1.与一次函数有关的动态几何问题(2012)

1. (2012 广东省梅州市) 如图，矩形OABC 中，(6,0)A、C、D ，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴正半轴上动点，满足60PQO =∠.（1）①点B 的坐标是 ；②CAO ∠= 度；③当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标为 ；（直接写出答案）（2）设OA 的中心为N ，PQ 与线段AC 相交于点M ，是否存在点P ，使A M N △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的横坐标为m ，若不存在，请说明理由.（3）设点P 的横坐标为x ，OPQ △与矩形OABC 的重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围.答案：1）(6,(2)情况①：MN AN =，此时0m =.Q情况②，如图.AM AN =作MJx ⊥轴、PI x ⊥轴；sin 60sin 60()sin 60MJ MQ AQ OA IQ OI ===--113)222m AM AN -===，3)2m -=，得3m =情况③AMNM =，此时M 的横坐标是4.5，2m =（3）当0x ≤≤3时，如图，,tan 603,3OI x IQ PI OQ OI IQ x ====+=+；由题意可知直线l BC OA ∥∥，可得13EF PE DC OQ PO DO ====，1(3)3EF x =+，此时重叠部分是梯形，其面积为：1())2S EF OQ OC x =+=+梯形.当3x <≤5时，21)3)232HAQ S S S S AH AQ x x =-=-=+-- △梯形梯形.当5x <≤9时，12())23SBE OA OC x =+=-.当9x <时，12S OA AH x==2. (2012 福建省福州市) 如图①，在Rt ABC △中，90C ∠=°，AC ＝6，BC ＝8，动点P从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD BC ∥，交AB 于点D ，连接PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒(t ≥0)． (1) 直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝______，PD ＝______．(2) 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度； (3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．答案：解：（1）4823 QB t PD t=-，=；（2）不存在．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10．∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴AD APAB AC=，即：106AD t=，∴AD＝53 t，∴BD＝AB－AD＝10－53 t．∵BQ∥DP，∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8－2t＝43t，解得：t＝125．当t＝125时，PD＝43×125＝165，BD＝10－53×125＝6，∴DP BD≠，∴PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ＝8－vt，PD＝43t，BD＝10－53t．要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，当PD＝BD时，即43t＝10－53t，解得：t＝103．当PD＝BQ时，t＝103时，即43×103＝8－103v，解得：v＝1615．∴当点Q的速度为每秒1615个单位长度时，经过103秒，四边形PDBQ是菱形．(3) 解法一：如图，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t＝0时，点1M的坐标为(3，0)；当t＝4时，点2M的坐标为(1，4)．设直线12M M 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴304k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得：26k b =-⎧⎨=⎩，．∴ 直线12M M 的解析式为y ＝－2x ＋6． ∵ 点(02)Q t ，， (60)P t -，，∴ 在运动过程中，线段PQ 中点3M 的坐标为62t t -⎛⎫⎪⎝⎭，． 把x ＝62t -，代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×62t-＋6＝t ． ∴ 点3M 在直线12M M 上．过点2M 作2M N x ⊥轴于点N ，则2M N ＝4，1M N ＝2． ∴ 12M M＝∴ 线段PQ 中点M所经过的路径长为解法二：如图，设E 是AC 的中点，连接ME ． 当t ＝4时，点Q 与点B 重合，运动停止． 设此时PQ 的中点为F ，连接EF ． 过点M 作MNAC ⊥，垂足为N ，则MN BC ∥．∴ PMN PQC △∽△．∴MN QC ＝PN PC ＝PM PQ ，即：2MN t＝6PN t -＝12．∴ MN ＝t ，PN ＝3－12t ， ∴ CN ＝PC －PN ＝(6－t )－132t ⎛⎫-⎪⎝⎭＝3－12t ． ∴ EN ＝CE －CN ＝3－132t ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12t ． ∴ tan MEN ∠＝MNEN＝2． ∵ tan MEN ∠的值不变，∴ 点M 在直线EF 上． 过F 作FH ⊥AC ，垂足为H ．则EH ＝2，FH ＝4．∴ EF ＝∵ 当t ＝0时，点M 与点E 重合；当t ＝4时，点M 与点F 重合，∴ 线段PQ 中点M 所经过的路径长为3. (2012 江苏省无锡市) 如图1，A D 、分别在x 轴和y 轴上，CD x ∥轴，BC y ∥轴．点P从D 点出发，以1cm/s 的速度，沿五边形OABCD 的边匀速运动一周．记顺次连接P O D 、、三点所围成图形的面积为S cm 2，点P 运动的时间为t s ．