泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文
泰勒公式及其应用 毕业论文
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足 上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)p a dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）. 例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x=+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2． 讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解： 因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
泰勒公式及其应用
本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用****：***学号： **********专业：信息与计算科学班级：计科1301****：***完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。
本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。
对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。
泰勒公式的证明及应用
摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。
它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。
关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。
泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。
泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。
它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
泰勒公式及其应用
本科生毕业论文设计泰勒公式及其应用目录中文摘要、关键词...........................................................................1引言 (2)1 泰勒公式的引入 (3)1.1 一元泰勒公式的引入 (3)1.2 二元及多元泰勒公式的引入 (4)1.3 泰勒公式的几种形式 (7)1.3.1带Peano余项的泰勒公式 (7)1.3.2 带Lagrange余项的泰勒公式 (7)1.3.3 带积分余项的泰勒公式 (9)1.3.4 带柯西余项的泰勒公式 (9)1.3.5 几种常见的带有佩亚诺余项的Maclaurin公式 (11)2 泰勒公式应用 (11)2.1 在近似计算中的应用 (11)2.2 在求极限中的应用 (13)2.3 利用泰勒公式的系数求函数在指定点处高阶导数的值 (14)2.4 泰勒公式在证明中的应用 (15)2.5 泰勒公式与一元函数极值的问题 (16)2.6 利用泰勒公式来研究函数图像的局部性质 (20)2.7 利用泰勒公式研究线性插值 (21)2.8 应用泰勒公式判断数项级数敛散性 (22)2.9 利用泰勒公式进行函数幂级数展开 (23)2.10 二元及多元函数泰勒公式的应用 (26)3 复变函数中的泰勒公式 (27)4 总结与归纳 (28)参考文献 (29)英文摘要、关键字 (30)泰勒公式及其应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业摘要:泰勒公式作为数学分析中的一个基本概念，是在拉格朗日中值定理基础上进行的进一步推广。
它利用函数中最简单的形式多项式函数的形式，来进行各种理论的分析和探究，在进行近似计算以及估值等方面有广泛的应用。
本文从大家熟悉的多项式函数以及导数入手进而引入泰勒公式，并根据余项不同分成了带佩亚诺余项、带拉格朗日余项、带柯西余项以及积分余项等形式的泰勒公式，接下来根据带不同余项的泰勒公式的不同的性质对其应用进行分类讨论。
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。
泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。
本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。
关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。
利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。
当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。
例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。
解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。
24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。
泰勒公式 证明
泰勒公式证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泰勒公式是微积分中非常重要的公式之一，它被广泛应用于求解函数在某一点处的近似值。
泰勒公式的证明涉及到数学分析的基本原理和技巧，在这篇文章中，我们将为大家详细介绍泰勒公式的证明过程。
我们来回顾一下泰勒公式的表达式。
对于一个连续可导的函数f(x)，在某点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
R_n(x)为余项，表示当n趋向于无穷大时的极限值。
现在，我们来证明泰勒公式。
我们假设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数。
根据拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a,b)，使得f(b)可以表示为：其中R_n(b)为余项，表示f(b)和泰勒展开式之间的误差。
我们可以将R_n(b)表示为：R_n(b) = f^(n+1)(ξ)(b-a)^(n+1)/(n+1)!接下来，我们定义一个新的函数g(x) = f(x) - T_n(x)，其中T_n(x)表示的是f(x)的n阶泰勒展开式，即：我们可以计算g(x)在点b处的导数g^(n+1)(b)：由于f(x)具有(n+1)阶连续导数，可以得到g^(n+1)(b) = 0，即g(x)在点b处的(n+1)阶导数为零。
根据罗尔定理，存在点ξ'∈(a,b)，使得g'(ξ') = 0。
接下来，我们来证明ξ'等于ξ。
根据注脚法，设h(ξ) = f(b) -T_n(b)，我们可以得到：我们可以将h(ξ)的泰勒展开式表示为：由于h^(n+1)(ξ') = 0，我们得到h(ξ) = O((ξ - ξ')^(n+1))。
泰勒公式及其在解题中的应用
本科生毕业设计（论文）（2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数8000论文完成时间2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHuaAbstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications.Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.目录1引言 (1)2泰勒公式 (1)3泰勒公式在解题中的应用 (2)3.1利用泰勒公式求近似值 (2)3.2利用泰勒公式求极限 (4)3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 (7)3.3.1判断级数的敛散性 (7)3.3.2判断广义积分的敛散性 (9)3.4利用泰勒公式证明等式与不等式 (10)4结论及展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉 指导教师徐华1引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式．因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题．虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．2泰勒公式泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质各异．定性的余项为佩亚诺余项))((0n x x o -，仅表示余项是nx x )(0-，即当)(0x x →时高阶的无穷小．定量的余项是拉格朗日型余项10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ（ξ也可以写成)(00x x x -+θ10<<θ），定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计．定理1(泰勒定理)：设)(x f 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个领域，对于领域中的任一点x ，成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= （1）其中余项)(x r n 满足)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξ，ξ在x 与0x 之间． 上述公式（1）称为)(x f 在0x x =处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξ（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日余项．若不需要余项的精确表达式时，余项)(x r n 也可也成))(()(0n n x x o x r -=．此时，上述公式（1）则称为)(x f 在0x x =处的带有佩亚诺余项的泰勒公式．它的前1+n 项组成的多项式：''()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-称为)(x f 的在0x x =处的n 次泰勒多项式．当00=x 时，上式记为nn x n f x f x f x f f x f !)0(!3)0(!2)0()0()0()()(3'''2'''+++++= 该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式带拉格朗日余项的泰勒公式对函数)(x f 的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对)(0x U x ∈∀均能成立（当x 不同时，ξ的取值可能不同），因此这反映出函数)(x f 在邻域)(0x U 内的全局性．带佩亚诺余项的泰勒公式对函数()x f 的展开要求较低，它只要求()x f 在点0x 处n 阶可导，展开形式也较为简单．（1）式说明当0x x →时用右端的泰勒多项式)(x p n 代替)(x f 所产生的误差是n x x )(0-的高阶无穷小，这反映了函数)(x f 在0x x →时的性态，或者说反映了)(x f 在点0x 处的局部性态．3泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，其应用也非常广泛．但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．3.1利用泰勒公式求近似值由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用．在现今社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的一个重要环节．泰勒公式是一个多项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说是轻松而又方便的．但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差．利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''++++≈例1 求e 的近似值分析 因为e 介于2和3之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到e 的值．解 首先令()xe xf =，则x n e x f x f x f ====)()()('''把0=x 带入，得1)0()0()0()('====n f f f于是得到x e 的近似式!!212n x x x e nx++++≈上式中令1=x ，有!1!31!2111n e +++++≈ 由此可以求出e 的近似值．例2 求dx e x ⎰-12的近似值，精确到510-分析 因为dx e x ⎰-12中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达），我们可以考虑利用泰勒公式和逐项积分的方法求dx e x ⎰-12的近似值．解 在x e 的展开式中用2x -代替x 得+-+++-=-!)1(!212422n x x x en n x 逐项积分，得() +-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰-dx n x dx x dx x dx dx enn x 1021412101!1!212++⋅-+-⋅+-=121!1)1(51!21311n n n +-+-+-+-=75600193601132912161421101311 上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项n R 的估计式知000015.07560017<≤R所以746836.093601132012161421101311102≈+-+-+-≈⎰-dx ex我们不妨再看一例，例3 计算积分dx x x⎰10sin 的近似值 分析 因为xxsin 不是初等函数，所以不能直接用牛顿——莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰勒公式求其近似值．