第四章：格林函数教学文案
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第四章拉氏方程的格林函数法.docx
第四章拉氏方程的格林函数法.docx第四章拉氏方程的格林函数法前面儿章，介绍了儿种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。
?本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。
首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么捉出的。
§4.1拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。
研究最多的就是前面两种。
1)第一边值问题边界条件为:心要求的解心C2(Q)AC°(Q),既比在区域Q上连续，在Q上有二阶连续导数,满足拉氏方程且在边界上与/吻合。
Q = Q + 「为边界；称第一-边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。
通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。
2)第二边值问题边界条件为:単=/,on r要求的解ue C2(Q)nC*(Q),既u在区域豆上有一阶连续导数，在Q 上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。
称第二边值问题为牛曼(Neumarm)问题，简称牛氏问题。
前面两种边值问题都是在Q内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。
另外, 冇这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域Z外的温度分布情况, 这就归结为在区域Q外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。
注：对于外问题來说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例了。
Aw = 0, r > 1, r = Vx2 + r2 + z2易知u = Vu = \!r都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时limw = 0厂T8二维问题通常假定解冇界。
3）狄氏外问题（略）4）牛氏外问题（略）§ 4.2格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式,我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。
4第四章格林函数法
，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
2019/2/12
4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
1
2019/2/12
4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
3
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
10
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
11
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
格林函数及其应用课件
有限差分法
01
有限差分法是将微分方程或积分 方程转化为差分方程，然后求解 差分方程得到格林函数的数值解 。
02
有限差分法适用于求解偏微分方 程，特别是对于具有周期性或对 称性的问题，有限差分法可以大 大简化计算过程。
有限元法
有限元法是将微分方程或积分方程转化为有限元方程，然后求解有限元方程得到 格林函数的数值解。
对于某些领域，需要高精度的格林函数来保证计 算的准确性。
未来格林函数研究的方向与展望
算法优化
寻求更高效、稳定的算法来计算格林函数。
多领域交叉
加强与其他领域的合作，拓展格林函数的应用范围。
数值稳定性
研究如何提高格林函数计算的数值稳定性。
感谢观看
THANKS
量子力学散射问题的格林函数计算
总结词
介绍了量子力学散射问题中格林函数的 计算方法，以及其在散射理论中的应用 。
VS
详细描述
在量子力学中，格林函数用于描述粒子在 相互作用下的运动行为。通过计算格林函 数，可以研究粒子在散射过程中的能量和 动量变化，进一步理解物质的微观结构和 相互作用机制。
流体动力学波动问题的格林函数计算
工程学
在电路分析、控制理论和信号 处理等领域有广泛应用。
生物学
用于研究神经网络的传播和扩 散过程。
金融学
用于描述资产价格波动和风险 评估。
当前格林函数计算中存在的问题与挑战
高维问题
随着问题维度的增加，格林函数的计算变得极为 复杂。
不适定性
在实际应用中，格林函数的求解可能存在数值不 稳定性。
精度要求
有限元法适用于求解复杂的偏微分方程，特别是对于具有复杂边界条件的问题， 有限元法可以更好地处理边界条件。
拉普拉斯方程的格林函数法-4(定稿)教材
u v u v u v x x y y z z
dx dy dz
v dS n
上式移项后，称
2
其中 u ( i j k ) u grad u 为 u 的梯度。 x y z
( 4 .7 )
v dS u v dV u v d V u n
u ( x, y, z ) ,它在闭区域 （或记作 ）上连续，在 内有连续偏导数，且满足拉普
拉斯方程，在 上与已知函数 f 相重合，即
u
f
第一边值问题也称为迪利克莱（Dirichlet)） 问题，或简称为迪氏问题。
§2.3中所讨论过的问题，就是圆域内的狄氏问题。
调和函数——谈到拉普拉斯的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉氏方程的 连续函数，称为调和函数。所以，迪氏问题也可以换一种说法：在区域 内 寻找一个调和函数，使它在边界 上的值为已知！
u nΒιβλιοθήκη f（4） 牛曼外问题 在光滑的闭曲面的边界 上给出连续函数 f ，要求寻找这样一个函数 u ( x , y, z ) ，它在
外部的区域 内是调和函数，在 上连续，在 无穷远处满足条件（4.3），而且它在 上任意一点处的法向导数
u 存在，并满足 n
同理，对第二项有
