教案《指数扩充及其运算性质》

§2 指数扩充及其运算性质

2.1指数概念的扩充

一、教学目标：1、知识与技能

（1）在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的

概念．

（2）能够理解引入分数指数概念后m

a（0

>

a）表示实数．

2、能力与方法

（1）让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对

于数学知识的发展的重要意义．

（2）随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．

3、情感．态度与价值观：

使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意

义增强学习数学的积极性和自信心．

二、教学重点:理解分数指数幂的概念及表示．

教学难点：分数指数的引入．

三、学法指导：学生思考、探究．

教学方法：探究交流，讲练结合。

四、教学过程：

（一）新课导入

【教学互动】请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果：

a n=

a0=（a≠0）

a-n=（a≠0，n∈N+）

思考：某养牛场养的某头肉牛现在重量是20kg，经过一年该肉牛体重可以增长50%，（1）写出该肉牛经过x()5

（2）当时间是半年或一年零三个月时，肉牛的体重是多少？

这就给我们提出问题：2

123⎪⎭⎫

⎝⎛具有实际意义，那么指数是分数时指数幂意义是

什么？

（二）新知探究

1．a 的n

次幂:

一般地，给定正实数a ，对于给定的正整数n ，存在唯一的正实数b ，使得

n

b a =，我们把b 叫做a 的1

n 次幂，记作1

n b a =．

2．分数指数幂:

一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数n m ，，存在唯一的正实数b ，

使得b n

=a m

，我们把b 叫做a 的m

n

次幂，记作m

n b a =，它就是分数指数幂．

例如：32

b 7=，则23

b 7=；53

x 3=，则35

x 3=等．

注：我们也把n

m a 写成n

m

a ，即n

m a =n m a

说明:（1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

应有所限制，即a0

>．

（3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应，这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数，得到一个定义在有理数集上的指数

函数．

（Ⅱ）有理指数幂

思考交流：请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数后有意义吗？

（三）小结:

1．正整数指数幂→负整数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂；

2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数；

3．若b n=a m，则我们把b叫做a的m

n

次幂，记作

m

n

b a

=，且n m a=n m a