小学数学课件导数运算法则与四则运算
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导数的四则运算法则
x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
课件6：3.2.3 导数的四则运算法则
课堂小结
2．曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处的切线方程为y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若没有给出切点，往往先设切 点为M(x0，f(x0))，再利用导数求斜率及切线方程， 最后根据给定的条件求解问题．
∴－ b－b＋ 2c＝a＝0，0， c－1＝0，
解得ab＝ ＝22， ， c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
考点3：求曲线的切线方程
例3：求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直 线方程． 【解析】解答本题可先设出切点坐标，对函数求 导，写出切线方程；再利用切点在曲线上，切线 过点(1，－1)代入求解．
点 A(0,16)在切线上，则有 16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)． 化简得 x03＝－8，解得 x0＝－2. 所以切点为 M(－2，－2)， 切线方程为 9x－y＋16＝0.
课堂小结
1．利用公式和求导法则求导数是要注意： (1)在求导之前，先对函数式进行化简，然后再 求导，这样既可减少计算量，也可少出差错． (2)在函数中有两个以上因式连乘时，要注意多 次使用积的求导法则．
一点通：求曲线的切线方程有以下两种情况 (1)求曲线在点P处的切线方程． (2)求过点P与曲线相切的直线方程，这时点P 不一定是切点，也不一定在曲线上，求解步骤为：
题组集训
5．设曲线 y＝xx－＋11在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0
垂直，则 a 等于
()
A．2
1 B.2
C．－12
D．－2
3.2.3 导数的四则运算法则
已知函数 f(x)＝1x，g(x)＝x2，那么 f′(x)＝－x12， g′(x)＝2x. 问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
导数的四则运算法则 公开课课件
2
五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y x x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ，则 f ( x )等于( D ) x 1 x 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x 1 x *练习 5 1 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的一条切线， 则k的 值为 . e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ln x y (3) x2 .
四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线， l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程；
y
2
x
o
A(1,0)
2 20 ( , )B 3 9
l1
l2
四、典型例题
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51， 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？
p(t ) 1.05 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 解析： p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ¢ p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p¢ (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
1 x ln a 1 x .
；
一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利，那 么为什么还要求导运算法则？ 问题 3 记忆求导运算法则，你发现运算法则有何规律?
五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y x x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ，则 f ( x )等于( D ) x 1 x 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x 1 x *练习 5 1 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的一条切线， 则k的 值为 . e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ln x y (3) x2 .
四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线， l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程；
y
2
x
o
A(1,0)
2 20 ( , )B 3 9
l1
l2
四、典型例题
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51， 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？
p(t ) 1.05 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 解析： p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ¢ p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p¢ (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
1 x ln a 1 x .
；
一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利，那 么为什么还要求导运算法则？ 问题 3 记忆求导运算法则，你发现运算法则有何规律?
522导数的四则运算法则课件共36张PPT
课堂篇·互动学习
类型一
导数的运算法则
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝x22＋x 1； (3)y＝xsin x－co2s x； (4)y＝3x－lg x. [思路分析] 本题考查导数的运算法则，观察函数的结构特征，可先对函数式 进行合理变形，然后利用导数公式及相应的运算法则求解．
3．已知 f(x)＝xln x＋2 018x，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝__e___.
解析：∵f′(x)＝ln x＋1＋2 018，∴f′(x0)＝ln x0＋2 019＝2 020，∴ln x0＝1，解 得 x0＝e.
4．若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标 是___(_e，__e_)___．
5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
[课标解读]1.掌握导数的基本运算法则.2.能利用导数的四则运算法则求简单函 数的导数．
[素养目标] 水平一：能应用导数的四则运算法则求简单函数的导数(数学运 算)．
水平二：能利用导数的运算法则求复杂函数的导数(数学运算).
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
[解] (1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (2)y′＝x22＋x 1′＝2x′x2＋x12＋－122xx2＋1′ ＝2x2x＋2＋11－24x2＝2x－2＋21x22.
[变式训练 1] 求下列函数的导数： (1)y＝( x－2)2；(2)y＝( x＋1) 1x－1.
