巧解平行线的拐点问题高廖

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小专题 12 巧解平行线中的拐点问题

(3)过点 F 作 FH∥EP. 由(2)知，∠EFD＝∠BEF＋30°. 设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋30)°.
∵EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD， ∴∠PEF＝12∠BEF＝x°， ∠EFG＝12∠EFD＝(x＋15)°. ∵FH∥EP， ∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG. ∵∠HFG＝∠EFG－∠EFH＝15°， ∴∠P＝15°.
＝∠B＋∠C ；
解决平行线的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论．
1．(随州中考)如图，在平行线 l1，l2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，若 ∠1＝65°，则∠2 的度数是( A )
第七章平行线的证明小专题12 巧解平行线中的拐点问题
教材母题】 (教材 P186 复习题 T15(1))已知：如图，直线 AB∥ED.求证：∠ABC＋∠CDE＝∠BCD.
【解答】过点 C 作 CF∥AB，则∠BCF＝∠ABC. 又∵AB∥ED， ∴CF∥ED.∴∠DCF＝∠CDE. ∴∠ABC＋∠CDE＝∠BCF＋∠DCF，即∠ABC＋∠CDE＝∠BCD.
(3)如图 3，若 AB∥CD，猜想∠B＋∠D＋∠E1＋∠ E2＋…＋∠En 的度数为(n＋1)·180° 。
变式 2 当点 C 运动到平行线的外边已知 AB∥ED，点 C 为 AB，ED 之外任意一点． (1)如图 1，∠B，∠BCD，∠D 之间的关系是∠B＝
∠BCD＋∠D ； (2)如图 2，∠B，∠EDC，∠C 之间的关系是∠EDC
变式 1 当点 C 运动到平行线的右侧
如图，直线 AB∥ED，∠B，∠BCD，∠D 之间的关系是∠B＋∠BCD＋∠D＝360°．

人教版七年级数学下册平行线证明问题中的拐点问题解法探究

平行线证明问题中的拐点问题解法探究平行线证明中的拐点问题，解决问题的方法，通常是过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论证平行，再利用平行线的性质问题就能得到解决，结论具有一般性，应该记住，解题时能达到事半功倍的效果。

已知：如图AB∥CD.探究：∠ABP、∠BPC、∠PCD三者关系。

解析：(1)过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠ABP+∠DCP=∠BPH+∠CPH,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP=∠BPC。

（2）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠DCP-∠ABP=∠CPH-∠BPH,又∠CPH-∠BPH=∠BPC∴∠DCP-∠ABP=∠BPC。

（3）(4)(5)与（2）证法相同结论两条直线平行，拐点无论是在两直线之间还是在两直线同侧，都有较大的角等于较较小两个角之和。

（6）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP+∠BPH=1800,∠DCP+∠CPH=1800,∴∠ABP+∠DCP+∠BPH+∠CPH=3600,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP+∠BPC=3600。

结论：拐点在两平行线之间且外凸，则有三个角之和等于3600.证明方法：过拐点作平行线，然后利用平行公理推论及平行线的性质来解决问题。

结论应用举例1.如图所示，AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，相交于点E。

试探究BE与DE的位置关系，并说明理由。

解析：因为AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,所以2∠1+2∠2=1800，所以∠1+∠2=900.由上面的结论可知：∠BED=∠1+∠2=900，∴BE⊥DE。

2.如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形，其中刀片的两条边缘线，看成两条平行线的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是_____。

初中数学四种凹凸平行常见结论巧解平行线间拐点问题

初中数学四种凹凸平行常见结论巧解平行线间拐点问题平行线间的拐点问题，一直是七年级下册的重难点，经常出现在解答题最后几题的位置。

在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条直线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．解决平行线中拐点问题的方法：在“拐点”处作已知直线的平行线，构造出同位角、内错角、同旁内角，这样角之间的关系就比较明显，也就可以运用平行线平行线的性质判定轻松求证。

方法巧记：过拐点，作平行，几个拐点作几条。

内拐模型巧记：“左和”= “右和”详解：P作PN∥AB∵AB∥CD∴PN∥AB∥CD∴∠1=∠3，∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4∴∠B +∠C =∠P外拐模型巧记：180°×（n-1）详解：①过C作CF∥AB∵AB∥ED∴CF∥AB∥ED∴∠B + ∠BCF =180°，∠FCD +∠D =180°∴∠B+∠BCF +∠FCD+∠D =360°∴∠B +∠C + ∠P =360°同理可得②：∠B+∠C+∠D+∠E=540°鹰嘴模型巧记：鹰嘴+小角=大角详解：如图②，过C作CF∥AB∵AB∥ED∴CF∥AB∥ED∴∠B = ∠BCF =∠BCD +∠DCF ∠DCF =∠D ∴∠B =∠BCD+∠D靴子模型巧记：靴角+小角=大角详解：如图，过p作EF∥AB∵AB∥CD∴EF∥AB∥CD∴∠PAB = ∠APE ∠C =∠CPE ∠PAB =∠APF =∠CPE+∠APC ∴∠PAB=∠P+∠C学以致用。

(完整版)平行线拐点问题

如图1，直线AC // BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成(1 )、(2 )、(3 )、(4 )、( 5)、(6 )六个部分.点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察/ APB、/PAC、/PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB 上的各点不属于( 1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)六个部分中的任何一个部分.当动点P落在第(1 )部分时，可得：/ APB= ZPAC+ ZPBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由过点P 作EF// AC,如图2因为AC // BD (已知)，EF// AC (所作)，所以EF/ BD ______ .所以Z BPE= ZPBD _____ .同理Z APE= ZPAC.因此Z APE+ ZBPE= ZPAC+ ZPBD ______ ,即Z APB= ZPAC+ ZPBD .(1 )当动点P落在第(2)部分时，Z APB、/PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出Z APB、Z PAC、Z PBD之间满足的关系式，不必说明理由.(2 )当动点P在第(3)部分时，Z APB、Z PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．(3)当动点P在第(4)部分时，Z APB、Z PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．② ①5⑴ A②① ⑤ d c aa a Pb b b d c②如果点P 在A,B 两点之间运动，问/ 1,Z 2, / 3的关系是否变化 ③如果点p 在线段AB 外侧运动时，试探究/ 1,2 2,2 3之间的关系，不用说理由（点P 和A,B 不重合） ①试找出2 1,2 2,2 3之间的关系，并说岀理a,、 2、如图，已知直线 a// c,且 c 和 ~D备用图b 分别交于M 、N 两点，点P 在AB 上.。

陕西省八年级数学上册第7章巧解平行线中的“拐点”问题pptx课件新版北师大版

因为∠ POA ＝∠ NOD ，所以∠ NOD ＝ ∠ PAB .
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因为 DN 平分∠ PDC ，所以∠ ODN ＝ ∠ PDC .

所以∠ AND ＝180°－∠ NOD －∠ ODN ＝180°－

(∠ PAB ＋∠ PDC ).
由(2)得∠ PAB ＋∠ CDP －∠ APD ＝180°，
因为∠ BOF ＝∠ COF ＋∠β，所以∠ COF ＝∠α－∠β.
所以∠γ＋∠α－∠β＝180°.故④正确.故选B.
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8. 已知， AB ∥ CD ，点 M 在 AB 上，点 N 在 CD 上.
(1)在图①中，∠ BME ，∠ E ，∠ END 之间的数量关系
为
∠ BME ＝∠ E －∠ END
∠ END ，且 EQ ∥ NP ，则∠ FEQ 的大小是否发生变
化？若变化，请说明理由，若不变化，求出∠ FEQ 的
度数.
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解：∠ FEQ 的大小不发生变化.
由(1)知∠ MEN ＝∠ BME ＋∠ END . 因为 EF 平分∠ MEN ，

NP 平分∠ END ，所以∠ FEN ＝ ∠ MEN ＝ (∠ BME ＋∠
所以∠ ACD ＋∠ BAC ＝2(∠ ACE ＋∠ CAE )＝180°.
所以 AB ∥ CD .
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(2)如图②，在(1)的结论下，当∠ E ＝90°保持不变，移动直

