数学物理方法--球函数
球函数 数学物理方法
第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
湘潭大学数学物理方法课件之101轴对称球函数
(l 2)(l 3) (2 l 4)! 2 al 4 al 2 (1) (4)(2l 3) 2!2l (l 2)!(l 4)! (l 4)(l 5) (2l 6)! 3 al 6 al 4 (1) (6)(2l 5) 3!2l (l 3)!(l 6)!
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 中 k l / 2 n 的那一项，所以
[ l / 2] k
n
(2n)! (2n)! n n (2n 1)!! P2 n (0) (1) n (1) (1) n 2 2 n !2 n ! [(2n)!!] (2n)!!
数学物理方法
将多项式乘以适当的系数，称为 l 阶勒让德多项式，记作 Pl ( x) 。由于 m 0 时 ( ) 常数，是轴对称的。轴对称 球函数 Y ( , ) 简化为 P l ( x) 。 下面具体写出勒让德多项式。通常约定，用适当的常数乘 以本征函数，使最高次幂项 xl 的系数
dl 1 ( x 2 1)l d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl 1 dx
1
l
一次一次分部积分共 l 次，即得
(1) N 2l 2 (l !)2
2 l
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
注意到 ( x2 1)l 是 2l 次多项式，它的 2l 阶导数也就是最
l/2 1 π 1 π 2 2 cos sin d d 1 π 0 π 0
数学物理方法
*（二）第二类勒让德函数 略。
（三）勒让德多项式的正交关系 作为施图姆－刘维尔本征值问题的正交关系的特例，不同 阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上正交。
第四章球函数及其性质
(四)连带勒让得函数
为了得到[1,1]中的有界解，我们仍然取a=n(n+1)，其中n为大于等
于零的整数，此时
显然，若n为偶数，则B1(x)中的无穷
级数变成多项式，B2(x)中的无穷级数保持为无穷级数;若n为奇数，则
B1(x)中的无穷级数保持为无穷级数，B2 (x)中的无穷级数变成多项式。
这两个多项式都在[一1,1]中有界，因而由它们得到的B1 (x)或B2(x)也有
对于上式中的两个级数来说，我们可以将 看成是x平 方的幕级数，将 看成是x与 -x2的幕级数之积。 对于这两个幕级数来说，由于它们具有相同的递推公式， 收敛半径也必然相等，有：
就是说，当x在(-1,1)中时，前面的两个级数解都是收教 的，表明这两个解都有界。当x=士1时，两个级数解均 无界。
(三)勒让得函数
(二)分离变量法
令上式等于零，然后两边同乘以平方 ，得球坐标中的拉普拉 斯方程
分离变量法就是将方程的解分解为依赖于不同自变量的函数 之积。令
得 两边同除以
移项得：
等号两边必然等于同一常数 ，所以
进一步对第二个方程作变量分离，令 有： 移项，并令两边同等于 ，整理得：
令 xcos 将上式进行改化，得连带勒让德方程：
界。则连带勒让得方程在[-1,1]中的有界解为
将Pn的表达式代入，得
得
经度方向方程的求解
3.4 球函数
在第一节中，我们将球坐标中的拉普拉斯方程的解分解成
了
三个函数的积，并解出：
最后，我们来求解
当趋于零时，
界的调和函数。 外部有界的调和函数。
。 所以， 适用于研究内部有
，
适用于研究
由分离变童法求得的拉普拉斯方程最一般的解为所有可能的
数学物理方法--球函数
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
数学物理方法第十章球函数
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
u l0Blrl1Pl(cos)
第一章 球函数章
对比级数中 Pl (cos ) 项的系数有
1 A0 u 0 3
2 A r u0 3
2 2 0
Al 0
(l 0, 2)
1 2 r 所以 u (r , , ) u 0 P0 (cos ) u 0 3 3 r0
P2 (cos )
Y ( , ) ( )( )
2 ( ) m ( ) 0
满足自然周期条件: ( 2 ) ( ) 即 u(r , , 2 ) u(r, , ) 的解为
( ) A cosm B sin m
m 0, 1, 2,
例2：在球 r r0 的内部求解 u 0 ， 使满足边界条件 u r r u 0 cos 2 。
0
解： 定解条件与 无关，本问题是轴对称问题。
u (r , , ) ( Al r Bl
l l 0
1 r
l 1
) Pl (cos )
r r0
u r 0 有限
k k 2 l k C ( 1) ( x ) l k 0 l
1 dl l 2 l! dxl
l 2
l (1) k l! 2l 2k (1) k d l 2l 2 k x l x l k 0 k!(l k )! k 0 2 k!(l k )! dx l
(1) k l (2l 2k )( 2l 2k 1) (l 2k 1) x l 2 k k 0 2 k!(l k!)