已知S 与t 之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI 所示．(1) 求A B 、两点的坐标；(2) 若直线PD 将五边形OABCD 分成面积相等的两部分，求直线PD 的函数关系式．答案：解：(1) 连AD ，设点A 的坐标为(0)a ，．由图2知，6cm DO OA +=，6DO AO =-．由图2知4AOD S =△，∴142DO AO ∙=，∴2680a a -+=， 解得2a =，或4a =．由图2知，3DO >，∴3AO <，∴2a =，A ∴的坐标为(20)，，D 点坐标为(04)，，在图1中，延长CB 交x 轴于M ， 由图2知，5AB =，1CB =，∴3MB =．∴4AM ==，∴6OM =，B ∴点坐标为(63)，．（2）显然点P 一定在AB 上，设点()P x y ，，连PC 、PO ， 则12DPC PBC DPBC OABCD S S S S =+=△△四边形五边形 ＝1()92ABM OMCD S S -=△矩形， ∴116(4)1(6)922y x ⨯⨯-+⨯⨯-=，即612x y +=． 同理，由9DPAO S =四边形，可得29x y +=．（图1）（图2）方法2：由(20)A ，，(63)B ，求得直线AB 的函数关系式为3342y x =-．相应给分 由61229x y x y +=⎧⎨+=⎩，．或6123342x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，．或293342x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，．解得4211x =，1511y =．42151111P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，．设直线PD 的函数关系式为4y kx =+，则154241111k =+，2942k ∴=-， ∴直线PD 的函数关系式为29442y x =-+．4. (2012 江苏省无锡市) 对于平面直角坐标系中的任意两点111()P x y ，、222()Px y ，，我们把1212x x y y -+-叫做1P 、2P 两点间的直角距离，记作12()d P P ，．(1)已知O 为坐标原点，动点()P x y ，满足()1d O P =，，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；(2)设000()P x y ，是一定点，()Q x y ，是直线y ax b =+上的动点，我们把0()d P Q ，的最小值叫做0P 到直线y ax b =+的直角距离．试求点(21)M ，到直线2y x =+的直角距离．答案：解：（1）由题意，得1x y +=，所有符合条件的点P 组成的图形如图所示．（2）∵ ()21221d M Q x y x x =-+-=-++-，21x x =-++．∵x 可取一切实数，21x x -++表示数轴上实数x 所对应的点到数2和1-所对应的点的距离之和，其最小值为3．∴ 点(21)M ，到直线2y x =+的直角距离为3．5. (2012 北京市) 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()Px y ，的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y -≥-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12x x -； 若1212x x y y <--，则点1P 与点2P的“非常距离”为12y y -． 例如：点1(12)P ，，点2(35)P ，，因为1325-<-，所以点1P 与点2P的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）．（1）已知点1(0)2A B -，，为y 轴上的一个动点， 若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； 直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线334y x =+上的一个动点， ①如图2，点D 的坐标是(01)，，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．答案：（1）①(02)B ，或(02)-，；②12． （2）①点C 与点D 的“非常距离”的最小值为322457252425C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，； ②点C 与点E 的“非常距离”的最小值为2836483425252555C E ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，．6. (2012 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线24y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，四边形ABCO 是平行四边形，直线y x m =-+经过点C ，交x 轴于点D ．（1）求m 的值；（2）点()0P t ，是线段OB 上的一个动点（点P 不与O B ，两点重合），过点P 作x 轴的平行线，分别交AB OC DC ，，于点E F G ，，．设线段EG 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）（3）在（2）的条件下，点H 是线段OB 上一点，连接BG 交OC 于点M ，当以OG 为直径的圆经过点M 时，恰好使BFH ABO ∠=∠，求此时t 的值及点H 的坐标．备用图答案：（1）方法一：解：如图24y x =+ 交x 轴和y 轴于A B ，()()2004A B ∴-，，，24OA OB ∴=-=，．四边形ABCO 是平行四边形2BC OA ∴==，过点C 作CK x ⊥轴于K则四边形BOKC 是矩形24OK BC CK OB ∴====，()24C ∴，代入y x m =-+得42m =-+6m ∴=方法二：解：如图24y x =+ 交x 轴和y 轴于A B ，()()2004A B ∴-，，，24OA OB ∴==，延长DC 交y 轴于点Ny x m =-+ 交x 轴和y 轴于D N ，()()00D m N m OD ON ∴∴=，，，，45ODN OND ∴∠=∠=∠°四边形ABCO 是平行四边形2BC AO BC OA ∴==∥，45NCB ODN OND ∴∠=∠=∠=°2NB BC ∴==2466ON NB OB m ∴=+=+=∴=（2）方法一：解：如图273-，延长DC 交y 轴于N ，分别过点E G ，作x 轴的垂线，垂足分别是R Q ，则四边形ERQG 、四边形POQG 、四边形EHOP 是矩形1ER PO GQ ∴===tan ER OB BAO AR OA∠== 42t AR ∴=． 