2003年10月联考数学试题

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2003-数三真题、标准答案及解析

x 0
（2）已知曲线 y x 3a x b 与 x 轴相切，则 b 可以通过 a 表示为 b 4a
3 2
2
2
6
.
【分析】曲线在切点的斜率为 0，即 y 0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到 b 与 a 的关系. 【详解】由题设，在切点处有
(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 八、（本题满分 8 分）设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 (0,3) ，使
f ( ) 0.
九、（本题满分 13 分）已知齐次线性方程组
a, 若0 x 1, 而 D 表示全平面，则 I f ( x) g ( y x)dxdy = 0, 其他， D
a2 .
【分析】本题积分区域为全平面，但只有当 0 x 1,0 y x 1 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】
2 y 3x 2 3a 2 0 ，有 x0 a2.
2
又在此点 y 坐标为 0，于是有
3 0 x0 3a 2 x0 b 0 , 2 2 2 b 2 x0 (3a 2 x0 ) a 2 4a 4 4a 6 .
故
【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设 a>0， f ( x) g ( x)
1 n 2 X i 依概率收敛于______. n i 1
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数 g ( x) (A) 在 x=0 处左极限不存在. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (D) 有可去间断点 x=0.

2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析

2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）的值等于（）．5﹣4B．4﹣1 C解答：解：原式==+=，故选D．2．（7分）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）3．（7分）若函数y=kx（k＞0）与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）解答：解：设点A的坐标为（x，y），则xy=1，故△ABO的面积为，又∵△ABO与△CBO同底等高，∴△ABC的面积=2×△ABO的面积=1．故选A．解答：解：由可得，（﹣）（++）=0，∵++＞0，∴﹣=0，∴，故选B．5．（7分）设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且=，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为（）．B．C．D．解答：解：连接BE．∵=，∴△ADE和△ABE的面积比是1：3．设△ADE的面积是k，则△ABE的面积是3k，则△BDE的面积是2k．设△BCE的面积是x，则有（2k+x）=（3k+x），解得x=k．则△ABE和△BCE的面积比是3：1，则的值为．故选B．6．（7分）如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（）．D．解答：解：连接CE；∵，∴∠BAE=∠EBC+∠BEC；∵∠DCB=∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB=∠BAE，∴∠BEC=∠BCE，即BC=BE=5，∴AD=5；由切割线定理知：DE=DC2÷DA=，故选D．二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）7．（7分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac= ﹣解答：解：设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1•x2=＜0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2=|AO|•|BO|，即c2=|x1|•|x2|=||，故|ac|=1，ac=±1，由于＜0，所以ac=﹣1．故答案为：﹣1．8．（7分）设m是整数，且方程3x2+mx﹣2=0的两根都大于﹣而小于，则m= 4 ．解答：解：由题设可知，，解得．因为m是整数，所以m=4．故答案为4．9．（7分）如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为12°．∴∠CAB=∠BB′A，∴∠B′BD=2x°，∵BB′是∠DBC的平分线，∴∠CBD=4x°，∵AB=AA′，∴∠AA′B=∠ABA′=∠CBD=4x°，∵∠A′AB=（180°﹣x°），∴（180°﹣x°）+4x°+4x°=180°，∴x°=12°．故答案为：12°．10．（7分）已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a、b中较大的数是225 ．解答：解：设（a，b）=d，且a=md，b=nd，其中m＞n，且m与n互质，于是a、b的最小公倍数为mnd，依题意有即，则m＞n据②可得或或或根据①只取可求得d=15，故两个数中较大的数是md=225．三、解答题（共5小题，满分120分）11．（20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．解答：解：设前后两个二位数分别为x，y，∴（x+y）2=100x+y．x2+2（y﹣50）x+（y2﹣y）=0．b2﹣4ac=4（y﹣50）2﹣4（y2﹣y）=4（2500﹣99y）≥0，解得y≤25，当y≤25时，原方程有解．∴x==50﹣y±，∴2500﹣99y必为完全平方数，∵完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9．x的数位是2位，y是2位．∴y=25，∴x=30或20，12．（25分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB 的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE=∠PBF．解答：证明：①如图，在△ABP中，∵D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，∴DM=BP，DN=AP，又∵PE⊥AE，BF⊥PF∴EM=AP=DN，FN=BP=DM，∵DE=DF∴△DEM≌△DFN（SSS）；②∵由①结论△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND，∵DM∥BP，DN∥AP，∴∠AMD=∠BND=∠APB，∴∠AME=∠BNF又∵PE⊥AE，BF⊥PF，∴△AEP和△BFP都为直角三角形，又M，N分别为斜边PA与PB的中点，∴AM=EM=AP，BN=NF=BP，∴∠MAE=∠MEA，∠NBF=∠NFB，∴∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF）．即∠PAE=∠PBF，13．（25分）已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x的值．解答：解：由已知有a+=x，①； b+=x，②；c+=x，③；d+=x，④；即dx3﹣（ad+1）x2﹣（2d﹣a）x+ad+1=0⑦由④得ad+1=ax，代入⑦得（d﹣a）（x3﹣2x）=0由已知d﹣a≠0，∴x3﹣2x=0若x=0，则由⑥可得a=c，矛盾．故有x2=2，x=±15．（25分）已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形边长的平方和的最小值．解答：解：（1）如图，记AB=a，CD=b，AC=l，并设△ABC的边BA上的高为h1，△ADC的边DC上的高为h2，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=（h1a+h2b）≤l（a+b），当且仅当h1=h2=l时等号成立，即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时，等号成立，由已知得64≤l（a+b），又∵a+b=16﹣l，得64≤l（16﹣l）=64﹣（l﹣8）2≤64，于是l=8，a+b=8，且这时AC⊥AB，AC⊥CD，因此这样的四边形由如下4个：a=1，b=7，l=8；a=2，b=6，l=8；a=3，b=5，l=8；a=b=4，l=8；（2）由于AB=a，CD=8﹣a，则BC2=82+a2，AD2=82+（8﹣a）2，故这样的四边形的边长的平方和为：2a2+2（8﹣a）2+128=4（a﹣4）2+192，当a=b=4时，平方和最小，且为192．故答案为：4，192．。

