模型参考自适应控制—MIT法

一 原理及方法

模型参考自适应系统，是用理想模型代表过程期望的动态特征，可使被控系统的特征与理想模型相一致。一般模型参考自适应控制系统的结构如图1所示。

图1 一般的模型参考自适应控制系统

其工作原理为，当外界条件发生变化或出现干扰时，被控对象的特征也会产生相应的变化，通过检测出实际系统与理想模型之间的误差，由自适应机构对可调系统的参数进行调整，补偿外界环境或其他干扰对系统的影响，逐步使性能指标达到最小值。

基于这种结构的模型参考自适应控制有很多种方案，其中由麻省理工学院科研人员首先利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律，简称为MIT 自适应控制，其结构如图2所示。

图2 MIT 控制结构图

系统中，理想模型Km 为常数，由期望动态特性所得，被控系统中的增益Kp 在外界环境发生变化或有其他干扰出现时可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离。而Kp 的变化是不可测量的，但这种特性的变化会体现在广义误差e 上，为了消除或降低由于Kp 的变化造成的影响，在系统中增加一个可调增益Kc ，来补偿Kp 的变化，自适应机构的任务即是依据误差最小指标及时调整Kc ，使得Kc 与Kp 的乘积始终与理想的Km 一致，这里使用的优化方法为最优梯度法，自适应律为：

⎰⨯+=t

m d y e B Kc t Kc 0)0()(τ

Yp Ym

e

+__

+

R

参考模型

调节器被控对象

适应机构

可调系统

———kmq(s)p(s)Kc

Kp

q(s)-----p(s)

适应律

R

ym

yp

e

+-

MIT 方法的优点在于理论简单，实施方便，动态过程总偏差小，偏差消除的速率快，而且用模拟元件就可以实现；缺点是不能保证过程的稳定性，换言之，被控对象可能会发散。 二 对象及参考模型

该实验中我们使用的对象为：

1

22

)()()(2++==s s s p s q K s G p

p 参考模型为：

1

21

)()()(2++==s s s p s q K s G m

m 用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，设可调增益的初值Kc(0)=0.2，给定值r(t)为单位阶跃信号，即r(t)=A ×1(t)。A 取1。 三 自适应过程

将对象及参考模型离散化，采样时间取0.1s ，进而可得对象及参考模型的差分方程分别为：

)2(0044.0)1(0047.0)2(8187.0)1(8079.1)(-+-+---=k r k r k y k y k y m

)2(0088.0)1(0094.0)2(8187.0)1(8097.1)(-+-+---=k u k u k y k y k y p p p

其中u 为经过可调增益控制器后的信号。编程进行仿真，经大量实验发现，取修正常数B 为0.3，可得较好的动态过度过程，如下图3所示：

图3 仿真结果

由图3中第一个图形可以看出，在阶跃扰动后，经过一段时间对象的输出完全跟踪上了理想模型的值，系统最终趋于稳定；由第二个图可以看出，当系统稳定后，Kp*Kc等于Km，说明补偿环节达到了期望的补偿效果，这与系统设计的目标一致；由第三个图可以看出，在控制的动态过程中，偏差的总和是比较小的，而且偏差的消除是很快的，这是由于所选用的优化方法为最有梯度法的结果。

在1中我们已经得到一个能使对象得到较好控制的参数B=0.3，在此情况下，我们将Kp 取为1，对应于实际中即指对象增益发生漂移，再做仿真，结果如图4所示。

图4 对象增益变化后的仿真图

由图4我们可以看出，在一个适当的修真参数B下，当对象的特性参数Kp发生漂移后，控制器依然能很好的控制对象，这也证明了MIT方法的自适应特性。而且我们发现，当Kp 由2变为1后，控制器的控制效果更好了，具体表现为振荡减弱，过渡过程有所加快，关于导致这一现象发生的原因，我们会在第四部分中做详细的分析与说明。

四研究分析

1 对于一个被控过程，系统能稳定运行是设计与控制的首要指标，然而如前所述，依据最优控制的原则设计出来的MIT自适应控制器却可能会使得系统不稳定，输出发散，以下我们对此做一研究，以期找出其中的相关信息。

我们设某连续二阶对象为：

1

)

()()(122++=

=

s b s b Kp

s p s q K s G p

则有：

p

m m m m m c p p p p p y y e R K y y b y b R K K u K y y b y

b -==++==++ 1212

控制律为：

m

Bey c K = R 为一阶跃信号，即R(t)=A ×1(t)， 则偏差的动态方程为：

0212=+++e A K BK e e b e

b m p 根据劳斯稳定判据，列出劳斯行列式：

1

10

12

2112

1

223

s b A K BK b b s A K BK b s b s m p m p -

得知，对于该连续系统，当212/b b A K BK m p >时会不稳定。

试验中Kp=2，Km=1，A=1，1,221==b b ，因而对于连续系统，可求得当B=1时，系统将会等幅振荡。现取B=1，得仿真曲线如图5所示。

图5显示，当B 为1的时候系统发散，另取原使系统稳定的B=0.3，计算出此时可使系统振荡的阶跃幅值A=sqrt(1/0.3)做仿真，结果如图6所示：图6显示结果与图5一样，系统也发散。

图5、6过程中所取参数均为由劳斯判据所得临界值，然而系统并未做等幅振荡，而是发散，这似乎使得理论计算与仿真结果不符。但稍作分析我们就会发现，问题在于我们仿真时用的是离散化的模型，而所用参数为由连续系统计算所得。我们知道用连续系统分析的结论是不完全适用于离散系统的，这是因为随着采样时间取不同的值，同一对象的连续特性和离散特性会不同。因而对于离散系统，我们对其做稳定性分析时还需考虑采样时间的影响。正确的做法应是：将连续开环对象做Z 变换，进而得到闭环的Z 域特征方程，对此方程做双线性变化，然后对所得w 域方程列出其劳斯阵列，应用劳斯稳定判据即可得到使离散系统做等幅振荡的相关参数。本实验中广义偏差方程为三阶系统，在应用采样系统的劳斯稳定判据时需要求解含有参变量的三解方程的解析解，运算量较大，因而这里未做相应的求解。只是对其做一些定性的分析，指出对于同一对象，使得连续系统和离散系统做等幅振荡的参数B 是不一样的，因而仿真的结果并没有问题。