1 u 1 u u dS dS 4 ( ) r n n n
0
y
其中(
u u ) 是函数 在小球面 上的平均值。 n n
x
( 1 rMM 0 n )
将上面两项结果代入 (4.11) 式，可得
u
dS
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
第四章 Laplace方程的格林函数法
第四章 Laplace方程的格林函数法第四章laplace方程的格林函数法在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法―分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍laplace方程的格林函数法。
先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立laplace方程第一边值问题解的积分表达式。
§4.1laplace方程边值问题的提法在第一章，从无源静电场的电位原产及稳恒温度场的温度原产两个问题推论出来了三维laplace方程2u2u2uuu2220xyz2做为叙述平衡和均衡等物理现象的laplace方程，它无法加初始条件。
至于边界条件，例如第一章所述的三种类型，应用领域得较多的就是如下两种边值问题。
（1）第一边值问题在空间(x,y,z)中某一个区域?的边界?上给定了连续函数f，要求这样一个函数u(x,y,z)，它在闭域（或记作?）上连续，在?内有二阶连续偏导数且满足laplace方程，在?上与已知函数f相重合，即u?（4.1）?f第一边值问题也称为狄利克莱（dirichlet）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。
1laplace方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足laplace方程的连续函数，称为调和函数。
所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域?内找一个调和函数，它在边界?上的值为已知。
（2）第二边值问题在某扁平的闭合曲面?上得出连续函数f，建议找寻这样一个函数u(x,y,z)，它在?内部的区域?中就是调和函数，在上连续，在?上任一点处法向导数u存有，并且等同于未知函数f?n在该点的值：unf（4.2）这里n就是?的外法向矢量。
第二边值问题也称纽曼（neumann）问题。
以上两个问题都就是在边界?上取值某些边界条件，在区域内部建议满足用户laplace 方程的求解，这样的问题称作内问题。
在应用中我们还会遇到dirichlet问题和neumann问题的另一种提法。
04第四章格林函数法
（1）
西安理工大学应用数学系
u u 但在边界上， 未知，不能用上述公式求解，必须消去 n n
为此，引入Green函数的概念。
取 u, v 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续 的偏导数，则由第二Green公式，有
v u (u n v n )dS 0
西安理工大学应用数学系
P Q R ( x y z )d ( P cos Q cos R cos )dS
其中n {cos , cos , cos } 是 的外法线方向。 （2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
u(M 0 ) 1 4
（2）
[u
（1）式＋（2）式，得
1 1 u ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
（1）
v 1 1 1 u u ( M 0 ) {u[ n 4 n ( rMM )] ( 4 rMM v) n}dS 0 0
（3）
西安理工大学应用数学系
选 v ，使 v
1 4 rMM 0
，则（3）式变成
称为Green函数
v 1 1 u ( M 0 ) u[ n 4 n ( rMM )]dS 0 1 u ( n 4 rMM v)dS 0 1 v 4 rMM 0
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d v v v 推导：令 Pu , Qu , Ru x y z
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
10：第四章 格林函数法
格林公式中取 u 为上述调和函数, v 1 , 则
u u 有 dS 0. 所以牛曼内问题( | f ) n n 有解的必要条件为函数 f 满足
fdS 0
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题 设 u1 ,u 2 是定解问题的两个解，则它们的
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问 题的解 ？ 这需要引入格林函数的概念.
u 为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 n | ,
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上 有一阶连续偏导数，利用第二格林公式
可得 与
v u (u v v u)dV (u v )dS n n v u (u n v n )dS 0
设 u u x, y, z ,v vx, y, z 满足
u, v C1 C 2
v 令 P x, y , z u x
v Qx, y, z u y
1
v R x, y , z u z
则
P, Q, R C C
在球面 上,
我们可得
1 1 u u u n r r n dS 4 u 4 n 0
令 0 , 则 lim 0 u uM 0 ,
于是
1 u M0 4
内任一点,
Ka
表示以 M 0 为中
内的球面,
心, 则有
a 为半径且完全落在
1 u M0 2 4 a
udS
Ka
4.3 格林函数 调和函数的积分表达式
1 u M0 4 1 u M n rM M 0 1 u M dS rM M n 0
u u 有 dS 0. 所以牛曼内问题( | f ) n n 有解的必要条件为函数 f 满足
fdS 0
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题 设 u1 ,u 2 是定解问题的两个解，则它们的
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问 题的解 ？ 这需要引入格林函数的概念.
