【名师面对面】2015中考数学总复习 第5章 第20讲 直角三角形课件

2．(2014· 荆门)如图，已知圆柱底面的周长为 4 dm，圆柱高为 2 dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则 这圈金属丝的周长最小为( A ) A．4 2 dm C．2 5 dm B．2 2 dm D．4 5 dm
3．(2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另
°.利用比例关系，转化为方程解决，是解决问题的好思路．
勾股定理及其逆定理
1．(2014·十堰)如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连结AC交DE于
点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB.若DG＝
3，EC＝1，求DE的长．
【解析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG＝AG， 得出CD＝DG后，在Rt△CED中根据勾股定理即可求解．
第20讲 直角三角形
1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的
性质定理．掌握有两个角互余的三角形是直角三
角形．
2．掌握勾股定理及其逆定理，并能用来解决一
些简单的实际问题．
1．直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾 股定理及其逆定理来解决实际问题都是中考的重点， 在选择题、填空题、解答题中均有出现． 2．直角三角形是最常见的图形之一，可单独成题
4． (2014· 凉山)已知一个直角三角形的两边的长分别是3 和 4， ． 则第三边长为 5 或 7
5．如图，在边长为1的小正方形 组成的网格中，△ABC的三个顶点
在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC， 连结CD；
(2)线段AC的长为 2 5
，CD的
长为____ 5 ，AD的长为 5 ； (3)△ACD为 直角 三角形，四边 形ABCD的面积为 10 ； (4)若E为BC中点，则tan∠CAE的 1 值是____ 2 ．
8，则DE的长度是 ． 2
【解析】第1题根据在直角三 角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的三角形纸片，现
过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，
分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大
角的度数是 125° ．
【解析】第2题利用直角三角形两锐角互余来求解；
cm，那么 CE 等于( C )
A. 3 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
5．(2013· 衢州)如图，将一个有 45°角的三角板的直角顶点放 在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边
沿上， 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30°角， 则三角板的最大边的长为( A )
勾股定理求得AC的长即可；(2)分别求得乘车时间，然后比较 即可得到答案．
解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点， ∵∠ABC＝120°， BC＝20， ∴BE＝10， CE＝10 3， 在△ACE 中，∵AC2 ＝8100 ＋300 ，∴AC＝20 21＝20×4.6 ＝92(km) 80 1 92 (2)乘客车需时间 t1＝ ＝1 (小时)；乘列车需时间 t2＝ ＋ 60 3 180 20 1 ＝1 (小时)，∴选择城际列车 40 90
(2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，
要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位
置．(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法)
1 (2)如图，作法：①分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长 2 为半径作弧，两弧交于两点 M，N，作直线 MN；②直线 MN 交 l 于点 P，点 P 即为所求
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第 三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系； (3)用于证明平方关系的问题． 因此，当知道直角三角形的两边时，可以求出第 三边；当只知道直角三角形的一边时，列出关系式 ，转化为方程解决. 求解时应注意辨别哪一边是斜 边．
勾股定理及其逆定理的实际应用 1．(2014·黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开 通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客 车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武 汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客 运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°. 请你帮助小明解决以下问题：
1．直角三角形的两锐角________． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的 ________． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________ ．
4．(2014· 黔南州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，
BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于 D.如果∠A＝30°，AE＝6
一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢
飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行
10 米．
4．(2012·临沂)如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两 个村庄，A村到公路l的距离AC＝1 km，B村到公路l的距离 BD＝2 km，B村在A村的南偏东方向上．
(1)求出A，B两村之间的距离；
(1)过点 B 作直线 l 的平行线交 AC 的延长线于 E.∴CE ＝BD＝2.在 Rt△AEB 中， 由∠A＝45°， 可得 BE＝EA＝3， ∴AB＝ 32＋32＝3 2，∴A，B 两村的距离为 3 2 km
3．(2014·丽水)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝
BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1， l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ，求AC的长．
解：分别过点 A，C 作 AF⊥l3，CE⊥l3，则有△ABF≌△BCE， BF＝CE＝5，在 Rt△ABF 中，AB＝ AF2＋BF2＝ 34，在 Rt△ ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝2 17
勾股定理及其逆定理的实际应用，关键是构造直角 三角形，将问题中的数据在图中标出，把实际问题 转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模 型，有些需进一步转化为方程，从而解决该实际问
题．
解：∵ AD ∥ BC ， DE ⊥ BC ， ∴ DE ⊥ AD ， ∠ CAD ＝ ∠ACB.∵点 G 为 AF 的中点，∴DG＝AG，∴∠GAD＝ ∠GDA，∴∠CGD＝2∠CAD，∵∠ACD＝2∠ACB， ∴∠ACD＝∠CGD，∴CD＝DG＝3，在 Rt△CED 中， DE＝ CD2－CE2＝2 2
2．(2014·安徽)如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，
∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重
合，折痕为MN，求线段BN的长．
【解析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN
＝9－x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△NBD
中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求 解． 解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9－x ，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中， x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，故线段BN的长为4
直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方，即有________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方 等于另外两条边的________(即满足式子________) ，那么这个三角形是直角三角形．
3 ．(2014· 滨州 )下列四组线段中 ，可以构成直角三角形的是 ( B ) A．4，5，6 C．2，3，4 B．1.5，2，2.5 D．1， 2，3
3．(2014·金华)如图，矩形ABCD中，AB＝8，点
E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交
BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是
CD的中点，求BC的长．
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直角三角形的性质 1．(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝
(1)求A，C之间的距离；(参考数据：≈4.6)
(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内公共汽车的平均速 度为40 km/h，城际列车的平均速度为180 km/h，为了最短 时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说 明理由．(不计候车时间)
【解析】(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用
，也常与平行四边形、圆、三角函数等渗透在综合
题中．
3．主要体现数形结合思想、化归的思想以及分类
思想方法．
1．(2014·丽水)如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC
交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是( D )
A．50° B．45°
C．35°
D．30°
2．(2012· 湖州)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， AB＝10，CD 是 AB 边上的中线，则 CD 的长是( C ) 5 A．20 B．10 C．5 D.2
A．6 2 cm B．6 cm C．3 2 cm D．3 cm
1． 构造全等的直角三角形是解决与直角三角形有关问题
常用的方法．
2．特殊直角三角形的边角关系：如①若∠A＝30°，则 1 a∶b∶c＝1∶ 3∶2；②若 a＝ c，则∠A＝30°；③若∠A 2 2 ＝45°，则 a∶b∶c＝1∶1∶ 2；④若 a＝ 2 c，则∠A＝45