教案《指数扩充及其运算性质》
指数扩充及运算性质学生教案
1对1个性化辅导教案1．分数指数幂 (1)定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n＝a m，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝a mn ，它就是分数指数幂．(2)几个结论：①正分数指数幂的根式形式：a mna >0)．②负分数指数幂的意义：a －m n＝1a m n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． 2．指数幂的运算性质若a >0，b >0，对任意实数m ，n ，指数运算有以下性质： (1)a m ·a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a m ·n；(3)(ab )m ＝a m b m ．[小问题·大思维]1．若b 2＝53，则b ＝532，b 叫作5的32次幂吗？提示：不一定，当b ＞0时，可以；当b ＜0时，b 不叫作5的32次幂．2．为什么分数指数幂中规定整数m ，n 互素？提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a 13中，底数a ∈R ，当a ＜0时，a 13＜0，而如果把a 13写成a 26，有两种运算：一是a 26＝(a 16)2就必须a ≥0；二是a 26＝(a 2)16，在a ＜0时，a 26的结果大于0，与a 13＜0相矛盾．所以规定整数m 、n 互素．3．分数指数幂a mn 可以理解为mn个a 相乘，对吗？提示：分数指数幂a m n不可理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a mn ＝(na )m＝na m (a >0，n 、m ∈N ＋，且m n 为既约分数)，a －m n ＝1a m n＝1（n a ）m ＝1n a m (a >0，n 、m ∈N ＋，且mn为既约分数)．[例1] 用分数指数幂表示下列各式． (1)a a (a ＞0)； (2)13x （5x 2）2；(3)(4b －23)－23(b ＞0)． [悟一法]此类问题应熟练应用a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．[通一类]1．用分数指数幂表示下列各式． (1)82；(2)a 2·3a 2；(3)a12a 12·a (a ＞0)；(4)a 2a·3a 2(a ＞0)．[例2] 计算或化简． (1)a 3b 2(2ab －1)3；(2)(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋||－0.0112；(3)(279)0.5＋0.1－2＋(21027)－23－3π0＋3748；(4) 3a92a －3÷3a －7·3a 13(a ＞0)；(5)42＋1·23－22·8－23.[悟一法]进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．[通一类]2．计算或化简下列各式．(1)0.027－13－(－17)－2＋(279)12－(2－1)0；(2)(14)－12·（4ab －1）30.1－2（a 3b －3）12； (3)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷(1－2 3b a)×3a .[研一题][例3] 已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3)33221122a a a a----.[悟一法]对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题．[通一类]3．(1)若102x＝25，10y 2＝5，则10y －x ＝________．(2)若a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝________．设a 2n＝3，a ＞0，求a 3n ＋a －3na n ＋a－n 的值．1．计算24315等于( ) A ．9B ．3C ．±3D ．－32．下列各式运算错误的是( )A ．(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D ．[(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 183.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 17104．若b－3m＝π2n (b ＞0，m ，n ∈N ＋)，则b ＝________．5．已知x －3＋1＝a ，则a 2－2ax －3＋x－6的值为________．6．求值：2(32×3)6＋(22)43－4(1649)－12－42×80.25＋(－2 013)0.一、选择题1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x ≠0) B ．x －13＝－3x (x ≠0)C ．(x y )－34＝ 4（y x）3(xy >0) D.6y 2＝y 13(y ＜0)2．将3－22化为分数指数幂的形式为( )A ．212B ．－212C ．2－12D ．－2－123．计算[(－2)－2]－12的结果是( ) A. 2B ．－2 C.22D ．－224．若x ＞0，则(2x 14＋332)·(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)等于( )A ．－23B ．23C ．－23x 12D ．－23x －12二、填空题5．0.25×(－12)－4－4÷20－(116)－12＝________．6．若x ＜0，则||x －x 2＋x 2||x ＝________．7．若xy ＝8，且x ＞0，y ＞0，则x ＋y x 13＋y 13－x 43－y43x 23－y 23＝________.8．已知10α＝2，100β＝3，则1 0002α－13β＝________．三、解答题9．(1)计算：⎝⎛⎭⎫14－2＋⎝⎛⎭⎫1620－2713； (2)化简：⎝⎛⎭⎫a 12·3b 2－3÷b－4a －2(a >0，b >0)．10．已知f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝a x ＋a －x (a ＞1)．(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g （x ＋y ）g （x －y ）的值．课后反馈旭光教育师生1对1。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及
3.2．1指数概念的扩充教学目标：通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的性质、根式与分数指数幂的互化，能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学重点：1) 掌握并运用分数指数幂的运算性质。
2) 运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。
教学难点：有理指数幂性质的灵活应用授课类型：新授课教学过程：一、新课引入回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质()n a a a a n N +=⋅⋅⋅⋅∈01(0)a a =≠1(0,)n n a a n N a-+=≠∈ 二、新课讲授提出问题（1） 观察以下式子，并总结出规律：a ＞01025a a ===842a a ===1234a a ===1052a a === （2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？（x ＞0，a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1，） （3）你能推广到一般的情形吗？ 师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是mn a=a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1）提出问题负分数指数幂的意义是怎样规定的？你能得到负分数指数幂的意义吗？你认为如何规定0的分数指数幂的意义？分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广？讨论结果有以下结论： 1n n a a -=（a ≠0，n N +∈），1m n m na a -==（a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1） 性质 （1）r s r s a a a+⋅= （a ＞0，r ，s ∈Q ） （2）()r srsa a =（a ＞0，r ，s ∈Q ） （3）()r r r ab a b ⋅=（a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）规定：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。
