泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文

泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文

【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用

【作者】张廷兵

【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛

【专业】数学与应用数学

【正文】

1引言

泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。 2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法

在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。那么，我们就可以表示出此函数。若函数是n次多项式

令 .于是

对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式

称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a

的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题(

定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则

其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.

2.1方法一

证明:将上式改为

，有

分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2]

其中

其中

其中 (至此已应用了n-1次柯西定理)

当根据右导数定义,有

同法可证:

于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕.

2.2方法二

证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有:

( 是无穷小量),

又

则 (2—1) 从(2—1)式推出:

比较无穷小量与

=

= (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有:

将上边代入(2—1)式:

设 .则在处有阶导数,且设当时仍有:

+ (2—2)

从(2—2)中推出

比较与 :

=

则: 即

将上述代入(2—2)得:

即当时, 仍可表示的阶多项式与之和，

故对一切自然数n均有:

2.3方法三

证:设 [3]

现在只要证

显然可知,

并易知

因为存在,所以在点a的某领域内存在n=1阶导函数 . 于是，当且时,允许接连使用洛比达法则n-1次,得到

=0

证毕 .

3带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明方法

定理1只是给出余项的定性描述,还不能进行定量的估计,下面定理解决了定性的估计.

定理2[1] 若函数在闭区间[ a , b ] 上有连续的n 阶导数,在开区间( a , b) 内

存在n + 1 阶导数则对任何x ?( a , b) ,则存在 ,使得

3.1方法四

在《高等数学》中，泰勒公式一般都是用柯西定理证明的，然而拉格朗日定理作为泰勒公式

的特殊情况，担当对泰勒公式的证明，似乎更在情理之中。下面我们用拉格朗日定理来解决

这个问题:

证明当函数在的某个领域内有直到阶导数时，拉格朗日定理成立，即有其中, 介于与之间(

用代替上式中的，由此产生的误差函数

(3—1)

式(3—1)两边对求一阶导数，得

(3—2)

对在的某个领域内应用拉格朗日定理，

( 介于与之间)。 (3—3)

由(3—2)，(3—3)知

(3—4) 这是一个关于的一次式，可设，( 为常数)

注意到(3—1)式中，于是，上式中 (

不妨设: 两边对求一阶导数，得 (3—5)

(3—6) 由(3—4)，(3—6)解得

将代入(3—5)，得

将并入(3—1)式并整理，得

介于与之间

这便是一阶的泰勒公式[4] (

下面再将上式中右端的用代替，由此产生的误差函数

(3—7)

上式两边对求二阶导数，得 (3—8) 对在的某个领域里应用拉格朗日定理，得

(3—9)

由(3—8)，(3—9)知

( 介于与之间) (3—10) 注意到(,,7)式中，故可直接设

(3—11)

两边对求二阶导数，得 (3—12) 由(3—10)，(3—12)解出

将代入(3—11)，得

将代入(3—7)并整理，得

(3—13)

这并是二阶的泰勒公式(

将上述求，的步骤仿做次，便可得到

( 介于与之间) (3—14)

显然， (3—15)

记

(3—14)式子的即为的具体表达式，易知是比的高阶无穷小，将(3—15)式整理得

3.2方法五

证明作辅助函数[4]

不妨设 ,显然，函数与在连续，在可导，且

=

应用柯西定理，分子是函数，分母取函数

,其中

证毕(

3.3方法六

让我们回顾一下拉格朗日中值定理的证明方法(

引理[5](拉格朗日) 设函数在闭区间上连续，且在开区间内至少存在一点，使等

式成立(

写出连接的点的直线所确定的一次函数

与在端点有相同的函数值,构造辅助函数(

可知函数在上符合罗尔定理的条件，故知在之间至少有一点，使得

即证毕

如果加强的条件，设在闭区间上有连续导函数，且在开区间内有二阶导数，而且将连

接两点的直线改为二次曲线，设其函数是

使其满足则不难解出

其中 . 同样，类似拉格朗日定理，构造辅助函数

显然分别在区间 , 上满足罗尔定理, 有

所以，即

这正是具有拉格朗日余项的一阶泰勒公式.如果再进一步加强的条件, 将有会得到定理2，即若函数在闭区间上有连续的阶导数,在开区间内存在阶导数,则对任何则存在 ,使得

证明利用上述思想,设次多项式为

把两点连接起来, 使其满足

可解

出

其中

还是构造辅助函数