平行线中拐点问题的解题突破与探究

试题研究２０２３年８月下半月㊀㊀㊀平行线中拐点问题的解题突破与探究∗◉贵州省凯里市第四中学㊀雷㊀懿◉凯里学院理学院㊀吴才鑫㊀㊀摘要:本文中以一道平行线中拐点问题为例,对拐点在平行线内和拐点在平行线外两种情形展开探究,得出解答此类题目主要分为两个步骤．首先,判断拐点与平行线的相对位置关系;其次,过拐点作平行线,引入单拐点模型,利用平行线单拐点结论求解．同时,提出了平行线相关知识的教学建议．关键词:解题方法;平行线与拐点位置关系;教学启示１考题解析考题㊀(２０２２年苏州模拟)图１问题情景:如图１,A B ʊC D ,øP A B ＝１３０ʎ,øP C D ＝１２０ʎ,求øA P C 的度数．小明的思路:过点P 作P E ʊA B ,通过平行线的性质来求øA P C 的度数．图２(１)按小明思路,易求得øA P C 的度数为㊀㊀㊀㊀．(２)问题迁移:如图２,A B ʊC D ,点P 在射线O M 上运动,记øP A B ＝α,øP C D ＝β,当点P 在B ,D 两点之间运动时,问øA P C 与α,β之间有何数量关系请说明理由．(３)拓展延伸:在(２)的条件下,如果点P 在B ,D两侧运动时(点P 与点O ,B ,D 三点不重合),请直接写出øA P C 与α,β之间的数量关系．思维突破:本题以线段㊁角㊁相交线与平行线为背景命题,让学生开展几何探究,属于动态几何问题．解题的关键在于把握图形运动规律,采用化动为静的策略[１],构建几何模型,利用性质定理求解．下面逐问展开探究．１．１第(１)问的探究第(１)问,求øA P C 的度数,问题中隐含了平行线拐点问题中的铅笔模型,构建平行线提取其中两直线平行,同旁内角互补关系即可求得角的度数．图３如图３,过点P 作P E ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以P E ʊA B ʊC D ．故øA ＋øA P E ＝１８０ʎ,øC ＋øC P E ＝１８０ʎ．因为øP A B ＝１３０ʎ,øP C D ＝１２０ʎ,所以øA P E ＝５０ʎ,øC P E ＝６０ʎ．故øA P C ＝øA P E ＋øC P E ＝１１０ʎ．１．２第(２)问的探究第(２)问是平行线拐点问题从特殊到一般的探究,本题过点P 构建平行线转变成 M型,提取其中两直线平行,内错角相等关系,实现角的转化,得出øA P C 与α,β之间的关系．图４如图４,过点P 作P E ʊA B 交A C 于点E ．因为A B ʊC D ,所以A B ʊP E ʊC D ．因此øA P E ＝α,øC P E ＝β．所以øA P C ＝øA P E ＋øC P E ＝α＋β．１．３第(３)问的探究第(３)问,同样通过构建平行线,将拐点问题转化为平行线问题．本题过点P 构建平行线转变成鹰嘴型．要找øA P C 与α,β之间的关系,由于P 点会发生位置变化,可知点P 在B D 延长线上运动时会存在一种关系,在D B 延长线上运动时会存在另一种关系,因此,必须分情况讨论利用平行线的性质找出角的关系．图５如图５,当点P 在B D 的延长线上运动时,过点P 作P E ʊC D 交O N 于点E ．因为０６∗项目信息:本文系２０２２年贵州省教学内容和课程体系改革项目师范专业认证背景下三习育人实践教学体系改革研究 (项目编号:２０２２３２３),２０２２年凯里市第四中学课堂改革与研究项目信息技术与初中数学课堂教学的融合研究 (项目编号:２０２２０１)的研究成果．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月下半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀A B ʊC D ,所以P E ʊA B ʊC D ．于是øC P E ＝β,øA P E ＝α．由此可得,øA P C ＝øA P E －øC P E ＝α－β．图６如图６,当点P 在D B 的延长线上运动时,过点P 作P E ʊA B 交A O 于点E ．因为A B ʊD C ,所以A B ʊPE ʊC D ．于是øA P E ＝α．øC P E ＝β．由此可得,øC P A ＝øC P E －øA P E ＝β－α．２深入探究上述考题,涉及了众多的知识点和几何模型,如平行线的性质㊁角的转化㊁动点问题,以及铅笔模型,考查学生综合分析和解决问题的能力．其中,第(３)问为考题的核心,主要考查学生对几何图形运动规律的把握,发展学生的空间观念和几何直观素养．从本质上看,可以将其归为平行线中的拐点问题,下面对此类型问题作进一步的深入探究．２．１平行线中拐点问题归纳对于平行线中的拐点问题,需要关注两点:一是平行线的对数和拐点的个数;二是两者的相对位置关系．特别是平行线与拐点的相对位置关系,将直接决定图形的形状,以及适用的平行线相关性质．下面以一组平行线和一个拐点的相对关系为例,分两类共四种情形加以探究．(１)一组平行线单拐点在两条平行线之间拐点在平行线之间,其图形会出现两种情况,如图７Ｇ１㊁图７Ｇ２．若A B ʊC D ,则øB E D 与øB 和øD 之间的关系,可以通过拐点作其中一条直线的平行线进行探究．对于图７Ｇ１,过点E 作E F ʊA B (如图７Ｇ３),因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ,则øB E D ＝øB ＋øD ．对于图７Ｇ２,过点E 作E F ʊA B (如图７Ｇ４),则øB ＋øD ＋øB E D ＝３６０ʎ,这就是考题第(１)问中的模型．㊀㊀图７Ｇ１㊀㊀图７Ｇ２㊀㊀㊀图７Ｇ３㊀㊀㊀图７Ｇ４(２)一组平行线单拐点在两条平行线之外拐点在平行线之外,其图形也会出现两种情况,如图８Ｇ１㊁８Ｇ２．若A B ʊC D ,则øB E D 与øB 和øD 之间的关系,可以通过拐点作其中一条直线的平行线进行探究．对于图８Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ,则øB ＝øD ＋øB E D ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８Ｇ２如图８Ｇ２,过点E 作E F ʊA B ,则øB ＋øD －øB E D ＝１８０ʎ．２．２考题关联探究平行线拐点问题在初中数学中十分常见,其中平行线与拐点之间的规律在解题中应用广泛．不同情形的平行线与拐点位置关系之间有不同的联系,但本质上同为平行线性质的应用问题．在实际命题中,通常采用几何变换的方式,下面结合实例进一步探究．问题㊀已知直线A B ʊC D ,M ,N 分别是A B ,C D上的点．㊀图９(１)若E 是A B ,C D 内一点．①如图９所示,请写出øB M E ,øD N E 和øM E N 之间的数量关系,并证明;㊀图１０②如图１０所示,若ø１＝１３ øB M E ,ø２＝１３øD N E ,请利用①的结论探究øM F N 与øM E N 的数量关系．㊀图１１(２)若E 是A B ,C D 外一点．①如图１１所示,请直接写出øE M B ,øE N D 和øM E N 之间的数量关系;㊀图１２②如图１２所示,已知øB M P ＝１４øE M B ,在射线M P 上找到点G ,使得øM G N ＝１４øE ,请在图中画出点G 的大致位置,并求出øE N G ʒøG N D 的值．分析:上述四个小问题都属于平行线单拐点问题,实则就是平行线单拐点的两种情形,只需根据总结的规律过拐点作平行线即可求解．解:(１)该情形为拐点在平行线内．①øB M E ＋øD N E ＋øM E N ＝３６０ʎ．证明:如图９Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ,于是øB M E ＋øF E M ＝１８０ʎ,øD N E ＋øF E N ＝１８０ʎ,从而øB M E ＋øF E M ＋øD N E ＋øF E N ＝１８０ʎ＋１８０ʎ＝３６０ʎ．１６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年８月下半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图９Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀图１０Ｇ１②如图１０Ｇ１,过点F 作F G ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以F G ʊC D ,则ø１＝øM F G ,ø２＝øN F G ,于是øM F N ＝ø１＋ø２．又因为ø１＝１３øB M E ,ø２＝１３øD N E ,所以øB M E ＝３ø１,øD N E ＝３ø２．又因为øB M E ＋øD N E ＋øM E N ＝３６０ʎ,所以３ø１＋３ø２＋øM E N ＝３６０ʎ,即３øM F N ＋øM E N ＝３６０ʎ．(２)①øE M B ,øE N D 和øM E N 之间的数量关系为øD N E －øB M E ＝øM E N ．理由如下:如图１１Ｇ１,过点E 作E F ʊA B ．因为A B ʊC D ,所以E F ʊC D ．故øD N E ＝øF E N ,øB M E ＝øF E M ．又因为øF E N －øF E M ＝øM E N ,所以øD N E －øB M E ＝øM E N ．㊀㊀㊀㊀㊀图１１Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１２Ｇ１②点G 的大致位置如图１２Ｇ１所示．设M G 与N E 交于点Q ,N G 与A B 交于点F ,设øG M B ＝α,øG ＝β．因为øB M P ＝１４øE M B ,øG ＝１４øE ,所以øE M Q ＝３α,øE ＝４β．因为øE Q M ＝øG Q N ,所以øE ＋øE M Q ＝øG ＋øG N Q ,即øG N Q ＝øE ＋øE M Q －øG ＝４β＋３α－β＝３α＋３β．因为ø１是әG F M 的外角,所以ø１＝øG ＋øG M F ＝β＋α．又因为A B ʊC D ,所以øG N D ＝ø１＝β＋α．故øE N G ʒøG N D ＝(３α＋３β)ʒ(β＋α)＝３ʒ１．评析:上述四个小问题均为平行线拐点探究题,涉及到拐点在平行线内和拐点在平行线外两类情形,问题的解析可以分如下两个步骤展开．第一步:判断拐点与平行线的相对位置关系;第二步:过拐点作平行线,引入单拐点模型,利用平行线单拐点结论求解．３教学建议上文中以一道平行线拐点考题为例,立足本题的核心问题(第３问),围绕拐点在平行线内和拐点在平行线外的两类情形展开深度探究并总结规律㊁构建模型,这对深入理解和运用平行线性质,强化和巩固平行线知识有一定的帮助．下面基于教学实践,对平行线相关内容提出几点教学建议．３．１关注知识,探寻本质上述考题以平行线单拐点问题为背景开展几何探究,拐点是平行线问题的重要形式,对掌握和运用平行线的性质及判定十分重要．以上述考题为例,过点E 作EF ʊA B ,构造内错角,依据两直线平行,同旁内角互补进行推导．在实际教学中,要引导学生关注知识本身,深入理解并探寻数学本质;要创设相关的问题情境引导学生理解平行线的性质和判定．以上通过拐点构造平行线来促进学生理解平行线拐点特性,进一步培养学生会用数学的思维思考问题,并能够发现线段㊁角㊁相交线与平行线之间的规律,发展学生的空间观念和几何直观素养．３．２归纳模型特征,发展数学思想在考试中,几何压轴题的命题,往往会综合众多几何模型,考查学生利用模型对知识点融合的能力．因此,解题教学时,要引导学生关注问题中已有的模型,通过观察和分析提取问题中已有模型的特征,充分利用已有模型的性质;引导学生利用转化和化归的方法来转化问题条件,渗透转化和化归的思想方法．如上述考题实则以平行线和三角形为背景创设命题,该问题中的模型具有平行线拐点特性,包括单拐点在平行线内和单拐点在平行线外两类情形．教学中要积极引导学生从已有条件中提取模型,分析和归纳模型的核心特性,并结合相关几何知识加以证明,强化对数学模型的理解,培养学生的模型观念,进而发展学生会用数学的语言表达现实世界的核心素养．３．３总结规律,积累经验考题第(２)问中第②小问本质上是考查单拐点在平行线外的情形,并且结合三角形外角性质进行推导计算,这是问题的本质特征,也是解决问题的关键所在．上述基于平行线单拐点不同情形问题进行了深度探究,并立足两类情形总结规律及解题策略,其探究过程具有一定的参考价值．教学中要引导学生基于问题本质特征开展深度分析与探究,总结解题规律,积累解题经验,发展学生的数学核心素养．参考文献:[１]黄玉霞,蔡德清,陈纪韦华．由何而来,为何而解,因何而去一道几何压轴题命制的实践与反思[J ]．中学数学,２０２１(１４):４８Ｇ５０．Z ２６Copyright ©博看网. 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2022年人教版七年级下册数学同步培优小专题(一)平行线中的拐点问题

