人教版五年级数学下册 3-2长方体和正方体的体积 同步拓展讲与练 奥数培优(无答案)

长方体和正方体的体积

知识引入：

一、体积和体积单位

例题1：填空。

(1)我们常用的体积单位有( )、( )、( )，用字母表示是( )、( )、

( )。

(2)棱长是1 cm、1 dm和1 m的正方体的体积分别是1( )、1( )和1( )。例题2：连线。

学校升旗台的体积24立方厘米

书包的体积24立方米

健胃消食片包装盒的体积24立方分米

例题3：下面图中的每个木块都一样，哪堆的体积大？为什么？

知识精讲1：体积和体积单位

1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2.计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。

二、长方体和正方体的体积

例题4：填空。

(1)用( )个棱长1 cm的小正方体可以拼成一个长3 cm，宽2 cm，高5 cm的长方体，这个长方体的体积是( )cm3。

(2)一个长方体铁块，长50厘米，宽30厘米，高2.5厘米。它的体积是( )立方厘米。

(3)棱长为4厘米的正方体的体积是( )立方厘米。

(4)正方体的棱长扩大为原来的3倍，体积扩大为原来的( )倍。

(5)一个正方体的棱长总和是36米，体积是( )立方米。

例题5：计算下面长方体和正方体的体积。

例题6：中心广场要建一个喷水池，施工时要挖长15 m 、宽7 m 、深5 m 的长方体土坑，一共挖出多少方的土(“1 m 3

”的土、石、沙称为“1方”)?

知识精讲2：长方体和正方体的体积。

1.长方体的体积＝长×宽×高 V ＝a b h

2.正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 V ＝a 3

3.长方体(或正方体)的体积＝底面积×高 V ＝S h

4.当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n 倍时，它的体积扩大到原来的

倍； 5.当正方体的棱长扩大到原来的n 倍时，它的体积扩大到原来的 倍。

用表格比较长方体和正方体的体积计算公式

名称 体积计算公式 需要的条件 长方体 长方体的体积＝长×宽×高 长方体的长、宽和高 正方体

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长

正方体的棱长

长方体（或正方体） 长方体（或正方体）的体积=底面积

×高

长方体（或正方体）的底面积和

高

三、体积单位间的进率

例题7：填空。

(1)一个棱长是1 dm的正方体木块，可以分割成( ) 个棱长是1 cm的小正方体木块。

(2)把体积为1 m3的正方体木块切成体积为1 dm3的小正方体木块，并把它们排成一行，这一行的长度是( )m。

(3)相邻两个长度单位间的进率是( )，相邻两个面积单位间的进率是( )，相邻两个体积单位间的进率是( )。

例题8：解决问题。

（1）一个长方体的长是20分米，宽是1.5米，高是10分米，它的体积是多少立方分米？

（2）1根长方体木料长3.7米，横截面是一个边长为3分米的正方形。50根这样的木料的体积是多少立方分米？合多少立方米？

知识精讲3：

单位名称相邻两个单位间的进率

长度米、分米、厘米10

面积平方米、平方分米、平方厘米100

体积立方米、立方分米、立方厘米1000

1.像“把立方米数换算成立方分米数”这样，是把高级单位化成低级单位，要乘进率。

2.像“把立方厘米数换算成立方分米数”这样，是把低级单位化成高级单位，要除以进率。

巩固练习：

1.填空。

（1）180dm3＝（）cm3 500cm2＝（）dm2 3.2m3＝（）dm3 6000cm3＝（）dm3 ＝（）m3 （）m3＝1500dm3 ＝（）cm3 2m3 300dm3 ＝（）dm3 8.25dm3 ＝（）dm3 （）cm3（2）填上适当的单位。

①电视机的体积约为100（）。

②橡皮的体积约为15（）。

③一节火车车厢的体积约为80（）。

④文具盒的体积约为320（）。

⑤牙膏盒的体积约为60（）。

⑥集装箱的体积大约为50（）。

（3）一个长方体沙坑，长6m，宽45dm，深5dm，这个沙坑的占地面积是（）。（4）一个长方体水箱，从里面量，底面积是25m2，水深1.6m，这个水箱现在装（）m3的水。

（5）正方体的棱长扩大为原来的2倍，它的棱长之和扩大为原来的（）倍，它的表面积扩大到原来的（）倍，体积扩大为原来的（）倍。

（6）正方体的底面积是400cm2，它的体积是（）dm3。

（7）至少需要（）个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长为5cm，那么大正方体的表面积是（）cm2。

