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北师大版高中数学必修一课件第一章第一节《集合的含义与表示》(23张ppt)

北师大版高中数学必修一课件第一章第一节《集合的含义与表示》(23张ppt)
集合常用大写字母A,B,C,…标记;
集合中的每个对象叫做这个集合的元素;
在上述集合中洞庭湖、鄱阳湖、呼伦湖都是
这个集合中的元素; •若元素a在集合A中,就说元素属于集合,记作
a ∈A; 若元素a不在集合A中,就说元素不属于
集合,记作a A.
一些常见的数集及其记法
自然数组成的集合简称自然数集,记作N;
描述法(或称为集合的特征性质描述法)的一般 形式为:A= {x∈U︱p(x)} .
探究:“由大于3小于10的整数组成的集合”如何表 示参. 考:1.{4,5,6,7,8,9},
2.{大于3小于10的整数},
3.{x∈Z︱3< x <10 }.
变式1 : “由大于3的整数组成的集合” 如何表 示参. 考:1.{x∈Z︱ x >3};
x, y x 0, y 0
(4)抛物线 y=x2-2x+2 上的所有的点;
x, y y x2 2x 2
(5)一年之中的四个季节; {春,夏,秋,冬} (6)所有小于20的素数; 2,3,5,7,11,13,17,19
(7)小于10的所有有理数. xQ x 0
2. {4,5,6,7,8, ……}
变式2:“由大于3小于10的实数组成的集合”如何表 示.参考: {x︱ 3 <x < 10}
尝试练习
用适当的方法表示下列集合:
课本P5 2
(1)不等式 x < 5 的解; x R x 5
(2)正三角形的全体;
x x是正三角形
(3)在平面直角坐标系中第三象限所有的点;
正整数组成的集合简称正整数集,记作N+ ;
整数组成的集合简称整数集,记作Z; 有理数组成的集合简称有理数集,记作Q; 实数组成的集合简称实数集,记作R.

北师大版高一数学必修1经典PPT课件

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4.1二次函数的图像
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4.2二次函数的性质
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习题2—4
2.3映射
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习题2—2
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阅读材料 生活中的映射
§2 对函数的进一步认识
北师大念
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2.2函数的表示法
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3.1交集与全集
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3.2全集与补集
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习题1—3
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§3 函数的单调性
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习题2—3
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§4 二次函数的再研究
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§5 简单的幂函数
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习题2—5
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阅读材料 函数概念的发展—— 从解析式到对应关系
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阅读材料
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本章小结
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复习题一
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习题1—2
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高中数学北师大版必修1课件第一章集合

高中数学北师大版必修1课件第一章集合
反思1.集合B中的代表元素为x,x满足的条件是x⊆A,即x是A的子
集,即集合B是集合A的子集组成的集合.
2.一个集合含有n个元素,则其子集的个数为2n,真子集的个数为
2n-1.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 在本例中将“集合B={x|x⊆A}”改为“集合B中含有
两个元素,且集合B={x|x∈A}”,求集合B的子集.
2.空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(A≠⌀).
3.对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;
若A=B,B=C,则A=C;
若A⫋B,B⫋C,则A⫋C.
4.当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记作A⊈B(或
B⊉A).
【做一做1-1】 写出集合{1,2,3}的所有子集.
解:集合{1,2,3}的所有子集是
反思解决此类问题的步骤:(1)利用集合相等的条件,建立方程或
方程组,求得参数;(2)把求得的参数值依次代入集合验证,若满足集
合中元素的三个性质,则所求是可行的,否则应舍去.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N,求a,b
的值.
2
= 2,
②B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0⇒a<-1.
综合(1)(2)可知,a≤-1或a=1.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 4】 已知集合 A={1,3, }, = {|2 − ( + 1) +
= 0, ≠1},B⊆A,则 m=
.
解析:由已知得B={1,m},因为B⊆A,且m≠1,所以m=3或 m= ,

北师大版必修第一册--第1章-1.1-第1课时集合的概念--课件(35张)