例题讲解（1）求下列各式的值 238 1225- 31()4- 3416()81- （2）用分数指数幂的形式表示下列各式中的b （式中a ＞0）5b =32 5425b -= 53n m b π-= b =b =学生练习66p 点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。
精 品 教 学 设 计3.2.2指数扩充及其运算性质第二课时
精 品 教 学 设 计§2指数扩充及其运算性质教学过程：（第二课时） 一、复习引入：正整数指数幂运算性质(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅ (4)mm n n a a a-=(5)nnn a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、讲解新课：实数指数幂运算性质当a>0,b>0时，对任意实数m,n 都满足上述性质.并且可归纳为三条：(1)m n m n a a a +⋅= (2)()m n m n a a ⋅= (3)()n n n a b a b ⋅=⋅三、讲解例题：例1 化简（式中字母均为正实数）：1(1)3);(2)()(4).x x y y ααα- 解：(1)3)(32)6;x yz ⨯=＝11(2)()(4)444.x y y xy y xy x ααααααααα⋅---=⋅⋅==22103,10 4.(1)10;(2)10αββα-==已知求的值的例2.幂的形式.112222221042(1)101039ββαα-===（解：；（）()11221122422411222(10)1043)1010210.10410βαβααβββ-⎡⎤⨯⎢⎥⨯⨯⎣⎦====（（例3．化简41332233814a a bb a⎛-÷-⎝+()413322331111333321121333338148242a a bb aa ab a bab a b a a⎛-÷-⎝+--=÷⨯++解：3311133311332112113333332422a a baab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⋅⋅++-111211233333331133211211333333242422a ab b a b aaab a b a a b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++-111333.a a a a=⋅⋅=四、练习：1. 化简与计算：())211323(2)30.002102.8---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1671;(2).9xy -解：（） 1. 已知11223,a a-+=求下列各式的值：1133224422(1);(2);(3).a a a a a a ---+-+ ()21111222221(1)2,7.247.a a a a a a a a a a -----⎛⎫+=++∴+= ⎪⎝⎭∴+=+-=解： 2111111442244(2)21, 1.a a a a a a ---⎛⎫-=+-=∴-=± ⎪⎝⎭ ()331112222(3)118.a aa a a a ---⎛⎫+=+-+= ⎪⎝⎭2. 对于正整数a, b ,c (a ≤b ≤c )和非零实数x ,y ,z, w.若1111701,,x y z w a b c w x y z===≠=++且求a,b,c 的值. ()11111111170,70.70,70.111170,,70257,2,5,7.x wyw xwzx y zwa a c abc w x y zabc a b c ++=∴===∴==++∴==⨯⨯===1w解： 同理b 又 故五、小结：本节课学习了以下内容： 1.指数幂运算性质；2.指数式及根式的化简和计算. 六、课后作业：。
教案《指数扩充及其运算性质》
§2 指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充一、教学目标： 1、知识与技能（1）在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念．（2）能够理解引入分数指数概念后m a （0>a ）表示实数． 2、 能力与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心．二、教学重点: 理解分数指数幂的概念及表示．教学难点：分数指数的引入． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程： （一）新课导入【教学互动】请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果：a n = a 0= （a ≠0）a -n = （a ≠0，n ∈N +）思考：某养牛场养的某头肉牛现在重量是20kg ，经过一年该肉牛体重可以增长50%，（1）写出该肉牛经过x ()5<x 年后体重y 关于x 的函数关系式； （2）当时间是半年或一年零三个月时，肉牛的体重是多少？这就给我们提出问题：123⎪⎭⎫⎝⎛具有实际意义，那么指数是分数时指数幂意义是什么？（二）新知探究1．a的n次幂:一般地，给定正实数a，对于给定的正整数n，存在唯一的正实数b，使得nb a=，我们把b叫做a的1n次幂，记作1nb a=．2．分数指数幂:一般地，给定正实数a，对于任意给定的整数nm，，存在唯一的正实数b，使得b n=a m，我们把b叫做a的mn次幂，记作mnb a=，它就是分数指数幂．例如：32b7=，则23b7=；53x3=，则35x3=等．注：我们也把m a写成n m a，即m a=n m a（Ⅱ）有理指数幂思考交流：请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数后有意义吗？（三）小结:1．正整数指数幂→负整数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂；2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数；3．若b n=a m，则我们把b叫做a的mn次幂，记作mnb a=，且m a=n m a。
高中数学 3.2指数概念的扩充教学设计 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学教案
§2指数扩充及其运算性质整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时教学过程2．1 指数概念的扩充导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数概念的扩充．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数概念的扩充．推进新课新知探究提出问题1整数指数幂的运算性质是什么？2观察以下式子，并总结出规律：a＞0，①5a10＝5a25＝a2＝a105；②a8＝a42＝a4＝a 82；③4a12＝4a34＝a3＝a124；④2a10＝2a52＝a5＝a102.3利用2的规律，你能表示下列式子吗？4 53，375，5a7，nx m x>0，m，n∈N＋，且n>1.4你能用方根的意义来解释3的式子吗？5你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a ·a ·a ·…·a ，a 0＝1(a ≠0)；00无意义；a －n ＝1an (a ≠0)；a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a mn ；(a n )m ＝a mn ；(ab )n ＝a n b n .其中n ，m ∈N ＋.(2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2105a =，②a 8＝82a ，③124a ，④102a =结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a 7＝75a ，nx m＝m n x .(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a 7的五次方根是75a ，x m的n 次方根是m nx .结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m的n 次方根可表示为na m＝m n a ，即m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？ ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？去掉这个规定会产生什么样的后果？ ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a ＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是11mnm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是： 有时我们把正分数指数幂写成根式，即m n m na a =(a ＞0，m ，n ∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是m n m naa =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是11m nm nmnaaa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？ 