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2.如图,AB∥CD,BE 平分∠ABF,DE 平分∠CDF,∠BFD＝120°.
求∠BED 的度数.
小专题(一) 平行线中的拐点问题
解:过点 F 作 FG∥AB(点 G 在点 F 的右侧),
∴∠BFG＝∠ABF.
∵AB∥CD,∴FG∥CD,∴∠CDF＝∠DFG,
∴∠ABF+∠CDF＝∠BFG+∠DFG＝∠BFD＝120°.
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠ABE+∠CDE＝60°.
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
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类型2 多拐点问题
3.如图,直线 l1∥l2,∠CAB＝125°,∠ABD＝85°,则∠1+∠2 等于
(
A
A.30°
)
B.36°
C.40°
D.85°
小专题(一) 平行线中的拐点问题
4.如图,直线 a∥b,∠1+∠分∠ABF,DE 平分∠CDF,
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1
2
2
∴∠ABE＝ ∠, ∠＝ ∠CDF,
1
∴∠ABE+∠CDE＝ (∠ABF+∠CDF)＝60°.
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
过点 E 作 EH∥AB(点 H 在点 E 的右侧),
∴∠BEH＝∠ABE.
∵AB∥CD,∴EH∥CD,∴∠DEH＝∠CDE,
小专题(一) 平行线中的拐点问题
值得注意的是,多拐点问题均可拆分为单拐点问题,然后再利
用上述模型解决.
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
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类型1 单拐点问题
1.如图,AB∥CD,∠BAP＝120°,∠APC＝40°,则∠PCD＝( D )

专题：巧解平行线中的拐点问题(解析版)

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》专题巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝度．【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是，根据这个思路可得∠AEC＝．【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．【解答】解：过E点作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：过C作CF∥AB，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度数是50°．【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O 作ON ∥FG ，∵ON ∥FG ，∠1＝30°，∴∠PNO ＝∠1＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠BON ＝∠PNO ＝30°，又∵EF ⊥AB ，∴∠EON ＝∠EOB +∠BON ＝90°+30°＝120°，∵ON ∥FG ，∴∠EFG ＝∠EON ＝120°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【分析】过点A 作l 1的平行线，过点B 作l 2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB +∠ABD ＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A 作l 1的平行线AC ，过点B 作l 2的平行线BD ，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l 1∥l 2，∴AC ∥BD ，∴∠CAB +∠ABD ＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是．【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案为：900°.【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：过点G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=12∠CFG，∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为．（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=12∠MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=12n°．故答案为：12 n°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【分析】（1）①根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论；②根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论；③在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；④在③的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案为：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）°．故答案为：180（n﹣1）；（3）根据上述结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，即∠BFD＝140°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM∥AB.【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【点评】本题考查平行线的性质，角平分线等知识，解题的关键是过点E在∠BEC的内部作EM//AB．【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠DFE，∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°，在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为：EG⊥GF；（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．结论：∠EOF＝2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为：A或B．【点评】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB ∥CD ，点P 的位置如图所示，连结PA ，PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P 作PE ∥AB∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD （），∴∠A ＝∠APE ，∠C ＝∠CPE （），∴∠A +∠C ＝ + （等式的性质）．即∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系是．（2）类比探究：如图2，已知AB ∥CD ，线段AD 与BC 相交于点E ，点B 在点A 右侧．若∠ABC ＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC ＝．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC 与∠ADC 的角平分线相交于点F ，请直接写出∠BFD 与∠AEC 之间的数量关系．【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD 与∠AEC ，观察结论即可得出结论．【解答】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）过点E作EP∥AB，如图，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案为：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．过点F作FP∥AB，如图，则∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案为：2∠BFD＝∠AEC．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P 作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB ＝∠PBD﹣∠PAC．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD 之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD=12∠GFD，∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵CD∥PE，∴∠DCP+CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，∵PE∥AB，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥QF，∴∠EPQ+∠PQF＝180°，∵QF∥CD，∴∠FQC+∠QCD＝180°，∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；（3）x＝72°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；（3）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．（3）如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等），∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；（4）当点A在B左侧时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=αβ2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB上方时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=α−β2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB下方时，同理可求∠BED=β−α2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD内时，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，∴∠DEF＝180°−12β，∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°−12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+12β−12α，综上，∠BED的度数为αβ2或α−β2或180°−12β+12α或180°+12β−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。