u(r, , ) R(r )Y ( , )
d R dR r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
2 2
欧拉方程
大学物理-球函数
u12ur 10有0限,
(0 r a) u1 ra u0
(1) (2)
2u2 0
(a r )
(3)
u2
ra u0 ,
lim
r
u2
E0 r
cos
(4)
(2) 对称性及通解形式。本题有轴对称性，因为接地 导体为等势体，故球内、外电势可分别表示为
(5)
(3) 定系数。将式 (5) 的 u2 代入式 (4) 得到
函数 Ylm ( , ) 进行展开
(8-3-19)
其中展开系数 Clm 可以利用 Ylm ( , ) 的正交归一性求得
(8-3-20)
d
(d = sindd：立体角元)
(四) 球坐标系下拉普拉斯方程的通解 球坐标系下的拉普拉斯方程为：
分离变量，令 其中： 则，特解为
由叠加原理，得到通解： 通解的另一种形式：
Yl m (0,)
(l
(l
m )!(2l
m )!4
1)
Pl
m
(1)ei
m
由 (8-2-7) 式知，当 m' = 0 时，Pl m (1) 0，而 Pl (1) = 1。故
Yl m (0,)
(2l
4
1)
m0
将上式代入 (8-3-24) 得到
B0
4
2l 1Yl*m源自(',')
Am
4
2l
一方面，如果以 k' 为轴建立球坐标系，则 k'' 的极角和方位
角分别用 , 表示。如前图所示 (图中未画出 角)。
以 , 和 '' , '' 为变量的球函数是 = l (l + 1) 的方
数理方程总结(球函数)
球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。
得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。
P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解 作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0） 证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。
第十章 球函数
2 lm
故物理上取归一化球函数
1 m Ylm (θ , ) = Pl (cosθ )eim Nlm
place方程的解
指数形式: u (r , θ , ) = ∑ ∑ A
l l=0 m =l ∞
rl + lm
1 l k 2 l lk 1
∞ l =1 l l
2l + 1 fl = 2
1
∫ f (x )P (x )dx , (8 )
l
1
二.Laplace方程在轴对称时的通解 在轴对称时物理量绕对称轴转动不变,在球坐 标下Laplace方程: △u= 0的通解为
Bl l u (r , θ ) = ∑ Al r + l +1 Pl (cos θ ), (1) r l =1
∞
(1)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有 两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0, ∞ Bl = 0, u = ∑ Al r l Pl (cos θ ), (2 ) u有限, l =0 而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域 两系数由球面的边界条件与r→∞, 两个条件 确定.
Pl ( x ) =
l l 1 或 2 2
(2l 2n )! l 2 n ∑ ( 1) n!2l (l n )!(l 2n )! x .(1) n =0
n
前几项为
P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ, P2(x)=(3x2-1)/2, ….. 一般勒让德多项式的幂次取决L 当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0
=
∑
∞
北京大学数学物理方程讲义第十六章：球函数
f (x) = clPl(x)
l=0
当然, 展开系数由 Legendre 多项式的正交性得到
1
cl Pl(x) 2 = f (x)Pl(x)dx
−1
2l + 1 1
cl = 2
f (x)Pl(x)dx
−1
Example 16.1 将函数 f (x) = x3 按 Legendre 多项式展开.
Solution x3 为3次多项式, 而
方程+齐次边界条件构成本征值问题
d (1 − x2) dy + ν(ν + 1)y = 0
dx
dx
y(±1)有界
3
方程通解为 y(x) = APν(x) + BQν(x)
y(1) 有界, 而 Qν(x) 含对数项, ln(x − 1) 在 x = 1 无界, 所以 B = 0,
y(−1) = APν(−1)
(4)
即 θ = 0, π 不是方程解的奇点.
