第七讲定义新运算和找规律解题

第07讲_定义新运算与找规律(二)_例题

定义新运算与找规律（二）整式的加减100％第七讲定义新运算与找规律（二）课程预览定义新运算与找规律（二）定义新运算找规律趣味课堂定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行．注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．例1．（1）若A ❀B 表示()()3A B A B +⨯-，则()32-❀()23-=________．（2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______．（3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1ba b a ⊗=--，那么()()42112⊗⊗⊕⊕=⎡⎤⎣⎦__________．（5）定义运算“∆”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+，则()()2211m m ∆-∆∆=⎡⎤⎣⎦________．* 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 44321课堂笔记点点精讲定义符号定义符号定义程序定义新运算板块一定义新运算第七讲定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()1111121a b a a a a b b∆=++++++-，（1）当4321x ∆=时，x =___________；（2）当2105y ∆=时，y =___________；（3）当20152016m n ∆=时，m =___________，n =___________．例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图，则式子5436⊕-⊕=___________．（2）对正整数n 定义()!11n n n =⨯-⨯⨯，如图2是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件是（） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤D ．10i ≤定义程序开始输入a 、b()1S a b =+()1S b a =+?a b >输出S 结束是否图1图2开始输入ns s i =⨯输出S结束否 1i =，1s =1i i =+ 是例4．按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，请你探索第2015次输出的结果为______________．1. 定义运算“*”：a ba b a b⨯*=+．（1）20151111*****=个________________；（2）若20155526a a a a ******=个，则a =________________．2. 下图程序输出结果为________________．点点精练 1a =，1b =2b b =是否3a ≤1a a =+开始结束输出结果输入x5x +12x 输出x 为奇数x 为偶数第七讲定义新运算与找规律（二）常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 03 8 15 24 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 15 ……11 23 5…… （斐波那契数列）x -x +x -x +x -…… x + x -x + x -x +……例5．定义一个新的数字i ，已知21i =-，4221i i i =⋅=，54i i i i =⋅=，以此类推，则2016i =______．例6．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则2016a =_______．例7．一列数0b ，1b ，2b ，…，具有下面的规律，21n n b b +=，221n n n b b b ++=+，若01b =，则2015b =_______．课堂笔记点点精讲找规律数字规律表格规律板块二找规律数字字母规律图形规律例8．定义一种对于三位数abc （a 、b 、c 不完全相同）的“F 运算”：重排的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为0）．（1）579经过三次“F 运算”得__________；（2）假设abc 中a b c >>，则abc 经过一次“F 运算”得______（用代数式表示）；（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值_______．例9．由于()()()111nn n ⎧-⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，所以我们通常把()1n -称为符号系数．（1）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是_______，第n 个式子是________（n 为正整数）．（2）观察下列单项式：13x -，2215x ，3335x -，4463x ，…按此规律，第五个单项式是________，第n 个单项式是__________；（3）计算：()122n a b a b+-+-；（4）请你根据（2）式写出一个当n 为偶数时值为1，当n 为奇数时值为0的式子．例10．（1）观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…，则n 个等式是______________________；（2）已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若288a ab b+=⨯（a 、b 为正整数），则a b +=___________；第七讲定义新运算与找规律（二）（3）何小旭在一本书中发现了下面三个奇怪的等式：11313122+=⨯；558.218.213636+=⨯；121231312525+=⨯何小旭想除了上述三个之外应该还有这样奇怪的式子，于是何小旭进一步研究，不但写出了很多奇怪的等式，还找到了内在的规律：如果一个数为()bb a a>，另一个数为______时（用a 、b 表示），可以构成类似上述奇怪的等式．例11．如图，正方形ABCD 、DEFH 的边长都是5cm ，点P 从点D 出发，到点A ，然后沿箭头所指方向运动（经过点D 时不拐弯），则从出发开始连续运动2014cm 时，它离______点最近，此时它距该点_________cm ．例12．如图，已知青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳落在标有数字1的顶点上，…，则第2016次跳后所停的顶点对应的数字为（） A ．5B ．2C ．3D ．4例13．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015红黄绿蓝紫红黄绿黄绿蓝紫图形规律ABDEFH12345例14．正整数按下图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字_________．例15．已知2m ≥，2n ≥，且m 、n 均为正整数，若将n m 进行如下方式的“分解”，则：（1）在52的“分解”中最大的数是__________；（2）若3m 的“分解”中最小的数是31，则m =_________．例16．在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为________．表格规律1251017...4361118 (9)871219...1615141320 (25242322)21......↓↓↓↓←↓↓↓←←↓↓←←←↓←←←←第一列第二列第三列第四列第五列第一行第二行第三行第四行第五行1 1 233322 3 5 7 9 3235 427 94325 27 2911 343 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15a 21a 22 a 23 a 24 a 25 a 31a 32 a 33 a 34 a 35 a 41a 42 a 43 a 44 a 45 a 51a 52 a 53 a 54 a 55第七讲定义新运算与找规律（二） 1. 2015201523+的个位数字是________．2. 探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”．则T =_______．3. 已知下列等式：①3211=②332123+=③33321236++=④33332123410+++=……由此规律可知，第n 个等式是_______________________．4. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数：1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是___________（用含n 的代数式表示）．点点精练横扫学霸1.把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，…，点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向_______（东、南、西、北），当圆与2012所对应的点接触时，指针指向_______（东、南、西、北）．2.观察下列等式：1223113221⨯=⨯；1334114331⨯=⨯；2335225332⨯=⨯；3447337443⨯=⨯；⨯=⨯；…6228668226以上每个等式中两边数字分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们成这类的等式为“数字对称等式”．（1）根据上述格式反应的规律填空，使式子成为“数字对称等式”；①______⨯275=572⨯_______；②请写一个“数字对称等式”：______⨯______=_______⨯_______；（2）设这类等式左边两位数的十位数为a，个位数字为b，且29≤+≤，写出表示“数a b字对称等式”一般规律式子（含a、b，不化简）；第七讲定义新运算与找规律（二）3. 将1，2，3，…，100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()13a b a b +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．4. 记12n n S a a a =+++，令12n n S S S T n +++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，求15，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”．。