北师大版必修第一册--第1章-1.1-第1课时集合的概念--课件(35张)
值.
分析:1∈A→a=1或a2=1→验证互异性
解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1,当a=1时,a=a2,集合A中
只有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,
符合互异性,所以a=-1.
1.本例中若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范
围是什么?
解:由题意a和a2组成含有两个元素的集合,则a≠a2,解得a≠0且
A.0∈A B.a∉A C.a∈A D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,
∴a属于集合A,即a∈A.
答案:C
)
3.由x2,x3组成一个集合A,A中含有两个元素,则实数x的取值可
以是(
)
A.0 B.-1 C.1 D.-1或1
解析:验证法:若x=0,x2=0,x3=0,不合题意;
若x=1,x2=1,x3=1,不合题意;
(1)1
N+;(2)-3

(3)

(5)-
Q;(4)
N;
Q;
R.
答案:(1)∈ (2)∉ (3)∈ (4)∉ (5)∈
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错
误的画“×”.
(1)如果小明的身高是1.78 m,那么他应该是由高个子学生组
成的集合中的一个元素.( × )
么是,要么不是,两者必居其一,且仅居其一,故“等边三角形的
全体”能组成集合;同理可得,(2)能组成集合;(3)能组成集合;
(4)“聪明的人”没有明确的判断标准,对于某个人算不算聪明
无法客观判断,因此“聪明的人”不能组成集合;同理可得,(5)不能 Nhomakorabea成集合.

高中数学必修1 (北师大版) PPT课件 图文

高中数学必修1 (北师大版) PPT课件 图文

1、最简单的幂函数 yx,y1,yx2的图像. x
2、画出 y x 3 的图像.
描点法画图的步骤: 1、列表 2、描点 3、连线
3、将 yx,y1,yx2的图像与 y x 3
x
画在同一坐标系中.
幂函数简单的性质
几何画板
观察幂函数在第一象限的图像,归纳幂 函数的简单性质
(单调性、过定点、图像间的位置等)
即 y x,这样的函数称为幂函数。
练习:下列函数中,是幂函数的有______
① y = 2x2
③ y = x-4
⑤y = x3
② y (3x)2
1 ④ y = x2
⑥ y 2x
题后反思
幂函数解析式 y x 的特征:
① x 的系数是1
②底数只能是自变量 x
简单幂函数的图像
几何画板
所以函数图象在 0, 上成上凸姿势,函数是增函数,增长
的速度越来越缓慢;
谢谢! 学妹给我打电话,说她又换工作了,这次是销售。电话里,她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意,她说工作一点都不开心,找不到半点成就感。 末了,她问我:学姐,为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢? 我问她上一份工作干了多久,她 说不到 三个月 ,做的 还是行 政助理 的工作 ,工作 内容枯 燥乏味 不说, 还特别 容易得 罪人, 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因,结 果都是 大同小 异,不 是因为 工作乏 味,就 是同事 不好相 处,再 者就是 薪水太 低,发 展前景 堪忧。 粗略估计,这姑娘毕业不到一年 ,工作 却已经 换了四 五份, 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽,她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她,心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说, 姐

版高中数学 第一章 集合 1 第1课时 集合的含义课件 北师大版必修1.pptx

版高中数学 第一章 集合 1 第1课时 集合的含义课件 北师大版必修1.pptx
提示 要判断一个元素是否是一个集合的元素,只需看这 个元素是否具有这个集合中元素的特性.
9
题型一 对集合概念的理解
【例 1】 下列每组对象能否构成一个集合: (1)我们班的所有高个子同学; (2)不超过 20 的非负数; (3)直角坐标平面内第一象限的一些点; (4) 3的近似值的全体.
10
解 (1)“高个子”没有明确的标准,因此不能构成集合. (2)任给一个实数 x,可以明确地判断是不是“不超过 20 的 非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20 或 x<0”,两者必居其 一,且仅居其一,故“不超过 20 的非负数”能构成集合; (3)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点” 中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不 能构成集合; (4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断 一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
4
知识点二 元素与集合的关系
关系
概念
属于 如果_a_是__集__合__A____的元素, 就说a属于集合A
记法 __a_∈__A__
读法
a属于集 合A
不属 如果_a_不__是__集__合__A__中的元 于 素,就说a不属于集合A
_a_∉__A___
a不属于 集合A
5
【预习评价】
1.方程x2=1的解组成的集合为A,则下列各式正确的是( )
16
规律方法 判断元素与集合关系的两个步骤 (1)确定集合中元素的特征及ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ围. (2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在 限定的范围内.
17
【训练 2】 集合 A 是由形如 m+ 3n(其中 m,n∈Z)的数组成
的,判断2-1