平行线的拐点问题归纳总结

平行线的拐点问题归纳总结平行线是数学中一个非常重要的概念，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。

特别是在几何学中，平行线的性质和拐点问题一直备受关注。

本文将对平行线的拐点问题进行归纳总结，并讨论其相关应用。

一、平行线的概念和性质在几何学中，两条直线被称为平行线，如果它们位于同一个平面中且没有交点。

根据平行线的性质，我们可以得出以下结论：1. 平行线之间的距离始终保持相等。

2. 平行线与同一条直线的交点与对应角之和为180度。

3. 平行线与平行线之间的内角、外角关系特殊。

这些性质为平行线的拐点问题的研究提供了基础。

二、平行线的拐点问题拐点是两个平行线相交后再相交一次的点，也被称为反拐点。

为了更好地理解平行线的拐点问题，我们将从一维、二维和三维的角度来分析。

1. 一维拐点问题一维拐点问题是指两条平行线在一维空间中的相交问题。

显然，两条平行线在一维空间中永远不会相交，因此没有拐点存在。

2. 二维拐点问题二维拐点问题是指两条平行线在二维平面中的相交问题。

当我们在平行线上引入一点，并以这个点为顶点作两条射线时，这两条射线可能与另一条平行线相交。

这种情况下，我们可以得到一个拐点。

3. 三维拐点问题三维拐点问题是指两条平行线在三维空间中的相交问题。

与二维情况类似，在平行线上引入一个平面，并以这个平面为基准作两个平面时，这两个平面可能与另一条平行线相交，从而产生一个拐点。

三、平行线拐点问题的应用平行线的拐点问题在数学和物理学中有着广泛的应用。

以下是一些具体的应用场景：1. 几何学中的角度问题：通过研究平行线的拐点，我们可以更好地理解和计算一些几何学中的角度问题，如内角、外角和对应角等。

2. 折线的设计和分析：在图形设计和计算机图形学中，我们经常需要处理复杂的折线，平行线的拐点问题为折线的设计和分析提供了重要的参考依据。

3. 光学中的反射和折射：平行线的拐点问题在光学中有重要应用。

通过研究平行线的反射和折射现象，我们可以更好地理解光的传播和折射规律。

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型(解析版)

