高中数学复习课件-3.3几何概型

设∠A＝x， ∠B＝y，则
A
0 x , 0 y x.
它们构成本试验的样本空间 S.
0
B
C
0
构成锐角三角形的(x,y)应满足的条件是：
x y
2
2
, ,
x
y
2
0 x , 0 y x.
0
x
2
,
0
y
2
,
x
y
2
y
S
2
O
2
由几何概率计算得所求概率为 1
4
x
巩固练习：
点是等可能的,所以符合几何概型的条件.
根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在 离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以
602 302
P(A)
2 87.5%.
602
例4.在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构成锐角三
角形的概率.
解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成的三角形内
角分别为∠A、 ∠B、 ∠C.
y
即 点 M 落在图中的阴影部
分．所有的点构成一个正方 5
形，即有无穷多个结果．由 于每人在任一时刻到达都是
4 3 2
等可能的，所以落在正方形 内各点是等可能的．
1
.M(X,Y)
0 1 2 3 4 5x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
阴影部分的面积 P( A) 正方形的面积
25 2 1 42
问：参加者获奖的概率有多大？
设阶砖每边长度为a , “金币”直径为r .
若“金币”成功地落 a 在阶砖上，其圆心必
A
位于右图的绿色区域
A内.
S
a
问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投 点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内 的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
p
A的面积 S的面积
a
A
(a r)2 a2
（1）试验中的基本事件是什么？
微生物出现的每一个位置都是一个基本事件, 微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
上面三个随机试验有什么共同特点？
(1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性．
对于一个随机试验,我们将每个基本事件 理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点,该区域中每一个点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到所 述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域 可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方 法处理随机试验,称为几何概型.
p2
1 20
p3
1 10
p4
1 5
绿
黄
商品，就能获得一次转动转盘
的机会. 如果转盘停止时，指针 黄
绿
正好对准红、黄或绿的区域，
绿
顾 客 就 可 以 获 得 100 元 、 50 元 、 20元的购物券（转盘等分成20
绿红
份）.
甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？
他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？
p1
7 20
几何概型要求基本事件有无限多个.
回顾小结：
3.几何概型的概率公式.
P(A)
构成事件A的区域长度（面积或体积）
.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
4.几何概型问题的概率的求解.
补充例题讲解：
例1．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一
点M，求AM小于AC的概率．
C
解： 在B上截取AC’＝AC，
数学运用：
例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,求他等待的时 间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心 的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内,因此由几何概型的求概率的公式得
P(A) 60 50 1 ,
60 6
答：“等待的时间不超过10分钟”的概率为
6:30—7:30之间
报纸送到你家
7:00—8:00之间
父亲离开家
问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率
是多少?
提示：
如果用X表示报纸送到时间 用Y表示父亲离家时间
那么X与Y之间要满足哪些关系呢？
解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标
Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一
2
9
25
25.
答：两人会面的概率等于
y
5 4 3 2 1 90 1
25
y-x =1 y-x =-1
234 5 x
【变式题】假设你家订了一份报纸
送报人可能在早上6:30—7:30 之间把报纸送到你家
你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间
问你父亲在离开家前能得到报纸 (称为事件A)的概率是多少?
数学理论：
古典概型的本质特征： 1、基本事件的个数有限， 2、每一个基本事件都是等可能发生的． 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等
可能性，就得到几何概型．
几何概型的本质特征： 1、有一个可度量的几何图形S；
2、试验E看成在S中随机地投掷一点；
3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．
8
.
P
∠APB ＝90°？
A
B
d的测度 0
P(B) D的测度 a2 0.
概率为0的事件可能发生！
回顾小结：
1.几何概型的特点：
⑴、有一个可度量的几何图形S； ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点； ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．
2.古典概型与几何概型的区别.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个，
（1）试验中的基本事件是什么？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位
置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微
生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升， 求小杯水中含有这个微生物的概率.
能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
0<r<a
a
由此可见，当r接近a, p接近于0;
而当r接近0， p接近于1.
若r>a, 你还愿意玩这个游戏吗？
例 3. (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 17点之
间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在
这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影
响．求二人能会面的概率.
解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是
1、某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，
乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等
车不超过3分钟的概率.
p3 5
2、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别
计算它落到阴影部分的概率.
P1
1
P2
3 8
3、某商场为了吸引顾客，设立
了一个可以自由转动的转盘，
并 规 定 ： 顾 客 每 购 买 100 元 的
故AM＜AC的概率等于
AM＜AC’的概率．
A
记事件A为“AM小于AC”，
M
C’ B
P( A) AC AC AC 2 AB AB 2AC 2
答：AM＜AC的概率等于
2 2
例2. 抛阶砖游戏.
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者 只须将手上的“金币”（设“金币”的直径为 r）抛 向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若 恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围 内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.
1
．
6
例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率．
30m
20m
2m
解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”（见阴影部分）
P（A）＝
d的测度 D的测度
＝
30 20 2616 184 0.31
30 20
600
答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.
例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随 机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.
解:记“豆子落入圆内”为事件A,则
圆 面 积 a2
P(A)= 正 方 形 面 积 4a2 4
答:豆子落入圆内的概率为
4
撒豆试验：向正方形内撒n颗豆子，其中有m颗落在
圆内，当n很大时，频率接近于概率．
问题情境：
问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外 向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金 色靶心叫“黄心”．
奥运会的比赛靶面直径为 122cm，靶心直径为12.2cm， 运动员在70m外射．假设射箭 都能中靶，且射中靶面内任意 一点都是等可能的，那么射中 黄心的概率有多大？
能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
（1）试验中的基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可
以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
3m 能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
P(A) m m 4m .
n 4n
n
练一练
练习1. 在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出 现，记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（C ）