u 为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 n | ,
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上 有一阶连续偏导数，利用第二格林公式
可得 与
v u (u v v u)dV (u v )dS n n v u (u n v n )dS 0
设 u u x, y, z ,v vx, y, z 满足
u, v C1 C 2
v 令 P x, y , z u x
v Qx, y, z u y
1
v R x, y , z u z
则
P, Q, R C C
在球面 上,
我们可得
1 1 u u u n r r n dS 4 u 4 n 0
令 0 , 则 lim 0 u uM 0 ,
于是
1 u M0 4
内任一点,
Ka
表示以 M 0 为中
内的球面,
心, 则有
a 为半径且完全落在
1 u M0 2 4 a
udS
Ka
4.3 格林函数 调和函数的积分表达式
1 u M0 4 1 u M n rM M 0 1 u M dS rM M n 0
第四章格林函数法课件
特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
PPT学习交流
2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
PPT学习交流
8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
PPT学习交流
11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
PPT学习交流
7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0
Chapter 4. 格林函数法
20
为此，在第二Green公式
与调和函数的积分表达式相加
China University of Petroleum
21
其中
称为Laplace方程第一边值问题的格林函数/影响函数
China University of Petroleum
22
China University of Petroleum
16
在上一节的基础上，我们直接给出平面域上的一些结论。
China University of Petroleum
17
第一格林公式
第二格林公式
China University of Petroleum
18
4. Green公式的应用
China University of Petroleum
19
China University of Petroleum
9
为了建立三维拉普拉斯方程解的积分表达式，需要用到格林公
式。而格林公式实际上是高斯公式的直接推论。
China University of Petroleum
10
第一格林公式
第二格林公式
China University of Petroleum
11
4. Green公式的应用
利用格林公式可以推出调和函数的一些基本性质。
26
M
M 0
China University of Petroleum
27
China University of Petroleum
28
什么是电象法？
M
M0
China University of Petroleum
29
q M1
格林函数方法
第四章 格林函数方法自强●弘毅●求是●拓新4.3.1 格林函数方法的基本思想【例4-4】设在线性、各向同性、均匀无界空间有一密度为 r的点电荷分布，电荷体的体积为V，求电荷体的电位分布。
解：区域V上体电荷在无界空间产生的电位：场点r 2r r rlimrr0r rr' dV 源点r'4.3.1 格林函数方法的基本思想在 ri ' 处电荷量为 r' dV 的点电荷在空间产生的电位为：dr r' dV 4π r r' 引入格林函数：G r,ri'1 4π r r'根据叠加原理，电位函数表示为： r 由体积分定义，得：i r4π' dV r r' G r,ri' r' dV i r V r4π' dV r r' G r,ri' r' dV V4.3.1 格林函数方法的基本思想格林函数方法的基本思想： 将任意激励表示为许多单位激励的叠加组成，任意激励通过线性系统的响应表示为许多单位激励响应的叠加。
通过求解单位激励的响应达到求解任意激励源的响应，从 而使问题的求解得到简化。
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法静态电磁场满足Poisson方程，其形式为：2r r M MnShM其中M表示边界S上的变量，α，β是不同时为零的常数 0：第一类边界条件 0 ：第二类边界条件4.3.2 静态电磁场的格林函数方法 引入格林函数 G r,r' ，将其代入Poisson方程，得： 2G r,r'1 r r' G r,r'G r,r' n S0进一步处理，得：2rGr,r' 2G r,r' rdV V1 VrGr,r'dV1 r V r' rdV4.3.2 静态电磁场的格林函数方法对方程左边应用格林公式：( 2)dV dS ，右边求体积分得：VS r V r G r, r 'dVS r G r,r'nG r,r' rndS 1如果 0 ，对（1）式进一步化简得： r' rGr,r' VdV Shr Gr,r' ndS2存在矛盾：我们引入中格林函数Gr,r' 表示的是点 r' 的源在 r产生的场，（2）式中格林函数Gr,r' 表示的是 r 点的源在 r' 产生的场。
4第四章格林函数法
u ( M ) u ( M 1 ) 。设 M 2 是 K 1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
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下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
格林函数法
第四章 格林函数法
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
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回顾内容包括：
1、点源函数的性质； 2、格林函数的一般求法（电像法）等； 3、格林函数求解边值问题的途径。
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
例如：空间中，静电荷产生的电势问题，
电荷源 M 电荷密度
空间M处的电势满足泊松方程：
Z M
rr rr rr0
2u
Or r0
X
Y
,M
实际上：由静电学可知，位于 rr 0 点的单位正电荷在r处的电势为
u (M ) (M M 0 ) G (M , M 0 )h(M )
对
M（
x,
y,
z)积
分
，
注
意
G
(M
,
M
0
)以
M
为
0
奇
点
（
在M
挖
0
去
1的 小 球
体体积元）
同时利用
第二格林函数，有
这里G就相当于格 林第二公式中的v
(G u u G ) d (G u u G ) d
n
n
§4.1 点源函数法回顾
4.1.2 函数