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型2：铅笔头模型图1 图2 图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023·江苏南通·校考二模）如图，已知//AB CD ，140A Ð=°，120E Ð=°，则C Ð的度数是（）A ．80°B ．120°C ．100°D ．140°【答案】C 【分析】过E 作直线MN //AB ，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN //CD ，根据平行线性质从而求出∠C ．【详解】解：过E 作直线MN //AB ，如下图所示，∵MN //AB ，∴∠A +∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＝180°﹣∠A ＝180°﹣140°＝40°，∵12120AEC Ð=Ð+Ð=°，∴211204080AEC Ð=Ð-Ð=°-°=°∵MN //AB ，AB //CD ，∴MN //CD ，∴∠C +∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠C ＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：C ．【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若132Ð=°，262Ð=°，则3Ð的度数为（）A ．118°B ．148°C ．150°D ．162°【答案】C 【分析】过点B 作BA ∥工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BA ∥工作篮底部，3180MBA \Ð+Ð=°，Q 工作篮底部与支撑平台平行，BA ∥工作篮底部BA \∥支撑平台，132ABN \Ð=Ð=°，2ABN MBA Ð=Ð+ÐQ ，262Ð=°，30MBA \Ð=°，3150\Ð=°，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．例3．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB //ED ，α＝∠A +∠E ， β＝∠B +∠C +∠D ，则β与α的数量关系是（）A ．2β＝3αB ．β＝2αC ．2β＝5αD ．β＝3α【答案】B 【分析】作CF //ED ，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．【详解】解：如图，作CF //ED ， ∵AB //ED ，∴∠A +∠E =180°= α ，∵ED //CF ， ∴∠D +∠DCF =180°，∵AB //ED ，ED //CF ，∴AB //CF ，∴∠B +∠BCF =180°，∴∠D +∠DCF +∠B +∠BCF =180°+180° 即 ∠B +∠C +∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ．故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果AB EF ∥，那么ABC BCD CDE DEF Ð+Ð+Ð+Ð=A ．270°B ．360°【答案】C 【分析】利用平行线的性质，结合所作的辅助线，可以得出答案．【详解】解：过点C 作CM AB ∥∵AB EF ∥，∴AB CM DN EF ∥∥∥，∴1180ABC Ð+Ð=°，23180Ð+Ð=°，Ð∴540ABC BCD CDE DEF Ð+Ð+Ð+Ð=【点睛】本题考查了平行线的性质及判定的相关知识点，掌握知识点是解答此题的关键．例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，【答案】60°/60度【分析】根据平角定义可求出，∴180ABC BCM Ð+Ð=°，180MCF EFC +Ð=°，BCM Ð∴360ABC FCB EFC Ð+Ð+Ð°，∵120FCB Ð=°，∴360360ABC EFC FCB Ð=-Ð=°-∵14ABP ABC Ð=Ð， 14EFP EFC Ð=Ð，A ．2360P Q Ð+Ð=°B ．2【答案】A 【分析】过点P 作PM AB ∥,EPM AEP FPM CFP Ð=ÐÐ=Ð进而得到12EQF Ð=Ð+Ð，再由角平分线的定义可得()2122PEB PFD EQF Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，即可求解．【详解】解：如图，过点P 作PM AB ∥，过点Q 作QN AB ∥，∵AB CD P ，∴PM AB CD QN ∥∥∥，∴,EPM AEP FPM CFP Ð=ÐÐ=Ð，1,2EQN FQN Ð=ÐÐ=Ð，180,180PEB EPM PFD FPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴12EQF Ð=Ð+Ð，∵PEB Ð和PFD Ð的平分线交于点Q ，∴21,22PEB PFD Ð=ÐÐ=Ð，∴()()21222PEB PFD EQN FQN EQF Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，∵180,180PEB EPM PFD FPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴2360EPF EQF AEP CFP PEB PFD Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=°．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．例7．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．(1)如图1，AB CD ∥，点E 为AB 、CD 之间的一点．求证：12360MEN Ð+Ð+Ð=°．(2)如图2，AB CD ∥，点E 、F 、G 、H 为AB 、CD 之间的四点．则123456Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=______．(3)如图3，AB CD ∥，则123n Ð+Ð+Ð++Ð=L ______．【答案】(1)证明见详解；(2)900°；(3)()1801°-n ；【分析】（1）过点E 作OE ∥A B ，可得OE AB CD ∥∥，根据平行线的性质可得1180MEO Ð+Ð=°，2180OEN Ð+Ð=°，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E 、F 、G 、H 作AB 的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在AB 、CD 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n 和线段条数的关系便可解答；【详解】（1）证明：如下图，过点E 作OE ∥A B ，∵AB CD ∥，OE ∥A B ，∴P OE CD ，根据两直线平行同旁内角互补可得：1180MEO Ð+Ð=°，2180OEN Ð+Ð=°，∴12360MEO OEN Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴12360MEN Ð+Ð+Ð=°；（2）解：如下图，分别过点E 、F 、G 、H 作1O E AB ∥，2O F AB ∥，3O G AB ∥，4O H AB ∥，结合（1）解答在两相邻平行线间可得：1180AME MEO Ð+Ð=°，12180O EF EFO Ð+Ð=°，23180O FG FGO Ð+Ð=°，34180O GH GHO Ð+Ð=°，4180O HN HNC Ð+Ð=°，将所有角度相加可得：1234561805900Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°´=°；（3）解：由（2）解答可知在AB 、CD 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，由图3可知：当AB 、CD 之间有2条线段时，3n =，当AB 、CD 之间有3条线段时，4n =，当AB 、CD 之间有4条线段时，5n =，当AB 、CD 之间有5条线段时，6n =，…，当AB 、CD 之间有()1n -条线段时，n n =，∴()1231801n n Ð+Ð+Ð++Ð=°-L ；【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键．例8．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有12Ð=Ð，3=4ÐÐ，设镜子AB 与BC 的夹角αABC Ð=．(1)如图①，若α90=°，判断入射光线EF 与反射光线GH 的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若90α180°<<°，入射光线EF 与反射光线GH 的夹角βFMH Ð=，探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若α120=°，设镜子CD 与BC 的夹角γ(90γ180)BCD Ð=°<<°，入射光线EF 与镜面AB 的夹角1(090)m m Ð=°<<°，已知入射光线EF 从镜面AB 开始反射，经过(n n 为正整数，且3)n £次反射，当第n 次反射光线与入射光线EF 平行时，请直接写出γ的度数(可用含有m 的代数式表示)．【答案】(1)EF GH ∥，见解析(2)2180b a =-°，见解析(3)90m °+或150°【分析】（1）在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，α90=°，可得2390Ð+Ð=°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，180FEG EGH Ð+Ð=°，进而可得//EF GH ；（2）在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，可得23180αÐÐ+=°-，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，22MEG ÐÐ=，23MGE ÐÐ=，在MEG V 中，β180MEG MGE ÐÐ++=°，可得α与β的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：①当3n =时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及GCH △内角和，可得γ90.m =°+②当2n =时，如果在BC 边反射后与EF 平行，则α90=°，与题意不符；则只能在CD 边反射后与EF 平行，根据三角形内角和定理推出，可得γ60G Ð=-°，由EF HK ∥，且由（1）的结论可得，γ150=°．【详解】（1）EF GH ∥，理由如下：在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，α90=°，2390\Ð+Ð=°，12Ð=ÐQ ，3=4ÐÐ，1234180Ð+Ð+Ð+Ð=\°，12180FEG ÐÐÐ++=°Q ，34180EGH ÐÐÐ++=°，180FEG EGH \Ð+Ð=°，EF GH \∥；（2）β2α180=-°，理由如下：在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，23180αÐÐ\+=°-，12Ð=ÐQ ，1MEB Ð=Ð，2\Ð=ÐMEB ，22\Ð=ÐMEG ，同理可得，23MGE ÐÐ=，在MEG V 中，β180MEG MGE ÐÐ++=°，()β180MEG MGE ÐÐ\=°-+()1802223ÐÐ=°-+()180223ÐÐ=°-+()1802180α=°-°-2α180=-°；1BEG m ÐÐ==Q ，18012060BGE CGH m m ÐÐ\==°-°-=°-，180211802FEG m ÐÐ\=°-=°-(1802180260EGH BGE Ð=°-=°-°EF HK Q ∥，360FEG EGH GHK \Ð+Ð+=°，则120GHK Ð=°，则30GHC Ð=，由GCH △内角和得γ90m =°+．②当2n =时，如果在BC 边反射后与EF 平行，由（1）可知α90=°，与题意不符；则只能在CD 边反射后与EF 平行，如下图所示，设AB 与DC 的延长线交于点【答案】(1)110°(2)3603APC AQC Ð=°-Ð；(3)11n n -+【分析】（1）过点P 作PQ AB ∥，则PQ AB CD ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（2）过点P 作PM AB ∥，过点Q 作QN AB ∥，则PM AB CD ∥∥，QN C AB D ∥∥，结合22QAP QAB QCP QCD Ð=ÐÐ=Ð，，即可得到结论；（3）过点P 作PE AB ∥，则PE ∥∵130PAB Ð=°，∴13050APQ Ð=-°=°，∵120APC Ð=°，∴5070CPQ Ð=°-°=°，∴18070110PCD Ð=°-°=°；（2）解：过点P 作PM ∥，过点Q 作QN AB ∥，则PM AB CD ∥，QN C AB D ∥∥∴180180PAB APM PCD CPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，，即()360APC PAB PCD Ð=°-Ð+Ð，同理：AQC BAQ Ð=Ð课后专项训练1．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E Ð+Ð+Ð=（）A ．540°B ．360°C ．270°D ．180°【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．【详解】解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC Q ∥，AE DF BC \∥∥，180E EDF \Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线AB 先后经平面镜OM ，ON 反射后，当35ABM Ð=°时，DCN Ð的度数为（）A ．55°B ．70°C ．60°D ．