12AR t ∴=； 6y x =-+ 交x 轴和y 轴于D N ，645OD ON ODN ∴==∴∠=，°，tan CQ ODN QD∠=． 1DQ ∴= 又268AD AO OD =+=+=138822EG RQ t t t ∴==--=- 382d t ∴=-+ ()04t <<方法二：解：如图274-(0)EG AD P t ∥，，，∴设()()12E x t G x t ，，，把1()E x t ，代入24y x =+得124t x =+1122x ∴=- 把()2G x t ，代入6y x =-+得26t x =-+26x t ∴=-211(6)22d EC x x t ⎛⎫∴==-=--- ⎪⎝⎭ 382d t ∴=-+ （04t <<）（3）方法一：解：如图四边形ABCO 是平行四边形，AB OC ABO BOC ∴∴∠=∠∥，14tan tan 2EP BP t ABO BOC BP =-∴∠==∠= ，1262EP PG d EP t ∴=-∴=-=-， 以OG 为直径的圆经过点M90OMG ∴∠=°90OPG MFC PFO ∠=∠=∠ °，BGP BOC ∴∠=∠1tan tan 2BP BGP BOC PG ∴∠==∠= 4162t t -∴=-解得2t = BFH ABO BOC OBF FBH ∠=∠=∠∠=∠ ，BHF BFO ∴△∽△BH BF BF BO∴= 即2BF BH BO =∙，212OP PF BP =∴== ，，BF ∴==54BH ∴=⨯55114444BH HO ∴=∴=-=， 1104H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 方法二：解：如图四边形ABCO 是平行四边形，AB OC ABO BOC ∴∠=∠∥，14tan tan 2EP BP t ABO BOC BP =-∴∠==∠= ，，122EP ∴=- 6PG d EP t ∴=-=- 以OC 为直径的圆经过点M90OMG ∴∠=°90OPG MFG PFO ∠=∠=∠ °，BGP BOC ∴∠=∠1tan tan 2BP BGP BOC PG ∴∠==∠= 4162t t -∴=-，解得2t = 24-2OP BP t ∴===，1PF OF BF ∴=∴===OBF BOC BFH ABO ∴∠=∠=∠=∠BH HF ∴=过点H 作HT BF ⊥于点T12BT BF ∴==522cos 4BT BH OBF ∴===∠ 511444OG ∴=-=，1104H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，． 方法三：解：如图24OA OB == ，∴由勾股定理得AB =()04P t BP t ∴=- ，，4cos BP t OB ABO BE BE AB -∠====)BE t ∴=- 以OC 为直径的圆经过点M ，90OMC ∴∠=°．四边形ABCO 是平行四边形，AB OC ∴∥．90ABC OMG BPG ∴∠=∠==∠°．90ABO BEG ∴∠+∠=° 90BGE BEG ∠+∠=°sin sin ABO BGE ABO BGE ∴∠=∠∴∠=∠，．OA BE BE AB EG d∴==即)42382t t -=- 2t ∴=BFH ABO BOC ∠=∠=∠ ，OBF FBH BHF BFO ∠=∠∴，△∽△．BH BF BF BO∴=，即2BF BH BO =∙． 212OP PF BP =∴== ，，．BF ∴==5544BH BH ∴=⨯∴=，． 511444HQ ∴=-=． 1104H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，7. (2012 黑龙江省龙东地区) 如图所示，四边形ABCD 是边长为4cm 的正方形，动点P 在正方形ABCD 的边上沿着A B C D →→→的路径以1cm/s 的速度运动，在这个运动过程中APD △的面积()2cm s 随时间()s t 的变化关系用图象表示，正确的是（ ）．答案：D8. (2012 辽宁省沈阳市) 已知，如图，在平南直角坐标系内，点A 的坐标为(024)，，经过原点的直线1l 与经过点A 的直线2l 相交于点B ，点B 坐标为(186)，．（1）求直线1l ，2l 的表达式；（2）点C 为线段OB 上一动点（点C 不与点O B ，重合），作CD y ∥轴交直线2l 于点D ，过点C ，D 分别向y 轴作垂线，垂足分别为F E ，，得到矩形CDEF ． ①设点C 的纵坐标为a ，求点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；②若矩形CDEF 的面积为60，请直接．．写出此时点C 的坐标．答案：解：（1）设直线1l 的表达式为1y k x =，它过(186)B ，，得1186k =，113k = 13y x ∴= 设直线2l 的表达式为2y k x b =+，它过(024)A ，，(186)B ，得224186b k b =⎧⎨+=⎩ 解得2124k b =-⎧⎨=⎩ 24y x =-+（2）① 点C 在直线1l 上，且点C 的纵坐标为a ，13a x ∴= 3x a = ∴点C 的坐标为(3)a a ，，CD y ∥轴∴点D 的横坐标为3a点D 在直线2l 上， 324y a ∴=-+(3324)D a a ∴-+，②(31)C ，或(155)C ，9. (2012 广西来宾市) 已知点A （6，0）及在第一象限的动点P （x ，y ），且2x ＋y ＝8，设△OAP 的面积为S ．（1）试用x 表示y ，并写出x 的取值范围；（2）求S 关于x 的函数解析式；（3）△OAP 的面积是否能够达到30？为什么？答案：解：（1）y ＝8－2x （0＜x ＜4）（2）因为点P 在第一象限，所以y OA S ⋅⋅=21()x 28621-⋅⨯= =24－6x（3）假设△OAP 的面积能够达到30，即24－6x ＝30解得x ＝－1＜0这与点P 在第一象限矛盾（或这与x 取值范围矛盾）所以，△OAP 的面积不能达到30．。