2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)含答案

一个顶点 B，该椭圆的离心率为
A． 1 5
B． 2 5
（）
C． 5 5
D． 2 5 5
6．若 z C 且| z + 2 − 2i |= 1,则 | z − 2 − 2i | 的最小值是
（）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．如果圆台的母线与底面成 60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）
A． 2
（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段 OA 上异于 O，A 的任一点 K 作 OA 的垂线，交椭圆于 P，P1 两点，直线
A1P 与 AP1 交于点 M.
求证：点 M 在双曲线 x2 − y 2 = 1 上. 25 9
y
B2
O A1(-5,0) F1(-4,0)
B1
x F2(4,0) A2(5,0)
D．{x | x −1或x 1}
2．设
y1
=
40.9 , y2
= 80.44 ,
y3
=
( 1 )−1.5 ，则 2
（）
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
3．“ cos 2 = − 3 ”是“ = 2k + 5 , k Z ”的
2
12
（）
A．必要非充分条件
11．3
12． f (x); g(x) 13． y 2 = −36(x − 4) 14． 4 +4
三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分

2003年MBA联考综合考试数学试题

2003级MBA高考数学综合考试题库1.一家公司获得一笔共计68万元的贷款，用于三个下属工厂的设备改造。

结果，A，B和C 这三个工厂分别获得了36万元，24万元和8万元的收入。

（1）A，B和C的三个工厂以1/2：1/3：1/9的比率贷款（2）A，B和C的三个工厂以9：6：2的比率贷款2.二次方程x2 bx c = 0的两个根之间的差为4（1）b = 4，c = 0（2）b2-4c= 163.不平等│x -2││4一│<s没有解决方案。

（1）秒≤2（2）秒> 24.（a b）/（a2 b2）=-1/3（1）a2，1，b2是算术级数（2）1 / a，1，1 / b是算术级数5.（X / a- a / x）6扩展的第六项是-486 / x4（1）a = 3（2）a = -36. z = 2x2 y2-xy 7y a的最小值是6。

（1）a = 8（2）a = -87.令函数y = f（x）在区间（a，b）中具有二阶导数，并且曲线在区间（a，b）中为凹形。

（1）导数y’= f’（x）（a，b）单调增加（2）有x0A（a，b），令f“（x0）> 08.曲线y = e a-x在点x = x0处的切线方程为x y = 2（1）a = 2，x0 = 2（2）a = 1，x0 = 19.函数y = f（x）x0 = -2的拐点（x0，y0）的横坐标（1）f（x）= x3 6x2 x 1（2）f（x）= 1/2 xex10. dyIx = 1 = 2 / e dx（1）y = xe-1 / x（2）y = 2x2e-x11. A和B均为n阶方阵。

（AB）2 ＝A 2 2AB B 2。

（1）│一种│≠0（2）AB-B-A = 012α1，α2，β1，β2，β3都是n维向量。

β1，β2，β3线性相关（1）α1，α2个线性相关，并且β1 =α1个α2β2 =α1-α2β3 = 3α1个α2（2）α1，α2线性独立，并且β1 =α1个α2β2 =α2β3 = 2α1-α213.向量组α1 =（1,3,6,2）Tα2 =（2,1,2，-1）Tα3 =（1，-1，a，-2）等级r = 3（1）a = -2（2）a≠-214.线性方程-x1 -4x2 x3 = 1tx2-3x3 = 3有无限多种解决方案x1 3x2（t 1）x3 = 0（1）t = -3（2）t = 115. A，B和C是随机事件，并且A的出现必须导致B和C同时发生。

2003年数一真题、标准答案及解析(超强版)