如133(1)1-=-＝－1，26(1)-＝6－12＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质： (1)a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )， (3)(a ·b )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例思路1例1求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)238＝233(2)＝2332⨯＝22＝4； (2)1225-＝122(5)-＝1225⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)341681-⎛⎫⎪⎝⎭＝34423⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式的b . (1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b－5n＝π3m(m ，n ∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝1532；(2)b ＝435＝543；(3)b ＝－5nπ3m＝35m nπ-(m ，n ∈N ＋)．点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3计算下列各式：(1)13 27；(2)32 4.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解．解：(1)因为33＝27，所以1327＝3；(2)因为82＝43，所以324＝8.变式训练求值：(1)33·33·63；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64.解：(1)33·33·63＝3·123·133·163＝11112363+++＝32＝9；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64＝44333666362731255m mn n⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝443366443666(3)()(5)()mn＝9m225n4＝925m2n－4.例4计算下列各式：(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝(113225125-)÷1425＝(233255-)÷125＝21325-－31225-＝165－5＝65－5；(2)a2a·3a2＝22132aa a⋅＝1252236a a--==思路2例1比较5，311，6123的大小．活动：学生努力思考，积极交流，教师引导学生解题的思路，由于根指数不同，应化成统一的根指数，才能进行比较，又因为根指数最大的是6，所以我们应化为六次根式，然后，只看被开方数的大小就可以了．解：因为5＝653＝6125，311＝6121，而125＞123＞121，所以6125＞6123＞6121.所以5＞6123＞311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法．例2求下列各式的值：；(2)23×31.5×612.活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数幂又有根式，应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂，然后分析解答，对(1)，对(2)化为同底的分数指数幂，及时对学生活动进行评价．解：＝14144323(3)⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝124433+⎛⎫⎪⎝⎭＝(14134(3)＝763＝363；(2)23×31.5×612＝2×123×1332⎛⎫⎪⎝⎭×(3×22)16＝111332-+·＝2×3＝6.例3计算下列各式的值：(1)[(322a b-)－1·132()ab-·(12b)7]13；12-；(3)(a 3b 2)－3÷b －4a －1.活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数幂写出，利用指数的运算性质去计算，教师引导学生，强化解题步骤，对(1)先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法，对(2)把分数指数化为根式，然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数幂的运算．解：(1)原式＝11323362()()a b ab ---·7132()b ＝21711217113692632622a b b b b ab-+--+-=＝22033a b a =；另解：原式＝(32a b－21322a b -·72b )13＝(313722222a b +--+)13＝(a 2b 0)13＝23a ；(2)原式＝1＋1a1＋a －a ＋1a a －1＝a ＋1a 1＋a－a ＋1a a －1＝1a －a ＋1a a －1＝1a(1－a ＋1a －1)＝－2a a －1＝2aa 1－a ； (3)原式＝(2132a b )－3÷(b －4a －1)12＝32a-b －2÷(b －212a-)＝3122a-+b －2＋2＝a －1＝1a.例4已知a ＞0，对于0≤r ≤8，r ∈N ＋，式子(a )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a r能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题，考虑与本节知识的联系，教师引导解题思路，把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，即先把根式转化为分数指数幂，再进行幂的乘方，化为关于a 的指数幂的情形，再讨论，及时评价学生的作法．解：(a )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a r ＝82r a -·4r a -＝8163244r r r aa ---=. 16－3r 能被4整除才行，因此r ＝0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂．点评：本题中确定整数的指数幂时，可由X 围的从小到大依次验证，决定取舍．利用分数指数幂进行根式运算时，结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式．例5已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x. (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．活动：学生观察题目的特点，说出解题的办法，整体代入或利用公式，建立方程，求解未知，如果学生有难度，教师可以提示引导，对(1)为平方差，利用公式因式分解可将代数式化简，对(2)难以发现已知和未知的关系，可写出具体算式，予以探求．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝(e x －e －x ＋e x ＋e －x )(e x －e －x －e x －e －x )＝2e x (－2e －x )＝－4e 0＝－4； 另解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝e 2x－2e x e －x ＋e－2x－e 2x －2e x e －x －e－2x＝－4ex －x＝－4e 0＝－4；(2)f (x )·f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y)＝e x ＋y＋e－(x ＋y )－ex －y－e－(x －y )＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4，同理，可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋y －g x －y ＝4，gx ＋y ＋g x －y ＝8，解得g (x ＋y )＝6，g (x －yg x ＋y g x －y ＝62＝3.点评：将已知条件变形为关于所求量g (x ＋y )与g (x －y )的方程组，从而使问题得以解决，这种处理问题的方法在数学上称之为方程法，方程法所体现的数学思想即方程思想，是数学中重要的数学思想．知能训练1．(1)下列运算中，正确的是( )． A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝0 D ．(－a 2)3＝－a 6(2)下列各式①4－42n，②4－42n ＋1，③5a 4，④4a 5(各式的n ∈N ，a ∈R )中，有意义的是( )．