高中数学同步讲义必修一——第三章 3.1 3.1.1 方程的根与函数的零点

§3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．知识点一函数的零点的概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．梳理对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．知识点二零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1．f(x)＝x2的零点是0.(√)2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(×)3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(√) 4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(×)类型一求函数的零点例1函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．考点函数零点的概念题点求函数的零点答案x＝1或x＝10解析由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．跟踪训练1函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．考点函数零点的概念题点求函数的零点答案 4解析f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．可知零点为±1，－2,3，共4个．类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)考点函数零点存在性定理题点判断函数零点所在的区间答案 C解析令f(x)＝e x－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程e x－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．反思与感悟在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．跟踪训练2若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________. 考点函数零点存在性定理题点判断函数零点所在区间答案 2解析∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.类型三函数零点个数问题命题角度1判断函数零点个数例3求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数解方法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．故函数f(x)有且只有一个零点．方法二在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．跟踪训练3 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的个数． 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数解 方法一 由于f (2)＝ln 2＋4－6<0，f (3)＝ln 3＋6－6>0，即f (2)·f (3)<0，说明函数f (x )在区间(2,3)内有零点．又因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点． 方法二 通过作出函数y ＝ln x ，y ＝－2x ＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数转化为函数y ＝ln x 与y ＝－2x ＋6的图象交点的个数．由图象可知两函数有一个交点，即函数f (x )有一个零点． 命题角度2 根据零点情况求参数范围例4 f (x )＝2x ·(x －a )－1在(0，＋∞)内有零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)考点 函数零点存在性定理 题点 函数零点有关的参数取值范围 答案 D解析 由题意可得a ＝x －⎝⎛⎭⎫12x (x ＞0)．令g (x )＝x －⎝⎛⎭⎫12x ，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g (x )的值域为(－1，＋∞)，故当a ＞－1时，f (x )在(0，＋∞)内有零点．反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．跟踪训练4 若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)B ．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－56，－12D.⎝⎛⎭⎫－56，－12 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 两根分别属于两区间 答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2＞0，f (0)＝2m ＋1＜0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0，解得⎩⎨⎧m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.1．函数y ＝ln x 的零点是( )A ．(0,0)B ．x ＝0C ．x ＝1D ．不存在 考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 答案 C2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )考点 函数零点的概念 题点 判断函数有无零点 答案 D3．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 考点 函数零点存在性定理 题点 判断函数在区间上是否有零点 答案 C4．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x的零点有______个． 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数 答案 1 5．若函数y ＝2－|x |－k 有零点，则实数k 的取值范围是________．考点 函数零点存在性定理 题点 函数零点有关的参数取值范围 答案 (0,1]解析 y ＝2－|x |－k 有零点，即k ∈y ＝2－|x |的值域． 而－|x |≤0,0<2－|x |≤20＝1，∴y ＝2－|x |的值域为(0,1]．1．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象． 4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )考点 函数零点的概念 题点 判断函数有无零点 答案 A解析 B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f (x )＝ln x ＋x －1x 的零点为( )A ．1 B.12 C ．e D.1e考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 答案 A解析 依次检验，使f (x )＝0的即为零点．3．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且图象是连续不断的，若f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根D ．必有唯一的实数根考点 函数零点存在性定理 题点 判断函数在区间上是否有零点 答案 D解析 由题意知函数f (x )为连续函数．∵f (a )·f (b )＜0，∴函数f (x )在区间[a ，b ]上至少有一个零点．又∵函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，∴函数f (x )在区间[a ，b ]上至多有一个零点．故函数f (x )在区间[a ，b ]上有且只有一个零点，即方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内必有唯一的实数根．故选D.4．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞) 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 函数的零点与方程根的关系 答案 C解析 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．f (1)＝6－0＝6＞0，f (2)＝3－1＝2＞0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12＜0.由零点存在性定理可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点． 5．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( ) A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至少有一个零点考点 函数零点存在性定理 题点 判断函数在区间上是否有零点 答案 C解析 若函数f (x )的图象及给定的区间(a ，b )，如图(1)或图(2)所示，可知A ，D 错，若如图(3)所示，可知B 错．6．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0考点 函数零点存在性定理 题点 函数零点与方程根的关系 答案 B解析 方法一 由f (x )＝0，得2x ＋11－x＝0，∴2x＝1x－1.在同一直角坐标系中，作出函数y1＝2x，y2＝1x－1的图象(图略)，观察图象可知，当x1∈(1，x0)时，y1<y2；当x2∈(x0，＋∞)时，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.方法二∵函数y＝2x，y＝11－x在(1，＋∞)上均为增函数，∴函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0，得f(x1)<f(x0)＝0，由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0，得f(x2)>f(x0)＝0.7．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有()A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案 B解析f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.因此函数f(x)有两个零点－2与2.8．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案 B解析 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.二、填空题9．若函数f (x )＝mx －1在(0,1)内有零点，则实数m 的取值范围是________．考点 函数零点存在性定理题点 函数零点有关的参数取值范围答案 m >1解析 f (0)＝－1，要使函数f (x )＝mx －1在(0,1)内有零点，需f (1)＝m －1>0，即m >1.10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 考点 函数零点的概念题点 求函数的零点答案 －3解析 设函数f (x )的两个零点为x 1，x 2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2a a＝－2.又因为x 1＝1，所以x 2＝－3. 11．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是__________． 考点 函数的零点与方程根的关系题点 由函数零点个数求参数的取值范围答案 (1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象的交点的个数，如图，当a >1时，两函数图象有两个交点；当0<a <1时，两函数图象有一个交点．故a >1.三、解答题12．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －4，x ≤0，lg x ，x ＞0的零点． 考点 函数零点的概念题点 求函数的零点解 当x ≤0时，令2－x －4＝0，得x ＝－2，满足要求；当x ＞0时，令lg x ＝0，得x ＝1，满足要求．所以函数f (x )的零点是－2,1.13．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．考点 函数的零点与方程根的关系题点 由函数零点个数求参数的取值范围解 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0. (2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．四、探究与拓展14．若函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是________．考点 函数的零点与方程根的关系题点 两根分别属于两区间答案 (－12,0)解析 根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图．由图可知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋10＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，27－15＋a ＞0， 解得－12＜a ＜0.15．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．考点 函数的零点与方程根的关系题点 由函数零点个数求参数的取值范围答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 画出函数f (x )的图象，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )，g (x )的图象有两个交点，由图可知k ＞12，且k ＜1.。