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . （3）设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ ] 三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly 六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ，记).,,,min(ˆ21nX X X Λ=θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1.【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =- 【详解2】因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ，所以原式=.121ee=-（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ρ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n ρ平行确定.【详解】令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3）设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132.【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21Λ]=[n ααα,,,21Λ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n αααΛ[],,,21n βββΛ.【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16,40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21Λ==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ]【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可.【详解】由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).【评注】本题综合考查了t 分布、2χ分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+=由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2）切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy e e V y 2102)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ【评注】 . 也可考虑用微元法分析. 四、（本题满分将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开ΛΛ+++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和. 【详解】因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n n n 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n 五、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly 【分析】本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy e x y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由于2sin sin ≥+-x xe e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx ye dy xe x x x Ly 方法二：（1）根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以 ⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ，故dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e eDDx x【评注】本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1(Λ=n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a k x k kxdx W x ===⎰， ).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =- 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+-，从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2）由归纳法，设a r r r x n n 121-++++=Λ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++-Λ 由于1121W r W r rW W nn n n ====-+Λ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+Λ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++Λ于是 a rx n n -=+∞→11lim 1，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】将dy dx 转化为dxdy比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xxe C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y xx --=-【评注】本题的核心是第一步方程变换.八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 0202220022022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2）因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tttrdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>-='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f b ababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】可先求出1*,,-P A ，进而确定P A P B *1-=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】方法一：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2--=---=+-λλλλλλE B E ，故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数. 当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数.方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因 E A A A =*，故有 .*ηληAA =于是有 )()(*)(1111ηληη----==P AP P A P P B ，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于 )7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为.7,1321===λλλ当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP .因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.【评注】设AP P B 1-=，若λ是A 的特征值，对应特征向量为η，则B 与A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η-P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb a A ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为36333}{C C C k X P k k -==， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3P201 209 209 201 因此.232013209220912010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P=∑∑====⋅=3030}{616}{k k k X kP k k X P =.41236161=⋅=EX 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第i i X i ⎩⎨⎧= 则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以.23321=++=EX EX EX EX 十二、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ，记).,,,min(ˆ21nX X X Λ=θ (4) 求总体X 的分布函数F(x);(5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤=Λθθ =}),,,{m in(121x X X X P n >-Λ=},,,{121x X x X x X P n >>>-Λ=nx F )](1[1-- =.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n (3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n 因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ =θθ≠+n21，所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。

2003年10月联考数学试题

34．已知 X ∼ N (15, 4),若X的值落入区间 (−∞, x1), (x1, x2 ), (x2 , x3), (x3, x4 ) , (x4 , +∞) 内
的概率之比为 7：24：38：24：7，则 x1, x2 , x3, x4 分别为
（A）12,13.5,16.5,18 （D）11,14,16,19
（1） A与B互不相容
（2） A与B互不相容
17． P(x1 ≤ X ≤ x2 ) ≥ 0.55
（1） P( X ≤ x2 ) ≥ 0.75 P( X ≥ x1) ≥ 0.8
（2） P( X ≤ x2 ) ≥ 0.65 P( X ≥ x1) ≥ 0.9
18．随机变量
X
的值落入区间
⎛ ⎜⎝
0,
1 λ
⎞⎟⎠的概率为1
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
⎛ 2 1 1⎞
（A）
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0
11⎟⎟⎠⎟
⎛ 4 −1 −1⎞
（B）
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0
−11⎟⎟⎠⎟
⎛1 ⎜
1 2
1⎞ 2⎟
（C）
⎜ ⎜
0
1 2
1⎟ 2⎟
⎜ ⎝
0
0
1⎟ 2⎠
⎛ −1 ⎜
1 2
1⎞ 2⎟
（D）
⎜ ⎜
0
−
1 2
−
1 2
⎟ ⎟
⎜ ⎝
0
0
−
1 2
⎟ ⎠
上的，则女生中不到 30 岁的人数是（A）30 人（B）31 人（C）32 人（D）33 人（E）34 人
20．某工厂人员由技术人员、行政人员和工人组成，共有男职工 420 人，是女职工的11 倍， 3

