三角函数诱导公式学案

三角函数基本关系及诱导公式一、知识梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：sin α

cos α＝tan α.

2．下列各角的终边与角α的终边的关系

角2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α－α

图示与角α

终边的关系相同

关于原点对

称

关于x轴对

称

角π－απ

2－α

π

2＋α

图示与角α

终边的关系关于y轴

对称

关于直线y

＝x

对称

3.

组数 一 二 三 四 五 六 角

2k π＋α (k ∈Z ) π＋α

－α π－α

π2－α

π2＋α

正弦 sin_α

－sin_α

－sin_α

sin_α cos_α cos_α

余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α

－sin_α 正切 tan_α tan_α

－tan_α

－tan_α

口诀

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

二、例题精讲

题型一 同角三角函数关系式的应用

例1 (1)已知cos(π＋x )＝3

5，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.

(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.

变式训练1

(1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于

( ) A ．－43

B.54

C ．－34

D.45 (2)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x

sin x －1

的值是

( ) A.12 B ．－1

2 C ．2

D ．－2

(3)已知sin θ＋cos θ＝7

13，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.

题型二 诱导公式的应用

例2 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－3

5，求sin(3π＋α)·tan ⎝

⎛⎭

⎪⎫α－72π的值．

变式训练2 (1)已知sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．

(2)已知cos ⎝

⎛⎭

⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝

⎛

⎭

⎪⎫α－2π3＝________.

(3)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则

sin (－α－32π)cos (3

2π－α)

cos (π2－α)sin (π

2＋α)·tan 2(π－α)＝________.

题型三 三角函数式的求值与化简

例3 (1)已知tan α＝13，求1

2sin αcos α＋cos 2α

的值；

(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α)

.

变式训练3 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2

3，则这个三角形是 ( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)

sin (3π－α)·cos (π－α)

＝

________.

三、课后练习

A 组 基础训练

一、选择题 1． α是第四象限角，tan α＝－5

12，则sin α等于

( ) A.15

B ．－15

C.513

D ．－5

13

2． 已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π

3，则sin α等于 ( )

A ．－32 B.32 C ．－12 D.1

2 3． 已知sin(π－α)＝－2sin(π

2＋α)，则sin α·cos α等于

( ) A.2

5

B ．－25

C.25或－2

5

D ．－15

4． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)

，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－25π3的值为

( ) A.1

2

B ．－12

C.3

2

D ．－3

2

5． 已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)

cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是

( )

A ．{1，－1,2，－2}

B ．{－1,1}

C ．{2，－2}

D ．{1，－1,0,2，－2}

二、填空题

6． 化简：

sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)

＝________.