(完整word版)人教版七年级上册找规律与新定义运算专题讲义

探索规律与定义新运算专题█知识模块1▲知识梳理1、合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳．猜想未知，寻找一般规律，获取新结论．2、一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件．▲精讲精练一、数列找规律：基础：找规律，并按照规律写出第n 个数.① 1，3，5，7，9……. 21n -（n 为正整数）．② 2，4，6，8，10……….. （n 为正整数）． ③ 2，4，8，16，32……… （n 为正整数）． ④ 2，5，8，11，14…….. （n 为正整数）． ⑤ 2，5，10，17，26…….. （n 为正整数）．⑥ x -，x +，x -，x +，x -，x +…… （n 为正整数）． ⑦ x +，x -，x +，x -，x +，x -…….. （n 为正整数）．⑧ 观察下列单项式：x ，23x -，35x ，47x -，59x ，…按此规律，可以得到第2005个单项式是___ ___.第n 个单项式怎样表示 .例：1.观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。

那么这一组数的第k 个数是．（k为正整数）2.找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，，，第n 个数为： . （n 为正整数）3.观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是，第8个式子是，第n 个式子是．（n 为正整数）．4.若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是．5.一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是，第n 个式子是（n 为正整数）．6.有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是．第n 个数为（n 为正整数）．练习：1.观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2018个数是（） A ．20182 B ．201821- C ．20192 D ．201722.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为． 3.探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==① 请猜想1357919++++++=_________；② 请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③ 请你用上述规律计算：10310510720172019+++++．4.在数列1，12，22，13，23，33，…，中，第100个数是___ ． 5.观察下面的三行单项式x 、2x 2、4x 3、8x 4、16x 5、32x 6……① －2x 、4x 2、－8x 3、16x 4、－32x 5、64x 6……② 2x 2、－3x 3、5x 4、－9x 5、17x 6、－33x 7……③① 根据你发现的规律，第①行第8个单项式为____________ ②第②行第10个单项式为____________ ③ 第③行第10个单项式为____________④ 取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A ，计算当x ＝21，512(A ＋41)的值二、数表找规律：例：1．如下图左是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，b = ． 2.观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ，2a b+= . （右图）表一表二表三 3.如右图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是． ⑷将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第行第列．练习：1.正整数按图的规律排列．请写出第 20行，第21列的数字．11 14 a 11 13 17 b 0 1 2 3 …1 3 5 7 …2 5 8 11 …3 7 11 15 … … … … … … 第1列第2列第3列第4列第1行 12 3 第2行 6 5 4第3行 78 9 第4行 12 1110……第一行第二行第三行第四行第五行第一列第二列第三列第四列第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)24232221………1 2 23 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5· · · · · · · · a b · · · · · · ·2.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：⑴ 4()a b +展开式共有项，系数分别为； ⑵ ()n a b +展开式共有项，系数和为．█知识模块2▲知识梳理我们学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方．如：235+=，236⨯=都是2和3的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．▲精讲精练1.现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．142.用“×”定义新运算：对于任a ，b ，都有a ×2b a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3= ；当m 为有理数时，m×（1-×2）= ．3.① 定义()5f x x =+，((2))f f = ．② 已知3()200920082007f x x x =++，当π1x =-时，(π1)2f -=；则(1π)f -= ．4.有一个运算程序，可以使a b n ⊕=（n 为常数）时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-.现在已知112⊕=，那么20092009⊕= ...............................13321111115.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ， ……，依此类推，则2019a = ．6.⑴ 定义计算“∆”，对于两个有理数a ，b ，有a ∆b a b ab =+-，例如：3-∆25=．则（2-∆3）∆0= ________⑵ 如果规定符号“*”的意义是aba b a b*=+，求()2*3*4-的值.课后作业：1.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21……..，那么第9个数是 ;2.按一定的规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是（）A.82，21n -+B.82，()()211nn -+ C. -82，()()211nn -+ D.-82，31n + 3.观察下列等式：223142-=⨯； 224243-=⨯；225344-=⨯； ()()()()22-=⨯；…则第4个等式为__ _ ________．第n 个等式为___ _____．（n 是正整数） 4.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→ C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是__ _____；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是___ ______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是____ （用含n 的代数式表示） 5.定义运算※为a ※()b a b a b =⨯-+① 求5※7，7※5．② 求12※（3※4），（12※3）※4． ③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④ 如果3※（5※x ）3=，求x ．。

（完整版）四年级奥数详解答案第7讲定义新运算

（完整版）四年级奥数详解答案第7讲定义新运算四年级奥数详解答案第7讲第七讲定义新运算一、知识概要1. 定义新运算定义新运算是指用某些特殊的符号(如△⊙※○—等)来表示一种特定的运算过程或运算顺序，从而解答某些特殊算式的一种运算。

因为它有别于我们日常学习的运算法则当然也有联系性，故称之为定义新运算。

2. 基本要求解答定义新运算问题，一定要严格按照新定义的运算法则进行计算，推理或证明，不得随便改变运算顺序。

二、典型题目精讲1. a、b是自然数，定义a?b = (a+b)÷2,(1)计算23?9 (2)计算17?(8?10)分析：本是所定义的a与b的运算规划是求a与b的和的一半。

在(1)题中，a是23，b 是9，把它们分别代入(a+b)÷2的式子中，就可求出27?9的值。

(2)题同这样的运算规划先求出8?10的值，然后用同样的运算规则再把17与算出来的值进行运算。

解：(1) 23?9= (23+9)÷2 =16(2) 17?(8?10) = 17?【(8+10)÷2】= 17?9= (17+9)÷2= 132. 定义运算?为：a?b = 5×a×b－(a+b), 求11?12.分析：定义新运算和我们日常的运算法制和顺序，即有区别又有联系。

比如说：先乘除后加、减；有括号的一定要先算括号中的运算等运算法制，在定义新运算中仍然适用。

按理说，这道题有四步计算过程：①(11+12)=23 ②5×11=55 ③55×12=660④660-23=637 这里②、③步是同时运算，所以②、③和①步可同时运算。

解：11?12 = 5×11×12-(11+12)= 660-23= 6373. 已知1○—３＝１×２×３，６○—５＝６×７×８×９×１０，计算4○—５-5○—4。

第七讲定义新运算和找规律解题

第七讲定义新运算和找规律解题定义新运算1•如果对于任意非零有理数a、b,定义运算如下：aOb=abH-l,那么(一5) O (+4) O (—3) = ________________ o2.已知：A 表示A的3倍减去B的2倍；求：①10口5 ；②15口5口10 ；③ 10口(4口1)111,3*2= 4*3=O求：(6*3) - (2*6) 233444112333456254.已知：x , ®4=x x x。

计算：04十区4223455678583.已知:2*1=5.若“！”是一种数学运算符号,并且1 ! =1 ； 2 ! =2x1 ; 3 ! =3x2x1 ; ”。