解 由泰勒公式可得753!7)27sin(!5!3sin x x x x x x πθ⋅+++-= 所以642!7)27sin(!5!31sin x x x x x x πθ⋅-++-= 因此dx x x x x dx x x ⎰⎰⋅+++-=1064210)!7)27sin(!5!31(sin πθ107537!7)27sin(5!53!3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅++⋅+⋅-=x x x x x πθ 7!7)27sin(5!513!311⋅⋅++⋅+⋅-=πθx 由此得到9461.05!513!311sin 10≈⋅+⋅-≈⎰dx x x 3.2利用泰勒公式求极限对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求．但是对于一些求导比较繁琐，或是要多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效．对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的, 因此, 对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题, 因此满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:（1） 运用洛比达法则时, 次数较多, 且求导及化简过程较繁锁．（2） 分子或分母中有无穷小的差, 且此差不易转化为等价无穷小的替代形式．（3 ）所遇到的函数展开为泰勒公式不难．当确定要运用泰勒公式求极限时, 关键是要确定展开的阶数．如果分母( 或分子) 是n 阶, 就将分子( 或分母) 展开为n 阶麦克劳林公式．若分子, 分母都需要展开, 可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数．例4 求4202cos limx e x x x -→-分析 这是一个待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次．但若用泰勒公式计算就简单得多了．解 4202cos limx e x x x -→-44224420)()2(!21)2(1)(!4!21lim x x o x x x o x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=→ 444)(121limxx o x x +-=→ 121-= 例5 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)1ln(lim 2xx x x x 的极限分析 当∞→x 时，此函数是∞-∞型未定式，虽然可以通过变换把它转换成型，再用洛必达法则求解，但计算量较大，现在我们先用泰勒公式将)11ln(x+展开，再求其极限．解 ))1(()1(211)11ln(22xo x x x +-=+ 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)1ln(lim 2x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∞→))1(211(lim 222x o x xx x x 21=在高等数学的学习中利用等价无穷小替换来求解极限问题一直是我们学习的难点，即使在学习了教材后仍然对等价无穷小替换求解极限的运用不够灵活甚至比较吃力，常常犯错． 究其原因主要有两个: 一是平时不够努力，对于常见的等价无穷小没有准确记忆并且对于此类问题缺少练习; 二是对于等价无穷小替换的实质还没有透彻的理解，表现在对一些等价无穷小替换的法则只知其然而不知其所以然． 如做练习时有这样的题目:例6 xxx x 3sin lim0-→分析 由于0→x ，根据无穷小量替换得到，x x →sin ，则03lim 3sin lim 00=-=-→→xx x x x x x x从解答过程中我们可以看到，我们在解这道题时不管条件是否满足而生搬硬套地使用了等价无穷小的替换法则，反映出我们对于无穷小的替换原则并未达到本质的理解，解决问题也缺乏灵活性．下面我们利用泰勒公式来重新理解无穷小替换的法则和原理（假设所有极限问题涉及的自变量过程变化都趋向于零）．性质一：)(~ααββαo +=⇔首先来理解)(~ααββαo +=⇔，在最初的学习过程中我们容易产生两个误区: 其一，在学习时容易被左边形式迷惑，潜意识里往往误认为α，β都是单独不相关的一项；其二，对于右边的式子中()αo 我们会觉得比较抽象难以理解．根据这些容易产生的理解上的偏差，我们可以结合泰勒公式来形象直观地理解．以正弦函数的泰勒公式为例:+-+-=753!71!51!31sin x x x x x 如果β取x sin -，那么α可以取x ，也可以取3!31x x -，甚至53!51!31x x x +-也行，相应的)(αo 分别为：,!71!51!31753 +-+-x x x ,!71!5175 +-x x +-7!71x ， 这样我们可以知道)(αo 并不是抽象的符号，它代表的是具体的表达式，而且该表达式可以很复杂，比如可以由多个式子组成; 另一方面，由于这些式子中的每一项都是幂函数，我们能非常直观地看出它们分别是)(),(),(642x o x o x o ，那是)!51!31(),!31(),(5332x x x o x x o x o +--接着讨论)(~ααββαo +=⇐，本质上它是等价无穷小的又一个性质——和差取大原则：αβααβ-±⇒=)(o ，取,!71!51!31,753 +-+-==x x x x βα则),(αβo =x x x x x sin !71!51!31753=+-+-=+ βα，可理解成：正弦函数由α与β两部分组成，其中α是函数的主部项，它对函数的大小和变换趋势起主要作用，β是函数的次要项或者剩余项，由()αβo =可知，β实质上是相对于主部项α的小扰动项，对整个函数的数值及变化趋势起次要的作用．具体到求极限的问题中就是极限问题的结果取决于分子分母中多项式的最低次项．性质二（和差代替规则）：若''~,~ββαα，并且βα,不等价，则''~βαβα--，并且'''limlim γβαγβα-=- 故对于例4，由于 +-=3!31sin x x x ，从而,61sin 3 +=-x x x 此时,61~sin 3+-x x x 所以0361lim 3sin lim 300==-→→x xxx x x x 对于表面上差异较小的问题但运用等价无穷小替换法则大相径庭，而这样的问题往往能够用泰勒公式统一解决． 说明在求极限问题的解题思路中泰勒公式比等价无穷小替换法则更普遍、更一般，在解决问题时往往倾向接受和使用那些放之四海而皆准的思路和方法，因此利用泰勒公式来理解等价无穷小替换的实质也就更容易被大家理解和掌握．3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 3.3.1判断级数的敛散性在级数敛散性的理论中，要判定一个正项级数∑∞=1n na是否收敛，我们通常找一个较简单的级数∑∑∞=∞==111n pn n nb )0(>p ，再用比较判定法来判定．在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的∑∞=11n p n )0(>p 中的p 值，例如 （1）当2=p ，此时∑∞=121n n 收敛，但+∞=∞→21lim n a n n ． （2）当1=p ，此时∑∞=11n n发散，但01lim =∞→na n n ． 这里我们无法判定∑∞=1n n a 的敛散性，为了有效地选取∑∞=11n pn中的p 值，可以应用泰勒公式研究通项0→n a )(+∞→n 的阶，据此选择恰当的p 值使l n a pnn =+∞→1lim，并且保证+∞<<l 0，再由比较判定法（极限形式）就可以判定∑∞=1n na的敛散性．下面我们来举例说明：例7 判定级数∑+∞=--+111)2(n nnaa()0>a 的敛散性．解 因)1(ln 121ln 1222ln no a n a x e a xx x+++==， 故)1(ln 1!21ln 112221no a n a n a n+++=)1(ln 1!21ln 112221n o a n a n an++-=-因此)1(ln 1)2(22211no a n a a a nnn +=-+=- 从而有a n a n n 22ln 11lim=∞→，0→n a 是关于)1(n 的2阶．，即 ∑+∞=--+111)2(n nnaa 与∑+∞=121n n 同收敛 评注：当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便于利用判敛准则．例8 讨论级数∑∞=+-1)1ln 1(n n n n的敛散性分析 直接根据通项去判断该项级数是正项级数还是非正项级数是比较困难的，因而也就无法恰当地选择判敛方法．在上式中我们注意到，)11ln(1lnn n n +=+这个式子中，若将其泰勒展开为n1的幂的形式，开二次方后恰与n1相呼应，会使判敛更容易进行． 解 )11ln(1ln nn n +=+ +-+-=4324131211n n n nn1<∴n n n 11ln<+ ∴01ln 1>+-=n n nu n故该级数是正项级数． 又 )1(312111ln332no n n n n n ++-=+2322332211)211(4111nn n n n n n -=-=+->∴232321)211(11ln 1n nn n n n n u n =--<+-=∑∞=12321n n收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛． 例9判断级数∑∞=-1)1(n n n 的敛散性分析 对于级数∑∞=-1)1(n nn ，运用比较法，柯西判别法，魏尔斯特拉斯判别法难以直接判断其敛散性．因此我们可以考虑先把n n 进行泰勒展开，再运用上述方法进行判别．解 由泰勒公式有)ln 1(ln 1122ln 1n no n n en n nn++==所以)ln 1(ln 1122n n o n n n n +=-，而∑∑∞=∞=≥111ln 1n n n n n 发散，又)(0ln 12322∞→→n n n n 所以n nn 212ln 1∑∞=收敛，故∑∞=-1)1(n n n 发散．3.3.2判断广义积分的敛散性在定积分中，我们总是假定积分区间是有限的，而被积函数（如果可积的话）一定是有界的．但在理论上或实际应用中都有需要去掉这两个限制，把定积分的概念广为（i ）无限区间上的积分； （ii ）无界函数的积分； 在判定广义积分dx x f a⎰+∞)(的敛散性时，通常选取广义积分)0(1>⎰+∞p dx xap 进行比较，在此通常研究无穷小量)()(+∞→x x f 的阶来有效地选择dx x f a⎰+∞)(中的p 值，从而判定敛散性．（注意到：如果dx x f a⎰+∞)(收敛，则dx x f a⎰+∞)(收敛．）例10 判断广义积分dx x x xx ⎰-10sin sin 的敛散性 分析 我们可以知道dx xx xx ⎰-10sin sin 是属于无界函数广义积分，在)1,0(上运用定积分的知识很判断出该积分是否收敛，那么我们可以考虑是否可以运用泰勒公式将x sin 展开，然后再进行计算．解 ()0sin sin <-=xx xx x f ，(]1,0∈x ，即被积函数在积分区间上不变号． )(61)(611)(!31)(!31sin sin 433224343x o x x o x x x o x x x x o x x x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-[])(16)(611)(61)(61132232x o x x o x x o x x o x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++-=)(6x o x+= 故有1)6sin sin (lim 0=-→xx x x x x ，又由于广义积分dx x ⎰106发散，因此用比式判别法知原广义积分收敛． 例11 研究广义积分dx x x x ⎰+∞--++4)233(的敛散性分析 我们可以初步判断dx x x x ⎰+∞--++4)233(属于无限区间上的积分，在区间),4(+∞不易运用定积分的知识进行判断该积分是否收敛．那么同样我们可以考虑运用泰勒公式将其展开再进行讨论．解 我们已经学过()αx +1的泰勒展开式为),(!2)1(1)1(22x o x x x n+-++=+ααα则x x x x f 233)(--++=2)31()31(2121--++=xx x)2)1(1891231()1()1891231(2222-+⋅-⋅-++⋅-⋅+=x o x x x o x x x)1(1492323xo x +⋅-= 因此491)(lim23=+∞→xx f x ，即0)(→x f 是)(1+∞→x x的23阶，而⎰+∞4231dx x 收敛，故dx x f ⎰+∞4)(收敛，从而dx x x x ⎰+∞--++4)233(收敛．3.4利用泰勒公式证明等式与不等式关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法．如果函数)(x f 存在二阶及二阶以上的导数并且有界，那么利用泰勒公式去证明这些不等式，一般的证明思路为：(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的x 与0x ；4结论及展望泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具．本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性以及证明等式与不等式等方面做了简单系统的介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果．值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面很少被提及，需要不断地探索．本文通过几个例子也仅仅说明其中的几方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等很多内容可以展开进一步的总结讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题．参考文献[1]胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用[J].内蒙古科技与经济，2009(24):73．[2]刘鹏.浅谈泰勒公式及其应用.科技信息[J],2011(09):521-522.[3]齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报，2003,31(09):24-25.[4]费德霖.泰勒公式的应用及技巧.皖西学院学报，2001,17(04):84-86.[5]潘劲松.泰勒公式的证明及应用.廊坊师范学院学报,2010,10(02):16-21.[6]董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用.科技信息,2010,(31):243.[7]冯平、石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用.新疆职业大学学报,2003,11(04):64-66.[8]陈妙琴.泰勒公式在证明不等式中的应用.宁德师专学报(自然科学报),2007,19(02):155-156.[9]刘萍、王文锦.谈泰勒公式在微分有关证明题中的应用.科技信息,2009(11):235.[10]/faculty/kaliakin/appendix_Taylor.pdf[11]/~robbin/221dir/taylor.pdf[12]/wiki/Taylor_series[13]/wiki/Taylor's_theore致谢四年的大学生活即将在这个季节画上一个句号，而于我的人生只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始．时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，离校的日期已日趋临近，毕业论文的完成也随之进入尾声．在本文即将完成之时，谨此向我的导师徐华讲师致以衷心的感谢和崇高的敬意．本文的顺利完成离不开徐华老师的悉心指导，老师以她敏锐的洞察力，渊博的知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风给我留下了深刻的印象，使我获益匪浅．我还要真诚地感谢我的室友张天闻同学，他不仅在学术上给我指引，而且在生活中也给予我帮助，从他身上我学到了很多．我还要感谢我的母校杭州师范大学钱江学院，这里严谨的学风，优美的校园环境使我的大学四年过得很充实也很愉快．最后我要感谢我的父母，当自己怀着忐忑的心情完成这篇论文的时候，自己也从当年一个刚走进大城市的懵懂少年变成了一个成熟的青年．十几年的求学之路，虽然只是一个本科毕业，但也实属不易．首先，从小学到大学的生活费及学费就不是个小数目，这当然要感谢我的爸爸妈妈，他们都是农民，没有他们的勤勤恳恳和细心安排，没有他们的支持和鼓励，我是无论如何也完成不了我的大学生活．书到用时方恨少，在这篇论文的写作过程中，我深感自己的水平还非常的欠缺．生命不息，学习不止，人生就是一个不断学习和完善的过程，敢问路在何方？路在脚下！。