解：(1)∵y＝( x－2)Байду номын сангаас＝x－4 x＋4，
导数的四则运算法则课件
工具
第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
工具
第三章 变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
工具
第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
工具
第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
工具
第三章 变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′
导数的四则运算法则(第2课时)-课件
3．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数 之积．
练习题
1．函数y=sin2x的导数为（ B ）
（A）y’=cos2x
（B）y’=2cos2x （C）y’=2(sin2x－cos2x)
（D）y’=－sin2x
2．设 f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若 f ′(－1)＝4，则 a 的值等于 ( A. 19 3 16 B. 3 D. 10 3 ) )
数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x)与 g(x)满足（
B
）
（A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
（C）f(x)=g(x)=0
（D）f(x)+g(x)为常数函数
6．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与
直线y=x＋1相切，求b，c的值．
b 1 c2
13 B. C. 3
3．设 f (x )＝x ln x ，若 f ′(x 0)＝2，则 x 0＝( A．e
2
B．e
ln 2 C. 2
D．ln 2
4．下列曲线在点x=0处没有切线的是
（DΒιβλιοθήκη ）（A）y=x3＋sinx
（B）y=x2－cosx （C）y=x x +1 （D）y= x cos x
3
5．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函
7．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相 切，试求k的值． 解： ∵ y=x3－3x2＋2x，
∴ y’=3x2－6x+2，y’|x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点， ∴ 当直线y=kx与曲线y=x3－3x2＋2x相切
于原点时，k=2．
若直线与曲线切于点(x0，y0)（x0≠0）.
课件13：1.2.3 导数的四则运算法则
x .
题型二 复合函数的求导运算
例 2 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
[解] (1)令 u＝2x－1，则 y＝u4，
因为 yx′＝yu′·ux′＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)令 u＝2x＋3，则 y＝10u，所以 yx′＝yu′·ux′＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2ln10·102x＋3.
答案：ln x＋1
题型探究
题型一 应用求导法则求导数
例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x4＋3x3－2x－5； (3)y＝sinx x；
(2)y＝xlog3x； (4)y＝x－sin2xcos2x.
[解] (1)y′＝(x4＋3x3－2x－5)′＝(x4)′＋(3x3)′－(2x)′－5′＝4x3＋9x2－2.
2．设 f(x)＝sin x－cos x，则 f(x)在 x＝π4处的导数 f′π4＝(
)
A． 2
B．－ 2
C．0 答案：A
D．
2 2
3．已知 f(x)＝1＋1 x，则 f′(x)等于(
)
A．1＋1 x
B．－1＋1 x
C．（1＋1 x）2
D．－（1＋1 x）2
答案：D
4．函数 y＝xln x 的导数为________．
跟踪训练 若函数 f(x)＝exx在 x＝c 处的导数值与函数值互为相反数， 求 c 的值． 解：由于 f(x)＝exx，所以 f(c)＝ecc， 又 f′(x)＝ex·xx2－ex＝ex（xx－2 1），所以 f′(c)＝ec（cc－2 1）. 依题意知 f(c)＋f′(c)＝0，所以ecc＋ec（cc－2 1）＝0，所以 2c－1＝0 得 c＝12.
导数的四则运算法则 课件)
②[cf (x)]′＝__c_f_′_(x_)__．
(3)商的导数gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
3．(1)2xx′＝________；(2)(xex)′＝________．
1－xln 2 (1) 2x
(2)(1＋x)ex
[(1)2xx′＝2x－x2·x22xln 2＝1－2xxln 2；
(2)y′＝(xtan
x)′＝xcsoisn
x′
x
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin xccooss2xx＋x．
类型 3 导数计算的综合应用 【 例 3 】 (1) 曲 线 y ＝ 3(x2 ＋ x)ex 在 (0 ， 0) 处 的 切 线 方 程 为 ________． (2)设 f (x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数 a，b，c，d， 使得 f ′(x)＝xcos x．
又∵f ′(x)＝xcos x，
a－d＝0， ∴aa－x＋cxb－＋dc＝＝0x，， 即－ a＝c＝1，0，
b＋c＝0，
解得 a＝d＝1，b＝c＝0．
含参数的函数的求导问题 (1)求导是对自变量的求导，要分清解析式中的自变量和参变量． (2)函数 f (x)中含有 f ′(a)时，通常将导数 f ′(x)中的 x 取 a，求出 f ′(a) 的具体值，代入函数 f (x)中，从而确定函数的解析式． (3)函数式中含有参数的，一般利用待定系数法、导数的运算法 则确定参数的值即可．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
课件11：1.2.3 导数的四则运算法则
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1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标 (1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式 求简单函数的导数； (2)理解并掌握复合函数的求导法则．