则100 ! -99 ! = _________ 。

6.“※”定义新运算：对于有理数a、b都有：b=b+l o那么5探3= ______ ；当m为有理数时，山※(11】探2) = _________ 。

7.已知有理数a、b,规定一种新运算符号“#”，a#b =2a -b，请根据#的意义计ab算：⑴ 4#2= __________ (2) (2#3) # (—2) = _____________ o &形如bd的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示是: a cbd=ad -be ,依此法则计算找规律做题21-341•数字解密第一个数是3=2+1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9十& ”，观察并猜想第六个数是________________________ o2.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数）第一行1111 22111第三行363第二行1111 41212411111第五行52030205第四行根据前五行的规律可以知道，第六行的数依次是____________________________ O排在第10行从左数第3个位置上的数是---------------- C12345673.观察下列等式:2=2 ; 2=4 ; 2=8 ; 2=16 ; 2=32 ; 2=64 ; 2=128 ;2=256 ；”。

定义新运算PPT讲义

下次课再见！
4⊙b＝32 5 ×4＋3×b＋3＝32
20＋3×b＋3＝32 23＋3×b＝32 3×b＝32－23 3×b＝9 b＝3
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定义新运算※为：a※b＝4×a＋b，已知a※6＝30，求a的值。
a※6＝30 4×a＋6＝30
4×a＝24 a＝6
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假设一种运算符号“※”，X※Y＝（X＋Y）÷4，求a※16＝10中a的值。
=4a+2b
=4×1+2×4 =12
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规定a※b=5a-Байду номын сангаасb a@b=4ab+2b ,求（2※3）@ 4
（2※3）@ 4 =（5×2-3×3）@4 =1@4 =4×1×4+2×4 =24
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两个整数a和b，规定 a☆b＝a×2＋b＋3。根据这样定义的运算，求（6☆9）☆4的值。（6☆9）☆4 =（6×2+9+3）☆4 =24☆4 =24×2＋4＋3 ＝48＋7 ＝55
先化简：a△b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b）
＝（a+a＋b）×n÷2
1△100＝1＋（1＋1）＋（1＋2）…＋(1＋100) ＝1＋2＋3＋4 …＋100 ＝（1＋101）×100÷2 ＝5100
等差数列
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如果2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规律计算：3△5是多少？
我爱展示观察5※2＝5＋55＝60，6※3＝6＋66＋666＝738， 7※4＝7＋77＋777＋7777＝8638，求9※5的值。
9※5
凑整法
＝9＋99＋999＋9999＋99999 =（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）

北师大版七年级数学上：定义新运算和规律问题讲义无答案

定义新运算与找规律模块一定义新运算1．定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行．注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．例题精讲例 1. （1）定义新运算为1-+-=⊗b a a b a b ，则=⊗26 .（2）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：b b a a +=⊕2，a b a b -=⊗）（1-，那么=⊕⊗⊕)12()21( .训练1-1. （1）若B A ⊕表示)()3B A B A -⨯+（,则=-⊕-)3()2(23 .（2）运算*按右表定义，如 3*2=1，那么（2*4）*（1*3）的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4训练1-2. （1）定义新运算：规定运算：1-+-=*b a ab b a ，=*43-）（ .（2）b a b a ÷+=⊗)1(，则)43(2⊗⊗的值为 .例 2．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：)(21c b a c b a c b a +++--=++.如：53]21-3-2-1-[21321-=+++=⊕⊕）（）（解答下列问题：（1）计算：)3()2(3-⊕-⊕的值；（2）在98939291071-74-75-76-、、、、、、、、、、⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅这15个数中，任意取三个数作为c b a 、、的值，进行“c b a ⊕⊕”的运算，求所有计算结果中的最大值．训练2-1．我们定义一种新运算，规定：图形表示c b a +-，图形表示z y x -+-，则的值为 .训练 2-2．z y x 、、表示三个数，规定新运算“*”如下：xz xy z y x 35-=**；则=**543 .训练 2-3．定义新运算如下：1-+=⊕b a b a ，1--=b a b a ，请按照从左到右的顺序计算下式：=⊕201620172018 .模块二找规律1．数字规律2．图形规律与表格规律我们一般将图形规律与表格规律转化为数字规律来进行处理．例题精讲例 1．（1）定义：a 是不为 1 的有理数，我们把a-11称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1211-=-，1-的差倒数是21)1(11=--，已知311-=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则 =2018a .（2）定义一种对于三位数abc （ a 、b 、 c 不完全相同）的“F 运算”：重排三个数位上的数，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为 0）． ①579经过三次“F 运算”得； ②假设abc 中c b a ，则 abc 经过一次“F 运算”得．（用代数式表示）； ③猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值．训练 1-1．a 是不为 2的有理数，我们把a -22称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是2322-=-，2-的“哈利数”是21)2(22=--，已知31=a ，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，…，依次类推，则 =2018a .训练 1-2．定义一种能够被 3 整除的三位数 abc 的“F ”运算：把 abc 的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．数字 111 经过三次“F ”运算得，经过四次“F ”运算得，经过五次“F ”运算得，经过 2018 次“F ”运算得 .例 2．如图，正方形 ABCD 、DEFH 的边长都是 5cm ，点 P 从点 D 出发，先到点 A ，然后沿箭头所指方向运动（经过点 D 时不拐弯），则从出发开始连续运动 2018cm 时，它离点最近，此时它距该点 cm ．训练 2-1．如图，在平面直角坐标系中，直径为 1 个单位长度半圆 O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点 P 从点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒4个单位长度，则第 2016 秒时，OP 的长度是（）A ．1008B ．1009C ．2016D ．1008π训练 2-2．下列每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n 个棋子，每个图案的棋子总数为s ，下图的排列规律推断s 与n 之间的有关系可以用式子s= 来表示．例3．正整数按下图的规律排列．请写出第20 行，第21 列的数字训练3-1．观察如图的三角数阵，请写出第20 行，最后一个数字为 .训练3-2．将从 1 开始的自然数按如下方式填入下表，排成A、B、C、D、E 五列，300 是在列．真题回望1．（2016 秋•深圳期末）对于正整数 a ，我们规定：若 a 为奇数，则 f （a ）=3a+1：若 a 为偶数，则 f （a ）=2a ，例如 f （15）=3×15+1=46，f （10）= =5，若 1a =8，2a =f （1a ），3a =f （2a ），4a =f （3a ），…，依此规律进行下去，得到一列数 1a ，2a ，3a ，4a ，…，2017a ，…，则 =+⋅⋅⋅++++20174321a a a a a ．2．（2016 秋•深圳期末）请你观察：2111211-=⨯，3121321-=⨯，⋅⋅⋅-=⨯4131431； 3231131212111321211=-=-+-=⨯+⨯； 43411413131212111431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯；以上方法称为“裂项相消求和法”请类比完成：（1）=⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 （2）=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯201820171541431321211 （3）计算：1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值.综合应用1. 规定“*”是一种新运算：“)a b b a b a -÷+=*（”，则=**)21(2 ．北师大版七年级数学上：定义新运算和规律问题讲义无答案11 / 11 2. 对于两个自然数b a 、定义新运算“⊗”和“⊕”：如果ba b a b a -+=⊗， b a b a =⊕，那么=⊕⊗⊕）（）（3523 ．3. 根据规律填代数式. 2)12(221+⨯=+；2)13(3321+⨯=++；2)14(44321+⨯=+++； =+⋅⋅⋅+++n 321 ．4. 将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则 2018 应在（）5.填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是．。