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究摘要：对于泰勒公式而言，由于其淋漓尽致地体现了逼近法的精髓，因而在各个领域中的各个方面均有着十分重要的应用。
本文重点就泰勒公式的几种证明形式进行了分析，并就其在不等式、函数极限等方面的推广及应用情况进行了研究。
关键词：泰勒公式；证明；应用中图分类号：o172 文献标识码：a 文章编号：1674-7712 （2013）04-0166-01泰勒公式是数学分析过程中的重要公式之一，因而在数学中占有极为重要的地位。
通常而言，一般性的数学分析教材中均采用的是柯西中值定理来对泰勒公式进行证明，此种方法也广为人知，但是，其实泰勒公式还可以采用其他多种证明形式进行证明。
鉴于此，本文采用多种形式对泰勒公式进行了证明，并就其在多个领域中的应用推广进行了研究。
（一）采用完全归纳法对泰勒公式进行证明定理：对于任何函数f（x）而言，只要其在a点处存在着直到n 阶为止的导数，则a点附近的f（x）就可采用如下公式进行表达：（二）采用积分法对泰勒公式进行证明采用积分法不仅可以巧妙地证明泰勒公式，还可以得出几个结论，其定理如下所示：定理：假设[a，b]区间内函数f（x）具有直到n阶的连续导数，而在（a，b）内也存在着n+1阶的导数，此时，对于任意一个给定的x而言，x0∈（a，b），则f（x）可以表示为一个余项所得结论如下：其他的余项中只知ξ∈（a，b），此时有xn→x0（n→+∞）；由公式（1）可知，重积分型余项可推出皮亚诺型余项，因此，也可推出其他各类余项公式的形式。
以上所述两种方法主要是以不同角度对泰勒公式进行了证明，虽然其形式发生了改变，但是总体内涵保持不变，因而体现了变化中求思想精髓的基本证明思路，因而较容易被理解。
二、泰勒公式的应用推广（一）采用带有皮亚诺型余项的泰勒公式可进行函数极限的求取（二）采用泰勒公式可对积分等式进行证明除此以外，对于判断级数的收敛性、近似值的求解、行列式的求解等等多个方面均需要借助于泰勒公式进行计算和求解，由此可见，泰勒公式具有十分广泛的应用，本文重点就上述几个常见领域的应用及推广进行了分析，由于泰勒公式多个领域均有应用，这里就不再进行一一叙述了。
泰勒公式及其应用
本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用学生姓名：窦凤娇学号： 1304180114专业：信息与计算科学班级：计科1301指导教师：崔喜宁完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。
本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。
对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。
不同余项型泰勒公式的证明与应用
不同余项型泰勒公式的证明与应用一、不同余项型泰勒公式的证明$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$其中$f(x)$是需要展开的函数，$f'(x)$是$f(x)$的一阶导数，$f''(x)$是$f(x)$的二阶导数，$f^{(n)}(x)$是$f(x)$的$n$阶导数，$R_n(x)$是余项。
证明不同余项型泰勒公式的关键是对余项$R_n(x)$的估计。
根据拉格朗日中值定理，存在$x$在$x$和$a$之间，使得$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$等于$f^{(n)}(a)$和$f^{(n)}(x)$之间的差值。
即存在一个$\xi$满足$a < \xi < x$，使得$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$这里用到了泰勒公式的剩余项的拉格朗日型余项。
二、不同余项型泰勒公式的应用1.近似计算函数值不同余项型泰勒公式可以用于近似计算复杂函数在其中一点处的函数值。
通过泰勒展开，我们可以用函数的高阶导数来逐步逼近函数的真实值，使得计算更加简化。
尤其是在计算机数值计算中，利用不同余项型泰勒公式进行近似计算可以大大提高计算效率和精度。
例如，在计算$\sin(x)$时，我们可以通过泰勒展开将其逼近为一系列多项式函数的和，计算复杂度大幅减少。
2.证明其他重要结论不同余项型泰勒公式也可以用于证明其他数学中的重要结论。
例如，在证明函数的极限或导数存在时，我们可以通过利用泰勒展开，并将余项$R_n(x)$进行估计，从而得到极限或导数的正确表达式。
这在实分析学中经常应用，可以大大简化证明的步骤。
另外，不同余项型泰勒公式也可以用于证明函数的逼近性质。
泰勒公式的证明及推广应用
泰勒公式的证明及推广应用泰勒公式是一种用于近似计算函数的工具，它将函数表示为无穷级数的形式。
这个公式是由英国数学家布鲁诺·泰勒（Brook Taylor）在18世纪提出的。
在本文中，我们将简要介绍泰勒公式的证明，并探讨一些关于泰勒公式的推广应用。
证明泰勒公式的一种常用方法是使用数学归纳法。
我们可以根据函数的导数逐次展开来得到一般形式的泰勒公式。
假设函数f(x)的n次导数在区间[a,b]内连续，以及f(x)的(n+1)次导数在区间[a,b]内存在。
我们可以得到以下泰勒公式的一般形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rⁿ(x)其中，Rⁿ(x)是余项，它可以表示为(fⁿ⁺¹(z)(x-a)ⁿ⁺¹)/(n+1)!，其中a<z<x。
余项Rⁿ(x)可以用于估计泰勒级数的误差，并在实际应用中对所得近似值进行修正。
泰勒公式可以应用于各种数学和物理问题中。
下面是一些泰勒公式的推广应用的例子：1.近似计算：泰勒公式可以用于近似计算复杂函数的值。
通过截断级数，我们可以得到一个有限项的泰勒多项式，用于计算函数在其中一点的近似值。
2.数值积分：通过将函数展开为泰勒级数，并对级数进行求和，我们可以将函数的积分转化为级数的求和。
这种方法广泛应用于数值积分的算法中。
3.近似求解微分方程：很多微分方程难以找到解析解，但可以使用泰勒公式来近似求解。
通过将微分方程转化为泰勒级数，并截断级数至有限项，我们可以得到一个逼近解。
4.反函数的泰勒展开：泰勒公式不仅适用于函数的展开，也适用于反函数的展开。
通过将函数和它的逆函数展开为泰勒级数，并对级数进行求和，我们可以得到函数的反函数的泰勒展开。
在实际应用中，泰勒公式的推广应用不仅局限于以上几个领域。
它可以使用在各种数学和物理问题中，包括信号处理、金融工程、计算机图形学等。
泰勒公式的证明及其应用推广
ｓ ｉｎ （ｓ ｉｎｘ）＝ｓ ｉｎ （ｘ－
１
３
ｘ ＋ｏ （ｘ３））＝ｘ－
１
ｘ３－
１
（ｘ－
１
ｘ３）３＋ ｏ （ｘ３）＝ ｘ－
１
３！
３！ ３！ ３！
３！
ｘ３＋ｏ（ｘ３）， ｔａｎ（ｔａｎｘ）＝ｔａｎ（ｘ＋ １ ｘ３＋ｏ（ｘ３））＝ｘ＋ ２ ｘ３＋ｏ（ｘ３）
３！
３
５２ ２００８ 年 ２ 月 （ 上 ）
３
３
泰勒公式的证明及其应用推广
应用科技
余家骅 （ 许昌学院数学科学学院， 河南许昌 ４６１０００）
［ 摘 要］ 在理解泰勒公式基本的形式及内容的基础上， 更进一步意义的推理泰勒公式的证明及其在解决实际数学问题上 的应 用， 探究一个定理的辩证思维方式， 使我们学习知识更加深化， 形成发散性思维。 ［ 关键词］ 泰勒公式； 泰勒级数； 中值定理 行列式； 函数的凸凹性； 重积分
１！
ｎ！
证明： ①： 当 ｎ＝１ 时， 定理自然成立。事实上， 这时①变 ｆ
（ａ＋ｈ）＝ｆ（ａ）＋ｈ＋ｏ（ｈ）这是我们熟知 的。我 们 假定 定理 对 ｎ－ １ 已经 成
立 ， 换 言之 ， 我们 假 定： 对 于 任 何 一 个 函 数 ｆ（ｘ）， 只 要 ｆ （ ｘ） 在 ａ
点有直到 ｎ－ １ 阶为止的导数， 则 ｆ（ｘ）在 ａ 点附近可表示为：
∴ｔａｎ（ｔａｎｘ）－ ｓ ｉｎ（ｓ ｉｎｘ）＝ｘ３＋ｏ（ｘ３）， ∴ 原式 ＝ｌｉｍ ｘ ＋ｏ（ｘ ） ＝２；
ｘ→０
１
３
３
ｘ ＋ｏ（ｘ ）
２
２．２ 泰勒公式在证明不等式方面的应用
如果 函数 ｆ（ｘ）的二 阶 及 二 阶 以 上 导 数 存 在 且 有 界 ， 利 用 泰 勒
泰勒公式的几种证明法及其应用-毕业论文
泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤-毕业论⽂泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤ -毕业论⽂【标题】泰勒公式的⼏种证明法及其应⽤【作者】张廷兵【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应⽤【指导⽼师】陈波涛【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1引⾔泰勒公式在分析和研究数学问题⽅⾯有着重要的应⽤。
但是它的证明⼤多数是重复运⽤柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有⼀定的困难。
为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供⽅便。
本⽂研究不同的证明⽅法，给学习者提供了选择的余地。
归根结底，使学习者更好运⽤泰勒公式，为此就对泰勒公式的应⽤及技巧的总结。
2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明⽅法在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很⽅便。
如果将⼀类复杂的函数⽤多项式来近似表⽰出来，其误差⼜能满⾜⼀定的要求。
那么，我们就可以表⽰出此函数。
若函数是n次多项式令 .于是对任意⼀个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出⼀个相应的多项式称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a的邻域上有什么联系呢,下⾯的定理回答了这个问题(定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.2.1⽅法⼀证明:将上式改为，有分⼦是函数 ,分母是函数 .应⽤n-1次柯西中值定理[2]其中其中其中 (⾄此已应⽤了n-1次柯西定理)当根据右导数定义,有同法可证:于是 , 表⽰余项是佩亚诺型. 证毕.2.2⽅法⼆证明在的⼀个邻域内有⼀阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与⽆穷⼩量的关系有:( 是⽆穷⼩量),⼜则 (2—1) 从(2—1)式推出:⽐较⽆穷⼩量与== (因为⼆阶可导) ⼜由极限与⽆穷⼩量的关系有:将上边代⼊(2—1)式:设 .则在处有阶导数,且设当时仍有:+ (2—2)从(2—2)中推出⽐较与 :=则: 即将上述代⼊(2—2)得:即当时, 仍可表⽰的阶多项式与之和，故对⼀切⾃然数n均有:2.3⽅法三证:设 [3]现在只要证显然可知,并易知因为存在,所以在点a的某领域内存在n=1阶导函数 . 于是，当且时,允许接连使⽤洛⽐达法则n-1次,得到=0证毕 .3带拉格朗⽇型余项的泰勒公式的证明⽅法定理1只是给出余项的定性描述,还不能进⾏定量的估计,下⾯定理解决了定性的估计.定理2[1] 若函数在闭区间[ a , b ] 上有连续的n 阶导数,在开区间( a , b) 内存在n + 1 阶导数则对任何x ?( a , b) ,则存在 ,使得3.1⽅法四在《⾼等数学》中，泰勒公式⼀般都是⽤柯西定理证明的，然⽽拉格朗⽇定理作为泰勒公式的特殊情况，担当对泰勒公式的证明，似乎更在情理之中。
(整理)毕业论文泰勒展开式及其应用伟
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2． 讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解： 因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式：2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
不同余项型泰勒公式的证明与应用