北师大版高中数学必修一课件-1.1集合的含义与表示

北师大版高中数学必修一课件-1.1集合的含义与表示
说a不属于集合A,记作a A.
集合元素性质
(2)互异性:集合中的元素必须 是互不相同的.
(3)无序性:集合中的元素是无 先后顺序的.集合中的任何两个 元素都可以交换位置.
归纳抽象
写出集合的元素,并用符号表示 下列集合:
①方程x2 —9=0的解的集合;
②大于0且小于10的奇数的集合; 列举法:把集合的元素一一列出来
数学中一些常用数集及其记法
➢ 非负整数组成的集合简称非负整数集(或自然数 集),记作N;
➢ 正整数组成的集合简称正整数集,记作N+; ➢ 整数组成的集合简称整数集,记作Z; ➢ 有理数组成的集合简称有理数集,记作Q; ➢ 实数组成的集合简称实数集,记作R.
例题解析
例1 用列举法表示下列集合. ➢ 由大于3小于10的整数组成的集合; ➢ 方程x2-25=0的解的集合.
集合中的构成元素的特征:
①数组1,3,5,7.

②满足3x-2>x+3的全体实数.数
③到角两边距离之和相等的点的
集合.

④所有直角三角形.

⑤高一(1)班全体同学.

引入新知
如果a是集合A中的元素,就说a
属于集合A,记作a∈A;
如果a不是集合A中的 元素,就 说a不属于集合A,记作a A.
引入新知
集合的含义:
一般地,指定的某些对象的全体称 为集合.
集合中的每个对象叫作这个集
合的元素.
注意:任何一个集合它的组成元素
必须是确定的,不能模糊不清.即给定一 个集合,任何一个元素在不在这个集合 中就确定了.
练一练
1.判断以下元素的全体是否组成集合
,并➢我说国明的理小由.河流; ➢我班个子较高的男生; ➢所有好看的衣服.

高中数学北师大版必修1课件第一章集合本章整合

高中数学北师大版必修1课件第一章集合本章整合

12
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 新定义型集合问题
近几年,在各地的模拟试题和高考题中,新定义型试题经常出现,
其特点是先引入一些新符号或新定义的运算法则,然后要求学生利
用新知识解决问题,其目的是考查学生的自学能力.解答此类问题
的关键在于阅读理解上,要注意理解题目给出的信息,也就是要在
准确把握新信息的基础上,以旧带新,并结合已学过的知识解决.此
)
A.{4,8}
B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}
解析:根据补集的定义,知从集合A={0,2,4,6,8,10}中去掉集合B中的
元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为∁AB,即
∁AB={0,2,6,10},故选C.
答案:C
18
1
2
3
4
5
确定标准;(2)恰当分类;(3)逐类讨论;(4)归纳结论.
10
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B⊆A,求实数a的值.
提示:先根据已知条件求出A,再利用分类讨论思想解决.
解:A={3,5},
∵B⊆A,
∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,关于x的方程ax-1=0无解,则a=0;
类题目虽然表面“陌生”,但一般难度不大.
13
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P={x|x∈M,
且x∉P},则M-(M-P)=(
)
A.P
B.M∩P
C.M∪P

新教材高中数学第一章预备知识1集合1-1集合的概念与表示第1课时集合的概念课件北师大版必修第一册

新教材高中数学第一章预备知识1集合1-1集合的概念与表示第1课时集合的概念课件北师大版必修第一册

2.(多选题)下列关系正确的是( BD )
A.0∈N+
B.(√2 − √7)∉Q
C.0∉Q
D.8∈Z
3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边
形一定不是(
)
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
答案 C
解析 因为集合中的元素具有互异性,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选
可能只含有一个元素.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系;
(2)集合中元素的三个特性及应用;
(3)常用数集的表示.
2.方归纳:分类讨论.
3.常见误区:忽视集合中元素的互异性.
学以致用•随堂检测全达标
1.(2022湖北襄阳月考)判断下列各组对象可以组成集合的是(
)
(1)1
N+;
(2)-3
N;
1
(3)3
Q;
(4)√3
1
(5)-2
(6)π
Q;
R;
R+.
答案 (1)∈ (2)∉
(3)∈ (4)∉ (5)∈
(6)∈
重难探究•能力素养全提升
探究点一 集合的概念
【例1】 给出下列各组对象:
①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的
全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥ √的
第一章
第1课时 集合的概念
课标要求
1.通过实例,了解集合的含义.
2.掌握集合中元素的三个特征.
3.理解元素与集合的“属于”关系.
4.记住常用数集及其记法.