【精品初一复习课件】探索规律与定义新运算

探索规律与定义新运算知识集结知识元数字规律知识讲解数字规律就是一列数按一定规律排列起来，常见的规律有：1、正整数规律：1、2、3、4、5、……可以表示为n（其中n为正整数）2、奇数规律：1、3、5、7、9、……可以表示为（其中n为正整数）3、偶数规律：2、4、6、8、10、……可以表示为2n（其中n为正整数）4、正、负交替规律变化：一组数，不看他们的绝对值，只看其性质，为正负交替（1）-、+、-、+、-、+、-、+可以表示为（2）+、-、+、-、+、-、+、-可以表示为5、平方数规律：1、4、9、16、……可以表示为（其中n为正整数），能看得出：上面的规律数+1、+2、-1、-2例题精讲数字规律例1.已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n个数是.【答案】2n－1【解析】题干解析:根据数列1，3，5，7，9.……；这些数均为连续的奇数，所以第n个数为2n－1。

例2.观察下列顺序排列的式子：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；9×4+5=41；…猜想：第个式子应为___________________。

【答案】9（n－1）+n=10（n－1）＋1【解析】题干解析:观察算式可知：等式的左边是9乘以一个数字与另一个数的和，加上的数正好是n，乘以的数为（n－1），所以等式的左边为：9（n－1）+n；等式的右边分别为1、11、21、31，不难发现结果是：个位数字都为1，十位数字恰好比n 小1第n个算式为9（n－1）+n=10（n－1）＋1.例3.观察下列算式：；；；，…（1）左边各项的底数与右边幂的底数之间的关系是什么？（2）猜想的规律是什么？（3）用第五个关系式进行验证。

【答案】（1）左边各项的底数的和等于右边幂的底数；（2）第n个算式是：13+23+33+…+n3=（1+2+3+…n）2=〔〕2；（3）第五个关系式是：13+23+33+…+53=（1+2+3+…5）2=〔〕2=）2=152【解析】题干解析:等式的左边为连连续自然数三次方的和，所以第n个算式是从1到n的连续自然数的三次方的和，等式的右边是一个数的平方，底数是等式左边这些连续自然数的和；因些第n个算式为13+23+33+…+n3=（1+2+3+…n）2=〔〕2；第五个算式为13+23+33+…+53=（1+2+3+…5）2=〔〕2=）2=152。

定义新运算(讲义)-2023-2024学年一年级下册数学苏教版

教学内容定义新运算教学目标理解定义新运算的概念1.掌握定义新运算的运算顺序教学重点2.理解定义新运算的新的运算规律教学难点定义新运算的新的运算规律教学准备教案教学过程知识详解1.含义：定义新运算是一种人为的、临时性的运算方式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、○等，这是与四则运算中的“+、-、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化时，是不适合于各种运算定律的。

2.简单认识特殊字符：Ααalpha a:lf 阿尔法Ββbeta bet 贝塔Γγgamma ga:m 伽马Δδdelta delt 德尔塔Θθthet θit 西塔∧λlambda lambd 兰布达Μμmu mju 缪Χχchi phai 西模块一：基础定义新运算【例1】定义一种运算◎：a◎b=4×a+3×b,1)求5◎4，4◎5；解答：这里的5可以看成字母“a”，4可以看成字母“b”，然后带入新的定义：5◎4=4×5+3×4=20+12=324◎5=4×4+3×5=16+15=31【例2】定义数a、b的两种运算“®”“©”如下：a®b=6×a+5×b,a©b=3×a×b, 求（2®3）©4的值。

模块二：定义新运算找规律与结合方程求解【例题3】定义一种运算◇：a◇b=a×b-(a+b),（1）求15◇14；（2）若12◇X=43，求X的值。

【例题4】规定：6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246，1※4=1+11+111+1111。

请根据给出的三个式子，求8※5的值？真题在线1.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值2.设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，1)求 3△2， 2△3；2)求（17△6）△2，17△（6△2）；3)如果已知4△b＝2，求b.3.定义a*b表示a的3倍减去b的两倍，即a*b=3a-2b,计算,已知X*(4*1)=1,求x的值。

(完整word版)人教版七年级上册找规律与新定义运算专题讲义

探索规律与定义新运算专题█知识模块1▲知识梳理1、合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳．猜想未知，寻找一般规律，获取新结论．2、一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件．▲精讲精练一、数列找规律：基础：找规律，并按照规律写出第n 个数.① 1，3，5，7，9……. 21n -（n 为正整数）．② 2，4，6，8，10……….. （n 为正整数）． ③ 2，4，8，16，32……… （n 为正整数）． ④ 2，5，8，11，14…….. （n 为正整数）． ⑤ 2，5，10，17，26…….. （n 为正整数）．⑥ x -，x +，x -，x +，x -，x +…… （n 为正整数）． ⑦ x +，x -，x +，x -，x +，x -…….. （n 为正整数）．⑧ 观察下列单项式：x ，23x -，35x ，47x -，59x ，…按此规律，可以得到第2005个单项式是___ ___.第n 个单项式怎样表示 .例：1.观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。