不同型余项泰勒公式的证明与应用The proofs and applications of Taylor formula with different types of remainders专业:作者:指导老师:湖南理工学院数学学院二○一四年五月岳阳摘要本文介绍了不同型余项的泰勒公式，并给出了各种余项泰型勒公式的证明，重点探讨了不同余项型泰勒公式的应用.关键词：余项；泰勒公式；证明；应用AbstractIn this paper, we research different types of Taylor formulas，and give the proof of various Taylor remainder formula,focus on the applications of the different types of Taylor remainder formula .Keywords:Remainder term；Taylor formula；Proof；Application目录摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I 关键词．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ABSTRAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 0 引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1泰勒公式简介．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2 带四种余项泰勒公式的证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22.1带佩亚诺型余项泰勒公式的证明 (2)2.2带拉格朗日型余项泰勒公式的证明..................................．．.32.3带积分型余项泰勒公式的证明 (4)2.4带柯西型余项泰勒公式的证明.......................................．．53 泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．53.1带佩亚诺型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．53.2带拉格朗日型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.. (9)3.3带积分型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．123.4带柯西型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．．．13 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．150 引言泰勒公式在数学运算中起着非常重要的作用．利用带有余项的泰勒公式可以简单的解决一些复杂问题，所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析有重要意义．泰勒展开有多种类型余项型，而根据处理不同问题的需要可以选择不同的余项的类型.我们所学过的主要有：带佩亚诺型余项、带拉格朗日型余项、带积分型余项，带柯西型余项的泰勒公式．1泰勒公式简介泰勒公式可以用若干个连加式来表示一个函数，这些相加项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的1n +次导数)的导数求得．但对于正整数n ，如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上有连续n 阶可导，还满足(,)a b 1n +阶可导．则可任取[,]x a b ∈是一定点，则对任意[,]x a b ∈下式成立()2'()''()()()()()()......()()1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R x n =+-+-++-+.()n R x 表示余项，下面举出几个我们常用的带余项的泰勒公式展开：（1）2+1= 1+ + +...+ ++()2!!(+1)!n x xn n x x e e x x R x n n α. （2）2n 1=1+ + + ... + +R ()1n x x x x x. （3）2462n cos =1 + +...+ (1) + R ()2!4!6!(2)!nn x x x x x x n . （4）352+1n sin = + ...+ (1)+ R ()3!5!(2+1)!n nx x x x x x n - . （5）2(1)(1) (1)(1)1...()2!!n n n x x x x R x n ααααααα---++=+++++.2 带四种余项泰勒公式的证明下面我们给出几种大家常见的带余项泰勒公式的证明.2.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明定理1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()(())0n f x T x o x x n =+-，即()200000000''()()()()'()()()...()(())2!!n n n f x f x x f x f x f x x x x x x x o x x n -=+-+-++-+-.(1)证明 设0()()(),()()n n n n R x f x T x Q x x x =+=-现在只需证()()lim0n x x R x Q x →=. 由关系式()00()()k k n f x T x =,1,2,...n =可知()000()'()...()0n n n n R x R x R x ====.并容易知()()0000()'()...()0,()!n n n n n n Q x Q x Q x Q x n =====.因为()0()n f x 存在，所以在点0x 的某领域0()U x 内f 存在n-1阶导函数()f x ．于是，当0()x U x ∈且0x x →，允许连续使用洛必达法则1n -次，得到00(1)(1)()'()limlim ()()...()lim ()n nx x x n nn n n x x nR x R x Q x Q x R x Q x →∞→--→===00(1)(1)0000(1)(1)000()()()()lim !()()()1lim[()]!0n n n x x n n n x x f x f x f x x x n x x f x f x f x n x x --→--→---=--=--=定理所证的（1）式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()R x f x T x n n =-则称为泰勒公式的余项，形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项．即（1）又称带有佩亚诺型余项的泰勒公式．2.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的证明定理2 如果一个函数在[],a b 上有直至n 阶的连续导数，在(),a b 之间有()1n +阶的导数，则任意给出的x ，[]0,x a b ∈，至少有一点(,)a b ξ∈，使得：(1)2100000000''()()()()()'()()()...()().(2)2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+ 证明 设辅助函数()()'()()[()()()...()!n f t nF t f x f t f t x t x t n =-+-++-1()()n G t x t +=-.即证明的（2）式为(1)()()()00(1)!n f F x G x n ξ+=+或者(1)()()0()(1)!0n F x f G x n ξ+=+.设0x x <，则()()F t G t 与在0[,]x x 上连续，在0(,)x x 内可导．(1)()'()()!n f t nF t x t n +=--,'()(1)()0nG t n x t =-+-≠.因为()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证明得'(1)()()()()()00'()()()(1)!00()n F x F x F x F f G x G x G x n G ξξξ+-===-+.0(,)(,)x x a b ξ∈⊂其中，（2）式则称为泰勒公式，该泰勒公式的余项为()(1)1000()()()()(),()1!n n n n f R x f x T x x x x x x n ξξθ++=-=-=+-+,(1)()1()()()(),()000(1)!n f n R x f x T x x x x x x n n n ξξθ++=-=-=+-+. (01)θ<<则称为拉格朗日型余项，所以该泰勒公式称为拉格朗日型泰勒公式．2.3 带积分型余项泰勒公式的证明定理3 若函数()f x 在点0x 的领域0()U x 内有连续的1n +阶导数，则0()x U x ∀⊂，有()00000'()1()()()...()()()1!!n n n f x f x f x x x f x x x R x n =+-++-+. 其中0(1)1R ()()()!x n nn x x f s x s ds n +=-⎰为积分型余项，且 +1110000()R ()(())(1)!n n nn x x x f x t x x t dt n +-=+--⎰ （3） 证明 使用Newton - Leibniz 公式和使用分部积分法，得00()()'()()'()()x xx x f x f x f t dt f x f t d x t =+=--⎰⎰000()'()()''()xx f x f x x x f x t dt =+-+-⎰20001()'()()''()()2xx f x f x x x f t d x t =+---⎰220000011()'()()''()()'''()()22xx f x f x x x f x x x f t d x t dt =+-+-+-⎰···= 200000011()'()()''()()...()2!n n f x f x x x f x x x f x x n +-+-++-+ 0(1)1()()!x n n x f t x t dt n +-⎰． 然后做变量代换00()s x t x x =+-则得到 式（3）．2.4 带柯西型余项泰勒公式的证明定理4 若函数()f x 在点0x 的领域0()U x 内有连续1n +阶导数，则0()x U x ∀∈，有()00000'()()()()()...()()1!!n n f x f x f x f x x x x x R x n =+-++-+.其中(1)10001()(())(1)()!n n n n R x f x x x x x n θθ++=+---，(01)θ≤≤特别当00x =，则又有简单形式(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=- (01)θ≤≤ . （4） 此处()n R x 统称为柯西余项．证明 取定x ，不防设0x >，设辅助函数()0()()()()!k nk f t t f x x t k φ==--∑, 此时令()t x t ϕ=-,对()t φ与()t ϕ应用柯西中值公式，知存在(0,)x ξ∈使得(1)1()()(0)'()()()''()(0)'()!n n n R x x f x x x n φφφξξξφφφξ++--===-,此时，令x ξθ= (01)θ<<.即得到式（4）.3 泰勒公式的应用3.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的应用3.1.1 利用佩亚诺余项泰勒公式判别函数的极值应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式，将函数的极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到极值的另一种判别法．若()f x 在点0x 及邻域0()U x 内具有n 阶连续导数，且'''(1)()0000()()...()0,()0n n f x f x f x f x -====≠，（1） 若n 为奇数，则0x 不是极值点;（2） 若n 为偶数，则当()0()0n f x <，0()f x 为极大值；当()0()0n f x >，0()f x 为极小值．证明 由已知条件及泰勒公式有()0000()()()()[()]!n n n f x f x f x x x o x x n =+-+-，则 ()0000()()()()[()]!n n n f x f x f x x x o x x n -=-+- .由于()0()0n f x ≠,则存在点0x 的某一邻域0()U x ，使得0()x U x ∈时式（1）等号右端由第一项符号决定(1)若n 为奇数，在点0x 的某一邻域0()U x 内，当0x x <时，0()0n x x -<； (2)若n 为偶数且()0()0n f x <时，有0()()0f x f x -<即对一切0()x U x ∈0()()f x f x <故0()f x 为极大值，同理可证当()0()0n f x >，0()f x 为极小值．(3)当0x x >，0()0n x x ->，即0x 的左右侧，式（1）的右端异号，所以0x 是非极值点．例1 求函数43()(2)f x x x =+的极值．解 由于32'()(2)(78)f x x x x =++，所以80,2,7x x x ==-=-是函数的驻点，求()f x 的二阶导数22''()6(2)(7168)f x x x x x =+++得8''(0)0,''(2)0,''()07f f f =-=-<，所以()f x 在87x =-时取得极大值．3.1.2未定极限与无穷小的应用在利用泰勒公式求极限时，首先看清楚所求极限的形式，然后根据所学的再来对极限进行泰勒展开．例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-．解 极限中分母的次数是4，现在把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂，24411cos 1()2!4!x x x o x =-++22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+,故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=-.例3求极限0x →． 分析 因为分子中有根号项，可以运用洛必达法则来解决问题，但是步骤繁琐，只要我们使用泰勒公式来求解，问题就简单了.解0x =处点的麦克劳林公式展开2x 项得221()28x x o x =+-+221()28x x o x =--+.则x →0x →=222220(1())(1())2828lim x x x x x o x o x x →+-++--+= 22220()88lim 14x x x o x x →--+==. 例4 确定α的值，使得函数223sin 2sin cos x x x x e x x x -+-+与x α为同阶无穷小．解 3α= 因为2223322333333sin 2sin cos 8(1())3(())(2())2661().6x x x x e x x xx x x x x x x o x x o x x o x x o x -+-+=-++++--++-+=+例5 已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，求k ，c . 解 0arctan lim k x x xx→- 210221023030111lim 1lim 11lim 1lim .k x k x k x k x x kx x x kx x kxkx-→-→-→-→-+=+=+==因为c 为常数，所以30k -=，即3k =，因此13c =.3.1.3求行列式的值要用泰勒公式余项来计算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特点，构造与该行列式相对应的行列式函数，然后再把这个行列式函数在某点按泰勒公式展开，最后求出行列式函数的各阶导数值即可.