2003年高三数学月考试题

2003年高三数学月考试题本试卷满分150分，考试时刻120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果|cos2θ|=2345,51πθπ<<,则sin θ 等于（）A ．510-B ．510C ．515-D ．5152．等比数列{an}的前n 项的和为Sn ，已知a5=2S4+3, a6=2S5+3，则数列的公比q 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知球的两上平行截面的面积分不为5π和8π，它们位于球心的两则，且相距为3那么球面积为（）A ．65πB ．36πC ．16πD ．100π 4．已知f(x)=x2－2x+5, g(x)=f(2－x2)，那么g(x) （）A ．在区间(－1,0)上是增函数B ．在区间(0,1)上是增函数C ．在区间(－2,0)上是减函数D ．在区间(0,2)上是减函数5．如果α、β∈23),,2(πβαππ<+且，则（）A ．tan α<cot β,tan β<cot αB ．an α>cot β,tan β<co t αC ．tan α<cot β,tan β>cot αD ．tan α>cot β,tan β>c ot α6．设有三个命题（）甲：相交两直线l ，m 都在平面α内，同时都不在平面β内；乙：l, m 之一至少有一条与β相交丙：α与β相交A ．乙是丙的充分不必要条件B ．乙是丙的必要不充分条件C ．乙是丙的充分必要条件D ．乙是丙的既不充分又不必要条件7．如果椭圆的焦距是8，焦点到相应的准线的距离为9/4，则椭圆的离心率为（）A ． 54B ． 43C ．32D ．－ 438．二项式84x 1x 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中的有理项(既x 的幂指数是整数的项)共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若实数x,y 满足(x+5)2+(y+12)2=142，则x2+y2的最小值是（）A ．2B ．1C ．3D ．410．马路上有编号为1,2，…，9,10的10只灯，为节约用电，能够关掉其中3只，但两端1和10号灯不能熄，也不能关掉相邻的两只或三只，共有关灯方法（）A ．C35B ．C36C ．C37D ．C31011．正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 是BC 的中点，则A1C 与DE 所成的角的余弦为（）A ．1515 B ． 1510 C ． 630 D ． 101012．有3个命题（1）底面是正三角形，其余各个面差不多上等腰三角形的棱锥是三棱锥；（2）各个侧面差不多上等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；（3）底面是正三角形，相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

苏州十中高二数学期中试卷2003年10月[最新版]

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苏州十中2003—学年度第一学期期中考试高二数学试卷2003.10注意：选择题做在答题卡上；其他一律做在答题纸上。

一、选择题1、和直线3x －4y +5=0，关于x 轴对称的直线方程为 A 、3x +4y －5=0 B 、3x +4y +5=0 C 、－3x +4y －5=0 D 、－3x +4y －5=02、直线l 1：(a +2)x +(1－a )y =3，l 2：(a －1)x +(2a +3)y+2=0互相垂直，则a 为A 、－1B 、1C 、－1或1D 、－2或－233、如果直线将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是A 、[0，2]B 、[0，1]C 、[0，21]D 、[0，21）4、过点A （2，－3）且与直线x －2y +4=0的夹角为arctan 32的直线方程是A 、x +8y －22=0B 、x +8y +22=0C 、7x －4y －26=0 或x +8y －22=0D 、x +8y +22=0或7x －4y －26=0 5、若函数f(x)=822--x x 的定义域为M ，g(a)=||11a x --的定义域为P ，则使P ∩M=φ的实数a 的取值范围是A 、（－1，3）B 、[－1，3]C 、（－1，3]D 、[－1，3） 6、已知a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中不正确．．．的是 A 、|a+b |≥2ab B 、222b a +≥|2|b a + C 、|a+b |＞|a|－|b | D 、|a|+|b |＞|a+b |7、直线3x+y －23=0截圆x 2+y 2=4所得的劣弧所对的圆心角为A 、6πB 、4π C 、3π D 、2π8、已知P （x 0，y 0）是圆x 2+y 2=1上一点，过点P 且与圆相切的直线分别交x 轴、 y 轴于A 、B 两点，则△ABC 面积的最小值为A 、1B 、2C 、21D 、419、已知M （x 0，y 0）是圆x 2+y 2=r 2内异于圆心的一点，则直线x 0x + y 0y=r 2与圆 x 2+y 2=r 2的公共点数目是A 、0个B 、1个C 、2个D 、1个或2个10、取点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），使1，x 1，x 2，7依次成等差数列，1，y 1，y 2， 8依次成等比数列，若P 、Q 两点关于直线l 对称，则直线l 的方程为 A 、x －y －1=0 B 、x －y+1=0 C 、x+y －7=0 D 、2x －y －5=011、设满足y ≥|x －a |的点(x ，y )的集合为A ，满足y ≤－|x |+b 的点(x ，y )的集合为 B ，且b ＞a ＞0，则A ∩B 表示的图形一定是A 、正方形B 、菱形C 、矩形D 、梯形12、和y 轴相切,并且与半圆x 2+y 2=4（0≤x ≤2）相内切的动圆圆心的轨迹方程是 A 、y 2=4(x －1)（0＜x ≤1） B 、y 2=4(x +1)（0＜x ≤1） C 、y 2=－4(x －1)（0≤x ≤1） D 、y 2=－4(x －1)（0＜x ≤1）高二数学期中考试答题纸一、选择题（做在答题卡上）二、填空题13、经过点M （－2，－3）在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是____________。