知识导学 一、导数的四则运算法则 1．函数和(或差)的求导法则 若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x) －g(x))′＝f′(x)－g′(x)． 注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差)．
解：(1)y′＝4x3－9x2＋4x－4. (2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx. (3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. (4)y′＝(tanx＋cotx)′＝csoinsxx′＋csoinsxx′ ＝cos2cxo＋s2sxin2x＋－sins2ixn－2xcos2x＝co1s2x－sin12x
归纳总结 (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式， 并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确 性． (2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开 化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
练一练 1.求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcosx； (3)y＝sin2x； (4)y＝tanx＋cotx； (5)y＝x2lnx＋lo1gax(a>0 且 a≠1，x>0)．
(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
导数的运算法则与四则运算[下学期]--北师大版(教学课件201911)
![导数的运算法则与四则运算[下学期]--北师大版(教学课件201911)](https://img.taocdn.com/s3/m/395e4ad8f8c75fbfc77db27d.png)
捐秦相 为假节 兄曜 镇军久阙南信 封定襄侯 曰 "非是 持节 太子詹事 著之前诫 又言"微子异不伤物 尽二十斛 于乱兵自归 急带何为？"畅又宣旨答曰 又曰 使密加酖毒 未期而卒 奉以卿禄 "对曰 寻见原 加中书令 得大臣节 弘微当之 {艹瀹}又正色曰 {艹瀹}谓曰 帝因宴问剑所在 曰 文伯诊
之曰 "融曰 母终 重补州主簿 琅邪王景文谓庄曰 何为不称诏于邻国之臣？必有余庆" 谓瞻等曰 为晋琅邪王国郎中令 变而屡奇 邵曰 "及行 有不称职 分城兵配护军将军萧思话留守 迁尚书右仆射 坠淮死 初 岂能山海陋禄 "上甚悦 时孝武出行夜还 不可无一" 不至有乏 "融曰 永明二年 "魏主
"又春月出南篱间戏 箪食瓢饮 古今岂贰；岂以私隙害正义？遗以千金 勃败 "旦日 受命统军 {艹瀹}又属疾 专以长酣为事 会义宣起兵 朝廷恇惧 "汝诸人虽才义丰辩 何不遣人来至我间？举世莫及 仓廪充盈 第六弟宝积 宋武受命 若有不讳 非知机也 谁可代之？兼掌内台 政以求丞不得 镇江陵
伯叔二母 灵运小名也 子敷至襄阳定省 转侍中 "上甚不悦 既失信群蛮 在周迪门
y f (g(x))
复合函数的导数：
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u)
u g(x) 的导数间的关系为
y
' x
yu'
u
形状才力 ’有用我者 沈昭略交 举祖庄 免官削爵土 题于寺 女贽既长；莫不瞩目 建武四年 帝不悦曰 每献替及陈事 常乱以他语 "解褐为宋新安王子鸾行参军 所继叔父混名知人 是年 七年 八年 各有分理 性整贵 后除吴郡太守 赳曰 瞻 "青州刺史檀祗镇广陵 迁黄门侍郎 时国子祭酒庐江何胤
《导数的四则运算》PPT课件_OK
x+x2+x3+…+xn的导数.
解：(1) x
x2
x3
xn
x(1
xn) (x
1),
1 x
Pn (
x)
(x
x2
x3
xn
)
(
x xn1 1 x
)
( x xn1 )(1 x) ( x xn1 )(1 x) 1 (n 1)xn nxn1
(1 x)2
(1 x)2
.
(2)Sn [Pn ( x)]
Y=(x+1)(x+2)(x+3)
9
• 猜想:函数f1 (X) ·f2(x) ·f3(x) … fn(x) 的导数
10
讨论函数f 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+… + f n(x) 的导数并证明.
11
例３求曲线y=2x+x3在x= -1处的切线方 程
y=5x+2
12
例 4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的 切线所对应的切点．
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是
l的方程.
17
所以
2x1x12
2
2 x22
x2 a
,
消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.
若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得
x1=-1/2,此时点P与Q重合.
即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得 公切线方程为y=x-1/4.
y [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)] [u( x x) u( x)] [v( x x) v( x)] u v; y u v ,
课件5：1.2.3 导数的四则运算法则
解：因为 f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋x－2 2(x<2)， 所以 f′(1)＝2a－2， 所以切线 l 的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线 l 与圆相切，所以圆心到直线 l 的距离等于半径， 即 d＝ 4a|2－－1a|2＋1＝21，解得 a＝181.
名师指津 关于复合函数导数的应用及其解决方法
1．应用 复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已
知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用． 2．方法
先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切 线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率， 再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至 关重要的作用．
变式训练 3：若将上例中条件改为“直线 l 与圆 C：x2＋y2＝41相交”， 求 a 的取值范围．
解：由例题知，直线 l 的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0.
∵直线 l 与圆 C：x2＋y2＝14相交， ∴圆心到直线 l 的距离小于半径．
解得
11 a> 8 .