例 6[6] 求n 阶行列式D=x z z z yx z zyy x z y y y x（5）解 记()n f x D =，按泰勒公式在z 处展开：'''()2()()()()()()()()1!2!!n nn n n n f z f z f x z f x f z x z x z x z n -=+-+-++- . （6）易知100000000()0k k z y y z y y z yy D z z y z yy zy----==--- , （7）由（7）得，1()(),1,2,...,k k f z z z y k n -=-=时都成立.根据行列式求导的规则,有''''1122111()(),()(1)(),,()2(),()1(()).n n n n f x nf x f x n f x f x f x f x f x x ---==-==因为=于是()n f x x z =在处的各阶导数为''21'''''31111()()()|()()()()|()(1)()············()|(1)2()(1)2()(1)2.n n n x z n n n n x z n n n n n x z n n f z f z nf z nz z y f z f z nf z n n z z y f z f n n f z n n zf z n n -=--=---====-===--==-=-=-把以上各导数代入（6）式中,有12321(1)()()()()()()1!2!(12)(1)21()().(1)!!n n n n n n n n n f x z z y z z y x z z z y x z n n n n z x z x z n n -----=-+--+----.++-+--1()()[(1)]n n z y f x x y x n y -若=,有=-+-， ()()().n nn z x y y x z z y f x z y---若≠，有=-3.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的应用3.2.1 证明中值公式例7 设()f x 在区间上三阶可导，试证(,)c a b ∃∈使得31()()'()()'''()().224a b f b f a f b a f c b a +=+-+- （8）证明 设下式成立的实数31()()'()()'''()()0224a b f b f a f b a f c b a +-----=， （9）现在就要证明(,)c a b ∃∈，使得'''()k f c =（10），令3()()()'()()()224a x kg x f x f a f x a x a +=-----， （11）则()()0,g a g b ==由罗尔定理，(,)a b ς∃∈使得'()0g ς=由（11）式得2'()'()''()()()02228a a a kf f f a ςςςςς++--+--=， （12）上式是关于k 的方程，则'()f ς在点2a ς+处的泰勒公式 21'()'()''()()'''()()22222a a a a f f f f c ςςςςς++--=-+. （13）(,)c a b ∃∈，比较（12）（13）式有221()'''()()88k a f c a ςς-=-，则'''()k f c =，从而得到（8）.3．2．2证明不等式和等式在证明不等式的问题中，我们经常遇到题中的有高阶导数，我们就可以选择合适的泰勒展开点，而且展开的最高阶导数不得超过题中给出的最高阶导数，最后用高阶导数的放大有界性进行放缩，得到要证明的不等式. 对泰勒公式的展开点0x 和被展开点的x 的选择是有讲究的，因为展开的阶数和项数都可能根据需要而改变.例 8 设函数()f x 在闭区间[0,1]上二阶可导，在开区间(0,1)内取到最大值12，且二阶导数满足|''()|2f x ≤，证明|(0)(1)|2f f +≤．证明 设0(0,1)x ∈为函数最大值点，则01()2f x =且0'()0f x =．把函数()0,1f x x =在处的值用0x 处的带拉格朗日余项的泰勒公式表示，且最高导数为2 ，则22000101010111(0)()'()(0)''()(0)''(),(0,)222f f x f x x f x f x x ξξξ=+-+-=+∈, 22000202020111(1)()'()(1)''()(1)''()(1),(,1)222f f x f x x f x f x x ξξξ=+-+-=+-∈. 于是2200|(0)||(1)|1+(1)1+1=2f f x x +≤+-≤．不等式得证．例 9 证明lim sin(2!)2x n en ππ→∞=.证明 由泰勒公式，可知1011,01,!(1)!n nn k e e k n θθ+==∑+<<+ 110111,01,!(1)!(2)!n nn k e e k n n θθ++==∑++<<++ 将上述两式两边相减，得11111(1)!(1)!(2)!n n e e n n n θθ++=++++,或111(2)!n n e e n θθ+=++.由11lim 1lim1lim 0(2)!n n n x x x e e n θθθ+→∞→∞→∞=+=⇒=+,故11112!2(1...)!1!2!!(1)!n en e n n n θππ=++++++ 22(1)!n k e n θππ=++，111!(1...)1!2!!k n n =++++ , 则2sin(2!)sin 1nn en n e n θππ=+ 222sin()/()111n n nn e e e n n n θθθπππ=+++.于是22lim sin(2!)lim 2sin()/()111nn nx x n n en e e e n n n θθθππππ→∞→∞=+++ 2π=． 3.2.3 计算近似值的应用一些数值的近似计算和函数的近似计算式可以利用泰勒公式得到, 函数的近似计算式利用)(x f 麦克劳林展开得到'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n nf f f x f f x x xn ≈+ + + + ，误差是余项()n R x ．例10 计算lg11的值,准确到5-10. 解111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+,因为23ln(1)23x x x x +=-++ (1)n x n -(-1)n+(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ， 1x 0<θ<1, >-要使(1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+542(1)1010n n -(n+1)-+>=,取4n =,故11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139.3.3 带积分型余项泰勒公式的应用3.3.1定积分计算当题目或者问题条件出现具有二阶导二阶以上的连续导，可以考虑泰勒公式. 例 11 计算10(1)x n e x dx -⎰ ()n N +∈.解 设 ()x f x e = 则 (1)()n x f x e +=由公式有1100001(1)!(1...1)!x n ne x dx n e e e e n -=----⎰11!(2...)2!!n e n =----.例 12 计算10(1)m n x x dx-⎰.解 (1)11100!(1)(1)(1)!n m n m nn x m x x dx x dx m n +++⎡⎤-=-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰!!(1)!!!(1)!m n m n n m m n ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦=++.3.4 带柯西型余项型泰勒公式的应用3.4.1初等函数的幂级数的展开式中的应用例 13 证明若函数()f x 在区间(,)a +∞内可导，且 'lim ()()0x f x f x →∞⎡⎤+=⎣⎦，则lim ()0x f x →∞=．证明 令 ()()x F x f x e =，()x G x e =，显然，'()0G x ≠.已知'lim ()()0x f x f x →∞⎡⎤+=⎣⎦ ， 即0ε∀>，0A ∃>，x A ∀>,有'|()()|f x f x ε+<，x A ∀>，根据柯西中值定理，有''()()()()()()F x F A F CG x G A G C -=-，A c x <<.或'()()()()()()1A x x A A x x Af x f A e f x e f A e f c f c e e e----==+--, 或'|()||()||()()|(1)A x A x f x f A e f c f c e --≤+++.已知lim 0A x x e -→∞=，即1A A ∃>，1x A ∀>，有A x e ε-<与1A x e -<,于是，1x A ∀>，有|()||()|2(|()|2)f x f A f A εεε≤+=+,即 lim ()0x f x →∞=.例 14 设函数()f x 在[,]a b 上可微，且a 与b 同号，证明：(,)a b ξ∃∈，使得 （1）22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.（2）'()()(ln )()bf a f b f aξξ-=.证明 （1）将原不等式变形为'22()()()2f b f a f b a ξξ-=-知，只要引入辅助函数2()g x x =．由于()f x ，()g x 在(,)a b 上满足柯西中值定理条件，所以(,)a b ξ∃∈'22()()()2f b f a f b a ξξ-=-. 即22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.（2）将原不等式变形为'()()()1ln ||ln ||f b f a f b a ξξ-=-知，只要引入辅助函数()g x =ln ||x ，由于()f x ，()g x 在(,)a b 上满足柯西中值定理条件，所以(,)a b ξ∃∈，使''()()()()1ln ||ln ||f b f a f f b a ξξξξ-==-，即()()f b f a -=''ln ||()ln()()b bf f a aξξξξ= 总结 从大量的应用中发现很多问题用泰勒公式去解决很容易，也很简单，同时灵活巧妙的应用泰勒公式却不容易.当然，不同余项的泰勒公式之间是可以转换的，但是，不同的余项型在解决不同的类型的问题时有各自的优点.我们知道泰勒公式经常用到的是在计算求极值、无穷小问题、近似值、行列式、定积分等一类问题中.比如例4，例5中就很好地运用了泰勒展开公式求无穷小的问题中，其中例5是2013年考研数学（一）中的一道题，行列式的运算例6.因此熟练地掌握一些常用泰勒公式展开点就显得非常重要，运用时才能举一反三，灵活应用.致谢 本文是在方春华老师的指导和帮助下完成的, 在此对方老师表示衷心的感谢！参考文献[1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册、第三版）北，高等教育出版社．2001（2008重印）：134-139．[2] 曹爱民．高等数学中秋极限的几种常用方法[J].济南教育学院报，2001，（6）：57-59．[3] 陈丽，王海霞．泰勒公式的应用．廊坊师范学院（自然科学版）[J]．2009．4第九卷第2期：22．[4] 谭荣，泰勒公式的应用．和田师范专科学校学报（汉文综合版）[J]．2008．7第28卷第一期总第51期：191．[5] 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Purcell Steven E. Rigdon ,Calculus[M] .Beijing :China Machine Press ,2004 :467 – 476．[12] E. B. Saff,`A. D. Snider , Fundamentals of Complex Analysiswith Applications to Engineering and Science [M] . Beijing :China Machine Press ,2004 :242 – 249．。
泰勒公式的证明及其应用2
泰勒公式的证明及其应用XXX(XX 学校 XX 院 09级 XX 专业 2班)摘 要：泰勒公式是数学分析中的一部分重要内容。
本文论述了泰勒公式的基本内容，并着重从7个方面介绍了泰勒公式在数学分析和实际生活中的一些应用：利用泰勒公式证明恒等式和不等式，求极限和中值点的极限，还有应用在函数方程中，除此外，还可用泰勒公式求极值，研究函数图形的局部形态，从而更加清楚地认识泰勒公式的重要性．关键词：泰勒公式；极限；极值；中值点；函数；应用引言泰勒主要是从有限差分出发，得到格里戈里–牛顿插值公式，然后令初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式．随着后人的不断研究与完善，形成今天实用的泰勒公式．现代也有很多期刊和教材对这部分内容进行了介绍，对近似计算上的应用介绍也较全面，较系统，但在其它领域的应用则显简单，不系统，不全面，为了方便以后的学习，有必要对此部分内容进行归纳总结，而泰勒公式是一个多项式的拟合问题，而多项式是一种简单函数，它的研究对计算机编程计算极为方便．1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令()()()nn x x a x x a a x f 0010-++-+= （1．1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线()x f y =在点()()00,x f x 的切线）去代替()x f y =,而是想用一条n 次抛物线()()()nn x x a x x a a x f 0010-++-+= 去替代它．由此猜想在点()()00,x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些，那么系数n a a a ,,10如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有()()()nn x x a x x a a x f 0010-++-+=于是得：()00x f a =求一次导数可得： ()01x f a '= 又求一次导数可得：()!202x f a ''= 这样进行下去可得：()()()()()!,,!4,!3004403n x f a x f a x f a n n =='''= 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：()()()()()()()()()()k nk k nn x x k x f x x n x f x x x f x f x f 00000000!!-=-++-'+=∑= （1．2） 即0x 附近的点x 处的函数值()f x 可以通过0x 点的函数值和各级导数去计算．