2003年全国初中数学联合竞赛试题及解答

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为使方程有正整数根要求 4 y 50 4 y 2 y 4 2500 99 y 是完全平方数．
2
经试验得到 y 25 时是完全平方数，解出 x 20 或 30，即 2025 或者 3025 满足题意. 方法二：设这两个两位数分别为 x ， y ，则 x y 100 x y
2
由于 △ABC 是直角三角形，所以抛物线与 x 轴的交点必然在 y 轴两边，所以
c 再由射影定理得到 c 2 ，所以 ac 1 . a
c 0. a
9 3 2．设 m 是整数，且方程 3x2＋mx－2＝0 的两根都大于而小于，则 m＝_________. 5 7
【答】 4. 考虑二次函数 f ( x) 3x2 mx 2 与二次函数的两个交点，由于 3 大于 0，图像开口向上．
所以故：
S△ ADE AD AE 1 AE 3 1 ， S△ ABC AB AC 3 AC 4
AE 3 CE 1 ，所以 AC 4 EA 3
B
C
6．如图，在平行□ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD 相切．若 AB＝4， BE＝5，则 DE 的长为（ A．3. 【答】D. 连接 CE，由于 ABCE 四点共圆，所以：∠DEC＝∠CBA，在平行四边形 ABCD 中，∠D＝∠ABC，所以有∠DEC＝∠D＝∠ABC，同时，CD 平行于 AB，且 DC 与圆相切，可知：C 为弧 AB 中点，所以∠CEB＝∠CBA，且∠DCE＝∠CBE，故由∠DEC＝∠D 可知△DEC 为等腰三角形，CD＝CE＝AB＝4，由∠DEC＝∠CBE 和∠D＝∠ABC＝∠CEB 可知△CDE∽△BCE，所以：

2003年全国高中数学联赛试题及解答

已知==，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．
三、（本题50分）
由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)．
在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．
∴Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．
∴==．
三、（本题满分20分）
13．设≤x≤5，证明不等式
2++<2．
解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．≤x≤5．
由平均不等式≤≤．
∴2++=+++≤2．
2003年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试
(10月12日上午8:009:40)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是
(A)2046(B)2047(C) 2048 (D) 2049
2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是
MN=－1．EM=，故EN2=3－(－1)2=2．∴EN=．所求圆柱的高=2+．
12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．

2003年MBA联考数学真题及答案

2003年MBA联考数学真题及答案1. 某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲乙丙三个工厂按比例分别得到36万元、24万元和8万元。

（1）甲乙丙三个工厂按1/2：1/3：1/9的比例贷款（2）甲乙丙三个工厂按9：6：2的比例贷款2．一元二次方程x2+bx+c=0的两个根之差为4（1）b=4, c=0 (2) b2 –4c=163．不等式│x -2│+│4 -x│< s无解。

（1）s≤2 (2) s >24. (a+b)/(a2+b2)=-1/3(1) a2, 1, b2 成等差数列（2）1/a, 1, 1/b成等比数列5．（x/a- a/x）6的展开式的第六项是–486/x4(1)a=3 (2)a= -36. z=2x2+y2-xy+7y+a的最小值为– 6。

（1）a=8 (2) a= -87. 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有二阶导数，曲线在区间(a,b)内是凹的。

(1) 导函数y’=f’(x) 在(a,b)内单调增加(2) 存在x0∈(a,b), 使f ”(x0)>08.曲线y=e a-x在点x= x0的切线方程为x+y=2(1)a=2, x0=2 (2) a=1, x0=19. 函数y= f(x)的拐点( x0, y0 )的横坐标x0=-2(1)f(x)=x3+6x2+x+1 (2) f(x)=1/2 xex10. dyIx=1=2/e dx(1)y=xe-1/x (2)y=2x2e-x11. A,B均为n阶方阵。

(A+B)2=A2+2AB+B2.(1) │A│≠0 (2) AB-B-A=012.α1,α2,β1,β2,β3均为n维向量。

β1,β2,β3线性相关(1) α1,α2线性相关，且β1=α1+α2 β2=α1-α2 β3=3α1+α2（2）α1,α2线性无关，且β1=α1+α2 β2= α2 β3=2α1-α213．向量组α1=(1,3,6,2)T α2=(2,1,2,-1)T α3=(1,-1,a,-2)的秩r=3（1）a=-2 (2)a≠-214. 线性方程组 -x1 -4x2+x3=1tx2-3x3=3 有无穷多解x1+3x2+(t+1)x3=0(1) t= -3 (2)t=115. A,B,C为随机事件，A发生必导致B、C同时发生。

2003年考研数学(一)试题及答案解析

2003年考研数学（一）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee=-【详解2】因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ，所以原式=.121ee=-【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.（3）设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xy1DO211 x【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . 【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] yO x【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。

2003考研数学真题+答案

1 x 与 x 轴及直线 x e 所围成的三角形绕直线 x e 旋转所得的圆锥体积 e
1 e 2 ；曲线 y ln x 与 x 轴及直线 x e 所围成的图形绕直线 x e 旋转所得的旋 3
2003 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003 年数学试题参考解答及评分标准
即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下
1 r r 2 a
n 1
m.
„„ 6 分
(2) 用归纳法：设 xn 1 r ... r
a ,则
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003 年数学试题参考解答及评分标准
k k „„ 8 分 kxdx ( x2n1 x 2n ) [ x2n1 (1 r r n1 )a 2 ] xn 2 2 2 n1 由于 Wn1 rWn r 2Wn1 r nW ,故得 xn )a2 r n a2 ， 1 (1 r r Wn1
sin x
dx
„„ 6 分 „„ 8 分
(2) 由于 esin x e sin x 2,
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2003 年数学试题参考解答及评分标准
故由(1)得 xe
L

sin y
dy ye sin x dx (e sin x e sin x )dx 2 2
0

„„ 10 分
证法 2
(1) 根据格林公式，得 xe
L
sin x

sin y
dy ye sin x dx (e sin y e sin x )d „„ 2 分

2003湖北省八校高三联考数学试题(理)

