常微分方程试卷 答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学与应用数学专业《常微分方程》试卷B
一、 选择题（3分⨯8=24分） 1、（ A ）是一阶线性微分方程。
A ．y y x ='2
B ．2
y y =' C ．
x y y +=
'1
D ． y
e y ='
2、（ B ）不是变量可分离微分方程。 A ．x
y
y ++=
'11 B ．1--='y x y y C ． 022=+dy x dx y D ．0=+x dy y dx
3、下列等式中为微分方程的是 （ D ）
A ．()'='+'uv v u v u
B ．()
dx e y d e dx dy x x
+=+ C. ()'''v u v u +=+ D.
x e y x
sin '+= 4、向量组在区间I 上线性相关是它们对应的朗斯基行列式在I 上为零的（ C ）
A ． 充分非必要条件
B ． 必要非充分条件
C ． 充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、若方程0=-''y y λ存在满足()()010==y y 的非零解，则λ为（ B ） A ．2πλ= B ．2πλ-= C ．πλ= D ．πλ-=
6、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是（ B ）
A ．
)(y N x N y M ϕ-=∂∂-∂∂ B ．)(x N x N
y M ϕ=∂∂-∂∂ C ．
)(y M x N y M ϕ-=∂∂-∂∂ D ．)(y M x
N
y M ϕ=∂∂-∂∂ 7、微分方程082=-'-''y y y 的通解为 （ B ）
A ．x x e c e c y 2241--=
B ．x x e c e c y 2241+=-
C ．()2241c e e c y x x ++=-
D ． x x e e y 243-=-
8、方程2
1
2-='y y 的通过点（0，0）的解的最大存在区间是（ A ）
A ．（-∞，+∞）
B ．（-2，+∞）
C ．（-∞，2）
D ．（-2，2） 二、求解方程0)(42=
++dx y x y xdy 。（10分）
解：所给微分方程可写成 0)(4
2
=++dx y x ydx xdy
即有 0)(42
=+dx y x xy d 上式两边同除以4
)(xy ，得
01
)()(24
=+dx x
xy xy d 由此可得方程的通解为 131)(31c x
xy =--
即 3
3
3
231y cx y x =+ )3(1c c -=
三、求微分方程 e
x
y y 21=
-''的通解（10分）
解：对应齐次方程的特征方程为 012
=-λ
特征根1±=λ，对应齐次方程通解 e
c e
c x
x
y -+=21
由于1=α是特征方程的根，故方程有形如e y
x
Ax =1
的特解
将它代入原方程 2e
e e e
x
x
x x
Ax Ax A
21=
-+ 从而 A=
41 故e y x x 411=
通解 y=e x x
x x e c e c 4
121++-
四、解微分方程
x x y y 2552+-='-'' （10分）
解：
052
=-λλ
，0)5(=-λλ特征根 01=λ ，52=λ
齐次方程通解e
c c x
y 52
1
+=
由于1=α是单征根，故非齐次方程有形如
)(2
1
C Bx A x x y
++=的通解
将它代入已知方程，并比较x 的同次幂系数
得31=A 0=B 0=C 故x y 3
13
1=
故通解为e
c c x x
y 521331+=+
五、解微分方程
x
y
x y dx dy tan +=（10分）
解：令y=xu 代入方程中， 得u u u dx
du
x
tan +=+ 即
x
u
dx du tan =
当时0tan ≠u ，分离变量和积分 得c x u 1
ln sin ln +
=
即cx u =sin )0(≠c
当时0tan =u ，为方程解
故方程为sin u=cx 将y=xu 回代上解的sin
cx x
y
= 六、求解微分方程 x y y sin 2=+''的通解（12分）
解： 齐次方程是0=+''y y 得012
=+λ
得出i ±=12λ 故x c x c y sin cos 21+=
由于i 是特征方程的单根，故所求特解应具有形式)sin cos (1x B x A x y += 现将上式代入原方程
A x
B x A x x Bx A x Ax B sin 2)sin cos (sin )2(cos )2(=+++--
可求出x x y B A cos ,0,11-==-=
因而，所求通解为 x c x c x x y sin cos cos 21++-=