通过这个特殊的情形，得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()()()()()()()()()200000002!!nnn f x f x T x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数()f x 在点0x 处的泰勒多项式，()n T x 的各项系数()()()01,2,3,,!kf x k n k =，称为泰勒系，因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2 泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数()0f x 及n 阶导数值：()0x f '，()()()00,,x f x f n ''，以及用这些值表示动点x 处的函数值()f x ，本文研究泰勒公式的具体应用，比如证明中值公式，求极限等中的应用．2.1 应用Taylor 公式证明等式例1 设()f x 在[],a b 上三次可导，试证：(),c a b ∃∈，使得 ()()()()()1224a b f b f a f b a f c b a +⎛⎫''''=+-+- ⎪⎝⎭证明 （利用待定系数法）设k 为使下列式子成立的实数：()()()()310224a b f b f a f b a k b a +⎛⎫'-----= ⎪⎝⎭（2．1） 这时，问题归为证明，(),c a b ∃∈，使得：()k f c '''=令()()()()()31224a x g x f x f a f x a k x a +⎛⎫'=-----⎪⎝⎭，则()()0g a g b ==． 根据罗尔定理，(),a b ξ∃∈，使得()0g ξ'=，即：()()202228a a a k f f f a ξξξξξ++-⎛⎫⎛⎫''''----=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 这是关于k 的方程，注意到()f ξ'在点2a ξ+处的泰勒公式：()()()212228a a a f f f f c a ξξξξξ++-⎛⎫⎛⎫'''''''=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中(),c a b ∃∈，比较可得原命题成立．例2 设()f x 在[],a b 上有二阶导数，试证：(),c a b ∃∈，使得()()()()31224baa b f x dx b a f f c b a +⎛⎫''=-+- ⎪⎝⎭⎰ （2．2） 证明 记02a bx +=，则()f x 在0x 处泰勒公式展开式为：()()()()()()200002f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+- （2．3）对（2．3）式两端同时取[],a b 上的积分，注意右端第二项积分为0，对第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：(),c a b ∃∈，使得()()()()()()2300112bbaaf x x dx f c x x dx f c b a ξ''''''-=-=-⎰⎰ 因此原命题成立．从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式，以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明，证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面通过两个例子来说明一下．2．2 应用Taylor 公式证明不等式例3 设()f x 在[],a b 上二次可微，()0f x ''<，试证：12n a x x x b ∀≤≤<<≤，()1110,1,nn ni i i i i i i i i k k f k x k f x ===⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭∑∑∑．证明 取01ni ii x k x ==∑，将()i f x 在0x x =处展开()()()()()()()()()200000002!i i i i i f f x f x f x x x x x f x f x x x ξ''''=+-+-<+-其中(1,2,3,.)i n =以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11nii k==∑()0110nniii ii i k x x k x x==-=-=∑∑得：()()011nn i i i i i i k f x f x f k x ==⎛⎫<= ⎪⎝⎭∑∑例4 设()f x 在[]0,1上有二阶导数，当01x ≤≤时，()(),2f x f x ''<．试证：当01x ≤≤时，()3f x '≤． 证明 ()f t 在x 处的泰勒展开式为：()()()()()()22!f f t f x f a t x t x ξ'''=+-+- 其中将t 分别换为1,0t t ==可得：()()()()()()21112!f f f x f x x x ξ'''=+-+- （2．4） ()()()()()()202!f f f x f x x x ψ'''=+-+- （2．5）所以（2．4）式减（2．5）()()()()()()221012!2!f f f f f x x x ξψ'''''-=+-- 从而()()()()()()()2222111012121322f x f f f x f x x x ξψ''''≤++-+≤+-+≤+= 由上述两个例子可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式．例3说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例4说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学校中，要会灵活应用，但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．2.3 应用Taylor 公式求极限例5 设函数()x ϕ在[),o +∞上二次连续可微，如果()x x ϕ+∞→lim 存在，且()x ϕ''在[),o +∞上有界，试证：()0lim ='+∞→x x ϕ． 证明 要证明()0lim ='+∞→x x ϕ，即要证：0,0εδ∀>∃>，当x M >时()x ϕε'<．利用Taylor 公式，0h ∀>，()()()()212x h x x h h ϕϕϕϕξ'''+=++ （2．6） 即()()()()112x x h x h hϕϕϕϕξ'''=+--⎡⎤⎣⎦ （2．7）记()x A x ϕ+∞→=lim ，因()x ϕ''有界，所以0M ∃>，使得()x M ϕ''≤ ， ()0x ∀≥ 故由（2．7）知()()()()112x x h A A x h h ϕϕϕϕξ⎡⎤'''≤+-+-+⎣⎦ （2．8） 0ε∀>，首先可取0h >充分小，使得122Mh ε<，然后将h 固定，因()x A x ϕ+∞→=lim ，所以0δ∃>，当x δ>时()()12x h A A x h εϕϕ⎡⎤+-+-<⎣⎦ 从而由（2．8）式即得：()22x εεϕε'<+=，即()0lim ='+∞→x x ϕ例6 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）y =（2）1521cos x y x e x -⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 解 （1）首先设所求的渐近线为y ax b =+，并令1u x=，则有：()()12330121lim lim x u u u a bu ax b u→∞→-+--⎤-=⎥⎦()0221133lim u u u a bu o u u →⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ()01lim0u a bu o u u→--+== 从中解出：1,0a b ==。
泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归纳法对带有佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明，从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分别给出例题.关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 积分型余项 应用Several Proofs and Applications of Taylor FormulaAbstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role intheoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.Keywords: Taylor formula; Peano remainder term; Lagrange remainder term; Integral remainder term;application1. 引言大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用00()()()f x f x x x '+-这个)(0x x -的一次多项式近似代替)(x f 且求其在0x 附近的函数值是很方便的，但是它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于)(0x x -的n 次多项式.由此，著名数学家泰勒在1912年7月给其老师梅钦的信中提出了著名的定理——泰勒定理，用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较复杂函数这类复杂的问题.2.泰勒公式的证明泰勒公式有几种不同的形式，在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1[1] 若函数f 在点o x 存在直至n 阶导数，则有()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-证：设()()()()()()()()200000002!!n n n f x f x T f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-（1） ()()n n R f x T x =- ()0()nn Q x x x =-现在只要证 ()()0lim0n x x nR x Q x →=由关系式（1）可知()()()()0000n n n n R x R x R x '====并易知()()()()10000,n n n n Q x Q x Q x -'==== ()()0!n n Q x n =因为()()0n f x 存在，所以在点o x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数.于是，当()0x U x ︒∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得 到 ()()()()()()()()0011lim lim lim n n n n n x x x x x x n nn R x R x R x Q x Q x Q x --→→→'===' ()()()()()()()()()110000lim12n n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=--()()()()()()0110001lim !n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0= 所以有()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-则此式得证.2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理2[2] 设函数f 在某个包含0x 的开区间),(b a 中有1到n +1阶的各阶导数，则(),x a b ∀∈，有()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()()1101!n n f x x n ξ+++-+ （2）其中ξ是介于0x 与x 之间的某个点，当0x 固定之后，ξ只与x 有关. 证：(2)式可以改写成()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ⎡⎤'''-+-+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()1101!n n f x x n ξ++=-+ 或者()()()()(1)101!n n n R x f n x x ξ++=+-. （3） 为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出()()()()0000n n n n R x R x R x '====）： ()()()()()()()()011100101n n nn n nR x R x R x R x x x x n x ξξ++'-==--+-()()()()()()()1021102011nn nnn R R x R n xn n x ξξξξ-''''-==+-+-()()()()201201nn n R R x n n x ξξ-''''-==+-()()()()0231n n n n R n n x ξξ=⋅+-()()()()()()00231n n n n n n R R x n n x ξξ-=⋅+-()()()11!n n R n ξ+=+ （4）在此推导过程中，1ξ是介于0x 与x 之间的某个点；2ξ是介于0x 与1ξ之间的某个点，，ξ是介于0x 与n ξ之间的点.因而，ξ介于0x 与x 之间. 又注意到 ()()()()11n n n R f ξξ++= ，所以（4）式就可以得到（3）式 ，进而推出（2）式. 即定理得证.在这里定理1和定理2我们都是用分析法来证明的，实际上，我们还可以用递推法或数学归纳法来进行证明，下面的定理3我们就是用数学归纳法来证明的. 2.3带有积分型余项的泰勒公式定理3[3] 设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内有n +1阶连续导函数，则()()()()()()()()()200000002!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-()()()011!x nn x f t x t dt n ++-⎰ ，0[,].t x x ∈ （5） 证：从已知条件可知()1,,,n f f f +'在0[,]x x 上是连续的.那么我们有()()()00x x f x f x f t dt '-=⎰ （6） 在（6）中令(),()u f t v x t '==-- 则(),du f t dt dv dt ''==.利用分部积分公式 我们就有()()()()()0||xxx xx x x x x x f t dt uv vdu f t x t x t f t dt ''''=-=--+-⎰⎰⎰（7）结合（6）式和（7）式得到()()()()()()0000x x x t f f x f d x x t x f x t '''=---+⎰这就是1n =时的情形，符合公式（5）.