1821第2课时矩形的判定

第 1 页第2课时矩形的判定
知识要点分类练夯实
基础
知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图18－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是() A．∠A ＋∠B＝180°B．∠B＋∠C＝180°
C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
图18－2－16图18－2－17
2．如图18－2－17是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α是______度时，两条对角线的长度相等．
3．如图18－2－18所示，E是?ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD 是矩形．
图18－2－18
知识点2有三个角是直角的四边形是矩形
4．如图18－2－19，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是________．．(写出一个条件即可)．
图18－2－19
5．如图18－2－20，?ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
图18－2－20
知识点3对角线相等的平行四边形是矩形
6．?ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出?ABCD是矩形，那么这个条件可以是()
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是
__________________________________________．．
8．如图18－2－21，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
图18－2－21
规律方法综合练提升能力
9．下列关于矩形的说法中正确的是() A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
10．[2019·上海]已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
11．如图18－2－22，?ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________(只添一个即可)，使?ABCD是矩形．
图18－2－22
12．[2019·宁波模拟]如图18－2－23，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.
求证：(1)△ABF≌△DCE；
第 2 页(2)四边形ABCD是矩形．
图18－2－23
13．[2019·通辽]如图18－2－24，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
图18－2－24
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14．如图18－2－25，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
图18－2－25．
第 3 页教师详解详析
1．C
2．90[解析] ∵平行四边形活动框架的两条对角线的长度相等，
∴该平行四边形是矩形．
∵矩形的每个内角都等于90°，
∴∠α＝90°.
3．[解析] 利用平行四边形的性质和已知条件证明△AED与△BEC全等，从而得到
∠A＝∠B＝90°.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵E是边AB的中点，∴AE＝BE. 又∵EC＝ED，∴△AED≌△BEC，
∴∠A＝∠B.
又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
4．∠A＝90°或∠B＝90°或AB∥CD(答案不唯一) 5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵?ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H，
∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠GBC＋∠GCB＝90°，
∴∠GFE＝∠AFB＝90°，∠G＝90°，
同理可证∠GHE＝∠DHC＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
6．B
7．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形
[解析] 先测量两组对边是否分别相等，若相等，则四边形为平行四边形，其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．然后测量两条对角线是否相等，若对角线相等，则该平行四边形是矩形，其根据是对角线相等的平行四边形是矩形．
8．证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
又∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，EG＝HF，
∴?EFGH是矩形．
9．B
10．B[解析] ∵∠A＝∠B，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，故A选项能判定平行四边形ABCD是矩形；∵∠A＝∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有这一性质，故B 选项不能判定平行四边形ABCD是矩形；∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判定平行四边形ABCD是矩形；∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，故D选项能判定平行四边形ABCD是矩形．
11．答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD等
第 4 页12．证明：(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，
∴BF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
在△ABF和△DCE中，???AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)．
(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
13．解：(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE. 又∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB.
(2)四边形ADCF是矩形．
证明：∵AF∥CD，且AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵△AEF≌△DEB，∴AF＝BD，
∴BD＝CD，即AD是△ABC的中线．
∵AB＝AC，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
14．解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC. 同理可证OC＝OE，∴OE＝OF.
(2)由(1)知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.
而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，
∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，
∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13，
∴OC＝12EF＝132.
(3)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：由(1)知OE＝OF，
当点O运动到AC的中点时，有OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．。