1
方程(3)为 Legendre 方程. 作变换
x = cos θ y(x) = Θ(θ)
Legendre 方程改写为
d (1 − x2) dy + λy = 0
(5)
dx
dx
16.1 Legendre 方程的解
令 λ = ν(ν + 1), 展开
(1
∼
(n + 1)2n+1e−(2n+2)
e
ν
ν+n+1/2
ν + 1 n−ν
=
1+
1−
n+1
n+1
n+1
→ e eν e−ν−1 = 1
第10章_球函数
2
球坐标系中
u 0
1 Y 1 Y (sin ) 2 l (l 1)Y 0 球函数方程 2 sin sin
Y ( , ) [ A cos(m ) B sin(m )] ( )
式中 x cos
2 2 m d d 连带勒让德 (1 x 2 ) 2 2 x ] 0 [l (l 1) 方程 dx dx 1 x2
(2l 4)! (l 2)(l 3) 2 al 2 (1) l 2!2 (l 2)!(l 4)! (4)(2l 3)
al 4
al 6
(2l 6)! (l 4)(l 5) 3 al 4 (1) l 3!2 (l 3)!(l 6)! (6)(2l 5)
(一) 勒让德多项式 (1) 勒让德多项式的具体表达式 勒让德方程的级数解： y ( x)
a x
k 0 k
k
[l (l 1) 2] l (l 1) a3 a1 a2 a0 3 2 2 1 l (l 1) k (k 1) ak 2 ak (k 2)(k 1)
l n 0,1, 2, ,[ ] 2
[l/2]表示不超过 l/2的最大整数
l [ ] 2
l
l/2
(l 1) / 2
k
[ l /2]
(l 为偶数) (l 为奇数)
k
(2l 2k )! l 2 k x Pl ( x) ak x (1) l 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 k 0
l
11
1 d 1 d l 2 ( x 1) l l l l 2 l ! dx 2 l ! dx
数学物理方法课件 第十二章-球函数 -2
§12.3 勒让德多项式的应用举例勒让德多项式在物理学领域中的应用：电磁学：计算静电场分布；热学：计算温度场分布；量子力学：计算粒子的波函数；量子力学计算粒子的波函数原子分子物理：计算原子分子的碰撞截面；等离子体物理：计算电子的能量分布函数；等离子体物理计算电子的能量分布函数核物理：计算中子输运；……如下仅讨论勒让德函数在计算静电场分布中的应用。
思考题：一个半径为r=a 的导体球壳，球面上的电势分布：0 0/2(,)u u a θπθ<<⎧=⎨−求球壳内任一点的电势分布。
0 /2u πθπ<<⎩例3 设一个半径为a 的均匀介质球，其介电常数为ε 。
在离球心为 b 的地方放置个电量为求在介质球内外的电势分布方放置一个电量为q 的点电荷( b>a )。
求在介质球内外的电势分布。
rθ分析：（1）取介质球的球心为坐标原点，z 轴通过点电荷所在的位置见右图显然该问ozbq a通过点电荷所在的位置，见右图。
显然该问题具有轴对称性，与方位角度无关，即具有轴对称性。
（2）点电荷的存在将在球面上产生极化电荷，但这种极化电荷只存在球面上，因此极化电荷产生的电势满足拉普拉斯方程：)()()∞⎧2(,)0p u r θ∇=01(,(cos l p l l l l u r A r P r a θθ=∞−−=<⎪⎪⎨⎪=∑0(,)(cos )()p l ll u r D r P r a θθ=>⎪⎩∑1. 球函数的定义：实数形式的球函数：⎧cos (,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)sin mml l m Y P m l l m ϕθϕθϕ⎫===⎨⎬⎩⎭记号{}表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其一。
记号{ } 表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其。
||(,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)m m im l l Y P e m l l ϕθϕθ==±±±±=复数形式的球函数：可见：对于给定的l 值，共有2l+1个线性无关的球函数。
10. 球函数
∫+1
−1 Pk (x)Pl (x)dx = 0,
(k ≠ l)
∫π 0
Pk (cosθ )Pl (cosθ ) sinθdθ
=
0.
带权的正交
(k ≠ l)
• （三）勒让德多项式的模：
∫ Nl2 =
+1
[
−1
Pl
(x)]2 dx
=
2. 2l +1
• 利用罗德里格斯公式，并采用分部积分的办法可 以证明上式成立。p280
我们发现对于奇数和偶数次幂的级数解只有一个能满足自然边界条件的解它要求?必须为整数从而使无穷级数截断为有限阶称作?阶勒让德多项式
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
1
sin θ
∂
∂θ
⎜⎛ sin θ
⎝
∂Y
∂θ
⎟⎞ + ⎠
§10.2 连带勒让德函数
• （一）连带勒让德的函数满足的方程(m≠0)：
(1
−
x2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
m2 1− x2
]Θ
=
0.