那么这一组数的第k 个数是．（k为正整数）2.找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，，，第n 个数为： . （n 为正整数）3.观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是，第8个式子是，第n 个式子是．（n 为正整数）．4.若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是．5.一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是，第n 个式子是（n 为正整数）．6.有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是．第n 个数为（n 为正整数）．练习：1.观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2018个数是（） A ．20182 B ．201821- C ．20192 D ．201722.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为． 3.探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==① 请猜想1357919++++++=_________；② 请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③ 请你用上述规律计算：10310510720172019+++++．4.在数列1，12，22，13，23，33，…，中，第100个数是___ ． 5.观察下面的三行单项式x 、2x 2、4x 3、8x 4、16x 5、32x 6……① －2x 、4x 2、－8x 3、16x 4、－32x 5、64x 6……② 2x 2、－3x 3、5x 4、－9x 5、17x 6、－33x 7……③① 根据你发现的规律，第①行第8个单项式为____________ ②第②行第10个单项式为____________ ③ 第③行第10个单项式为____________④ 取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A ，计算当x ＝21，512(A ＋41)的值二、数表找规律：例：1．如下图左是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，b = ． 2.观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ，2a b+= . （右图）表一表二表三 3.如右图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是． ⑷将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第行第列．练习：1.正整数按图的规律排列．请写出第 20行，第21列的数字．11 14 a 11 13 17 b 0 1 2 3 …1 3 5 7 …2 5 8 11 …3 7 11 15 … … … … … … 第1列第2列第3列第4列第1行 12 3 第2行 6 5 4第3行 78 9 第4行 12 1110……第一行第二行第三行第四行第五行第一列第二列第三列第四列第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)24232221………1 2 23 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5· · · · · · · · a b · · · · · · ·2.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：⑴ 4()a b +展开式共有项，系数分别为； ⑵ ()n a b +展开式共有项，系数和为．█知识模块2▲知识梳理我们学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方．如：235+=，236⨯=都是2和3的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．▲精讲精练1.现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．142.用“×”定义新运算：对于任a ，b ，都有a ×2b a b =-．例如，4×27479=-=，那么5×3= ；当m 为有理数时，m×（1-×2）= ．3.① 定义()5f x x =+，((2))f f = ．② 已知3()200920082007f x x x =++，当π1x =-时，(π1)2f -=；则(1π)f -= ．4.有一个运算程序，可以使a b n ⊕=（n 为常数）时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-.现在已知112⊕=，那么20092009⊕= ...............................13321111115.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-，① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ， ……，依此类推，则2019a = ．6.⑴ 定义计算“∆”，对于两个有理数a ，b ，有a ∆b a b ab =+-，例如：3-∆25=．则（2-∆3）∆0= ________⑵ 如果规定符号“*”的意义是aba b a b*=+，求()2*3*4-的值.课后作业：1.有一列数1，1，2，3，5，8，13，21……..，那么第9个数是 ;2.按一定的规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是（）A.82，21n -+B.82，()()211nn -+ C. -82，()()211nn -+ D.-82，31n + 3.观察下列等式：223142-=⨯； 224243-=⨯；225344-=⨯； ()()()()22-=⨯；…则第4个等式为__ _ ________．第n 个等式为___ _____．（n 是正整数） 4.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→ C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是__ _____；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是___ ______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是____ （用含n 的代数式表示） 5.定义运算※为a ※()b a b a b =⨯-+① 求5※7，7※5．② 求12※（3※4），（12※3）※4． ③ 这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④ 如果3※（5※x ）3=，求x ．。

第三节找规律、定义新运算和程序运算(含答案)...七年级数学学而思

第三节找规律、定义新运算和程序运算高频核心考点1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系：(2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号以之间的关系；(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号挖之间的关系：(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数；(5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论． 2．常见的数列规律1n 2,,9,7,5,3,1)1(-Λ（n 为正整数）； n 2,,10,8,6,4,2)2(Λ （n 为正整数）；n 2,,32,16,8,4,2)3(Λ（n 为正整数）； 1,,26,17,10,5,2)4(2+n Λ（n 为正整数）； 1,,24,15,8,3,0)5(2-n Λ（n 为正整数）；)1(,,20,12,6,2)6(+n n Λ（n 为正整数）：x x x x x x x n ⋅-+-+-+-)1(,,,,,,,)7(Λ（n 为正整数）； x x x x x x x n ⋅--+-+-++1`)1(,,,,,,,)8(Λ（n 为正整数）；(9)特殊数列：①斐波那契数列：,,13,8,5,3,2,1,1Λ从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和：②三角形数：2)1(,,21,15,10,6,3,1+n n Λ（n 为正整数）． 3．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算；(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序； ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 4．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 5．数学能力探究、归纳、总结和知识迁移的能力，方法技巧提炼1．规律题观察，总结，猜想，验证． 2．新定义观察定义，对比代入，注意运算顺序以及符号． 3．程序运算精题精讲精练例1．（山东威海中考）一组按规律排列的数：,167,93,41Λ,3621,2513请你推断第9个数是检测1．(1)（福建福州中考）瑞士中学巴尔末成功地从光谱数据Λ,3236,2125,1216,59中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据日是(2)（吉林长春中考）按下列规律排列的一列数对,),8,7(),5,4(),2,1(Λ第5个数对是例2．（四川内江中考）?100321=++++Λ经过研究，这个问题的一般性结论是+++321),1(21+=+n n n Λ 其中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：+⨯+⨯3221?)1(=++n n Λ 观察下面三个特殊的等式：),210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯),321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯).432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请你思考后回答：=⨯++⨯+⨯1011003221)1(Λ=++++⨯⨯+⨯⨯)2(1n 432321)2(n n ）（Λ检测2．(1)观察下面的几个算式：,4121=++ ,912321=++++ ,161234321=++++++Λ,25123454321=++++++++根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：=++++++++++1239910099321ΛΛ (2)已知：,3223222⨯=+,8338332⨯=+,154415442⨯=+,245524552⨯=+…，若a ba b ⨯=+21010符合前面式子的规律，则=+b a例3．如图2-3-1所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x 。

第七讲定义新运算和找规律解题(精)

第七讲定义新运算和找规律解题定义新运算1. 如果对于任意非零有理数a 、b ，定义运算如下：a ☉b =ab +1，那么（—5）☉（+4）☉（—3）=___________。

2. 已知：A □B 表示A 的3倍减去B 的2倍；求：①10□5；②15□5□10；③10□（4□1）111, 3*2=, 4*3=。

求：（6*3）÷（2*6） 233444112333456254. 已知：⊗3=⨯⨯，⊗4=⨯⨯⨯。

计算：⊗4+⊗3=223455678583. 已知:2*1=5. 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1；2！=2×1；3！=3×2×1；…。

则100！÷99！=________。

6. “※”定义新运算：对于有理数a 、b 都有：a ※b =b +1。

那么5※3=________；当m 为有理数时，m ※（m ※2）=_________。

7. 已知有理数a 、b ，规定一种新运算符号“＃”，a ＃b =2a -b，请根据＃的意义计 ab算：（1）4＃2=_______（2）（2＃3）＃（—2）=_________。