北师大版高中数学必修一全册课件

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数列的分类
按照项数是否有限,数列可分为有穷数列和无穷数列;按照项数是否递增,数列 可分为递增数列、递减数列和常数列。
等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和公式
$a_n = a_1 + (n-1)d$,其中$a_1$是首项 ,$d$是公差。
$S_n = frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
对数函数具有对称性,即对于任意实数 $x > 0$,有$log_a x = -log_a frac{1}{x}$。
对数函数总是经过点$(1,0)$;
对数函数的性质 对数函数是递增的;
指数函数与对数函数的应用
在金融中的应用
在实际生活中的应用
指数函数和对数函数在金融领域中有 着广泛的应用,如复利计算、股票价 格分析等。
三角函数的定义与性质
三角函数的性质
奇偶性:正弦函数和余弦函数是 奇函数和偶函数,正切函数是奇 函数。
三角函数的定义:三角函数是圆 的角度与其边长的比值或积的比 值,通常用希腊字母$sin$、 $cos$、$tan$等表示。
周期性:三角函数具有周期性, 最小正周期为$2pi$。
单调性:在每个周期内,正弦函 数、余弦函数和正切函数都有单 调区间。
指数函数和对数函数在实际生活中也 有着广泛的应用,如计算复利、求解 方程等。
在科学计算中的应用
指数函数和对数函数在科学计算中也 有着重要的应用,如求解方程、计算 复利等。
04
幂函数、三角函数与反三角函 数
Chapter
幂函数的定义与性质
幂函数的性质
奇偶性:当$n$为奇数时,幂函 数为奇函数;当$n$为偶数时, 幂函数为偶函数。
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题型一 集合的概念理解 【例 1】 考察下列每组对象能否组成一个集合. (1)美丽的小鸟; (2)不超过 20 的非负整数; (3)立方接近零的正数; (4)直角坐标系中,第一象限内的点. [思路探索] 首先分析各组的对象是否具有确定性,再作出判 断.
解 (1)中“美丽”的范畴太广,不具有集合元素的确定性,因 此不能组成集合; (2) 中 的 元 素 可 以 列 举 出 来 : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,共 21 个数; (3)中接近 0 的界限不明确; (4)中元素具有无限个,但条件明确,即所有横、纵坐标均大于 0 的点均在该集合中. 综上可知(2)(4)能组成集合;(1)(3)不能组成集合.
题型二 元素与集合的关系
【例 2】 已知所有奇数组成集合 M,则有( ).
A.1∉M
B.0∈M
C.2∈M
D.-1∈M
[思路探索] 根据集合 M 的元素特点,容易判断.
解析 A,B,C 不符合集合 M 的要求,只有 D 正确.
答案 D
规律方法 研究元素与集合的关系,一定要先弄清集合的构 成.根据集合中元素的特征解决问题.
∴所求 a=0 或 a=98.
(3)∵A 中至多一个元素.
∴A 有两种情况:A=∅,或 A 中只有一个元素.
由(1)(2)得,所求 a 的取值范围是 a=0 或 a≥98.
误区警示 因忽略集合中代表元素的表现形式而出错 【示例】 用列举法表示集合 A={(x,y)|y=x2,-1≤x≤1,x ∈Z}. [错解] 由-1≤x≤1(x∈Z),得 x=-1,0,1,代入 y=x2,得 y= 1,0,∴A={0,1}.
题型三 集合的表示方法——列举法与描述法 【例 3】 用适当的方法表示下列集合,并指出哪些是有限集, 哪些是无限集. ①大于 1 且小于 10 的自然数组成的集合; ②大于 1 且小于 10 的实数组成的集合; ③方程 x2-x-2=0 的实数解组成的集合; ④平面直角坐标系中函数 y=-x+2 图像上的点组成的集合. [思路探索] 将文字语言转换为符号语言,并用集合的形式表 示.用哪种表示方法要结合具体情况,灵活选择.而且有些集 合两种方法都行.