湖北省八校高三联考数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知]2,0[π∈x ，如果 x y cos =是增函数，且x y sin =是减函数，那么（）A ．20π<<x B ．ππ<<x 2C ．23ππ<<xD ．ππ223<<x2．已知映射B A f →:，其中A=B=R ，对应法则x x y f 2:2+-=，对于实数B k ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（）A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1 3．若函数)15(cos ,2cos )(sinf x x f 则=的值为（）A ．21 B ．21-C ．23 D ．—23 4．在复平面上，到复数i 331+-对应点F 的距离与到直线0233:=++z z l 的距离相等的点的轨迹是（） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．直线 5．已知平面则且若直线,,,,,,,,n m n m n m ⊥⊂⊂⊥βαβαβα（）A ．β⊥mB ．α⊥nC ．αβ⊥⊥n m 且D ．αβ⊥⊥n m 或 6．点P （x,y ）在经过A （3，0）、B （1，1）两点的直线上，那么2x +4y 的最小值是（） A ．22 B ．24 C ．16 D ．不存在 7正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径A ．t v 2log =B ．t v 21log =C ．212-=t v D ．22-=t v8．已知x bx x f 为1)(+=的一次函数，b 为不等于1的常量，且⎩⎨⎧≥-==)1()]1([)0(1)(n n g f n n g 设}{),)(1()(n n a N n n g n g a 则数列∈--=为（）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列9．若不等式}21|{312≤≤≤-x x ax x 的解集为，则实数a 的取值集合为（）A ．{21} B ．{1}C ．}1|{>a aD ．{21|≥a a } 10．如图所示中的多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面A 1BC 1D 1而截得的，且AA 1=CC 1.已知截面A 1BC 1D 1与底面ABCD 成45°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（）A ．22B ．33C ．42 D ．211．椭)0(12222>>=+b a by a x 的内接矩形面积的最大值为23a ，则椭圆的离心率为（）A ．31 B ．21 C ．33 D ．22 12．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户。

2003年全国高中数学联赛一试及解答

2003年全国高中数学联合竞赛试卷一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是A ．2046B ．2047C ．2048D ．2049 答（）2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B 答（）3．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．316 B ．38 C ．3316 D ．38答（）4．若)3,125(ππ--∈x ，则)6cos()6tan()32tan(πππ+++-+=x x x y 的最大值是 A ．5212 B ．6211 C ．6311 D ．5312答（）5.已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy ＝－1，则函数229944y x u -+-=的最小值是 A ．58B ．1124C 712．D ．512 答（）6.在四面体ABCD 中，设AB ＝1，CD ＝3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．21 C ．31 D ．33 答（）二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 | x | 3－2x 2－4| x | ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．9．已知A ＝{x ｜x 2－4x ＋3＜0，x ∈R }，B ＝{x ｜21－x ＋a ≤0，x 2－2(a ＋7)＋5≤0，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是___________________．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且45log 23log ==d b c a ，，若a －c ＝9，则b －d ＝．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n 位纯小数n a a a Λ21.0｜a i 只取0或1（i ＝1，2，…，n －1，a n ＝1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则nnn T S ∞→lim ＝_______．三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设23≤x ≤5，证明不等式1923153212<-+-++x x x ． 14．设A ，B ，C 分别是复数Z 0＝ai ，Z 1＝21＋bi ，Z 2＝1＋ci （其中a ，b ，c 都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z ＝Z 0cos 4t ＋2Z 1cos 2t sin 2t ＋Z 2sin 4t （t ∈R ）与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2003年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