A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①③④(3)(34a 6)2·(43a 6)2等于( )．A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 4(4)把根式－25a －b－2改写成分数指数幂的形式为( )．A ．－2(a －b )25-B ．522()a b ---C．－2(2255a b---) D．－2(5522a b---)(5)化简2115113366221()(3)()3a b a b a b-÷的结果是( )．A．6a B．－a C．－9a D．9a2．计算：(1)130.027-－⎝⎛⎭⎪⎫－17－2＋34256－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求11221122x yx y-+的值．答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83．解：11111111 22222222111111222222()()2()()x y x y x y x x y yx yx y x y x y----+==-++-.因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－6 3.所以原式12－6－63＝－33.拓展提升1．化简132111333311111 x x x xx x x x-+-+-+++-.活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x－1＝(13x)3－13＝(13x－1)·(21331x x++)；x＋1＝(13x)3＋13＝(13x＋1)·(21331x x-+)；x－13x＝13x[(13x)2－1]＝13x(13x－1)(13x＋1)．构建解题思路，教师适时启发提示．解：213311x x x -++＋1311x x ++－13131x xx --＝13332133()11x x x -++＋133313()11x x ++－121333131x x x x --＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)x x x x x x x x x x x x x -+++-+-++-+++-＝13x －1＋2133x x -＋1－211333x x x -=-.点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，11112222()()a b a b -+＝a －b ，1122()a b ±2＝a ±11222ab ＋b ，(13a ±13b )(21123333aa b b +＝a ±b .2．已知1122a a-+＝3，探究下列各式的值的求法．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.解：(1)将1122a a-+＝3，两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7；(2)将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47； (3)由于3322a a--＝(12a )3－(12a-)3，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++=--＝a ＋a －1＋1＝8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-=＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m mnn n na a⨯=＝a m来计算．作业习题3—2 A组1,2,3,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．。
北师大版高中必修12指数的扩充及其运算性质课程设计
北师大版高中必修12指数的扩充及其运算性质课程设计一、课程设计背景指数是高中数学中十分重要的概念之一。
在高中的数学课程中，指数的概念主要包括乘方运算及其性质、指数函数等内容。
然而，在实际的数学学习过程中，我们发现，高中数学课程中的指数范围仍然较为有限。
而在实际中，指数的应用十分广泛，包括科学领域、商业领域、金融领域等等。
为了使学生更好地掌握指数的知识，在北师大版高中数学必修12课程中，我们进行了指数的扩充与运算性质的教学设计。
二、课程设计目标•了解指数的基本概念及运算性质•掌握指数对数的定义及其基本性质•熟练掌握指数函数的定义及其变换•能够根据实际问题进行指数运算的应用三、教学内容与方法1. 指数的扩充在高中课程中，指数的范围主要为自然数、整数及分数。
然而，在实际中，指数的范围仍然十分广泛。
因此，我们需要进行指数的扩充，让学生了解更多形式的指数。
•学习负数指数的定义及其运算性质•学习幂函数的概念及性质•学习一次分式指数的概念及其应用2. 对数的定义及其基本性质•学习对数的定义及其基本性质•学习常用对数和自然对数的概念及性质•学习指数、对数及幂函数之间的转化及应用3. 指数函数的定义及其变化•学习指数函数的概念及基本性质•学习指数函数的基本变换及其应用•学习指数函数的图像及特征4. 指数运算的应用•学习指数运算的应用•探究实际问题中指数相关的数学建模•解决实际问题中的指数模型5. 教学方法•知识讲解：讲授相关知识点•案例分析：引入实际例子，让学生了解指数的应用•教学实践：让学生通过做练习题和自主设计问题加深理解•讨论交流：组织小组讨论及总结课堂内容四、教学评估•课堂练习：在课堂中及时进行练习题，检测学生掌握情况•家庭作业：布置作业进行巩固•讨论交流：组织小组讨论及总结课堂内容，检测学生理解情况•期末考试：进行综合考核，检测学生对整个课程的掌握情况五、教学时长本课程设计为10学时课程，包括基本概念、计算方法、应用案例、教学实践等模块。
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案一、教学目标1. 让学生理解指数概念的扩充，掌握指数的运算性质。
2. 培养学生运用指数知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 指数的概念扩充2. 指数的运算性质3. 指数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：指数的概念扩充，指数的运算性质。
2. 教学难点：指数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索指数的概念和运算性质。
2. 利用实例分析，让学生了解指数在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作精神。
五、教学过程1. 导入：通过回顾幂的概念，引导学生思考指数的定义。
2. 新课讲解：讲解指数的概念扩充，引导学生理解指数的运算性质。
3. 实例分析：分析指数在实际问题中的应用，让学生感受指数的重要性。
4. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识；组织小组讨论，分享解题心得。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考指数概念的扩充在现实生活中的意义。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课后作业：收集学生的课后作业，检查学生对指数概念和运算性质的理解程度。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对指数知识的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
七、教学反馈与调整1. 根据学生的作业和课堂表现，及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的指导。
2. 根据学生的掌握情况，调整教学进度和教学方法，确保学生能够充分理解指数概念。
3. 在后续的教学中，增加更多的实际例子，让学生更好地应用指数知识解决实际问题。
八、拓展与延伸1. 介绍指数在其他数学领域的应用，如对数、微积分等，激发学生的学习兴趣。
2. 引导学生探索指数与幂的关系，进一步加深对指数概念的理解。
3. 鼓励学生自主研究指数在自然科学和社会科学中的应用，培养学生的研究能力。
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案一、教学目标1. 理解指数的概念及其在数学中的应用。
2. 掌握指数的运算规则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方。
3. 能够运用指数的概念解决实际问题，提高数学思维能力。
二、教学内容1. 指数的概念：引入指数的概念，解释指数的表示方法，如2^3表示2的3次方。
2. 同底数幂的乘法：讲解同底数幂相乘的规则，即底数不变，指数相加，如2^3 2^2 = 2^(3+2)。
3. 同底数幂的除法：讲解同底数幂相除的规则，即底数不变，指数相减，如2^3 / 2^2 = 2^(3-2)。
4. 幂的乘方：讲解幂的乘方的规则，即指数相乘，如(2^3)^2 = 2^(32)。