解 ①所求集合为{2,3,4,5,6,7,8,9},或者所求集合为{x∈N|1<x <10}; ②所求集合为{x∈R|1<x<10}; ③所求集合为{2,-1},或者{x|x=2 或 x=-1}; ④所求集合为{(x,y)|y=-x+2}. 其中①、③是有限集;②、④是无限集.
规律方法 (1)集合的表示方法要根据情况灵活选择.一般地, 有限集常用列举法,无限集常用描述法. (2)利用描述法表示集合时,要搞清集合中的代表元素是什么,
错解误把点集当数集,与{y|y=x2,-1≤x≤1,x∈ Z}混淆.因此,解集合题时一定要弄清集合的本质是什么,而 集合的本质取决于代表元素的表现形式.
[正解] 由-1≤x≤1(x∈Z),得 x=-1,0,1,代入 y=x2,得 x=-1, x=0, x=1, y=1, y=0, y=1, ∴A={(-1,1),(0,0),(1,1)}.
5.集合的表示方法 (1)列举法:把集合中的 元素 一一列举出来,写在 大括号 内 的方法. (2)描述法:用确定的 条件 表示某些对象属于一个集合,并写 在大括号内表示集合的方法. 格式:{x∈A|P(x)},其中 x 是集合中的代表元素,A 是 x 的取 值范围,P(x)是 x 满足的共同特征.竖线不可省略.
解 (1)∵A=∅,∴关于 x 的方程 ax2-3x+2=0 无实根,故
a≠0, Δ=9-8a<0,
解得 a>98.
(2)∵A 中只有一个元素,∴关于 x 的方程 ax2-3x+2=0 只有
一个实根或有两个相等的实根.当 a=0 时,方程只有一个实根
x=23;当 a≠0 时,Δ=9-8a=0,解得 a=98.
规律方法 判定指定对象能否构成集合,关键是看作为集合的 元素是否具有确定性,也就是在于能否找到一个明确的标准, 来衡量某一对象是否在这个标准内.另外,还要注意集合中元 素的互异性和无序性.
【训练 1】 下列能构成集合的是( ). A.中央电视台著名节目主持人 B.北京市内跑得快的汽车 C.上海市所有的高中生 D.爱好唱歌的人 解析 A,B,D 中没有明确的标准,不符合集合的定义,不能 构成集合,只有 C 能构成集合. 答案 C
【训练 2】 给出下列命题: ①若 a∈Z,且 a∈N,则 a∈N+; ②若 a∈N,则-a∉N; ③若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值是 2. 其中所有正确命题的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ∵Z 表示整数集,N 表示自然数集,N+表示正整数集. ∴①当 a∈Z,且 a∈N 时不能推出 a∈N+. 例如 a=0 时,a∈Z 且 a∈N,但 a∉N+.故①不正确; ②当 a=0 时,a∈N,-a=0∈N,故②也不正确; ③当 a∈N 时,a 的最小值为 0,同样 b 的最小值也为 0,故 a +b 的最小值为 0,从而③也不正确. 综上可知,正确命题的个数为 0,故选 A. 答案 A
6.集合的分类 按照集合中元素个数是否有限将集合分为有限集 和无限集 .不 含任何元素的集合叫做 空集 ,记作 ∅ .
名师点睛 1.对集合概念的理解 集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样,是集合论中的 原始概念,只进行描述说明,无法定义概念.教材中对集合的 描述是:“指定的某些对象的全体称为集合.”应抓住“指 定”“对象”“全体”三点加以全面理解.
研究一个集合首先要看集合中代表元素的表现形式, 然后看元素的限制条件.
想一想:请你结合具体例子,试比较用列举法、描述法表示集 合时,各自的特点和适用对象? 提示 列举法的特点是集合中元素清楚,适用于有限集(元素个 数较少)或有很强的规律性的无限集(如正整数集 N+= {1,2,3,…}).描述法的特点是体现集合中元素的所有共同的属 性,有一定的格式要求,适用于能找到共同属性的无限集和有 限集.
【解题流程】
[规范解答] (1)当 a=0 时,方程转化为-2x+2=0,解得 x=1, 此时 M={1},满足条件;(4 分) (2)当 a≠0 时,方程为一元二次方程,此时只需 Δ=4-8a≤0, 即 a≥12时,方程无根或有两个相等的实数根.(10 分) 综合(1)(2)可知,当 a≥12或 a=0 时,集合 M 中至多有一个元 素.(12 分)