• A. x0=0是方程的常点，可以用常点的级数解法。首先做变 换Θ=(1-x2)m/2y(x)，方程变为：
(1-x2)y’’-2(m+1)xy’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)]y=0.
1
sin2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
+ l(l
数学物理方法课件-11 球函数
2
2
又
f ( ,) Am ( ) cosm Bm ( ) sin m m＝0
Am
(
)
1
m
2
f ( ,) cosmd
0
Bm
(
)
1
2 0
f ( ,) sin md
易判断，Bm ( ) 0，且m 0或2.
故
f ( ,) Am ( ) cosm
m0，2
比较知
m
0时，A0 (
)
3 2
sin 2
Pl
(x)
1
2
2 3
xi
2
l
1 x2 cos d ( )
1 2
3
2
xi
2
l
1 x2 cos d
1
2
0
2
0
3
2
1
2
0
1
2
0
2
1
3 2
2
1
xi
1 x2 cos
l
d
1
l
2 x i 1 x2 cos d
2 0
2 0
1
l
2 x i 1 x2 cos d ( )
x2)
(m
2) x 2
v
代入连带勒让德方程得
(1
x
2
)
m 2
1
v
2mx(1
m
x2) 2
v
m(1
x
2
)
m 2
1
(1
x2)
(m
2) x 2
v
2 x(1
x2
)
m 2
v
第十一章 球函数
y 0,
d dy m2 1 x2 1 x 2 y 0, dx dx
3
在x = 1 ( = 0, )处存在自然型边条件y|x = 1 =有界，
d m2 2 dy 1 x 1 x2 dx dx y | 有界 x
y 0,
可以证明只有在 l l 1 方程在x = 1 处才有有限解.
l 0,1, 2, 时，缔合勒让德
l 阶缔合勒让德方程
d dy m2 1 x2 l l 1 1 x 2 y 0 dx dx
d 2 dR r R 0; dr dr
1
1 d d 1 " 0. sin d 2 sin d sin sin d d " 2 sin d sin , d
5
l N 2， 2l 2k ! k Pl x l x l 2k , N 2 k ! l k ! l 2k ! k 0 l 1, 2 l 0, k 0 : P0 x 1, P0 cos 1;
w x, r 1 1 2rx r 2zBiblioteka 4 o1d
M
y
从物理上看，单位球的北极放置 一电量为 4 o 的点电荷，球内的 电势为： w x , r
u
1
r
o x
q 4 o d
1
4 o
1 2rx r 2
4 o 1 2r cos r 2
数学物理方法第十章球函数幻灯片
勒让德多项式的性质
奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x)
零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
正交性
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
P k ( x ) P l ( x ) d 0 , x P k (c ) P l (o c ) s s d o i 0 n ,s ( k l )
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
勒让德多项式的应用
例题 4
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确 定球外空间的电势 u 。
P l(0) (1)(k2 (k 2)k! !1)!!,l2k
0,
l2k1
(2k)!246(2k) (2k1)!135(2k1) 0!!(1)!1
根本递推公式
( k 1 ) P k 1 ( x ) ( 2 k 1 ) x k ( x ) P k k 1 ( x P ) P k 1 '( x ) ( k 1 ) P k ( x ) x k '( x P ) k k ( x P ) x k '( x P ) P k 1 '( x ) ( x 2 1 ) P k '( x ) kk ( x x ) k P k 1 ( P x )
P l(x)2 1 ll!d dllx (x2 1 )l
P l(x)2 1i2 1 l ((z z 2 x1 )l) l1dz
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1.轴对称球函数（m=0）
一. 勒让德多项式
(1) 一般表达式
级数表示
约定级数中最高次幂 x
l
(2l )! 的系数是 al l 2 2 (l !)