5. 积的乘方：讲解积的乘方的规则，即先乘后指数，如(23)^2 = 2^2 3^2。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考实际问题，激发学生对指数概念的兴趣。
2. 使用多媒体课件，通过动画和示例，直观地展示指数的运算规则。
3. 组织学生进行小组讨论和互动，鼓励学生分享自己的理解和解题方法。
4. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固指数的概念和运算规则。
四、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对指数概念的理解程度。
2. 练习题：布置相关的练习题，检查学生对指数运算规则的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和思维过程。
五、教学资源1. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，展示指数的概念和运算规则。
2. 练习题：准备相关的练习题，包括基础题和拓展题，以供学生练习。
3. 小组讨论材料：提供一些实际问题，供学生进行小组讨论和分享。
六、教学活动1. 引入指数的概念：通过展示实际问题，如人口增长、利息计算等，引导学生思考指数的概念。
2. 讲解指数的表示方法：解释指数的表示方法，如2^3表示2的3次方。
3. 演示同底数幂的乘法：通过动画和示例，展示同底数幂相乘的规则，即底数不变，指数相加。
数学高一-(教案1)3.2指数扩充及其运算性质
m n n ma ,m n 1,m n 1m n a --⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪<⎩当 时 当时当 时3.2指数扩充及其运算性质一、教学目标：1、知识与技能：（1） 在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算．（2） 能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． 2、 过程与方法（1）让学生了解整数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习整数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．二、教学重点: 整数指数幂的运算性质。
教学难点：整数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程 （一）新课导入[互动过程1]请同学们回顾复习整数指数幂的定义,并填写下面结果： na =0a = 1（a ≠0）n a -= （a ≠0,n ∈N+）[互动过程2]你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：m,n N +∈（1）．m n a a = ；m n a + （2）．m n (a )= ；mn a （3）．n (ab)= ；n n a b （4）．当a 0≠时,有mn a a =（5）．n a ()b = nn a b (b 0)≠ (二)、例题探析与巩固训练例1．（1）求值3583321025⨯⨯ （2）化简3222m n 1()mn m n ⨯ 解：（1）225522558383832323225325922510(25)25252524⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===⨯ （2）3264262242122222m n 1m n 1()m n m nmn m n m n m n ----⨯=⨯==练习1：化简（1）2423(ab )(a b) （2）()232324x y x y x y[互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？个naa a a⋅⋅⋅例2．计算：5733-⨯和5(7)3+-,并判断两者之间的关系解：55777523111333339--⨯====5(7)22113339+--===由此看出5733-⨯=5(7)3+- 练习2．（1）计算：23(2)- 和 62- （2）化简2431(m n)(m n)(m n)(m n)--+-⨯-+看来正整数指数幂的运算性质可以推广到整数,即有m n a a =m na +（m,n N ∈）n 1n n na ()(ab )a b b--=⋅=⋅=n n a b ,这样就可以把（5）n a ()b =n na b 就可以统一到性质（1）m n a a =m n a +（m,n N ∈）了,（4）中的三种情况也可以统一为mn a a=m na -与（1）合并． 这样我们就可以把整数指数幂的运算性质归纳为：a 0,b 0,m,n Z ≠≠∈（1）．m n a a =m n a + （2）．m n (a )=mn a （3）．n (ab)=n n a b [互动过程4] 探究：1．整数指数幂满足不等性质：若a 0>,那么na 0 (n Z)∈．2．正整数指数幂还满足下面两个不等性质：（1）若a 1>,则na 1；（2）若0a 1<<,则n a 的范围为 (n N )+∈．3．在a 0>的情况下,（1）如果()n a 1n N +>∈,那么a 1>成立吗？（2）如果()n a 1n N +<∈,那么a 1<成立吗？练习3．（1）比较23-与1的大小．（2）比较3(m n)--与0的大小（其中m n >）例3．计算：（1）302[()]3；（2）11(7)--；（3）3411()()33-⨯ 解：（1）302[()]13=；（2）11(1)(1)(7)77---⨯-==；（3）343411111()()()()33333---⨯===例4．计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式(a,b 均不为零）：（1）3213a b (2ab )-；（2）322123a b (3a b )9a b ------；（3）34320(a b)(a b)[](a b)(a b)--+--+(a b 0,a b 0)+≠-≠解：（1）632133233(1)33323618a a b (2ab )a b (2a b)8ab8a b b --⨯+--====；（2）322132(2)2(1)(3)023a b (3a b )31aa b ab 9a b 933----+---+------=-=-=-； （3）34334(2)336320(a b)(a b)[][(a b)(a b)][(a b)(a b)](a b)(a b)------+-=+-=+--+ 189189(a b)(a b)(a b)(a b)--=+-=+练习4：（1）化简(21)(21)2222k k k -+----+（2）．求61()2-（3）．化简：122121(2)()248n n n ++-⋅解：（1）(21)(21)2(21)1(21)2(21)(21)(21)222222222k k k k k k k -+-++-++-+-+-+-+-+=-⋅+⋅=-（2）6161(6)1()(2)2642----⨯-===（3）122122(21)1(26)72226261(2)()22222248222+++-+------⋅⋅====⨯n n n n n n n n n（三）、小结:本课在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算，要求：（1）理解和掌握负整数指数的概念及运算；（2）能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． （四）、五、教学反思：。
3.2指数扩充及其运算性质3.2.2指数运算的性质教案1北师大版必修1
3.2指数扩充及其运算性质3.2.2指数运算的性质教案1北师
大版必修1
3.2.2 指数运算的性质
本节教材分析
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义.
三维目标
1、知识与技能：（1）在前面学习有理指数幂的运算的基础上引入了实数指数的概念及运算．（2）能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简．
2、过程与方法：（1）让学生了解指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展,引入指数函数．
3、情感．态度与价值观：使学生通过学习无理指数幂的确定,了解数学中的无限逼近的思想,体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．
教学重点：运用有理数指数幂性质进行化简求值.
教学难点：有理数指数幂性质的灵活应用.
教学建议：教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.
新课导入设计
导入一:同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样就推广到有理数，那么它是否和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回归数的扩充过程中，自然数到整数，整数到有理数，有理数到实数.同样指数的扩充和数域扩充一致，教师接着点题.
导入二：引导学生回归初中正整数指数幂运算及性质导出课题.
