三角函数诱导公式学案

三角函数基本关系及诱导公式一、知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：sin α
cos α＝tan α.
2．下列各角的终边与角α的终边的关系
角2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α－α
图示与角α
终边的关系相同
关于原点对
称
关于x轴对
称
角π－απ
2－α
π
2＋α
图示与角α
终边的关系关于y轴
对称
关于直线y
＝x
对称
3.
组数 一 二 三 四 五 六 角
2k π＋α (k ∈Z ) π＋α
－α π－α
π2－α
π2＋α
正弦 sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α
－sin_α 正切 tan_α tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
二、例题精讲
题型一 同角三角函数关系式的应用
例1 (1)已知cos(π＋x )＝3
5，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.
(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.
变式训练1
(1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于
( ) A ．－43
B.54
C ．－34
D.45 (2)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x
sin x －1
的值是
( ) A.12 B ．－1
2 C ．2
D ．－2
(3)已知sin θ＋cos θ＝7
13，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.
题型二 诱导公式的应用
例2 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－3
5，求sin(3π＋α)·tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫α－72π的值．
变式训练2 (1)已知sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．
(2)已知cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫α－2π3＝________.
(3)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则
sin (－α－32π)cos (3
2π－α)
cos (π2－α)sin (π
2＋α)·tan 2(π－α)＝________.
题型三 三角函数式的求值与化简
例3 (1)已知tan α＝13，求1
2sin αcos α＋cos 2α
的值；
(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α)
.
变式训练3 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2
3，则这个三角形是 ( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)
sin (3π－α)·cos (π－α)
＝
________.
三、课后练习
A 组 基础训练
一、选择题 1． α是第四象限角，tan α＝－5
12，则sin α等于
( ) A.15
B ．－15
C.513
D ．－5
13
2． 已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π
3，则sin α等于 ( )
A ．－32 B.32 C ．－12 D.1
2 3． 已知sin(π－α)＝－2sin(π
2＋α)，则sin α·cos α等于
( ) A.2
5
B ．－25
C.25或－2
5
D ．－15
4． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)
，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－25π3的值为
( ) A.1
2
B ．－12
C.3
2
D ．－3
2
5． 已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)
cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是
( )
A ．{1，－1,2，－2}
B ．{－1,1}
C ．{2，－2}
D ．{1，－1,0,2，－2}
二、填空题
6． 化简：
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)
＝________.。