2
反用系数递推公式
[ l / 2]
ak 2
k k l (l 1) ak (k 2)(k 1)
4
P ( x) l
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
x cos
r R"2rR'l (l 1) R 0
2
[(1 x 2 )' ]' l ( l 1) 0 ( 1)有界
R Al r l Bl r l 1
f ( )
l 0
Rl ( a ) Pl (cos )
u
l 0
Rl ( r ) Pl (cos )
解:定解问题为
u 0 u |r r0 u0 sin cos sin u |r 0 有限
23
由边界条件知:解为一般的球函数
u ( r , , ) r l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
m 0 l m
代入边界条件:
m 0 l m
r0l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos ) u0 sin cos sin
24
右边按球函数展开：
1 u0 sin cos sin u0 (3sin 2 ) sin 2 6 1 u0 P22 (cos ) sin 2 6
12
例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的
电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质 球内外的电场强度 分析：球内电势
球外电势 衔接条件
13
10.2 连带勒让德函数
一. 连带勒让德函数
d 2 d m2 2 [l (l 1) ] 0(m 0,1, 2,) (1 x ) 2 2 x 2 dx dx 1 x y | 有限 x 1
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 • 正交性 1 –正交性公式 P ( x)P ( x) 0(k l ) k l
1
–模 N P2 ( x)dx l
2 l 1
1
Nl
2 (l 0,1, 2,) 2l 1
完备性 f ( x) f l Pl ( x) –完备性公式 l 0 –广义傅立叶系数 2l 1 1 系数fl 1 f ( x) Pl ( x)dx 2 –完备性应用例题
( ) A cos m B sin m
Pl m ( x)
sin
d d (sin ) [l (l 1) sin 2 ] 0 d d
20
球函数方程的解为球函数:
Yl m ( , ) Pl m (cos )( Alm cos m Blm sin m ) sin m Pl (cos ) cos m
所以
y ( x) Pl ( x)
[m]
(1 x ) Pl ( x)
[ m]
m 2 2
通常记作:
m
Pl ( x)
2 m/2
m
Pl ( x) (1 x )
Pl
( m)
( x)
(1 x 2 ) m / 2 d l m 2 l ( x 1) l l m 2 l! dx
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
1 P3 ( x ) 1 (5 x 3 3 x ) 8 (5 cos3 3 cos ) 2 1 P4 ( x ) 8 (35x 4 30x 2 3) 1 ( 35cos 4 64
20 cos 2 9)
6
图象
7
8
二. 勒让德多项式的性质
• 奇偶性 Pl(-x)) = (-1)l Pl( x) ( x (1)l Pl (x) Pl • 零点定理
26
d 2 dR 球函数方程 (r ) l (l 1) R 0 dr dr 1 Y 1 2Y (sin ) l (l 1)Y 0 2 2 sin sin
u(r , , ) R(r )Y ( , )
0
Y ( , ) ( )( )
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
m
任取其一,
表示线性独立,l称为函数的阶Y
二. 球函数的性质
正交性
S
Yl mYkn d n ,m l ,k ( Nlm ) 2 d
S
2
0
d
0
4 (l m)! sin d , ( N ) 2l 1 (l 21 )! m
m l 2
第十章
球函数
1.轴对称球函数
2.连带勒让德函数
3.一般的球函数
1
球函数
称为球（谐）函数，进一步分离变量，得到：
Y ( , ) A cos m B sin m
其中： 函数满足连带勒让德方程：
第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的 级数解，通解应当是这两个解的线性组合。但是 这些解在x=±1处发散！为了得到物理上有意义 的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而 构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次 幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解 ，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为 有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式。
m 0 l m
r
[Cl m cos m Dl m sin m ]Pl m (cos ) ( l 1)
1
由于解在内部有限,所以含
1
( l 1)
项舍去
r
所以 u (r , , ) r l [ Al m cos m Bl m sin m ]Pl m (cos )
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 cos ，
底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2 定解问题为：u |r r0 u0 cos u | 0 2
问题有反演对称性，对z进行偶延拓后 r u 0， a u |r a u0 cos ( 2 )
1 P2 (cos ) P22 (cos ) cos 2 2
22
三. 拉普拉斯方程的非轴对称定解问题
拉普拉斯方程在球形区域的定解问题, 如果是非轴对称的,问题与
有关, 用一般的球函数
例4. 半径为的球形区域内部没有电荷,球面上的电势
u0 sin 2 cos sin , u0 为常数,求球形区域内部的电势分布 为
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
15
注意: 区分 Pl[ m ] ( x) Pl m ( x)
l m, m 0,1, 2l
l 0,1, 2,3,
16
17
18
二. 连带勒让德函数的性质
奇偶性
Pl m ( x) (1)l m Pl m ( x)
正交性
1
1 m l
P m ( x) P m ( x)dx k ,l ( N lm ) 2 , k l
2
比较系数得:
1 r0 B u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为：
1 2 2 u (r , , ) 2 u0 r P2 (cos )sin 2 6r0
25
练习：
u 0 u 1 2 2 |r r0 u0 (sin sin ) 3 r u |r 有限
求对应的本征函数: 设 (1 x ) பைடு நூலகம்( x) 带入方程整理得:
(1 x2 ) y 2(m 1) xy [l (l 1) m2 ] y 0(m 0,1, 2,)