全国优质课- 余弦定理

余弦定理教学设计

一、教学内容解析

1．本章主要是通过任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边长和角度之间的数量关系，即正弦定理和余弦定理，运用它们解决一些测量和与几何量有关的问题，本章教学的重点是运用两个定理解斜三角形．

2．本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时．余弦定理是揭示任意三角形边角之间关系的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机地结合起来，为解决与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据．3．教科书中首先通过探究的方式，指出了“已知三角形的两边和它们的夹角，根据三角形全等的判定定理，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”，这样就可以从量化的角度看待此问题，直截了当提出问题：“已知三角形的两边和它们的夹角，如何计算出三角形的另一边和另两个角呢？”教科书上主要用向量的方法推导出余弦定理，同时提出坐标法等方法也可以证明余弦定理．为了体现由三边确定三角形，通过公式的变形指出了可以通过三角形的三边计算出三角形的三个内角，体现了量化思想．最后通过两个例题使学生掌握余弦定理及其推论的应用，同时让学生学会求三角形内角时如何选择正弦定理和余弦定理．

二、教学目标设置

1．通过对三角形边角关系的探索，理解余弦定理的证明方法，抽象出余弦定理的三个等式，进而掌握余弦定理；能从余弦定理中抽象出勾股定理，从而辨析勾股定理与余弦定理的内在联系．

通过作辅助线，构造出直角三角形，把一般三角形的边角关系转化至直角三角形中，利用勾股定理求解边长．将陌生问题转化为熟悉问题，即数学中的转化思想．由于向量的模及夹角对应线段的长度和夹角，所以把三角形的三边赋予向量的意义，进而把余弦定理的证明问题转化为向量问题，让学生感悟到数学不同章节知识的联系，进一步认识到向量的工具性．

通过建立坐标系，把平面几何问题中的长度问题转化为两点间的距离来解决，进一步感悟坐标法的作用．

对比余弦定理和勾股定理，让学生认识到勾股定理仅适用于直角三角形，而余弦定理适用于任意三角形，勾股定理为余弦定理的特殊情况，余弦定理为勾股定理的推广，即特殊与一般的辩证关系．

2．能够利用余弦定理及其推论解三角形．通过对余弦定理三个式子结构的分析，加强学生对三个公式的理解与记忆．三个等式中，每一个等式中含有四个量，已知其中的三个量求剩下的一个量，体现出方程思想．进而提出已知两边及其夹角求第三边和已知三边求某一内角两个基本题型，也是余弦定理的两个基本应用．通过让学生思考解决例题，培养学生的数学运算能力．通过对例题的多种方法的讲解，让学生学会求三角形内角时对正弦定理和余弦定理的选择，培养学生的逻辑推理能力．

3．让学生领悟向量法、坐标法、量化思想、转化与化归思想、方程思想等数学思想方法，以及特殊与一般的辩证关系，把数学思想方法渗透在课堂教学中，注重培养学生的数学核心素养．

三、学情分析

在学习本节课之前，学生已经在初中阶段学习过全等三角形，勾股定理，进入高中阶段又学习了三角函数，平面向量，解析几何初步等有关知识，在本册教科书中刚学习了正弦定理，已初步掌握了正弦定理的证明，并能够运用正弦定理解决一些解三角形问题．有了以上这些知识与方法的铺垫，在此基础上，教师提出“已知三角形两边及它们的夹角，如何求第三边”这一数学问题，对于学生而言，一方面，运用前面所学的正弦定理较难解决这一问题；另一方面，本节课的授课对象是洛阳市第一高级中学（省级示范性高中）高二年级实验班A段学生，他们基础知识扎实，思路开阔，思维敏捷，面对求边长这一问题，能够很快联想到可以结合勾股定理、平面向量、坐标化等已有知识与方法，多角度展开思考，小组合作探究，寻找解决方法．利用几何法证明过程中，部分同学会受到学案中已给图形的限制，而忽略对A为钝角、直角时两种情形的分析，欠缺定理证明的严谨性．此时需要老师适时引导，师生互动，完善过程．

在定理初步应用环节中，对学生来讲，套用公式进行求解，涉及到由正弦值求角进行分情况讨论都能顺利完成，但是在合理选用定理公式上带有一定盲目性，如何保证计算简便、避免讨论等方面的能力还有所欠缺，需要老师就例题的几种解法进行详细的对比、辨析，以促进学生能力达成．

四、教学策略分析

1．个人独立思考与小组合作探究相结合．培养团队意识，体验知识生成．

2．学生展示成果，获取成功喜悦．

不同的同学会用到不同的方法，鼓励学生展示自己小组的成果，增强学习的自信，同时学会分享．通过展台展示学生的解题过程，便于及时发现学生的错误，及时纠正，规范解答步骤和过程，提高教学效率．很好地突出了余弦定理证明这一重点．

3．学生演板．

既可凸显学生个人解法的单一性，又可展现学生解法的多样性．通过教师对解题过程的讲解及对多种解法的对比，引导学生得出解题感悟，从而突破“如何合理选用正弦定理与余弦定理求三角形内角”这一难点．

4．适时点拨，问题引导．

学生展示成果时，师生互动，及时鼓励，问题引导，完善漏洞．

5．使用PPT 辅助教学，提高课堂效率．

PPT 内容清晰、形象，容易理解，提高学习效率．同时也很好地激发了学生的学习兴趣，有助于集中学生的注意力．呈现出的信息容量大，使课堂变得更加紧凑充实．

五、教学过程设计

复习正弦定理

设计意图：通过复习正弦定理的形式及其作用，使学生认识到正弦定理为解三角形的一种工具，能定量研究三角形的边角关系．

师生活动：

老师：上一节课，我们学习了正弦定理，正弦定理揭示了三角形中边角之间的内在联系，首先我们对上节课所学习的内容进行复习回顾．正弦定理的内容是什么？利用正弦定理能解决解三角形的哪些类型？

提问学生，学生回答．

1．正弦定理：C

c B b A a sin sin sin ==． 2．运用正弦定理解决的两类解三角形问题：

（1）已知三角形任意两角和一边解三角形；

（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形．

问题1：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．怎样在这样的已知三角形的两边及其夹角的条件下求出另外一边，进而解出三角形呢？