1。
精 品 教 学 设 计3.2.1指数扩充及其运算性质第一课时
精 品 教 学 设 计§2指数扩充及其运算性质教学目的：1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.4．培养学生用联系观点看问题.教学重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.3.根式的概念及性质.教学难点：1. 对分数指数幂概念的理解；2. 根式性质的应用.授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：教材分析：本节在正整数指数概念的基础上将指数概念扩充到有理指数幂. 在分数指数幂概念之后，进一步说明“若a ＞0， p 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数”为学习指数函数做准备在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教学过程：（第一课时） 一、复习引入： 整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=个 )0(10≠=a a *),0(1N n a a a n n ∈≠=-二、讲解新课：1.正数的正分数指数幂的意义：给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n 互素)，存在唯一的正实数b,使得n m b a =,我们把b 叫做a 的m n 次幂，记作m n b a =.它就是分数指数幂.例如1 把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式：5(1)32;b = 45(2)3;b = 53(3)(,).n m b m n N π-+=∈2 计算：13(1)27; 32(2)4; 13(3)8.- 2.规定：(1)正分数指数与根式：n m nma a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) (2)负分数指数的意义： n mn maa 1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1) (3) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.3.根式的概念及性质:（1）回顾平方根，立方根有关概念;（2）定义：一般地，若*),1(N n n a x n ∈>=， 则x 叫做a 的n 次方根. n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数指出：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： n a x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作：n a x ±= ③负数没有偶次方根，④ 0的任何次方根为0（3）运算= = （4）性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n na =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a . 4.阅读理解: a ＞0，p 是一个无理数时，p a 的值就可以用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而得到(这个近似结果的极限值就等于p a )，故p a 是一个确定的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.（课本P65）三、讲解例题：例1求值：2(1);(2)3(3);(4). 解：（１）５；（２）２；（３）－２；（４） 3.π-例2判断下列各式正确与否：0(1)(12cos60)1;()(2)()(3)8;()(4)0;()(5)()-===->= 解：(1)错误；（2）错误；（3）错误；（4）错误；（5）正确. 例3 （1）化简：1009922;-（2解：(1)原式=99992(21)2;-=53(2)0.5 3.522+-=原式. 四、练习：五、小结：本节课学习了以下内容：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，根式的运算及性质.六、课后作业：。
北师大版高一数学必修一《指数扩充及其运算性质》教案及教学反思
北师大版高一数学必修一《指数扩充及其运算性质》教案及教学反思一、教学内容1.1 教学目标1.掌握指数幂的概念，掌握幂运算的基本性质；2.理解指数律的定义及其在简化代数式中的应用；3.掌握幂指数的扩充方法，掌握幂指数扩充的相关运算法则。
1.2 教学重点1.掌握指数幂的概念及其运算性质；2.掌握幂指数的扩充方法。
1.3 教学难点1.幂指数的扩充方法；2.幂指数扩充的相关运算法则。
1.4 教学内容1.4.1 概念及基本性质1.指数幂的概念；2.幂运算的基本性质；–幂的乘法法则；–幂的除法法则；–幂的幂法则；–幂的负指数法则；–零的零次幂为1。
1.4.2 指数律1.指数律的定义；2.指数律在简化代数式中的应用。
1.4.3 幂指数的扩充1.幂指数的扩充方法；2.幂指数扩充的相关运算法则。
二、教学方法本节课采用探究式教学法，即让学生在指导下自己探索、自己学习。
课堂上，我将结合多媒体教具和课件，给学生提供指数扩充与幂指数运算性质的例子和讲解，并引导学生发现规律和总结属性。
在课后作业中，让学生根据题目提供的数据，通过现有知识进行分析，用简单的语言描述问题并给出解决方法，提高学生自主学习能力和思维能力。
三、教学过程3.1 教学准备1.教师准备多媒体教具；2.把教材的课堂板书制作成课件，以方便学生预习。
3.2 自主探究1.教师无答案仔细讲解投影仪；2.让学生通过多媒体教具自己探究明白幂指数的概念、幂运算法则和指数律的应用。
3.3 合作探究1.让学生自由组成小组；2.让学生在小组内分享各自的思路和理解；3.引导学生利用其它权威教研材料中的举例，来进一步理解幂指数的概念及运算法则。
3.4 发现规律1.让学生自主寻找和总结规律；2.让学生针对幂指数的扩充过程，发现规律和总结属性。
3.5 规律应用1.让学生通过举例、分析得出幂指数扩充的相关运算法则；2.让学生利用学习到的方法，计算式子中出现的幂指数。
3.6 总结与评价1.结合课本和课件内容，对学习的概念和规律进行总结；2.分享自己的学习体验，评价本节课学习的效果和收获。
数学高一(北师大)必修1教案 3.2指数扩充及其运算性质
3.2指数扩充及其运算性质●三维目标1．知识与技能(1)在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．(2)能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2．过程与方法(1)让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．(2)随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3．情感、态度与价值观使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义，增强学习数学的积极性和自信心．●重点难点重点：分数指数幂的运算性质．难点：难点是根式概念及分数指数的运算与化简．在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质．在具体教学过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性质结论．●教学建议本节安排的内容蕴含了推广的思想(指数幂运算律的推广)，逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)．同时，教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值．