我们同理可容易看出2n =时也成立. 假设1n -（此时指的是2n ≥的情形）时仍然可以得到（5）式是成立的， 即是有()()()()()()()()()()1200000002!1!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n -'''-=-+-++--()()()()0111!x n n x x t f t dt n -+--⎰ （8） 在（8）式中令()()(),!n n x t u ft v n -==- 则()()()()11,1!n n x t du f t dt dv dt n -+-==-. 利用推广分部积分公式我们就有()()()()011!n xn x x t f t dt n ---⎰()()()()()()01!!xn n nxn x x x t x t f d n t f n t t +--=-+⎰()()()()()()0100!!nxn nn x x t x f x x n dt n f t +--=+⎰（9） 将（9）式代入（8）式得到（5）式，即在n 的情形下（5）式仍然成立. 故证得此泰勒公式成立.定理3运用分部积分法的推广公式结合数学归纳法来证明的，但实际上定理3也是可以用分析法来证明的.经过三个定理的证明我们可以清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式是可以相互转化的，例如：在定理3中存在),(0x x ∈ξ有由推广的积分第一中值定理得到=)(x R ()()()011!x nn x f x t dt n ξ+-⎰=10)1())(()!1(1++-+n n x x f n ξ.这就转化成了定理2中的余项形式，这就是说带有积分型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式是可以相互转化的，经过实际演算我们还可以很容易地得到其它几种型余项的泰勒公式之间的相互转化.那么也可以说只需要知道其中一种余项的泰勒公式的证明，我们就可以轻松证明出其它型余项的泰勒公式，当然这其中也包括很重要的带有柯西型余项的泰勒公式.3.泰勒公式的应用泰勒公式是解决高等数学问题的很重要的工具，但是很多同学仅仅对泰勒公式的展开式比较熟悉，而对泰勒公式的其它应用方法没有深入的了解.实际上，泰勒公式在近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题等问题的解决过程中也有很重要的应用.下面举几个例子进行阐述. 3.1近似计算及误差估计例1.=3273=，所以可以设()f x = 先求027x =处()f x 的三阶泰勒公式：因 ()2313f x x -'=，()5329f x x -''=-，()831027f x x -'''=. 所以得(27)3f = ， 31(27)3f '= ， 72(27)3f ''=- ， 1110(27)3f '''= 及 11(4)3480()3fx x -=- ，故23411371243115803(27)(27)(27)(27).3334!3[27(27)]x x x x x θ=+---+---⋅+-其中()0,1θ∈， 又30x =， 于是43114380||(3027)4!3[27(27)]R x θ=-⋅+-454111280103 1.88104!333-<⋅=≈⨯⋅⋅2591153333≈+-+30.1111110.0041150.000254≈+-+ 3.10725=计算时，分数化小数取六位小数，合起来误差不超过50.310,-⨯再加上余项误差，总误差不超过52.210.-⨯用多项式逼近函数进行近似计算是泰勒公式的重要应用，且应用高阶导数可以进一步精确地求出近似值，减小误差.本题用已知函数的泰勒公式的值（其项数可根据实际需要取），作为已知函数的近似值，用来进行近似计算，且用泰勒公式的余项来估计所产生的误差.一般如果对我们已经确定的n ，我们先令M x f n ≤+|)(|)1(，则有估计误差110)1()!1()()!1()(||+++-+≤-+=n n n n x x n Mx x n f R ξ.3.2求极限例2：求()2220112lim cos sin x x x x e x→+-- 的极限值.解： 在这里由于22~sin x x ，把其它各项分别展开成带有佩亚诺型余项的泰勒公式，则有)(8121114422x o x x x +-+=+，那么分子变为244111()28x x o x +=+， 分子式4=n ,则分母中可以将括号里展开成2=n 的情形，即有)(211cos 32x o x x +-= ， )(1222x o x e x ++= ， 则有 )(23cos 222x o x e x x +-=-，所以此求极限的式子可以简化为244220022211()1182lim lim 312(cos )sin ()2x x x x o x x x e x x o x x →→++==-⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 故所求极限值是121-. 对于求0型的极限问题，常可以用洛必达法则，但对于像此例这种要连求几次导数，运算非常麻烦的情形我们可以考虑用带有佩亚诺型余项的泰勒公式加以解决.由此例可以看出泰勒公式是进行无穷小量分析比较的一个非常精细的工具.有些求极限的问题并非0型的，我们仍然需要用到泰勒公式去求极限，如下例：例3：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2 的极限值.解：因为⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+221121111ln x o x x x ，)(∞→x ，所以得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 22211lim 12x o x x →∞⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦12=得到极限值是12.3.3研究函数的极值问题在研究函数的极值问题时我们往往也可以应用泰勒公式达到化整为零、快速解题的效果.例4：设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，在0x 处n 阶可导，且0)(0)(=x f k)1,,2,1(-=n k ，0)(0)(≠x fn ，证明:若n 为偶数，则0x 是)(x f 的极值点；若n 为奇数，则)(x f 在0x 处不取极值.证:由定理1我们知道f 在点0x 处的n 阶泰勒公式即为()()()()()()()()()()()()2000000002!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''=+-+-++-+-又由题目条件可以看到0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ，则上式可以简化成))(())((!1)()(000)(0n n n x x o x x x f n x f x f -+-+=，因此有n n x x o x f n x f x f )()1()(!1)()(00)(0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=- （10）又因为0)(≠n f，故存在正数δδ'≤，当);(0δ'∈x U x 时，)(!10)(x f n n 与)1()(!10)(o x f n n +同号.所以， 若n 为偶数，则当0)(0)(<x f n 时（10）式取负号，从而对任意);(0δ'∈x U x 有)()(0x f x f <，则此时f 在0x 处取得极大值；同理0)(0)(>x fn 时f 在0x 处取得极小值. 故若n 为偶数，0x 是)(x f 的极值点.若n 为奇数，则任取),(001δ'+∈x x x ，),(002x x x δ'-∈，且0)(01>-n x x ，0)(02<-n x x 当0)(0)(<x f n 时，有)()()(201x f x f x f << ，在0x 处取不到极值；同理当0)(0)(<x f n 时也在0x 处取不到极值.故若n 为奇数，)(x f 在0x 处不取极值.题目中提到了几阶导数的问题，而我们有时感觉到无从下手，此时我们就应该想到应用泰勒公式，常常能达到意料不到的效果，事半功倍. 3.4证明等式或不等式证明等式或不等式的方法有很多种，但是在含有一阶以上的导数时一般可运用泰勒公式进行证明.3.4.1证明等式问题例5：证明：若()f x 在[,]a b 上有n 阶导数存在，且()()()()()()10n f a f b f b f b f b -'''======，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0n f ξ=.证：由于()f x 在[,]a b 上有n 阶导数，故可在x b =处展成1-n 阶泰勒公式()()()()()()1112()()()()()().2!(1)!!n n n n f b f f b f x f b f b x b x b x b x b n n ξ--'''=+-+-++-+-- 其中1ξ在x 与b 之间. 又因为()()()()()10,n f b f b f b f b -'''=====故由上式可得()()()()11!nn f x f x b n ξ=-. 当x a =时，有()()()()()1,!nn f a f a b a b n ξξ=-<<.又()()0,0,nf a a b =-≠故知在(),a b 内必有一点,ξ使得()()0.nf ξ=3.4.2证明不等式问题例6：证明：若函数()f x 在[,]a b 上存在二阶导数，且()()0f a f b ''==，则在(),a b 内存在一点c ，使()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.证：将2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭分别在点a 和点b 展成泰勒公式，并注意()()0f a f b ''==，有()()211,22!22f a b b a a b f f a a ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()()222,22!22f a b b a a b f f b b ξξ''+-+⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令 ()()()12||max{||,||}f c f f ξξ''''''=.则 ()()()()||22a b a b f b f a f b f f f a ++⎛⎫⎛⎫-≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22212222f f b a b a ξξ''''--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2211||||24b a f f ξξ-⎡⎤''''=+⎢⎥⎣⎦ ()()2||4b a fc -''≤即()()()()24||||f c f b f a b a ''≥--.由例4、例5可以看出用泰勒公式证明问题这类题目中往往涉及函数的高阶导数.应用的关键在于如何选择要展开的函数，在哪一点展开，以及展开的次数（一般比最高阶导数低一阶）等，这些都要根据题设的条件进行具体问题具体分析. 3.5关于界的估计泰勒公式在有关界的估计方面的应用也是非常巧妙的.例7：设函数f 在(,)-∞+∞上有三阶导数，如果()f x 与()f x '''有界，试证()f x '与()f x ''也有界.证： 设 ()0||,f x M ≤ ()3||,()f x M x '''≤-∞<<+∞， 其中03,M M 都是常数.将f 在任意一点x 处展开成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式 即有()()()()()()()()()()111,26111,26f x f x f x f x f f x f x f x f x f ξη''''''+-=++''''''--=-+-其中()(),1,1,x x x x ξη∈+∈-.以上两式加减分别得到 ()()()112f x f x f x ++--()()()1[],6f x f f ξη''''''''=+-()()()()()1112[],6f x f x f x f f ξη'''''''+--=++ 由以上两式分别得到 ()()()()()()1||112[]6f x f x f x f x f f ξη''''''''=++---- 0314,3M M ≤+ ()()()()()1|2|11[]6f x f x f x f f ξη'''''''=+---+ 03123M M ≤+， 即()f x '与()f x ''在(,)-∞+∞上也有界.4.总结从泰勒公式在微积分的重要地位可以看出对泰勒公式进行证明是非常有必要的，进一步加深了我们对泰勒公式的理解及应用.通过上述证明及应用举例，我们能够知道：①泰勒公式是应用高阶导数研究函数性态的工具，凡是已知函数()f x 的高阶导数研究函数()f x 的性态都要应用泰勒公式；②泰勒公式有两种不同类型的余项：一种是定性的，如佩亚诺型余项；一种是定量的，如拉格朗日型余项等.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2001.134-140页.[2] 韩云端，扈志明. 微积分教程（上）[M].北京：清华大学出版社，1999.188-203页.[3] S.I.Grossmon ，周性伟.微积分及其应用[M].天津：天津科学技术出版社，1988. 51-56页.[4] 蔡光兴，李德宜.微积分（经管类）[M].北京：科学出版社，2004.127页.[5] 王元殿.带不同型余项泰勒公式的证明[J].电大理工，2000，第205期：36-38页.[6] 同济大学数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2007.139-145页.[7] 王素芳，陶荣，张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用[N].洛阳工业高等专科学校学报，2003-6-第13卷第2期.[8] 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泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用泰勒公式是微积分中一个重要的定理，它允许我们通过多项式的Taylor级数来近似复杂函数的值。
本文将介绍泰勒公式的几种证明及应用。
1.麦克劳林级数证明：泰勒公式的一种常见证明方法是通过麦克劳林级数展开。
麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，即当参数a=0时的泰勒级数展开。