2003年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2003年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2003*1、删去正整数数列 ,3,2,1中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是A.2046B. 2047C. 2048D. 2049◆答案：C★解析：2025452=，2116462=．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的1980452025=-项．还缺2319802003=-项．由2048232025=+．2003*2、设R b a ∈,，0≠ab ，那么直线0=+-b y ax 和曲线ab ay bx =+22的图形是A. B. C. D.◆答案：B★解析：曲线方程为122=+by a x ，直线方程为b ax y +=,由直线图形，可知A 、C 中的0<a ，A 图的0>b ，C 图的0<b ，与A 、C 中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B 、D 中的0,0<>b a ，则曲线为焦点在x 轴上的双曲线，故选B ．2003*3、过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为060的直线．若此直线与抛物线交于B A ,两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A. 316B. 38C. 3316D. 38◆答案：A★解析：抛物线的焦点为原点，弦AB 所在直线方程为x y 3=，弦的中点在34==k p y 上，即AB 中点为⎪⎭⎫⎝⎛34,34，中垂线方程为343433+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x y ，令0=y ，得316=px ,所以316=PF2003*4、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈3,125ππx ，则)6cos()6tan()32tan(πππ+++-+=x x x y 的最大值是A.5212 B. 6211 C. 6311 D. 5312 ◆答案：C★解析：令θπ=+6x ，则232πθπ+=+x ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈3,125ππx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈6,4ππθ，原函数即变为θθcos 2sin 2+-=y ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈6,4ππθ上，θθcos ,2sin 都单调递增，从而y 单调递增．于是6πθ-=时，y 取得最大值6311，故选C ．2003*5、已知y x ,都在区间)2,2(-内，且1-=xy ，则函数229944yx u -+-=的最小值是 A. 58 B. 1124 C. 712 D. 512◆答案：D★解析：由)2,2(,-∈y x ，1-=xy 知，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈2,2121,2 x ，将xy 1-=代入函数解析式整理得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=224937351x x u ．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈2,2121,2 x ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,412x ，知当2249x x = 即322=x 时，u 取得最小值为512，故选D ．2003*6、在四面体ABCD 中，设1=AB ，3=CD ，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于A. 23B. 21C. 31D. 33◆答案：B★解析：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积为323sin31=⨯⨯π，而四面体BCD A -的体积为21361=⨯．故选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。

全国2003年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题

全国2003年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题全国2003年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共40小题，每小题1分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列集合中为空集的是（） A.{x|e x=1}B.{0}C.{(x, y)|x 2+y 2=0}D.{x| x 2+1=0,x ∈R}2.函数f(x)=2x 与g(x)=x 表示同一函数，则它们的定义域是（）A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.()+∞∞-,D.()+∞,03.函数f(x)==π-?≥<)4(f ,1|x |,01|x ||,x sin |则（）A.0B.1C.22D.-22 4.设函数f(x)在[-a, a](a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.可能是奇函数，也可能是偶函数5.=+→)2x (x x2sin lim 0x （）A.1B.0C.∞D.26.设2x10x e )mx 1(lim =-→，则m=（）A.21 B.2 C.-2D.21-7.设f(x)=?=≠2x ,12x ,x 2,则=→)x (f lim 2x （）A.2B.∞C.1D.48.设x1e y -=是无穷大量，则x 的变化过程是（）A. x →0+B. x →0-C. x →+∞D. x →-∞9.函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（） A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10.定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（）A.存在B.不存在C.存在但不唯一D.在一定条件下存在11.下列函数中在x=0处不连续的是（）A. f(x)=??=≠0x ,10x ,|x |xsinB. f(x)==≠0x ,00x ,x1sin x C. f(x)=?=≠0x ,10x ,e xD. f(x)=??=≠0x ,00x ,x1cos x 12.设f(x)=e 2+x,则当△x →0时，f(x+△x)-f(x)→（）A.△xB.e 2+△x C.e2D.013.设函数f(x)=<-≥0x ,1x 0x ,e 2x，则=---→0x )0(f )x (f lim 0x （） A.-1 B.-∞C.+∞D.114.设总收益函数R(Q)=40Q-Q 2，则当Q=15时的边际收益是（） A.0 B.10 C.25D.37515.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇(0)=（） A.0 B.1 C.3D.3！16.设y=sin 33x，则y ＇=（）A.3xsin32B.3xsin2C.3x cos 3x sin 32D.3x cos 3x sin 2 17.设y=lnx,则y (n)=（） A.(-1)nn!x -nB.(-1)n (n-1)!x -2nC.(-1)n-1(n-1)!x -nD.(-1)n-1n!x-n+118.=)x (d )x (sin d 2（） A.cosx B.-sinx C.2xcosD.x2xcos 19.f ＇(x)<0,x ∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件20.函数y=|x-1|+2的极小值点是（） A.0 B.1 C.2D.321.函数y=2ln 3x3x -+的水平渐近线方程为（） A. y=2 B. y=1 C. y=-322.设f(x)在[a, b](a<="" p="" ）="">B. f(b)C.)2ba (f +D.)3a2b (f + 23.=-?2)3y 2(dy（）A.C )3y 2(613+--B.C )3y 2(613+-C.C 3y 21+-D.C )3y 2(21+--24.设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（）A.?+='C )x (f dx )x (f x 22'C )x (f 21dx )x (f x 22C.?=')x (f 21)dx )x (xf (22D.?=)x (f dx )x (xf 2225.?=)tgx (xd sin ln （） A. tgxlnsinx-x+CB. tgxlnsinx+x+CC. tgxlnsinx-?x cos dxD. tgxlnsinx+x cos dx26.=+?--21dx 3x x（） A.-1-3ln2 B.-1+3ln2 C.1-3ln2D.1+3ln227.=π210dx )x 2(tg （） A.2ln 212ln 21C.2ln 1πD.2ln 1π-28.经过变换x t =，=-94dx 1x x ( )A. ?-94dt 1t tB. ?-942dt 1t t 2 C. ?-32dt 1 t tD.-322dt 1t t 2 29.∞x dx e x1 ( )A.e2 B.- e2 C.2eD.-2e30.=-211x dx ( )A.2B.1C.∞D.32 31.级数∑∞=-1n nn25)1(的和等于 ( )A.35 B.－35C.532.下列级数中，条件收敛的是( ) A. ∑∞=--1n n 1n )32()1( B.∑∞=-+-1n 21n 2n n )1(C.∑∞=--1n 31n n1)1( D.∑∞=--1n 31n n51)1(33.幂级数∑∞=---1n n1n n)1x ()1( 的收敛区间是（） A.(]2,0 B.(]1,1- C.[]0,2-D.()+∞-∞,34.点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 ( ) A.z y x 22=+ B.z y x 22=- C.1y x 22=+D.z xy =35.设 f(u,v)=(u+v)2，则 )yx,xy (f =( )A.22)x1x (y +B.22)y1y (x + C.2)y1y (x +D.2)x1x (y +36.设 )x2yx ln()y ,x (f +=，则=')0,1(f y ( ) A.21 B.1 C.2D.037.设22y xy 3x 2z -+=，则=yx z2( ) A.6 B.3 C.－2D.238.下列函数中为微分方程0y y =+'的解的是( ) A.x eB.-x eC.x e -D.x e +x e -39.下列微分方程中可分离变量的是( )A.2x x ydx dy += B.y xydx dy += C.)0k (1)b y )(a x (k dxdy≠+++=， D.x y sin dxdy=- 40.设D ：0≤x ≤1，0≤y ≤2，则+Ddxdy x1y=( ) A.ln2 B.2+ln2 C.2D.2ln2二、计算题（一）（本大题共3小题，每小题4分，共12分）41.求极限xsin 2e e lim2x x 0x -+-→.42.设)y 21x (cos 2u 2-=，求xu，y u ??.43.求微分方程x ytgx y =-'的通解.三、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）44.设)ctgx x ln(csc y -=，求y '. 45.求定积分dx x cos x cos 203?π-.46.将函数（1+x ）ln(1+x)展开成x 的幂级数，并指出其收敛域.47.设f(x,y)是连续函数.改变?xx 2102dy )y ,x (f dx的积分次序.四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）48.求由圆面 22)b y (x -+≤)b a 0(a 2<< 绕x 轴旋转一周所形成的物体的体积.49.设某商品每周生产x 单位时，总成本为C （x ）=100+2x ，该产品的需求函数为x=800-100p (p 为该商品单价)，求能使利润最大的p 值.五、证明题（本题共4分）50.证明方程01x 3x 3=+-在区间（0，1）内有唯一实根.。