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
2、定义
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§4 格林函数
—— 函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
3、三维 函数
|a|
8、 （ x
x0 )
d dx
H
(x
x0 ),
0 H ( x x0 ) 1
x<x 0 x>x 0
9、 函 数 的 付 氏 变 换 为1， 拉 氏 变 换 也 为 1。
§4.1 点源函数法回顾
4.1.3 泊松方程的边值问题
一、泊松方程的基本形式
§4 格林函数
其中， , 为不同时为零的常数。为了得到定解问题(1)(2)
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
4、 [ ( x)]
k i 1
|
(x xi
( xi )
) |
,
其
中
xi是
(
x
)
0的 单 根
5、 函 数 是 偶 函 数 ， 函 数 是 奇 函 数
6、 x ( x) 0; x ( x) ( x)
7、 (ax) 1 ( x); ( x) ( x a) (a) ( x a)
第四章：格林函数
第四章 格林函数
1、 点源函数法回顾； 2、 格林函数的引入； 3、 格林函数与 函数； 4、 一维格林函数； 5、 三维格林函数； 6、 格林函数在电磁学中的应用； 7、 并矢格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有 广泛的应用。
从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源
的解的积分表达式，首先引入格林公式
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
二、格林公式
设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在区域 直到边界 上
具有连续一阶导数，而在中具有连续的二阶导
数，则由高斯公式有：
化为体积分
uv d (uv)d
uvd u vd
此式称为 格林第一公式
——格林函数法（点源法）
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界 条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示， 物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题； 3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算 出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换 为关键是求解点源的相对简单的问题。
§4 格林函数
三、积分公式——格林函数法
目标：求解
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
(3) 由于
其中 rபைடு நூலகம்xx0)2 (yy0)2 (zz0)2为M与M0之间的距离
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
（1） G ( M , M 0 ) u ( M ) (3 )得 ：
G (M ,M 0)u(M ) u(M )G (M ,M 0)
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
同理有：
v u d v ud v ud
两式相减，有
(u v v u ) d (uv vu )d
即 ： (u
v n
v u )d n
(uv vu)d
此式称为 格 林 第 二 公 式
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得 到任意源的场。
这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函 数法，又称为点源函数法或影响函数法。
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
4.1.1 格林函数法的回顾
首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产 生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由 于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加， 利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得 到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。
G(rr,rr0)
1
4
|
rr
1 rr0
|
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：
r
u (r r) V4|(r r r 0 )r r0|d V V G (r r,r r0 )(r r0 )d V
表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：
1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场—即格林函 数（或称点源函数，影响函数） 2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般 源的场—即通过有限积分表示原问题的解。
(MM0)0,,
MM0 MM0
(MM0)dv1
其中 ( M M 0 ) ( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )为三维 函数
且具有性质： ( x x 0 , y y 0 , z z 0 ) ( x x 0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数 也具有一维函数的所有的性质。
(G u nu G n)du(M 0)G(M ,M 0)h(M )d
[u (M ) (M M 0 ) G (M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（1）的解
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
负号来自内小球面的 法向与矢径方向相反
于 是 有 ：
1、点源函数的性质； 2、格林函数的一般求法（电像法）等； 3、格林函数求解边值问题的途径。
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
例如：空间中，静电荷产生的电势问题，
电荷源 M 电荷密度
空间M处的电势满足泊松方程：
Z M
rr rr rr0
2u
Or r0
X
Y
,M
实际上：由静电学可知，位于 rr 0 点的单位正电荷在r处的电势为