35°【答案】A 【分析】根据入射角等于反射角以及“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【详解】解：∵35ABM Ð=°，ABM OBC Ð=Ð，∴35OBC Ð=°，∴1801803535110ABC ABM OBC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∵CD AB ∥，∴180ABC BCD Ð+Ð=°，∴18070BCD ABC Ð=°-Ð=°，A．115°B．120°【答案】A【分析】直接利用平移的性质结合平行线的性质得出答案．【详解】解：过B 作h m ∥，由题意可得：m n ∥,∴h n ∥，∴1180ABD Ð+Ð=°，∴3DBC Ð=Ð，180118065115ABD Ð=°-Ð=°-°=°，∴232115DBC ABD Ð-Ð=Ð-Ð=Ð=°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键．5．（2023·安徽安庆·八年级统考期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若146Ð=°，则2Ð=（）A ．46°B ．44°C ．42°D ．40°【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得1346Ð=Ð=°，24ÐÐ=，再结合角的和差关系可得答案.【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺两边互相平行，∴1346Ð=Ð=°，24ÐÐ=，∵490344Ð=°-Ð=°，∴2444Ð=Ð=°，故选：B ．6．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使1160Ð=°，AB BC ^，则2Ð的度数为（）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】B 【分析】过点B 作BE AD ∥，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出12360ABE CBE Ð+Ð+Ð+Ð=°，再解答即可．【详解】解：过点B 作BE AD ∥，∴1360ABE Ð+Ð=°∵CF AD ∥，∴CF BE AD ∥∥，∴2360CBE Ð+Ð=°∴12360ABE CBE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴12360ABC Ð+Ð+Ð=°，∵AB BC ^∴90ABC Ð=°∵1160Ð=°，∴2Ð的度数为110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键．7．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：,115,135AB CD B D Ð=°Ð=°∥，则E Ð= （）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°【答案】B 【分析】过点E 作ME AB ∥，根据平行线的性质得出180B BEM Ð+Ð=°，180D DEM Ð+Ð=°，再根据角的和差求解即可．AB CD ∥Q ，ME AB CD \∥∥115B Ð=°Q ，135D Ð=°，\Ð110BED BEM DEM \Ð=Ð+Ð=A ．40°B ．50°【答案】C 【分析】利用多边形的内角和公式求得五边形的内角和，再由平行线性质求得BAE ABC BCD Ð+Ð+Ð，最后利用角的和差即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCDE 为五边形，【答案】540°/540度【分析】可过点B ，【详解】解：如图，过点AE DF ∥Q ，AE BM CN \∥∥则180A ABM Ð+Ð=°，MBC ÐA ABM MBC BCN =Ð+Ð+Ð+Ð【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此【答案】1402n °+°【分析】首先过点E 作EF AB ∥，由平行线的传递性得得出B C D A B C n Ð=Ð=°，BAD Ð=由两直线平行，内错角相等得出BEF Ð∥Q AB CD ，∴B C D A B C n Ð=Ð=°，Ð又∵BE 平分ABC Ð，DE 平分ADC Ð，∵AB EF CD ∥∥，∴12BEF ABE n Ð=Ð=° ∴1402BED FED BEF n Ð=Ð+Ð=°+°，故答案为：【答案】50【分析】先根据平行公理判定【详解】解:如图，过点∵CM EF ∥,AB EF ∥，∵155A Ð=°，105E Ð=°∵CD 平分ACE Ð，ACD \Ð【答案】150【分析】过点B 作BF AE P ，根据平行线的性质可得90BAE Ð=°，则90ABF Ð=°，可求出CBF Ð=【详解】解：过点B 作BF AE P ，∵CD AE ∥，∴BF AE CD ∥∥∵BA AE ^，∴90BAE Ð=°，∵120ABC Ð=°，∴30CBF Ð=【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行；【答案】3b a =/13a =【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点平行线的性质即可解决问题．14．（2023下·贵州安顺=540°，根据以上的规律求【答案】140【分析】过点E作EM Q AB CD∥，EM AB∥Q的平分线与ABFÐ1\Ð=ÐÐ,ABE ABF【答案】①②③④【分析】根据平行公理判断到212180Ð+Ð=°，2+4=90ÐÐ得到2123360Ð+Ð=°，根据【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．【答案】（1）55°；（2）140°【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．18．（2023下·江苏南京·七年级校联考期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯示，假如河道两岸是平行的，PQ MN ∥，且(1)填空：BAN Ð= °；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A 射线到达的射线AC 与BC 交于点C ，过C 作ACD Ð交PQ 于点D ，且120ACD Ð=°，则在转动过程中，与BCD Ð的数量关系，并说明理由．①当090t <<时，如图1，PQ MN Q ∥，PBD BDA \Ð=ÐAC BD Q P ，CAM BDA \Ð=Ð，CAM PBD \Ð=Ð2t \=②当90150t <<时，如图2，PQ MN Q ∥，PBD BDA \Ð+ÐAC BD Q P ，CAN BDA \Ð=Ð180PBD CAN \Ð+Ð=°1802CAN t Ð=°-Q ，\Ð又120ABC t Ð=°-Q ，(1)如图①，点C 是夹在AB 和DE 之间的一点，当AC CD ^时，垂足为C ，你知道(2)如图②，点1C ，2C 是夹在AB 和DE 之间的两点，请想一想：12A C C Ð+Ð+Ð(3)如图③，随着AB 与DE 之间点的增加，那么121n A C C C D -Ð+Ð+Ð++Ð+ÐL 的度数为必说明理由）【答案】(1)270°(2)540°(3)()180n °【分析】（1）如图所示，过点C 作AB 的平行线CF ，则CF DE AB ∥∥，由平行线的性质得到180A ACF Ð+Ð=°，180DCF D Ð+Ð=°，进而得到360A ACD D Ð+Ð+Ð=°，再由AC CD ^，即可得到270A D Ð+Ð=°．（2）如图所示，过点2C 作2C F AB ∥，则2C AB DE ∥∥，由平行线的性质得到2180D FC D +=°∠∠，同（1）可得112360A C C C F ++=°∠∠∠，112540A C C C D D +++=°∠∠∠∠；（3）由（1）（2）可知，AD DE、之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加180°，据此规律求解即可．【详解】（1）解：如图所示，过点C 作AB 的平行线CF ．∵AB DE ∥，∴CF DE ∥，∴180A ACF Ð+Ð=°，180DCF D Ð+Ð=°，∴1802360A ACD D Ð+Ð+Ð=°´=°．又∵AC CD ^，∴36090270A D Ð+Ð=°-°=°．（2）解：如图所示，过点2C 作2C F AB ∥，∵AB DE ∥，∴2C F AB DE ∥∥，∴2180D FC D +=°∠∠，同（1）可得112360A C C C F ++=°∠∠∠，∴1122540A C C C F D FC D ++++=°∠∠∠∠∠，∴112540A C C C D D +++=°∠∠∠∠，故答案为：540°；（3）解：由（1）（2）可知，AD DE 、之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加180°，∴()121180n A C C C D n -Ð+Ð+Ð++Ð+Ð=°L ，故答案为：()180n °．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．20．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB Ð与ACD Ð的平分线交于点E ，则AEC Ð等于(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 4570AMN ACN Ð=°Ð=°，，求MEC Ð的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，()AMN ACN a b a b Ð=Ð=¹，，请直接写出图中MEC Ð的度数（用含【答案】(1)90(2)57.5°(3)1118022a b °-+或1118022b a °-+【分析】（1）根据平行线的性质得到180BAC ACD Ð+Ð=°90CAE ACE Ð+Ð=°，即可求出答案；（2）过点E 作EF ∥∵,ME CE 分别平分BMN ACD Ð，，∴122.52BME BMN Ð=Ð=°，∴3557.5MEC MEF CEF Ð=Ð+Ð=+°=°；（3）①如图3，过点E 作AB ，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∵11AME AMN a Ð=Ð=，11802MEF a =°-，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∴Ð∵1122ECD ACD b Ð=Ð=，∴Ð【点睛】此题考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是正确掌握平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等．【答案】(1)80°(2)36012P Ð=°-Ð-Ð；证明见详解(3)140°【分析】（1）过点P 作MN AB ∥，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．【详解】（1）解：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，2180FPN Ð+Ð=°．∵1130Ð=°，2150Ð=°，∴12360EPN FPN Ð+Ð+Ð+Ð=° ∴36013015080EPN FPN Ð+=°-°-°=°．∵P EPN FPN Ð=Ð+Ð，∴∠P =80°．故答案为：80°；（2）解：36012P Ð=°-Ð-Ð，理由如下：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，2180FPN Ð+Ð=°．∴12360EPN FPN Ð+Ð+Ð+Ð=°∵EPN FPN P Ð+Ð=Ð，36012P Ð=°-Ð-Ð．（3）如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB∥（1）如图2，AB CD P ，点M 是AEF Ð和FGC Ð平分线的交点，EFG Ð（2）如图3，AB CD P ，GM 平分CGF Ð，EM GM ^，EF 平分BEM ÐCGF Ð的度数是________．【答案】EFG BEF DGF Ð=Ð+Ð，360；（1）117°；（2）124°【答案】(1)60OFD Ð=°(2)见解析(3)2760n <<【分析】（1）过点O 作AB OH ∥，易得AB CD OH ∥P ,利用平行线的性质可求解；（2）延长EG 交CD 于Z ,由于EG 平分AEO Ð，所以AEG OEG Ð=Ð，根据此条件表示可求出两角的关系；（3）过点O 作AB OK MP NQ P P P ，设2AEG x Ð=，MNF MNG FNG Ð=Ð+Ð，求出n ，m 之间的关系，利用已知条件n m ＞，求出【详解】（1）解：证明：过点O 作AB OH ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD OH ∥P ,∴AEO Ð又∵150AEO Ð°＝，90EOF Ð°＝,∴EOH Ð（2）解：GFO Ð与CFG Ð相等，理由如下：延长∵AB CD ∥，∴180AEG CZG Ð+Ð°Ð＝，∵135EGF Ð°＝，且CZG ZGF ZFG Ð=Ð+Ð又∵90EOF Ð°＝，∴在四边形EOFG 中，∵EG 平分AEO Ð，∴AEG OEG Ð=Ð,∴∵AB CD ∥，∴AB CD OK MP NQ ∥P P P ∴90EOF BEO OFD Ð=Ð+Ð=°，即180又∵3EMN n Ð°＝，5MNH m Ð°＝，∴MNF Ð∴322MNF MNQ FNQ n x Ð=Ð+Ð=°-+(1)【特例探究】如图1，90C Ð=°．①CED CGF Ð+Ð=______度；②若CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点P ，则EPG Ð=______度；(2)【一般探索】如图2，C a Ð=，EPG b Ð=．①若13DEP CED Ð=Ð，13FGP CGF Ð=Ð，求a 与b 的关系；②若1DEP CED nÐ=Ð，1FGP CGF n Ð=Ð（2n ³且n 为整数），直接写出a 与b 的关系；∴180DEC ECM Ð+Ð=°，∴DEC ECM MCG Ð+Ð+Ð∵ECM MCG ECG Ð+ÐÐ=∴DEC ECG FGC Ð+Ð+Ð=②∵CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点∴1DEP CED Ð=Ð，FGP Ð∵12l l ∥， ∴2CM l P ，PN ∥∴180DEC ECM Ð+Ð=°，Ð∴DEC ECM MCG Ð+Ð+Ð+即DEC ECG FGC Ð+Ð+Ð=∵13DEP CED Ð=Ð，FGP Ð。