假设函数f(x)存在无限阶的导数，将f(x)在x=a处展开为幂级数，则有：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...通过截取级数的前几项，我们就可以用一个多项式来近似原函数的值。
2.极限证明：另一种证明泰勒公式的方法是使用极限。
考虑函数f(x)在x=a处的n阶导数f^(n)(a)，则可以证明当x趋向于a时：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示当x趋向于a时，高于(x-a)^n的项的阶数。
这个证明方法其实是利用了极限的定义，将函数值的误差与展开式中的余项进行比较。
3.应用：泰勒公式是微积分中非常重要的一个工具，它可以应用于众多的数学和物理问题中。
以下是几个泰勒公式的应用案例：-函数近似：通过泰勒公式，我们可以将复杂的非线性函数近似为多项式的形式，从而简化计算。
这在数值计算、数据分析以及物理模型的建立中非常常见。
-数值积分：泰勒公式可以用于数值积分的方法之一，即将被积函数在其中一点处展开成泰勒级数，并对多项式项进行数值积分。
这种方法可以提高计算的精度和效率。
-数值解微分方程：在数值解微分方程的过程中，泰勒公式可以用于将微分方程转化为一组代数方程，从而实现数值迭代解法。
-物理模型建立：在物理学中，泰勒公式可以用于建立物理模型，例如近似计算质点的运动轨迹、估算电路中的电流大小等。
泰勒公式及应用论文
毕业论文题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣学生学号： 0805010325 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届指导教师：向伟目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言： (1)1泰勒公式 (2)1.1带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2)1.2带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2)1.3带有积分型余项的泰勒公式 (2)1.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3)2 泰勒公式的应用 (3)2.1利用泰勒公式求极限 (3)2.2利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5)2.3 利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8)2.4利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11)2.5研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12)结语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)泰勒公式及应用学生：陆连荣指导教师：向伟淮南师范学院数学与计算科学系摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。
关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性Taylor formula and its applicationStudent: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal UniversityAbstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
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泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用【作者】张廷兵【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛【专业】数学与应用数学【正文】1引言泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。
但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。
为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。
本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。
归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。
2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。
如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。
那么，我们就可以表示出此函数。
若函数是n次多项式令 .于是对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题(定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.2.1方法一证明:将上式改为，有分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2]其中其中其中 (至此已应用了n-1次柯西定理)当根据右导数定义,有同法可证:于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕.2.2方法二证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有:( 是无穷小量),又则 (2—1) 从(2—1)式推出:比较无穷小量与== (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有:将上边代入(2—1)式:设 .则在处有阶导数,且设当时仍有:+ (2—2)从(2—2)中推出比较与 :=则: 即将上述代入(2—2)得:即当时, 仍可表示的阶多项式与之和，故对一切自然数n均有:2.3方法三证:设 [3]现在只要证显然可知,并易知因为存在,所以在点a的某领域内存在n=1阶导函数 . 于是，当且时,允许接连使用洛比达法则n-1次,得到=0证毕 .3带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明方法定理1只是给出余项的定性描述,还不能进行定量的估计,下面定理解决了定性的估计.定理2[1] 若函数在闭区间[ a , b ] 上有连续的n 阶导数,在开区间( a , b) 内存在n + 1 阶导数则对任何x ?( a , b) ,则存在 ,使得3.1方法四在《高等数学》中，泰勒公式一般都是用柯西定理证明的，然而拉格朗日定理作为泰勒公式的特殊情况，担当对泰勒公式的证明，似乎更在情理之中。
下面我们用拉格朗日定理来解决这个问题:证明当函数在的某个领域内有直到阶导数时，拉格朗日定理成立，即有其中, 介于与之间(用代替上式中的，由此产生的误差函数(3—1)式(3—1)两边对求一阶导数，得(3—2)对在的某个领域内应用拉格朗日定理，( 介于与之间)。
(3—3)由(3—2)，(3—3)知(3—4) 这是一个关于的一次式，可设，( 为常数)注意到(3—1)式中，于是，上式中 (不妨设: 两边对求一阶导数，得 (3—5)(3—6) 由(3—4)，(3—6)解得将代入(3—5)，得将并入(3—1)式并整理，得介于与之间这便是一阶的泰勒公式[4] (下面再将上式中右端的用代替，由此产生的误差函数(3—7)上式两边对求二阶导数，得 (3—8) 对在的某个领域里应用拉格朗日定理，得(3—9)由(3—8)，(3—9)知( 介于与之间) (3—10) 注意到(,,7)式中，故可直接设(3—11)两边对求二阶导数，得 (3—12) 由(3—10)，(3—12)解出将代入(3—11)，得将代入(3—7)并整理，得(3—13)这并是二阶的泰勒公式(将上述求，的步骤仿做次，便可得到( 介于与之间) (3—14)显然， (3—15)记(3—14)式子的即为的具体表达式，易知是比的高阶无穷小，将(3—15)式整理得3.2方法五证明作辅助函数[4]不妨设 ,显然，函数与在连续，在可导，且=应用柯西定理，分子是函数，分母取函数,其中证毕(3.3方法六让我们回顾一下拉格朗日中值定理的证明方法(引理[5](拉格朗日) 设函数在闭区间上连续，且在开区间内至少存在一点，使等式成立(写出连接的点的直线所确定的一次函数与在端点有相同的函数值,构造辅助函数(可知函数在上符合罗尔定理的条件，故知在之间至少有一点，使得即证毕如果加强的条件，设在闭区间上有连续导函数，且在开区间内有二阶导数，而且将连接两点的直线改为二次曲线，设其函数是使其满足则不难解出其中 . 同样，类似拉格朗日定理，构造辅助函数显然分别在区间 , 上满足罗尔定理, 有所以，即这正是具有拉格朗日余项的一阶泰勒公式.如果再进一步加强的条件, 将有会得到定理2，即若函数在闭区间上有连续的阶导数,在开区间内存在阶导数,则对任何则存在 ,使得证明利用上述思想,设次多项式为把两点连接起来, 使其满足可解出其中还是构造辅助函数则与的性质一样, 且 (函数分别在区间上满足罗尔定理,故可知存在使得，，所以即令，有证毕(4泰勒公式的应用及其技巧泰勒公式是微积分学中占有举足轻重的地位，在分析和研究数学问题方面有着重要的作用，下面举例泰勒公式在函数值估测及近似计算，求函数的极限等方面的应用几技巧( 4.1函数值估测例, 设函数在上存在二阶导数，并且当时，有，证明: ,证明: ，由泰勒公式得，将在 =0，2处展开，两式相减得，从而所以，例,[6] 若在二阶可导，且 (M为常数)，，求证 (分析 M 即是的最大值。
泰勒公式的分别取和，取然后，两个展式相加，有可能证得所要的不等式(证明:将和在处展成一阶泰勒公式:在与之间 (4—1)在与之间 (4—2) (4—1)加(4—2)得则例3 设在具有二阶导数，且证明，当时 (分析由欲证的不等式可知:应将在处展为二阶泰勒公式(证明:由二阶泰勒公式得在与1之间 (4—3)在0与之间 (4—4) (4—3)-(4—4)得则令则由解得由在连续，故 (即有从而证得4.2函数值近似计算例 4 计算，使误差不超过解:由泰勒公式，有，欲使，只需取，于是4.3 求不定式的极限例 5[7] 求解:此为型不定式，若用洛必达法则求解，要使用六次，但若用泰勒公式展开，较方便(因为所以从而，原式=例 6 求极限 ,解: 此为型不定式极限问题，用泰勒公式较方便原式=,此题若用洛必达法则求解，将是非常麻烦的( 4.4比较无穷小的阶例7 当时，是x的几阶无穷小, 解:由泰勒公式得所以，当时，是x的二阶无穷小(例8当时是的几阶的无穷小,解:，当时，是的阶的无穷小(4.5证明不等式或等式例9 证明，证明: ，由泰勒公式得又因为故，有例10若，有，且任意个数则有不等式证明:令，显然则将在展开(到二阶导数)，，由泰勒公式有在与之间在上式中，取有在与之间已知，有，有，从而将个不等式两端分别相加，得即有例 11[8] 设在上单调增加，且，证明分析:题设条件告知函数二阶可导且，高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式。
因为不等式左边被积函数是，右边有、我们不妨对将在点处展开为泰勒公式，再令，进而找出与的关系。
证明:对，在点处的一阶泰勒展开式为:其中在与之间(因为，所以将分别代入上式并相加，得对上式的两边在上积分，则故由例3可知，当已知被积函数二阶或二阶以上可导，而且已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明定积分不等式往往具有满意的效果。
一般先直接写出的泰勒展开式(有时根据题意对展开式进行放缩)，然后再对两边积分证得结果(例12 设在上有连续的二阶导数，且，试证( )分析:题设条件具有连续的二阶导数，提示可用泰勒公式加以证明。
由于题目中要证的等式右边具有可考虑将函数展开为二阶泰勒公式，为便于运用题设条件可在点作泰勒展开，然后分别令这样既可使展开式得以化简，又可引出有利于问题的证明( 证明: 设，则,把在处展开二阶泰勒公式:在与之间，在展开式中，分别令，并将所得两式相减:其中在与1之间，在0与之间。
再在上式右边分别令，然后相加并注意到，得设，则因为在上连续，由介值定理知存在，使得于是因此由例4可知，当已知被积函数具有二阶或二阶以上连续导数时证明定积分等式，一般先作辅助函数再将在所需点(一般是根据右边表达式确定展开点)进行泰勒展开，然后对泰勒余项作适当处理(一般利用介值定理)(例 13 设函数在具有二阶导数，且试证分析将欲证式与一阶泰勒公式比较知:没有一阶、零阶导数项。
我们进一步分析可知:由于连续，因而最小值必在点取得，该点必是极值点，有 (于是公式(1)中的就是极值点分别取0和1，问题就得证了(证明:设在处取得最小值，则将在点处展成一阶泰勒泰勒公式:在与之间分别取和，得即有和由此推出当时有当时有所以有4.6研究函数的零点例 14[9] 证明:函数是次多项式，是方程的重根而证明:“ ”设是的重根，则且于是其中其中仿此……其中显然而，“ ”由在点的泰勒展开式已知，所以因为，而，所以有重根例 15 设函数在上连续，在内可数，且满足，证明:在至少有一点使证明:令，由泰勒公式得注意到，而又因此，由上述泰勒展开式得例 16 设在上二阶可导，且，对 ,，证明: 在内存在唯一实根(分析:这里是抽象函数，直接讨论的根有困难，由题设在上二阶可导，且，可考虑将在点展开一阶泰勒公式，然后设法应用介值定理进行证明。
证明:因为，所以单调减少，又，因此时，，故在上严格单调减少。
在点展开一阶泰勒公式有由题设，于是有从而必存在，使得，又因为，在上应用连续函数的介值定理，存在，使，由的严格单调性知唯一，因此方程在内存在唯一实根( 4.7研究级数的敛散性例 17 讨论的敛散性(解:由泰勒展开式得因，故当时，级数绝对收敛当时条件收敛，从而绝对收敛，故原级数条件收敛(当时条件收敛，而发散，故原级数发散(例 18 讨论级数的敛散性(分析:直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到，若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰与相呼应，会使判敛容易进行(解:因为所以，所以故该级数是正项级数(又因为所以因为收敛，由正项级数比较判别法知原级收敛(该题利用泰勒公式后还结合运用了放缩等技巧，这是运用比较判别法常用的技巧( 例 19设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且证明级数绝对收敛(分析:由题设条件“ 在的某一邻域内具有二阶连续导数”这一信息可提示使用泰勒公式，又由条件易推得，这将使在点的泰勒展开式更加简单，便于利用比较判别法判敛( 解:由及在的某邻域内具有连续的二阶导数，可知将在的某邻域内展开成一阶泰勒公式( 在与之间)又由题设在属于某邻域内含点的一个小闭区间连续，因此存在于是，令则因为收敛，故绝对收敛(例20 讨论的敛散性(解:当即时，级数收敛;当即时，级数发散(5总结本文运用柯西定理、罗尔定理、洛必达法则，通过构造函数的方法，数学归纳法顺利地解决了泰勒公式的证明。