8. 形如a cb d的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示是：a cb d=ad -bc ，依此法则计算找规律做题21-34=_________。

1. 数字解密第一个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4，第四个数是 17=9+8，…，观察并猜想第六个数是__________________。

2. 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）第一行1111 22111第三行363第二行1111 41212411111第五行52030205第四行根据前五行的规律可以知道，第六行的数依次是____________________________。

排在第10行从左数第3个位置上的数是___________。

小学奥数第七讲新定义运算

第七讲新定义运算小朋友们，你们见过除了＋、－、×、÷这些运算符号之外的其他运算符号吗？在这一讲里，我们会一起来看看很多有趣的运算符号。

定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。

在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。

解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。

典型例题例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。

分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。

解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。

6△（3△4）分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab －c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。

分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。

解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。

例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。

计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。

找规律及定义新运算.学生版

内容基本要求略高要求较高要求找规律学会基本的找规律方法能做常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系能做综合试题定义新运算熟悉基本题型能根据题意进行运算板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（）．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-【例2】如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（）．A ．b a -B ．1b a - C ．11a b- D ．2()a b -【例3】一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114b a，…(0≠ab )，其中第7个式子是，第n 个式子是 (n 为正整数)．【例4】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.① ② ③【例5】右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。

请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当中考要求找规律及定义新运算数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(用含n的代数式表示)。

【例6】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，则完成一次变换．若骰子的）A．6 B．5 C．3 D．2【例7】观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n+++++（n是正整数）的结果为（）A．2(21)n+B．2(21)n-C．2(2)n+D．2n【例8】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有个．图3图2图1【例9】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）1+8=?1+8+16=?1+8+16+24=?……图1 图2A．15 B．25 C．55 D．1225【例10】如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．【例11】下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。

定义新运算的解题诀窍

定义新运算的解题诀窍摘要：一、引言二、新运算的定义及特点1.新运算的定义2.新运算的特点三、解题诀窍1.分析题目，理解新运算规则2.确定运算顺序3.举例说明新运算的计算过程4.总结解题步骤四、新运算在实际问题中的应用1.实际问题中的新运算案例2.新运算在解决问题中的优势五、结论正文：新运算在数学领域中是一个比较新的概念，很多同学在接触到新运算题目时可能会感到困惑。

其实，只要掌握了解题的诀窍，新运算题目并不难解决。

本文将为大家介绍新运算的定义以及解题诀窍。

首先，我们需要了解新运算的定义和特点。

新运算是指在原有四则运算的基础上，通过特定的符号、规则或方法进行拓展，形成的一种新的运算方式。

新运算的特点包括运算规则的复杂性、运算过程的特殊性等。

在解决新运算题目时，有三个诀窍可以帮助我们迅速找到解题思路。

第一，分析题目，理解新运算规则。

在解决新运算题目时，首先要认真阅读题目，理解题目所给出的新运算规则，明确运算的顺序和法则。

第二，确定运算顺序。

根据题目所给的新运算规则，确定各个运算步骤的顺序，遵循先乘除后加减的原则进行计算。

第三，举例说明新运算的计算过程。

通过具体的计算例子，加深对新运算过程的理解，总结出解题的一般步骤。

在实际问题中，新运算也有着广泛的应用。

例如，在计算机科学、密码学、经济学等领域，新运算被用来解决一些复杂数学问题。

通过新运算，我们可以更方便地解决实际问题，提高解决问题的效率。

总之，新运算是一种具有挑战性的数学概念，但只要掌握了解题的诀窍，新运算题目并不难解决。

人教版七年级上册找规律与新定义运算专题讲义

探索规律与定义新运算专题■知识模块1▲知识梳理1、合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳.猜想未知，寻找一般规律，获取新结论.2、一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件.▲精讲精练一、数列找规律:基础：找规律，并按照规律写出第 n 个数.第n 个单项式怎样表示例:为正整数）整数）1 ,3 , 5 , 乙9••…2n 1 2,4 , 6, 8 , 10 •…2 ,4 , 8, 16 ,32…2,5 , 8, 11 ,14…2,5 , 10 , 17 , 26x , x ,x , x , x ,x , x ,x , x ,x ,2观察卜列单项式： x , 3x , （n 为正整数）.（n 为正整数）.（n 为正整数）.（n 为正整数）.（n 为正整数）.（n 为正整数）.（n 为正整数）.457x , 9x ,…按此规律，可以得到第 2005个单项式是1.观察下列一组数：-2它们是按一定规律排列的。