建议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教学过程中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算机或计算器创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．●教学流程新课导入，把正整数指数幂进一步扩充到分数指数幂⇒新知探究，导出分数指数幂的定义，完成课本例1，能写成分数指数幂的形式⇒能将根式和分数指数幂进行互化，完成例1及其变式训练⇒将分数指数幂进一步扩充到有理指数幂⇒类比正整数指数幂的运算性质，得出有理指数幂的运算性质⇒根据运算性质完成例2、例3及其变式训练，强化对运算性质的掌握⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重点、难点)【问题导思】1．判断下列运算是否正确．(1)3312＝3343＝34＝1233；(2)5215＝5235＝23＝1552.【提示】正确．2．试想当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否用分数指数幂表示？【答案】能．1．定义给定正实数a，对于任意给定的正整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得b n＝a m，把b叫作a的mn次幂，记作b＝mna，它就是分数指数幂．2．几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：mna＝n a m(a>0)．(2)负分数指数幂的意义：mna ＝1mna(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．【问题导思】1．整数指数幂的运算性质有哪些？【提示】(1)a m·a n＝a m＋n；(2)(a m)n＝a mn；(3)(a ·b )m＝a m·b m；(4)a m an ＝a m －n .2．计算122(2)和1222⨯，它们之间有什么关系？【提示】 122(2)＝124＝2, 1222⨯＝21＝2，相等．若a >0，b >0，对任意实数m ，n ，指数运算有以下性质 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ； (3)(ab)m =a m ·b m .(见学生用书第38页)(1) 323可化为( )A.2B.33C.327 D.27 (2)5a －2可化为( ) A ．25a- B ．52a C ．25a D ．－52a【思路探究】 熟练应用na m ＝m na 是解决该类问题的关键． 【自主解答】 (1) 323＝132(3)＝27. (2)5a －2＝125()a -＝25a-.【答案】 (1)D (2)A根式与分数指数幂的互化规律 1．关于式子na m＝m na 的两点说明；(1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m ↔分数指数的分子；2．通常规定分数指数幂的底数a>0，但像12()a-＝－a中的a则需要a≤0.将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)13a；(2)4a－b3.【解】(1)13a＝131a＝13a-.(2)4a－b3＝34()a b-.求下列各式的值：(1)2364；(2)1481-.【思路探究】结合分数指数幂的定义，即满足b n＝a m时，mna＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．【自主解答】(1)设2364＝x，则x3＝642＝4 096，又∵163＝4 096，∴2364＝16.(2)设1481-＝x, 则x4＝81－1＝181，又∵(13)4＝181，∴1481-＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．求下列各式的值：(1)13125；(2)17128-.【解】(1)设13125＝x，则x3＝125，又∵53＝125，∴x＝5.(2)设17128-＝x，则x7＝128－1＝1128，又∵(12)7＝1128，∴17128-＝12.计算下列各式： (1)(0.064)13-－(－78)0＋[(－2)3] 43-＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)3932a a -÷3a －7 3a 13(a >0)．【思路探究】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数． (2)将根式化为分数指数幂． 【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2] 12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380. (2)原式＝[a 1932·a13()32-]÷[a17()23-·a11323]＝a937136666-+-＝a 0＝1.1．化简的顺序与要求：(1)四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的； (2)运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．2．化简的方法与技巧：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、化底数为质数等，便于进行幂的运算．。
北师大必修一《指数扩充及运算性质》word教案
【必修1】第三章 指数函数和对数函数 第二节 指数扩充及运算性质学时：1学时【学习引导】一、自主学习1. 阅读课本6466P P -． 2. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间的联系是什么？（3）分数指数幂的意义是什么？实数指数幂的运算性质有哪些？3. 66P ，68P 练习4. 小结.二、方法指导1．阅读本节内容时，同学们应先回忆初中所学的整数指数幂的运算法则，从而将整数指数幂扩充到分数指数幂，得到分数指数幂的运算法则.2．阅读本节内容时，同学们应注意分数指数幂与根式指数幂只是形式不同，二者可以互化. 【思考引导】一、提问题1. 在上节中，臭氧含量Q 与时间t 存在指数关系，而课本只讨论了指数为正整数的情况，如果当时间t 是半年或5年零3个月，即指数是分数时情况又怎么样？1．你能说说正分数指数幂和负分数指数幂之间如何联系吗，负分数指数幂又如何化成根式指数幂的形式呢？2．试说说0()a b -的结果是什么？二、变题目1．求值（1）238= （2）1481-=（3）2a = （4）1373412a a a⋅⋅= 2．设54,52x y ==，则25x y -=3. 设0b ≠，化简式子11133225362()()()a b a b ab --⋅⋅的结果是（ ）A ．aB ．1()ab -C ．1ab -D ．1a -4．当1<x <3结果是5．已知21,xa =求33x xx x a a a a --++的值． 【总结引导】1.实数指数幂的3条运算性质：2.分数指数幂与根式指数幂互化的步骤：【拓展引导】1.课外作业：68P 习题3-2 A 组3，4 B 组 2，42.课外思考：12．若210x =25，则10x -=撰稿：熊秋艳 审稿：宋庆参考答案【思考引导】二、变题目1．（1）4 （2）13（3）103a （4）53a ； 2． 8 ；3． A ；4． 2 ；5．1【拓展引导】1.2.15。
北师大版高中数学必修一教学案指数的扩充及其运算性质
三巩固练习
1．计算：（1） ；（2） ；（3）
2.．计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式 均不为零）：
（1） ；（2） ；（3）
四课后反思
五课后巩固练习
（1）化简
（2）．求
（3）．化简：
（4）正整数指数幂还满足下面两个不等性质：（1）若 ,则 1；
（2）若 ,则 的范围为 ．
3．在 的情况下,（1）如果 ,那么 成立吗？
3.你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：
1） ；（2） ；
（3） .
