相对论电动力学作业答案

1. 证明下述量为洛仑兹不变量:

1) A 2−Φ2/c 2; 2)J 2−c 2ρ2;3)E 2−c 2B 2

解: 1）A μ= A,i Φc 为四维势矢量，因此：

A μ，A μ，=A ，2−Φ2

c 2=a μνA νa μλA λ=δνλA νA λ=A νA ν=A 2−Φ2/c 2是不变量 2）J μ= J ，ic ρ 是四维电流密度矢量，

J μ，J μ，

=J ，2−c 2ρ,2=a μνJ νa μλJ λ=δνλJ νJ λ=J νJ ν=J 2−c 2ρ2是不变量

3)(i c E ,)2+B ,2=F ,μνF ,μν=a μλF λςa ςνT a μλF λςa ςνT =F μνF μν=(i c E)2+B 2, 所以E 2−c 2B 2为不变量

2. 试证明：在一惯性系中 E >c B ,则在一切惯性系中都是如此。

证明：由1.(3)的证明，E 2−c 2B 2为不变量，所以若在一惯性系中 E >c B ,则在一切惯性系中都成立

3. 设在S 系中E 沿y 方向，B 沿z 方向，若在S 1系中只有电场没有磁场，求S 1系相对于S

系的速度

解：由题意，B 3，=γ B −

v c ∗c E =0，所以v=c 2B E

4. 一无限长理想螺线管在S 系中静止，轴与y 轴平行，螺线管单位长度有n 匝，通有电流

I ，S 1沿S 系的x 方向以匀速v 运动，求S 1系中观察者测量到螺线管外部和内部的电场和磁场

解：螺线管内部磁场： B 2=μ0I 0n 沿y 轴方向 ，B ，=γB 2=γμ0I 0n ，电场为0，螺线管 外部电场磁场均为0

5. 有一平行于x 轴的线密度λ的无限长带电直线，沿x 轴方向以匀速v 运行，一个任意速度

运动的点电荷q 位于（0，b ，0）处，求作用在点电荷q 上的力并求在点（0，b ，0）处 电场与磁场关系

解：设导线所在S 系，点电荷S ，系，

则S 系中，E=I 2πενb =λ2πεb 沿y 轴方向；B=μ0I 2πb =μ0λν2πb 沿z 轴方向。

设点电荷运动沿x 轴，速度u

S ,系中，E ，=E 2，=γ E 2−uB 3 =γ(λ2πεb −u μ0λν2πb ),其中γ= 1−c ;

在S ,系中，F ，=q(E ，+v ,×B ,),其中v ,因为是在自己的参考系中，速度为0

F，=q E，=qγ(λ

2πεb −uμ0λν

2πb

)