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds.
4． 若 L f ( x, y)ds 存在,则 L |f ( x, y)|ds 也存在,
且
| L f ( x, y)ds | L| f ( x, y) | ds.
5．若 L f ( x, y)ds 存在, L的弧长为s, 则存在常数
c, 使得
L f ( x, y)ds cs,
近似值
i 1 n
精确值
取极限
M
lim
0
i 1
(i ,i ) si .
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一． 第一型曲线积分的定义
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y) 为
定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L分成
n个可求长度的小曲线段 Li (i 1, 2, L , n), Li 的弧长
f ( x, y)ds(i 1,2,L ,k) 都存在, 则 f ( x, y)ds
Li
L
也存在, 且
k
f ( x, y)ds
f ( x, y)ds.
L
i 1 Li
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3．若 L f ( x, y)ds 与 L g( x, y)ds都存在, 且在 L 上
f ( x, y) g( x, y),则
这里 inf f ( x, y) c sup f ( x, y).
L
L
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三． 几何意义
f (x, y) 0
n
L
f (x,
y)ds
lim ||T||0 i1
f (i , i )si
z
z f (x, y)
O
x
y
L
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四． 第一型曲线积分的计算
1.用公式
定理20.1
L f ( x, y)ds.
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若 L为空间可求长曲线段 , f ( x, y, z) 为定义在 L上
的函数, f ( x, y, z) 在空间曲线 L 上的第一型曲线
积分
n
L
f (x,
y,
z)ds
lim ||T ||0
i 1
f (i , i , i )si .
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二． 第一型曲线积分的性质