专题19 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题压轴题四种模型全攻略(解析版)

专题19解题技巧专题：平行线中有关拐点问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一平行线中含一个拐点问题】 (1)【考点二平行线中含两个拐点问题】 (9)【考点三平行线中含多个拐点问题】 (14)【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 (20)【典型例题】【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：如图，AB CD ∥，若40A ∠=︒，26C ∠=︒，则∠E =______．【答案】66︒##66度【分析】如图所示，过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据两直线平行内错角相等分别求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠，则66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ∥，∵EF AB AB CD ∥，∥，∴AB CD EF ∥∥，∴4026AEF A CEF C ==︒==︒∠∠，∠∠，∴66AEC AEF CEF =+=︒∠∠∠，故答案为：66︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出4026AEF CEF =︒=︒∠，∠是解题的关键．【变式训练】1．如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠E 满足的数量关系是______．【答案】360A C E ∠+∠+∠=︒【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C 作//CD AB ，∵//CD AB ，∴180A ACD ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∵//AB EF ，//CD AB ，∴//CD EF ，∴180E DCE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴360A ACD E DCE ∠+∠+∠+∠=︒，∴360A ACE E ∠+∠+∠=︒，∴在原图中360A C E ∠+∠+∠=︒，故答案为：360A C E ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．2．如图，若AB ∥CD ，则130α∠=︒，70β∠=︒，则γ∠=______．【答案】20︒##20度【分析】过点E 作EF AB ∥，利用平行线的性质可得1∠的度数，进而可得2∠的度数，再结合CD AB ∥可得//CD EF CD EF ∥，进而可得γ∠的度数．【详解】解：如图，过点E 作EF AB ∥，则118018013050α∠=︒-∠=︒-︒=︒，2705020AEF β∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，C D A B ∥ ，CD EF ∴∥，220γ∴∠=∠=︒．故答案为：20︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．3．已知直线12l l ∥，3l 和1l ，2l 分别交于C ，D 点，点A ，B 分别在线1l ，2l 上，且位于3l 的左侧，点P 在直线3l 上，且不和点C ，D 重合．(1)如图1，有一动点P 在线段CD 之间运动时，求证：12APB ∠=∠+∠；(2)如图2，当动点P 在C 点之上运动时，猜想APB ∠、1∠、2∠有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)21APB ∠=∠+∠，理由见解析．【分析】()1过点P 作1//PE l ，根据12l l //可知2//PE l ，故可得出1APE ∠=∠，2.BPE ∠=∠再由APB APE BPE ∠=∠+∠即可得出结论；()2过P 作//PE AC ，依据12l l //，可得//PE BD ，进而得到2BPE ∠=∠，1APE ∠=∠，再根据BPE APE APB ∠=∠+∠，即可得出21APB ∠=∠+∠．（1）证明：如图1，过点P 作1//PE l ，12//l l ，2//PE l ∴，1APE ∴∠=∠，2BPE ∠=∠．又APB APE BPE ∠=∠+∠ ，12APB ∴∠=∠+∠；（2）解：21APB ∠=∠+∠．理由如下：如图2，过P 作//PE AC ，12//l l ，//PE BD ∴，2BPE ∴∠=∠，1APE ∠=∠，BPE APE APB ∠=∠+∠ ，21APB ∴∠=∠+∠．图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；图（3）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（4）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG+∠B=180°，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；图（5）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（6）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CG∥AB，∴∠BCG=∠B，∵AB∥EF，∴CG∥EF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．【考点二平行线中含两个拐点问题】∥、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．例题：如图所示，AB CD【答案】540【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【分析】过A 点作AB ∥直线l 1，过C 点作CD ∥直线l 2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．【详解】解：过A 点作AB ∥直线l 1，过C 点作CD ∥直线l 2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l 1∥l 2，∴AB ∥CD ，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．2．如图，AB CD EF ∥∥，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．【答案】123∠+∠=∠【分析】根据AB CD EF ∥∥可得1BCD ∠=∠，3DCE ∠=∠，又因为2DCE BCD ∠=∠+∠，所以可得123∠+∠=∠．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，∴1BCD ∠=∠，3DCE ∠=∠，又∵2DCE BCD ∠=∠+∠，∴123∠+∠=∠，故答案为：123∠+∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．3．①如图1，AB ∥CD ，则∠A +∠E +∠C ＝180°；②如图2，AB ∥CD ，则∠E ＝∠A +∠C ；③如图3，若AB ∥EF ，则∠x =180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB ∥CD ，则∠A ＝∠C +∠P ．以上结论正确的是_____．【答案】②③④【分析】①过点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E 作EF ∥AB ，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，由平行线的性质可得出180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ；④过点P 作PF ∥AB ，由平行线的性质可得出∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ．【详解】解：①如图1，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A +∠AEF =180°，∠C +∠CEF =180°，∴∠A +∠AEC +∠C =∠A +∠AEF +∠C +∠CEF =180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A =∠AEF ，∠C =∠CEF ，∴∠A +∠C =∠CEF +∠AEF =∠AEC ，则②正确；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠DCF =∠EFC ，由②的结论可知∠GBH +∠HCD =∠BHC ，又∵180GBH ABH =︒-∠∠，∠HCD =∠HCF -∠DCF∴180°-∠ABH +∠HCF -∠DCF =∠BHC ，∴180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ，∴180x αβγ︒-+-=∠∠∠∠，故③正确；④如图4，过点P 作PF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PF ∥CD ，∴∠A =∠APF ，∠C =∠CPF ，∴∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ∠=∠+∠．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ∠+∠+∠+∠=___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ∠=∠=∠=∠=，，，，则m =___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540︒；（3）x z y+-【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ∠=∠，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ∠=∠，∵APC APM CPM ∠=∠+∠，∴APC A C ∠=∠+∠；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ∠+∠=︒，180EPQ PQF ∠+∠=︒，=180FQC QCD ∠+∠︒，∴=540A APQ PQC C ∠+∠+∠+∠︒，故答案为：540︒；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ∠=∠，QPE PQF ∠=∠，=FQC C ∠∠，∴=B PQC C BPQ ∠+∠∠+∠，即=x z m y ++，∴=m x z y +-，故答案为：x z y +-．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线AB CD ∥，则23415∠+∠+∠-∠-∠的度数为___________°．【答案】360【分析】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可．【详解】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，如图所示：∵CD ∥AB ，∴EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠BEF ，∠GEF +∠EGH =180°，∠HGM +∠GMN =180°，∠NMC =∠5，∵∠2=∠BEF +∠GEF ，∠3=∠EGH +∠HGM ，∠4=∠GMN +∠NMC ，∴23415∠+∠+∠-∠-∠BEF GEF EGH HGM GMN NMC BEF NMC=∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠-∠360GEF EGH HGM GMN =∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：360．【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)如图1，1l ∥2l ，若65P ∠= ，计算并直接写出A B ∠∠+的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线PB 变成折线PQB ，证明：180A B Q P ∠∠∠∠++=+(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线BQ 变成折现BMQ ．请你写出一条关于1∠、2345∠∠∠∠，，，的数量关系（无需证明直接写出）【答案】(1)65°(2)见解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l ）过P 作PE ∥l 1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如图，分别过P ，Q ，M 作PC ∥l 1，QD ∥l 1，ME ∥l 1，∵12l l ∥，∴12////////PC QD ME l l ∴∠1=∠APC ，∠QPC =∠PQD ，∠DQM =∠EMQ ，∠EMB =∠5，∴∠2=∠1+∠PQD ，∠4=∠5+∠DQM ，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD +∠5+∠DQM =∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．猜想说理：（1）如图，AB CD EF ∥∥，分别就图1、图2、图3写出A ∠，C ∠，AFC ∠的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若AB CD ，则A C AFC ∠+∠+∠=（3）在图5中，若1n A B A D ∥，请你用含n 的代数式表示【答案】（1）A C AFC ∠∠∠＋＝；A C AFC ∠-∠∠＝；∠（2）360（3）-1180n ⨯︒（）过F 作FH AB ∥，∴180A AFH ∠∠︒＋＝，又∵AB CD ∥，∴CD FH ∥，∴180C CFH ∠∠︒＋＝，∴360A AFH C CFH ∠∠∠∠︒＋＋＋＝，即360A C AFC ∠∠∠︒＋＋＝；故答案为：360；（3）如下图：AB CD ∥，过E 作EG AB ∥，过F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB EG FH CD ∥∥∥，∴180A AEG ∠∠︒＋＝，180GEF EFH ∠∠︒＋＝，180HFC C ∠∠︒＋＝，∴1803A AEG GEF EFH HFC C ∠∠∠∠∠∠︒⨯＋＋＋＋＋＝，即540A AEF EFC C ∠∠∠∠︒＋＋＋＝；综上所述：由当平行线AB 与CD 间没有点的时候，180A C ∠∠︒＋＝，当A 、C 之间加一个折点F 时，2180A AFC C ∠∠∠⨯︒＋＋＝；当A 、C 之间加二个折点E 、F 时，则3180A AEF EFC C ∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；以此类推，如图5，1n A B A D ∥，当1A 、5A 之间加三个折点234A A A 、、时，则123454180A A A A A ∠+∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；…当1A 、n A 之间加n 个折点231n A A A -⋯、、时，则123-1180n A A A A n ∠∠∠⋯∠⨯︒＋＋＋＝（），即1234n ∠∠∠∠∠＋＋＋＋＋L 的度数是-1180n ⨯︒（）．【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知//AB CD ，77BAE ∠=︒，131DCE ∠=︒，则E ∠的度数是（）A ．28︒B ．54︒C ．26︒D ．56︒【答案】B 【分析】延长DC 交AE 于F ，依据AB CD ∥，77BAE ∠=︒，可得77CFE ∠=︒，再根据三角形外角性质，即可得到E DCE CFE ∠=∠-∠．【详解】解：如图，延长DC 交AE 于F ，∵AB CD ∥，77BAE ∠=︒，77CFE BAE ∴∠=∠=︒，又131DCE ∠=︒ ，E CFE DCE ∠+∠=∠，1317754E DCE CFE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．【变式训练】1．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM CN ∥），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，则ABC ∠=（）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒【答案】C 【分析】过点B 作∥BD AM ，则BD AM CN ∥∥，由平行线的性质可得65ABD MAB ∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，由此进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点B 作∥BD AM ，，AM CN ∥，A BD M CN ∴∥∥，65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，65ABD MAB ∴∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，6555120ABC ABD CBD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．2．（22·23七年级下·河南郑州·阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O 照射到抛物线上的光线OA 、OC 等反射以后沿着与PQ 平行的方向射出，已知25OAB ∠=︒，OA OC ⊥，那么OCD ∠的度数是（）【答案】100︒/100度【分析】过点D 作DG AB ∥，过点【详解】解：过点D 作DG AB ∥，过点∵EF MN ⊥，∴90MFE ∠=︒，【答案】210【分析】过2∠顶点做直线l∥支撑平台，直线【详解】解：过2∠顶点做直线l∥∴l∥支撑平台∥工作篮底部，∴∠=∠= 、531801430∠+∠= ，【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（22·23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知120MAC ∠=︒，60NBE ∠=︒．(1)已知驱逐舰在AC 方向上航行，巡洋舰在BE 方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；(2)已知驱逐舰到达点C 后沿C D -继续航行，巡洋舰到达点E 后沿E F -继续航行，且MN EF ∥，140ACD ∠=︒．若驱逐舰在原航向上向左转动()0180αα︒<<︒后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．【答案】(1)不会，理由见解析(2)20︒【分析】（1）根据平行线的判定证明AC BE ∥，利用平行线的定义判断即可；（2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF CG ∥，利用平行公理得到CG MN ∥，求出ACG ∠，即可求出α的值．【详解】（1）解：不会，理由是：∵120MAC ∠=︒，∴60CAN ∠=︒，∵60NBE ∠=︒，∴CAN NBE ∠=∠，∴AC BE ∥，∴这两艘舰艇不会相撞；（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义．6．（22·23七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盏可折叠台灯．图为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15︒到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角【答案】(1)64︒(2)49︒【分析】（1）利用角平分线定义可得126DOP DOE∠=∠=︒，由垂直定义可得90COP∠=则15∠=∠=︒，COF OCG，∠=︒116CODFOQ COD COF∴∠=∠+∠=︒+︒11615 ，OF CGCG MN∥∥，OF MN∴∥，∴∠+∠=︒，180OQM FOQ(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD 并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC 能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：70；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时AB∥CD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；③当40s＜t≤80s时，如下图，有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；④当80s＜t≤120s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠DCF，即3t-240=t-40，解得t=100，∴当t=100s时，AB∥CD；综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．。