2003年10月管理综合联考数学试题

20200303年10月数学试题一、问题求解.1.某培训班有学员96人，其中男生占全班人数的，女生中有15%是30岁和30岁以上的，则女生中不到30岁的人数是（）.（A ）30人（B ）31人（C ）32人（D ）33人（E ）34人2.某工厂人员由技术人员、行政人员和工人组成，共有男职工420人，是女职工的113倍，其中行政人员占全体职工的20％，技术人员比工人少125，那么该工厂有工人（）.（A ）200人（B ）250人（C ）300人（D ）350人（E ）400人3.已知53352525x x x x −−=++，则实数x 的取值范围是（）.（A ）52x <−或35x ≥（B ）5325x −≤≤（C ）5325x −<≤（D ）3552x −≤≤（E ）以上结论均不正确4.数列{}n a 前项的和为242n S n n =+−，则它的通项公式n a 是（）.（A ）83n −（B ）41n +（C ）82n −（D ）85n −（E ）1,183,2n n a n n =⎧=⎨−≥⎩5.已知某厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），若产品以每件500元售出，则使利润最大的产量是（）.（A ）2000件（B ）3000件（C ）4000件（D ）5000件（E ）6000件6.甲、乙、丙依次轮流投掷一枚均匀的硬币，若先投出正面者为胜，则甲、乙、丙获胜的概率分别为（）.（A ）111,,333（B ）421,,888（C ）431,,888（D ）421,,777（E ）以上结论均不正确二、条件充分性判断.7.某城区2001年绿地面积较上年增加了20％，人口却负增长，结果人均绿地面积比上年增长了21％.（1）2001年人口较上年下降了8.26‰.（2）2001年人口较上年下降了10‰.8.不等式.2(3)2(3)10k x k x k +−++−<对x 的任意数值都成立.（1）0k =.（2）3k =−.9.2x y x y+=−.（1）3x y =.（2）13x y =.10.数列{}n a 的前k 项和12k a a a +++⋯与随后k 项和122k k k a a a +++++⋯之比与k 无关.（1）21(1,2,)n a n n =−=⋯.（2）2(1,2,)n a n n ==⋯.【参考答案】1-5ECCEE 6-10DABEA。