那么这一组数的第k 个数是2.找规律，并按规律填上第五个数9 16 ,，第n 个数为: （n 为正3.观察下列单项式，2x , 5x 2 , 10x 3 , 17x 4,……根据你发现的规律写出第5个式子是，第8个式子是，第n 个式子是.（n 为正整数）.4.若一组按规律排成的数的第 n 项为n n 1（n 为正整数），则这组数的第10项为 ;若一组按规律组成的数为：2,6,12 ,20,30,42 , 56, 72, 90,…，则这组数的第3n （ n 为正整数）项是5. 一组按规律排列的式子: b 2b 8 3 , a b 11b7 , •••( ab 0),其中第7个式子是 a，第n 个式子是x x① ⑦ ⑤ ② ③ ④ ⑥ ⑧ 35x ,（n 为正整数）6. 有一列数 1, 2 , A , 4，…，那么第7个数是•第n 个数为（n 为正整数）2510 17练习：1.观察一列有规律的数：4 , 8 , 16 , 32，…，它的第2018个数是（）2018201820192017A 2B • 2 1C • 2D • 2大门•请你按这种规律写出第 7个数据是 . 第n 个分数为 ______3. 探索规律：观察下面算式，解答问题： 21 3 42 ； 13 5 9 23 ；1 3 57 216 4 ； 1 3 5 7 925 5①请猜想1 3 5 7 9 L 19；②请猜想1 35 79 L(2n 1) (2n1）（2n 3）；③请你用上述规律计算:103105107 L 2017 2019•4.在数列1 , 1 , 2 1 2 3 …，中，第100个数是 223335. 观察下面的三行单项式X 、2x 2、4x 3、8x 4、16x 5、32x 6……①-2x 、4x 2、一 8X 3、16X 4、一 32x 5、64x 6……② 2x 2、一 3x 3> 5x 4>- 9x 5、17x 6>- 33x 7……③① 根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 _____________② 第②行第10个单项式为 ______________ ③ 第③行第10个单项式为 _____________2.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据16 1225 21，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的④取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x= - , 512（A+丄）的值2 4二、数表找规律：例：1.如下图左是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a, b是某行的前两个数，当a 7时，b ___________2.观察表一，寻找规律•表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则（右图）12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 5a b ................................0123…1357…25811…371115………………表1114a表二3.如右图，圆圈内分别标有0, 1 , 2, 3, 4，…，11这12个数字.电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 _______________ .⑷将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第_________ 行第_________ 列.第1列第2列第3列第4列第1行123第2行654第3行789第4行121110表三练习：1.正整数按图的规律排列.请写出第20行，第21列的数字第一列第二列第三列第四列第五列10第四行第五行16 ------ 15 ------ 14 ------ 1325 ------ 24 ----- 23 ----- 22 *2. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了 (a b)n ( n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律•例如：(a b)°1，它只有一项，系数为1 ;1(a b) a b ，它有两项，系数分别为 1 , 1系数和为2 ;(a b)2 a 2 2ab b 2，它有三项，系数分别为1 ,2 , 1，系数和为4 ;(a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3，它有四项，系数分别为 1, 3, 3, 1，系数和为8 ；根据以上规律，解答下列问题：⑴(a b)4展开式共有 ____________ 项，系数分别为 ________________ ; ⑵(a b)n 展开式共有 ____________ 项，系数和为 __________________ •■知识模块2▲知识梳理我们学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方.女口： 2 3 5 , 2 3 6都是2和3的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同. 可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应•只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算•下面来了解和熟悉“定义新运算”.▲精讲精练1.现规定- 种运算：a*bab a b ，其中a , b 为有理数，则3*5的值为()A 11B. 12C. 13D. 142.用“ 匕「”定义新运算: :对于任 a,b ，都有a 匕 b a b •例如，4 IX ' 7 42 7 9，那么53=;当m 为有理数时，m 区〉(1区〉2) = ______________ . 3. ①定义 f(x) x 5 , f(f(2)) _______ .② 已知 f(x) 2009x 32008x 2007，当 x n 1 时，f (n 1)2 ;贝9 f (1 力 ________ .4. 有一个运算程序，可以使 a bn ( n 为常数)时，得 a 1 b n 1 , a b 1 n 2 .现在已知1 1 2，那么 2009 2009 .11 11 2 1 13 315.定义： a 是不为1的有理数，我们把1称为a 的差倒数.如：2的差倒数是 11 , 1的差倒数是2 .已知a1课后作业:数及第n 个数（n 为正整数）分别是3.观察下列等式:则第4个等式为 .第n 个等式为.（n 是正整数）a 2是q 的差倒数，则 a 2 a 3是a 2的差倒数，则 a 3 a 4是a 3的差倒数，则 a 4，依此类推，则 a 20196.⑴定义计算“”，对于两个有理数 a ，b ，有 a b a b ab ，例如: 32 5 .则（2 3） 0⑵如果规定符号的意义是a b 西，求2*3 *4的值.a b1.有一列数1 , 1 ,13, 21 •，那么第 9个数是2.按一定的规律排列的一列数依次为:2 , 5, 10, 17, 26，…，按此规律排列下去，这列数中第2A.82, n 1B.82C. -822一n 1D.-82,3n 14. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A , B , C , D .请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B C …的方式）从A开始数连续的正整数1, 2 , 3, 4 ,…，当数到12时，对应的字母是 ____________ ;当字母C第201次出现时，恰好数到的数是__________ ;当字母C第2n 1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是________________ （用含n的代数式表示）5. 定义运算※为a探b a b （a b）①求5探7 , 7探5 .②求12探（3探4 ）,（12探3 ）探4 .③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3探（5探x）3，求x .。

七年级数学有理数专题：定义新运算、找规律和程序运算

第七讲定义新运算、找规律和程序运算本讲目标：1.了解新运算、找规律、程序框图类题型；2.数的规律，学会找第n 项，特别是不从1n 找规律.模块一：定义新运算定义新运算：用一个新符号将字母连接起来的运算．1.做题关键：正确理解新符号的含义，按照计算顺序，将数值代入式子，转化为一般的四则运算．有括号先算括号．2.常见特殊符号：、、、、、#、、log 等．思考1：若对于任意数,a b ，有ab a b ab .（1）计算58（2）计算8668模块二：数列、代数式、数表找规律找规律的核心：观察、归纳、验证.通过观察简单、局部、特殊的情况，经过提炼、归纳、猜想，寻找一般规律，最后记得要验证.题目类型：数字规律、运算规律、等式规律、图表排列规律、运动规律类．思考2：22222334422,33,44,,33881515若288a a b b ，则a b _______.思考3：有一组单项式：3452,,,,,234a a a a 观察它们构成归来，用你发现的总结第n 个单项式为_______.模块三：程序运算解题关键：弄清程序与数学表达式的关系，按照程序过程一步一步往下推．思考4：按照下图规律，若输入23x ，则输出结果y ______.输入x1x 152y x 152y x 输出y学而思期中考试结束，老师没留什么作业吧！不知不觉初中生活也走过了快半个学期，不知道学校里快乐和紧张的学习与生活是否让同学们感受到充满乐趣？小伙伴们可以反思一下自己在哪些地方做得不错，哪些地方尚可提高，查漏补缺，让自己更加接近完美～～思考题答案：思考1：（1）37；（2）2500思考2：71思考3：111n n a n思考4：34+2是否。

专题之——找规律及定义新运算解析版

第一层第二层第三层
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小武老师
用心，NO.1 你的数学
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lewu@
根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题： ① 求第 6 层有多少个面被涂成了红色？ ② 求第 n 层有多少个面被涂成了红色？（用含 n 的式子表示） ③ 若第 m 层有 89 个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．
⑴ 搭 7 个需要根火柴棍． ⑵ 搭 n 个三角形需要根火柴棍．解： ⑴ 15 ．⑵ 2n 1 ．
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小武老师
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4、（☆☆，2008，陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需要根钢管.
从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为：第一层：侧面个数上面个数 1 4 1 5 ；第二层：侧面个数上面个数 2 4 3 11 ；第三层：侧面个数上面个数 3 4 5 17 ；第四层：侧面个数上面个数 4 4 7 23 ；
解： ① 第 6 层：侧面个数上面个数 6 4 11 24 11 35 ，故第 6 层有 35 个面被涂成了红色． ② 第 n 层：被涂成了红色的面的个数为： 4n (2n 1) (6n 1) （个）． ③ 依题意可得： 6m 1 89 ，∴ 6m 90 ，∴ m 15 ，故这是第 15 层． 13、（☆☆☆）图 1 是一个水平摆放的小正方体木块，图 2、图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（） A． 25 B． 66 C． 91 D． 120