小专题12巧解平行线中的拐点问题ppt课件

1．(随州中考)如图，在平行线 l1，l2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，若 ∠1＝65°，则∠2 的度数是( A )
A．25° B．35° C．45° D．65°
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP 管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
变式 2 当点 C 运动到平行线的外边已知 AB∥ED，点 C 为 AB，ED 之外任意一点． (1)如图 1，∠B，∠BCD，∠D 之间的关系是∠B＝
∠BCD＋∠D ； (2)如图 2，∠B，∠EDC，∠C 之间的关系是∠EDC
＝∠B＋∠C ；
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP 管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
解：(2)∠EFD＝∠BEF＋30°. 理由：分别过点 E，F 作 EM∥AB，FN∥AB. ∴EM∥AB∥FN. ∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN.
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP 管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
3．(莱芜中考)如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 F，则∠DFB＝( B )
A．149° C．150°
பைடு நூலகம்
B．149.5° D．150.5°
采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP 管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物

平行线中的拐点问题

D
B
1
F
2
E
4
知识点二：‘凹’进去的模型
学以致用
1、如图，AB∥CD，∠A=65°－ α ，∠P=80°+α，
∠C=60°－α，则α= 15°。
A
B
P
C
D
5
知识点二：‘凹’进去的模型
学以致用
2、如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果
∠2=20°，那么∠1= 6 7 8 9 10 11
孝感市文昌中学学生专用尺 2
Cm
6
知识点三：“猪手图”模型
新知究
P1 A
C
F
B D
A
C
1
P
解：过点P作PF∥AB，则PF∥CD（
）
∴∠CPF＋∠C=180°∠1＋∠A=180°（
）
∴∠CPF=180°－∠C ,∠1=180°－∠A
∴∠APC＝∠CPF－∠1
=(180°－∠C)－(180°－∠A)=∠A－∠C
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）
∴ ∠ 1 = 80 °, ∠2 = 70 ° （等量代换）
∴∠AEC=∠1+∠2= 80 ° + 70 °=150 °
1
知识点一：‘凸’出来的模型
学以致用
1、如图，a//b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，如果∠3= 135° ，∠2=60°那么∠1= 165º。
3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F．当∠PEQ＝70°时，请求出∠PFQ的度数．
M
1
a
P
2 3
b
N
2

人教版七年级下册数学《平行线—平行线中的拐点问题》课件

【拓展延伸】
已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2
＝
＋∠3＋∠4＝
；（4）
试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝
；
总结归纳： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ② A1 A2 An1 An 180 (n 1【) n-2个拐点】
【巩固练习】
4．如图，a∥b，∠1＝55°，∠2＝130°，则∠3＝（）
A．100° B．105° C．110° D．115°5.某小区
地下停车场入口了栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地
面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC
＝
°．
6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则
7题图
8题图
9题图
类型四、综合型
例4：①如图1，若AB∥CD，∠B，∠C，∠D之间有什么关系？请证②明如. 图2，若AB∥CD，∠B，∠C，∠D之间有什么关系？请证明.
【巩固练习】
10．如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（）
A．α+β+γ＝360°
B．α﹣β+γ＝180°
【巩固练习】
7．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（） A．135° B．125° C．115° D．105° 8．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若 ∠BCD＝100°，∠CDE＝15°，则∠DEF的度数是（） A．110° B．115° C．120° D．125° 9．如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是（） A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°

巧解平行线的拐点问题高廖

例2. 请思考：若改变点E的位置，则∠BED 与∠B、
∠D的数量关系会发生变化吗？它们之间的关系又是
什么呢？
E
A
B
A
B
A
B
E
E
C
图2
D
C
D
图3
C 图4 D
E
A
B
D
C
图5
A
B
A
B
C 图6 D E
C
D
图7
E
A
B
E
F
C
D
图3
解：过点E 作EF∥AB。 ∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（等量代换） ∴∠B+∠D=∠BED
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巧用平行解决“拐点”问题
例1. 如图1，AB∥CD，点E是平面内一点，则∠BED 与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？
A
B
F C
图1
E D
巧用平行解决“拐点”问题
A
B
F
E
C
D
图2
解：∵AB∥EF（已知） ∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360° 即∠B+∠BED+∠D=360°
例2. 请思考：若改变点E的位置，则∠BED 与∠B、

隐藏在平行线间的“拐点”问题

隐藏在平行线间的“拐点”问题
林晓珊;刘成
【期刊名称】《中学数学研究(华南师范大学):下半月》
【年(卷),期】2021()11
【摘要】本文将几种常见的“拐点”问题进行模型化,总结出相应解法,列举出对应题型,以求帮助学生将复杂问题简单化,突破难题.
【总页数】4页(P33-36)
【作者】林晓珊;刘成
【作者单位】广东省深圳市光明区高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.限制在两平行线间的等周问题
2.利用基本型解决平行线间有关角的问题
3.探究几何画板在解决平行线间拐点问题中的应用
4.平行线间的“你来我往”问题研究——对一道2018年上海春季高考试题的赏析
5.平行互连线间串扰问题的研究
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