5.2.2等差数列的前n项和

化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕 为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观， 纯白大理石砌建而成的主体建筑 叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案， 以相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有100层（见左图），奢靡之程 度，可见一斑。
的和与项数 乘积的一半。
Sn
n(a1 2
an )
可知三 求一
不含d
思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；
由于an a1 n 1d, 故
Sn
na1
n(n 1) 2
d
想
一 想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个 元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
你知道这个图案一共花了多少宝 石吗？
探究发现
问题：图案中，第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不 能简单模仿偶数个项求和的办法， 需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾 两 项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。
高斯（Gauss,1777—1855）， 德国著名数学家，他研究的内 容涉及数学的各个领域，被称 为历史上最伟大的三位数学家 之一，他与阿基米德、牛顿齐 名，是数学史上一颗光芒四射 的巨星，被誉为“数学王子”.
创设情景
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？ 问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
（1） 1+2+3+。。。+n= （2） 1+3+5+。。。+（2n-1）= （3）2+4+6。。。+2n=
n（n+1）/2 n2
n（n+1）
上面习题的答案在以后会经常用到。
例1 如图，一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式：
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). (2) an＝am＋(n－m)d .
复习引入
3. 几种计算公差d的方法:
d an an1 d an a1
n1
d an am nm
复习引入
4. 等差中项 A a b a, A, b 成等差数列. 2 5. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N)
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一 组数是什
配对 第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加 第三个数与倒数第三个数一组，……
法 每组数的和均相等，都等于101，50个
101就等于5050了。高斯算法将加法问题转
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 21 2 3 (n 1) n n(n 1)
一个具体
的等差数 列前n项
和.
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 Sn a1 a2 a3 an ①
有无简单的方法？
探究发现
Leabharlann Baidu问题：图案中，第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，把这个“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
探究发现
问题：图案中，第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
1 2 3 21
21 20 19
获得算法：
s21
(1
21) 2
21
1
倒序相加法
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求 和，很有创意，用数学式子表示就是：
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计算： 1 2 3 (n 1) n ①
Sn
na1
n（n 2
1)
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n
Sn
n(a1 2
an )
an
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
n
a1
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1 an(n-1)d
Sn an a n1an2 a1 ②
2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 an a1
又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
2Sn n(a1 an )
即Sn
n(a1 2
an )
等差数列的
求和公式
于前首n项末和两等项等差数列的前n项和的公式：
复习引入
6. 数列的前n项和：
a1 a2 a3 an 称为数列{an}的前n
项和，记作Sn，那么Sn－1表示什么？ an，Sn，Sn－1三者之间有什么关系？
an
S n
Sn1
S1
(n 2) (n 1)
复习引入
7.数列的通项公式能反映数列的基本特 性，在实际问题中常常需要求数列的前n 项和.对于等差数列，为了方便运算，我 们希望有一个求和公式，这是一个有待 研究的课题.
1+ 2+ 3+ 4+……+21 探究了以上两个实
21+20+19+18+……+1
际问题的求和，我 们对数列求和有了
对齐相加（其中下第二行的式一子定的与认第识一，行那的么
式子恰好是倒序）
能否将“倒序相加 法”推广到任意一
这实质上是我们数学中一种求个和等的差重数要列呢方？法
创设情景
平行四 三边角形形