（4）当a≠0时有 =
（5）把下列各式中的x写成分数指数幂的形式
（1） （x>0）(2)
二师生互动
例1．（1）求值 （2）化简
练一练
1：化简（1） （2）
例2．计算： 和 ,并判断两者之间的关系
练一练
（1）计算： 和 （2）化简
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
指数概念的扩充
授课时间
撰写人
学习重点
整数指数幂的运算性质
学习难点
整数指数的运算与化简
学习目标
（1）在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算．
（2）能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简．
教学过程
,n∈N+）
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案第一章：引言1.1 教学目标：让学生了解指数概念扩充的必要性。
让学生理解指数概念扩充的基本思路。
1.2 教学内容：回顾指数的基本概念和性质。
引出指数概念扩充的原因和意义。
1.3 教学步骤：1. 复习指数的基本概念和性质，例如：指数的定义、指数的运算规则等。
2. 提出问题，引导学生思考指数概念扩充的必要性。
3. 通过实例展示指数概念扩充的意义和应用。
1.4 练习题：1. 解释为什么需要扩充指数概念。
2. 简述指数概念扩充的基本思路。
第二章：指数的扩充定义与性质2.1 教学目标：让学生掌握指数的扩充定义。
让学生熟悉指数扩充后的性质。
2.2 教学内容：介绍指数的扩充定义。
讲解指数扩充后的性质。
2.3 教学步骤：1. 引入指数扩充的定义，解释指数扩充的概念。
2. 通过示例演示指数扩充的运算规则。
3. 引导学生发现指数扩充后的性质，如：单调性、奇偶性等。
2.4 练习题：1. 请给出指数扩充的定义。
第三章：指数函数的扩充3.1 教学目标：让学生了解指数函数的扩充概念。
让学生掌握指数函数扩充后的性质。
3.2 教学内容：介绍指数函数的扩充概念。
讲解指数函数扩充后的性质。
3.3 教学步骤：1. 引入指数函数扩充的概念，解释指数函数扩充的意义。
2. 展示指数函数扩充后的性质，如：单调性、奇偶性等。
3. 通过实例演示指数函数扩充的应用。
3.4 练习题：1. 解释什么是指数函数的扩充。
第四章：指数方程的扩充4.1 教学目标：让学生了解指数方程的扩充概念。
让学生掌握指数方程扩充后的解法。
4.2 教学内容：介绍指数方程的扩充概念。
讲解指数方程扩充后的解法。
4.3 教学步骤：1. 引入指数方程扩充的概念，解释指数方程扩充的意义。
2. 展示指数方程扩充后的解法，如：代入法、消元法等。
3. 通过实例演示指数方程扩充的应用。
4.4 练习题：1. 解释什么是指数方程的扩充。
第五章：指数不等式的扩充5.1 教学目标：让学生了解指数不等式的扩充概念。
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案第一章：指数概念的引入1.1 教学目标1. 理解指数的概念及其在数学中的重要性。
2. 掌握指数的基本性质和运算规则。
3. 能够应用指数概念解决实际问题。
1.2 教学内容1. 指数的概念：正整数幂的定义，指数的表示方法。
2. 指数的基本性质：指数的乘法规则，指数的除法规则，指数的乘方规则。
3. 指数的运算：同底数幂的加法，同底数幂的减法，幂的乘法，幂的除法。
4. 应用指数概念解决实际问题：计算利息，复合增长，指数函数模型。
1.3 教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，让学生主动发现指数的基本性质和运算规则。
2. 利用数学软件或图形计算器，进行指数运算的演示和验证，增强学生对指数概念的理解。
3. 提供实际问题情境，让学生应用指数概念解决问题，培养学生的应用能力。
1.4 教学评估1. 课堂练习：布置一些基础的指数运算题目，检查学生对指数概念的理解和运算能力。
2. 课后作业：设计一些应用性的题目，让学生独立完成，评估学生对指数概念的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决一个复杂的指数问题，评估学生的合作和沟通能力。
第二章：指数函数的性质2.1 教学目标1. 理解指数函数的定义和性质。
2. 掌握指数函数的图像和特点。
3. 能够应用指数函数解决实际问题。
2.2 教学内容1. 指数函数的定义：指数函数的表示方法，指数函数的定义域和值域。
2. 指数函数的性质：指数函数的单调性，指数函数的奇偶性，指数函数的周期性。
3. 指数函数的图像：指数函数的图像特点，指数函数的渐近线。
4. 应用指数函数解决实际问题：人口增长，放射性衰变，利息计算。
2.3 教学方法1. 利用数学软件或图形计算器，绘制指数函数的图像，让学生直观地感受指数函数的性质。
2. 通过具体的例子，引导学生发现指数函数的单调性和奇偶性，深化学生对指数函数性质的理解。
3. 提供实际问题情境，让学生应用指数函数解决问题，培养学生的应用能力。
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§2 指数扩充及其运算性质
2.1指数概念的扩充
一、教学目标：1、知识与技能
（1）在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的
概念．
（2）能够理解引入分数指数概念后m
a（0
>
a）表示实数．
2、能力与方法
（1）让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对
于数学知识的发展的重要意义．
（2）随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．
3、情感．态度与价值观：
使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意
义增强学习数学的积极性和自信心．
二、教学重点:理解分数指数幂的概念及表示．
教学难点：分数指数的引入．
三、学法指导：学生思考、探究．
教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程：
（一）新课导入
【教学互动】请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果：
a n=
a0=（a≠0）
a-n=（a≠0，n∈N+）
思考：某养牛场养的某头肉牛现在重量是20kg，经过一年该肉牛体重可以增长50%，（1）写出该肉牛经过x()5<x年后体重y关于x的函数关系式；
（2）当时间是半年或一年零三个月时，肉牛的体重是多少？
这就给我们提出问题：2
123⎪⎭⎫
⎝⎛具有实际意义，那么指数是分数时指数幂意义是
什么？
（二）新知探究
1．a 的n
次幂:
一般地，给定正实数a ，对于给定的正整数n ，存在唯一的正实数b ，使得
n
b a =，我们把b 叫做a 的1
n 次幂，记作1
n b a =．
2．分数指数幂:
一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数n m ，，存在唯一的正实数b ，
使得b n
=a m
，我们把b 叫做a 的m
n
次幂，记作m
n b a =，它就是分数指数幂．
例如：32
b 7=，则23
b 7=；53
x 3=，则35
x 3=等．
注：我们也把n
m a 写成n
m
a ，即n
m a =n m a
说明:（1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
应有所限制，即a0
>．
（3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应，这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数，得到一个定义在有理数集上的指数
函数．
（Ⅱ）有理指数幂
思考交流：请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数后有意义吗？
（三）小结:
1．正整数指数幂→负整数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂；
2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数；
3．若b n=a m，则我们把b叫做a的m
n
次幂，记作
m
n
b a
=，且n m a=n m a。