(2)描述法 用符号描述法表示集合时注意:①弄清元素所具有的形式(即代 表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是 其他形式?②元素具有怎样的属性?当用了其他字母来描述元 素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所 迷惑.
3.空集 理解空集应注意:0,∅,{0},{∅}是不同的.0 表示一个元素(一 个数);∅表示一个集合,不含任何元素的集合;{0}表示只含有 一个元素 0 的集合;{∅}是由∅组成的单元素集,因此∅∈{∅}.
高中数学课件
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§1 集合的含义与表示
【课标要求】 1.使学生初步理解集合的基本概念和集合中元素的特性,能举 出是集合的例子和不是集合的例子. 2.了解“属于”关系的意义,会判断给定元素与给定集合的关 系. 3.掌握表示集合方法,会用列举法与描述法表示集合,能将集 合的两种表示相互转化.
2.对集合的表示方法的理解 (1)列举法 用列举法表示集合时,必须注意如下几点:①元素与元素之间 必须用“,”隔开;②集合的元素必须是明确的;③不必考虑 元素出现的先后顺序;④集合的元素不能重复;⑤集合的元素 可以表示任何事物;⑥对含有较多元素的集合,如果构成该集 合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素 间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如 N+={1,2,3,…}.
【核心扫描】 1.集合的基本概念.(重点) 2.集合的表示方法.(重点) 3.理解空集的概念.(难点) 4.准确认识集合中代表元素的表现形式.(疑点)
1.集合与元素的概念 一般地,指定的某些对象的 全体 称为集合,集合中的每个对象 叫做这个集合的元素. 2.元素与集合的关系 若元素 a 在集合 A 中,就说元素 a 属于集合 A,记作 a∈A; 若元素 a 不在集合 A 中,就说元素 a 不属于集合 A,记作 a ∉ A.
如 A={y|y=x3},B={(x,y)|y=x3},则 A 中的元素为数 y,B 中的元素为点(x,y).
【训练 3】 试选择适当的方法表示下列集合: (1)由方程 x2-2x+1=0 的所有实数根组成的集合 A; (2)由不等式 2x+1>0 的所有解组成的集合 B. 解 (1)用列举法表示: 方程 x2-2x+1=0 的实数根为 1,因此 A={1}. (2)不等式 2x+1>0 的解有无数个,且它们的共同特征是 x∈R 且 2x+1>0,所以这个集合可用描述法表示为 B={x∈R|2x+1 >0}.
Hale Waihona Puke 3.集合中元素的特征 集合的元素必须是 确定的 ,不能确定的对象不能构成集合.集 合的元素一定是 互异的 ,相同的几个对象归于同一个集合时 只能算作一个元素.集合的元素是无顺序差别的 . 4.几个特殊数集的记法: 非负整数集(或自然数集)N ,正整数集 N+,整数集 Z ,有理 数集 Q ,实数集 R .
【题后反思】 集合与方程的综合问题,一般要求对方程中最高 次项系数的取值进行分类讨论,确定方程根的情况,进而求得 结果.在讨论一元二次方程的实数根个数时需特别关注判别式 的作用.
【训练 4】 已知集合 A={x|ax2-3x+2=0},其中 a 为实数. (1)若 A 是空集,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求实数 a 的值; (3)若 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围.
题型四 集合与方程的综合问题 【例 4】 (本题满分 12 分)集合 M={x|ax2-2x+2=0,x∈R} 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围. 审题指导 集合 M 中至多有一个元素可以转化为讨论方程 ax2 -2x+2=0 的根的个数问题.由于方程中最高次项的系数为参 数,因此需对参数进行讨论.
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