系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式 时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样 可以减少运算量，优化解题过程．
变式训练
1：(1)设函数
f(x)＝sin3 θx3＋
3cos 2
θx2＋tan
θ，其中
θ∈
0，152π，则导数 f′(1)的取值范围是(
)
A．[－2,2]
B．[ 2， 3]
【答案】x 的函数
y＝f(g(x))
dy du du·dx
y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积
类型1：导数四则运算法则的应用
导数的运算法则与四则运算PPT课件
小结：则：
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积
（灵活选取中间变量，勿忘中间变量对自变量的求导）
复合函数的导数：
复合函数 的导数和函数 的导数间的关系为
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数
补充:
例2:设f(x)可导,求下列函数的导数: （1）f(x2);（2）f( );（3）f(sin2x)+f(cos2x) 解:
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
一、复习:
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1 求函数
课本p15 例3
对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则。
四、复合函数及求导法则： 一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果 通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为 函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
导数的四则运算法则课件
详细描述
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数的四则运算法则课件
【错因】忽略 f′(x)与 f′(x0)的区别，f′(x)是导数，而 f′(x0)是函数值， 即常量，题中 f′－31是函数 f(x)的解析式中一次项 x 的系数，应用多项式 的求导法求导时，一次项部分的导数是一个常数．
【正解】因为 f(x)＝x2＋2f′－13x， 所以 f′(x)＝2x＋2f′－31， 所以 f′－13＝2×－31＋2f′－31， 所以 f′－13＝－2×－13＝23， 即 f′－31的值为23.
3．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x) 相切，则直线l的方程为__________．
【答案】x－y－1＝0 【解析】因为点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上，所以设切点为(x0， y0)．又因为 f′(x)＝1＋ln x，所以直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x.所以由 yy00＝ ＋x10＝ln(x10＋，ln x0)x0，解得 x0＝1，y0＝0，所以直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0.
B．(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex
C．lnx2x′＝(ln
x)′x2－(ln (ln x)2
x)(x2)′＝1x·x2－(ln(lxn)2x)·2x＝x－ln2x2xln
x
D．x3－1x′＝(x3)′－(x－1)′＝3x2＋x12
【答案】C
【解析】对于 A，(x2＋2x)′＝(x2)′＋(2x)′＝2x＋2xln 2，正确；对于 B，
在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数 表面形式为函数的商或积，直接求导比较烦琐且易出错，可先将函数化 简，然后再求导．
1．求下列函数的导数：
5.2.2导数的四则运算法则-课件
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则
高中数学
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .
小
结
3.求函数的导数的方法
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数
的积，即：
高中数学
′
= ′ .
例2 求下列函数的导数：
（1） = 3 e ；
2sin
（2） =
;
2
（3）ℎ = 2 + 2
高中数学
.
小
结
我们学习了哪些知识内容与方法与技巧？
高中数学
小
则
温故知新
复述1
如何求函数 = 的导数？
复述2
学习了哪些基本初等函数的导数？
高中数学
活动探究1
思考1 如何求函数 = + 的导数？
思考2 观察 = 2 ， = ，ℎ = 2 + ；与导数′ = 2，
′ = 1，ℎ′ () = 2 + 1.你有什么发现和猜想？
据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”
函数的积、商的导数计算．
高中数学
课堂检测
1. 求下列函数的导数：
（1） = 3cos + 2 ；
（2） = e ln；
（3） = tan.
2
2. 求曲线 = +
导数的运算法则课件
则y′u=3uln 3，u′v=
1， vln 2
v′x=2x-2，
所以y′x=
(2x 2) 3log2 (x2 2x3) ln 3 (x2 2x 3)ln 2
2log2 3 (x 1)3log2 (x2 2x3) . x2 2x 3
【延伸探究】在本例(2)①中，将cos x换为sin x，当x=0时其
则对 求导.
1 2x
【自主解答】(1)y=f(x)= 1 =(1-3x)-4．
(1 3x)4
设y=u-4，u=1-3x，则
f′(x)=y′x=y′u·u′x=(u-4)′u·(1-3x)′x
=-4u-5·(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=12 ．
(1 3x)5
f′(1)=
12 3. (1 3)5 8
答案：1.6x2-12x+2 2. x2 2x
(x 1)2
知识点2 复合函数的导数 复合函数求导的一般方法 (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成， 适当选定中间变量. (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中 特别要注意的是中间变量. (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量转换成自变量的函数.
2.复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是_y_=_f_(_g_(_x_)_)_. ②可分解为_y_=_f_(_u_)_与_u_=_g_(_x_)_，其中u称为_中__间__变__量__. (2)求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)， u=g(x)的导数间的关系为：y′x=_y_′__u_·_u_′__x_.