找规律、程序运算和新定义

在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法，也是科学发展史上的一种重要的方法.注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径；从数与式的特征观察；从几何图形的结构观察；通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况.规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在以往“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，现在又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型.模块一：找规律数字规律【例1】按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a 、22a -、33a 、44a -，________，__________； (2)试写出第2007个和第2008个单项式 (3) 试写出第n 个单项式【例2】一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，找规律、程序运算和新定义同步练习知识讲解n n个数据是___________ 从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第(1)【变式练习】观察下列等式：第一行 3＝4-1第二行 5＝9-4第三行 7＝16-9第四行 9＝25-16第五行 11＝36-25……按照上述规律，第n行的等式为 .【变式练习】下面是一个三角形数阵：1------------------------第1行2 3 ------------------第2行4 5 6------------------第3行7 8 9 10------------第4行……根据该数阵的规律,第8行第2个数是【例3】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的13610...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）14916...A．15 B．25 C．55 D．1225【例4】右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前n横行的数字和为．【例5】研究下面的一列数：1，3-，5，7-，9，11-，13，…，照此规律，请你用表达式表示出第n 个数.【例6】右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于1A ，2A ，3A ，…．若从O 点到1A 点的回形线为第1圈(长为7)，从1A 点到2A 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．【例7】一根拉直的绳子从中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的绳子分成1n +段，需n 刀，这就是说线段上n 个点将线段分成1n +段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成5段，试问：（1）将一根绳子对折4次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（2）将一根绳子对折2003次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成2003段，如果能，求出对折的次数，如果不能，请说明理由．11111111111010556443321【例8】图1是棱长为a 的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层，第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：⑴ 按照要求填表：⑵ 写出当10n =时，s = ．【例9】如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n 层，试问第n 层有多少个点？这个点阵共有多少个点？图形数数规律【例10】某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）…… 依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________第n 层………… …… n1234 … s 1 3 6 …图1 图2 图3【例11】如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n ()2n ≥枚棋子，每个图案中棋子总数为s ，则s 与n 之间的关系可以表示为 .【变式练习】为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）A ．26n +B ．86n +C ．44n +D ．8n【变式练习】如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.（1）将下表填写完整；图形编号（1）（2）（3）（4）（5）三角形个数1 5 9（2）在第n 个图形中有个三角形【变式练习】图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝______ （用n 的代数式表示）【例12】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有_______个．【例13】观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是一样的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有个．【例14】图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）A ．25B ．66C ．91D ．120【例15】用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005s s s图3图2图1图3图2图1第1个图第2个图第3个图第4个图图（3）…… n =1n=2n =3块瓷砖最多能完整地铺满________组，此时还剩余_______块瓷砖．【例16】一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点跳过的总距离为_________．模块二：程序运算与新定义【例17】定义一种新运算：12a b a b *=-，那么4*（-1）= _______【例18】现定义一种新运算：★，对于任意整数a 、b ，有a ★b=a+b-1，求4★[（6★8）★（3★5）]的值【例19】用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有ab=a 和a b=b ，例如32=3，32=2．则（20102009）（20072008）的值是 .【例20】我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：32101202121211⨯+⨯+⨯+⨯=．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为_______ ．PP P4321【例21】读一读：式子“12345100++++++”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）；又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴246810100++++++(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为．⑵计算5211n n =-=∑（）．(填写最后的计算结果)【例22】定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则2009a =_______ ．【例23】若用汉字的四角号码作为密码来传送“希望杯”这三个字，即是“402207104199”．现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变成关于9的补码，即0变成9；1变成8；2变成7；……．则“希望杯”这三个字的新密码是_______．【例24】在密码学中,称直接可以看到的内容为明码, 对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25．现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x ，2x ，3x ，4x ，已知:整数122x x +，23x ，342x x +，43x 除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是_________．【例25】对于数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数．若关于x 的方程343x a ⎡+⎤=⎢⎥⎣⎦有正整数解，则a的取值范围为______．【例26】对于数x ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如[3.14]=3，[7.59]8-=-，则满足关系式3747x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的x 的整数值有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【练习1】下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）A.55B.42C.41D.49 【练习2】柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有23⨯听罐头，第二层有34⨯听罐头，第三层有45⨯听罐头，……根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层有听罐头（用含n 的式子表示）【练习3】观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，15，… 2，5，8，11，14，17，20，23，… 7，13，19，25，31，37，43，49，…这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数，并知道第一个数是3，第三个数是11．则其第n 个数为（）A.85n -B.22n +C. 41n -D.225n +课后练习【练习4】一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114ba，…(0≠ab )，其中第7个式子是_____，第n 个式子是______(n 为正整数)．【练习5】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.① ② ③【练习6】用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需要3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……⑴ 搭7个需要根火柴棍．⑵ 搭n 个三角形需要根火柴棍．【练习7】如果1111n na a +=+ (1n =，2，3，…，2009)，那么，当11=a 时，1223++⋯a a a a a 20082009a a 的值是多少？【练习8】观察下列图形：根据图1、图2、图3的规律，图4中的三角形的个数为．【练习9】如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为：第一层：侧面个数+上面个数1415=⨯+=；第二层：侧面个数+上面个数24311=⨯+=；第三层：侧面个数+上面个数34517=⨯+=；第四层：侧面个数+上面个数44723=⨯+=； …………图4图1图2图3第第二层第三层11 / 11找规律、程序运算和新定义根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题：① 求第6层有多少个面被涂成了红色？② 求第n 层有多少个面被涂成了红色？（用含n 的式子表示）③ 若第m 层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．【练习10】有一个运算程序，可以使：a b n ⊕=(n 为常数)时，得(1a +)1b n ⊕=-,(1)2a b n ⊕+=-．现在已知112⊕=，那么20082008⊕=________．。

定义新运算附答案

定义新运算附答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（定义新运算附答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为定义新运算附答案的全部内容。

定义新运算附答案我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。

如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算。

当然，这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“＋”，“－"，“×”，“÷”运算不相同。

我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2， 2△3;②这个运算“△"有交换律吗？③求（17△6）△2,17△（6△2);④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b。

分析:解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0。

②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有:17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6)△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23,所以17△（6△2）＝23。

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