u (M ) (M M 0 ) G (M , M 0 )h(M )
对
M（
x,
y,
z)积
分
，
注
意
G
(M
,
M
0
)以
M
为
0
奇
点
（
在M
挖
0
去
1的 小 球
体体积元）
同时利用
第二格林函数，有
这里G就相当于格 林第二公式中的v
(G u u G ) d (G u u G ) d
n
n
§4.1 点源函数法回顾
4.1.2 函数
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
2、定义
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§4 格林函数
—— 函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
3、三维 函数
|a|
8、 （ x
x0 )
d dx
H
(x
x0 ),
0 H ( x x0 ) 1
x<x 0 x>x 0
9、 函 数 的 付 氏 变 换 为1， 拉 氏 变 换 也 为 1。
§4.1 点源函数法回顾
4.1.3 泊松方程的边值问题
一、泊松方程的基本形式
§4 格林函数
其中， , 为不同时为零的常数。为了得到定解问题(1)(2)
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
4、 [ ( x)]
k i 1
|
(x xi
( xi )
) |
,
其
中
xi是
(
x
)
0的 单 根
5、 函 数 是 偶 函 数 ， 函 数 是 奇 函 数
6、 x ( x) 0; x ( x) ( x)
7、 (ax) 1 ( x); ( x) ( x a) (a) ( x a)
第四章：格林函数
第四章 格林函数
1、 点源函数法回顾； 2、 格林函数的引入； 3、 格林函数与 函数； 4、 一维格林函数； 5、 三维格林函数； 6、 格林函数在电磁学中的应用； 7、 并矢格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有 广泛的应用。
从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源
的解的积分表达式，首先引入格林公式
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
二、格林公式
设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在区域 直到边界 上
具有连续一阶导数，而在中具有连续的二阶导
数，则由高斯公式有：
化为体积分
uv d (uv)d
uvd u vd
此式称为 格林第一公式
——格林函数法（点源法）
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界 条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示， 物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题； 3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算 出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换 为关键是求解点源的相对简单的问题。
§4 格林函数
三、积分公式——格林函数法
目标：求解
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
(3) 由于
其中 rபைடு நூலகம்xx0)2 (yy0)2 (zz0)2为M与M0之间的距离
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
（1） G ( M , M 0 ) u ( M ) (3 )得 ：
G (M ,M 0)u(M ) u(M )G (M ,M 0)
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
同理有：
v u d v ud v ud
两式相减，有
(u v v u ) d (uv vu )d
即 ： (u
v n
v u )d n
(uv vu)d
此式称为 格 林 第 二 公 式
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得 到任意源的场。
这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函 数法，又称为点源函数法或影响函数法。
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
4.1.1 格林函数法的回顾
首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产 生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由 于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加， 利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得 到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。
G(rr,rr0)
1
4
|
rr
1 rr0
|
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：
r
u (r r) V4|(r r r 0 )r r0|d V V G (r r,r r0 )(r r0 )d V
表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：
1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场—即格林函 数（或称点源函数，影响函数） 2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般 源的场—即通过有限积分表示原问题的解。
(MM0)0,,
MM0 MM0
(MM0)dv1
其中 ( M M 0 ) ( x x 0 ,y y 0 ,z z 0 )为三维 函数
且具有性质： ( x x 0 , y y 0 , z z 0 ) ( x x 0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数 也具有一维函数的所有的性质。
(G u nu G n)du(M 0)G(M ,M 0)h(M )d
[u (M ) (M M 0 ) G (M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（1）的解
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
§4.1 点源函数法回顾
§4 格林函数
负号来自内小球面的 法向与矢径方向相反
于 是 有 ：