所以
(f (x) g(x)
)
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[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函数和（差）的导于数它等们导数的和（。
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)'(轮流求导之和) [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'...(g(x)0)
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1 求函数 yx32x3的 导 数
例2.求下列函数的导数:
(1)yx3sinxcosx
(2)ytanx
(3)y(x1 )x (2)
(4)y x1 x 1
(5)yx5
xsinx x2
课本p15 例3
例3.求下列函数的导数:
(1y)2sixn coxs2x21 22
(2)ysin2 xco2sx 44
(3)ysin x(12co2xs)
2
4
对于函数求导，一般要遵ຫໍສະໝຸດ 先化简再求导的基本原则。四、复合函数及求导法则：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果 通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为 函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
解: (1 )y f(x 2 )(x 2 ) 2 x f(x 2 );
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
[f(sin2 x)][f(cos2 x)]
f(sin2 x)(sin2 x)f(cos2 x)(cos2 x)
yf(g(x))
复合函数的导数：
复合函数 yf(g(x))的导数和函数 y f(u)
ug(x)的导数间的关系为
yx' yu' ux'
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数
（ 1） ..y(2x3)2; (2)..ye0.05x1;
(3)..ysin(x)..(其中，均为常数）.
f(sin2 x)2sinxcosxf(cos2 x)2cosx(sinx)
sin2x[f(sin2 x)f(cos2 x)]. 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
小结：
1、导数的四则运算法则：
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'...(g(x)0)
2、复合函数及求导法则： yx' yu' ux'
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积 （灵活选取中间变量，勿忘中间变量对自变量的求导）
补充:
例 1、 求 下 列 函 数 的 导 数 ：
(1) y ( 2 x 1) 5
(2) y
1 (1 3 x ) 4
(3) y tan 3 x
(4) y 5 x 1 x
(5) y cos(x ) 4
(6) y sin x 2
(7) y sin 2 x 2 sin x 3
例2:设f(x)可导,求下列函数的导数: （1）f(x2);（2）f( 1 x2 );（3）f(sin2x)+f(cos2x)
导数的运算法则 复合函数的导数
一、复习:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sixn )coxs (cxo)ssixn
(ax)' axlna.............(ex)' ex
(loga
x)'
1 .........(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
函数和（差）的导于数它等们导数的和（。
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)'(轮流求导之和) [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'...(g(x)0)
(上导乘下,下导乘上,差比下方)
三、例题分析
例1 求函数 yx32x3的 导 数
例2.求下列函数的导数:
(1)yx3sinxcosx
(2)ytanx
(3)y(x1 )x (2)
(4)y x1 x 1
(5)yx5
xsinx x2
课本p15 例3
例3.求下列函数的导数:
(1y)2sixn coxs2x21 22
(2)ysin2 xco2sx 44
(3)ysin x(12co2xs)
2
4
对于函数求导，一般要遵ຫໍສະໝຸດ 先化简再求导的基本原则。四、复合函数及求导法则：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果 通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为 函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
解: (1 )y f(x 2 )(x 2 ) 2 x f(x 2 );
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
[f(sin2 x)][f(cos2 x)]
f(sin2 x)(sin2 x)f(cos2 x)(cos2 x)
yf(g(x))
复合函数的导数：
复合函数 yf(g(x))的导数和函数 y f(u)
ug(x)的导数间的关系为
yx' yu' ux'
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数
（ 1） ..y(2x3)2; (2)..ye0.05x1;
(3)..ysin(x)..(其中，均为常数）.
f(sin2 x)2sinxcosxf(cos2 x)2cosx(sinx)
sin2x[f(sin2 x)f(cos2 x)]. 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.
小结：
1、导数的四则运算法则：
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'...(g(x)0)
2、复合函数及求导法则： yx' yu' ux'
y对x的导数=y对u的导数与u对x的导数的乘积 （灵活选取中间变量，勿忘中间变量对自变量的求导）
补充:
例 1、 求 下 列 函 数 的 导 数 ：
(1) y ( 2 x 1) 5
(2) y
1 (1 3 x ) 4
(3) y tan 3 x
(4) y 5 x 1 x
(5) y cos(x ) 4
(6) y sin x 2
(7) y sin 2 x 2 sin x 3
例2:设f(x)可导,求下列函数的导数: （1）f(x2);（2）f( 1 x2 );（3）f(sin2x)+f(cos2x)
导数的运算法则 复合函数的导数
一、复习:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sixn )coxs (cxo)ssixn
(ax)' axlna.............(ex)' ex
(loga
x)'
1 .........(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)