（8）一个长方体的长、宽、高分别是a m，b m，h m，如果这个长方体的高增加2m，体积比原来增加（）m3。

2. 判断。

（1）正方体的体积比表面积大。（）

（2）棱长为6cm的正方体，它的表面积和体积相等。（）

（3）一个物体的体积是1m3，这个物体的形状一定是正方体。（）

（4）把一个长方体铁块锻造成一个正方体（忽略损耗），体积没有变化。（）

（5）把两个一样的正方体拼成长方体后，体积和表面积都不变。（）

（6）正方体的棱长扩大3倍，体积就扩大9倍。（）

3. 解决问题。

（1）一块长方体钢板的长是2m，宽是1.3m，厚是3cm，它的体积是多少立方米？每立方分米钢板重6.5kg，这块钢板重多少千克？

（2）把一块棱长为10dm的正方体铁块，锻造成宽和高都是50cm的长方体木块，能锻造多长的铁条？

（3）甲乙两个长方体的体积相等，甲长方体的长是15分米，宽是9分米，高6分米，乙长

方体的底面积是405平方分米，它的高是多少分米？

（4）某果汁饮料厂原来用棱长是10cm的正方体包装果汁，改进生产工艺后，把原包装改成了棱长是5cm的正方体，请你帮忙算一算，原来200盒果汁饮料，现在要装多少盒？

（5）把一根长3.5m的方木，把它平均锯成两段，表面积正好增加了2.2dm2，这根方木的体积是多少？

（6）有一个底面积是300cm2、高是10cm的长方体，里面盛有5cm深的水。现在把一块

石头浸没到水里，水面上升2cm。这块石头的体积是多少立方厘米？

奥数思维拓展：两个长方体拼在一起引起表面积的变化

1.渗透两种数学思想：推理思想

2.学习两种思维方法：分析法、图示法

思维提升：

[例]如图，一个长方体木块，从上部截取5厘米后，就变成一个正方体，这时

表面积比原来减少120平方厘米。原来这个长方体木块的体积是多少立方厘米？

[分析]

由题意可知，把长方体从上部截去一部分后变成正方体，说明这个长方体的底面和上面是正方形，截去部分的4个侧面面积相等，所以减少的表面积就是截去部分的4个侧面的面积和。

我们用120÷4可以求出截去部分1个侧面的面积，在求出截去部分长方体的长，也就是剩下部分的正方体的棱长，用棱长加上减少的5cm就是原来长方体的高。

[解答]

120÷4＝30（平方厘米）30÷5＝6（厘米）

6×6×（6＋5）＝396（立方厘米）

答：原来这个长方体木块的体积是396立方厘米。

[技巧]一个长方体，如果从上面或下面截去一段（如图①），表面积减少的部分是前、后、左、右四个侧面减少的面积，上、下两个表面的面积不变；如果从左面截去一段（如图②），表面积减少的部分是前、后、上、下四个侧面减少的面积，左、右两个面的面积不变。

举一反三：

1.将一个长方体的高减少5cm，就变成了正方体（如图），正方体的表面积比原来的长方体表面积减少了60平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

2.将一个长方体的高如果增加2cm，就变成了正方体（如图），正方体的表面积比原来的长方体表面积比原来增加了48平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

3.一个长方体木块，从上部和下部分别截取高为2厘米和3厘米的长方体后（如图），便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

奥数思维拓展：运用画示意图法解决有关长方体的体积问题

1.渗透两种数学思想：推理思想、数形结合思想

2.学习两种思维方法：分析法、图示法

思维提升：

[例]把两个长是4厘米、宽是2厘米、高是1厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体表面积是多少？

[分析]

把两个相同的的小长方体拼成一个大的长方体，有以下三种拼法：

把两个相同的的小长方体拼成一个大的长方体，需要把两个相同的面拼合，所得的大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。而要使长方体的表面积最大，就必须要使两个拼合的面面积最小，即减少左、右两个面的面积。

[解答]

（4×2＋4×1＋2×1）×2×2－2×1×2＝52（平方厘米）

答：这个长方体表面积是52平方厘米。

[技巧]

解决两个长方体拼合问题时，要明确题目中拼的大长方体的表面积最大还是表面积最小。如果拼合后长方体的表面积最大，就用两个小长方体的表面积之和减掉拼合面积最小的两个面；反之，就是减掉拼合面积最大的两个面。

举一反三：

1.用两个长是8厘米、宽是5厘米、高是4厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体表面积是多少？

2.用3个长是7厘米、宽是5厘米、高是3厘米的小长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体表面积是多少？

3.有4本相同的故事书，长是10厘米、宽是7厘米、高是5厘米，现在要把它们包装起来，最少需要多少平方厘米的包装纸？