规范解答示例4 概率与统计(理)-2021届高三高考数学二轮复习课件
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【解析】 (1)利用模型①，可得该地区2020年的环境基础设施投资 额的预测值为^y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，可得该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值为 ^y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
规范解答示例4 概率与统计（理）-2021届高三高考 数学二 轮复习 课件【 精品】
● 规范解答·分步得分
● (1)解：X的所有可能取值为－1,0,1．
● P(X＝－1)＝(1－α)β，
● P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
● P(X＝1)＝α(1－β).
3分
● 所以X的分布列为
●
X 4分 －1
P (1－α)β
0 αβ＋(1－α)(1－β)
1 α(1－β)
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第二部分
专题篇•素养提升()
规范解答示例4 概率与统计(理科)
●
( 2 0 1 9 ·全 国 Ⅰ ) 为 治 疗 某 种 疾 病 ， 研 制 了 甲 、 乙 两 种 新 药 ， 希 望 知 道 哪 种 新 药 更 有 效 ， 为 此
进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机
●
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
●
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
【审题路线图】 (1)确定X的取值情况→求概率→写分布列． (2)确定系数a，b，c→构造并证明等比数列 ―已―知―p0，―p→8 求p4→说明试 验方案的合理性.
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又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列. 7分
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②解：由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0) ＝48－3 1p1． 由于p8＝1，故p1＝48－3 1，
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●
(ⅱ)从计算结果看，相对于2018年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测
值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得
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(ⅰ)从折线图可以看出，2002年至2018年的数据对应的点没有随机 散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2002年至2018年的数据建 立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2012年 相对2011年的环境基础设施投资额有明显增加，2012年至2018年的数据 对应的点位于一条直线的附近，这说明从2012年开始环境基础设施投资 额的变化规律呈线性增长趋势，利用2012年至2018年的数据建立的线性 模型 ^y ＝99＋17.5t可以较好地描述2012年以后的环境基础设施投资额的 变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
● (1)求X的分布列；
●
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i
时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，
7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8．
的概率为p4＝2157≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这
种试验方案合理.
12分
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●
构建答题模板
● 第一步
● 定元：确定随机变量的意义和取值．
来自百度文库
● 【跟踪演练】
●
( 2 0 1 8 ·全 国 Ⅱ 改 编 ) 下 图 是 某 地 区 2 0 0 2 年 至 2 0 1 8 年 环 境 基 础 设 施 投 资 额 y ( 单 位 ： 亿 元 ) 的 折
线图．
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(1)分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的 预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
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选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药
治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方
便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，
乙药得－1分；
●若 施 以 乙 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 甲 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 乙 药 得 1 分 ， 甲 药 得 － 1 分 ； 若 都 治 愈 或 都 未 治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变 量t的两个线性回归模型．根据2002年至2018年的数据(时间变量t的值依 次为1,2，…，17)建立模型①： ^y ＝－30.4＋13.5t；根据2012年至2018年 的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：^y＝99＋17.5t.
● 第二步
● 定性：确定概率模型并计算随机变量取每一个值的概率．
● 第三步
● 列表：写出随机变量的分布列．
● 第四步
● 求解：利用随机变量的分布列，等比数列累加法并结合题目条件求解.
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到的预测值更可靠．
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● (2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.5分
● －1). ●
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi 6分
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10分
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所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) ＝44－3 1p1
＝2157.
11分
p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果 可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效
●
【评分细则】 第(1)问：三个概率写正确给3分；分布列写正确再给1分．
● 第(2)问：①a，b，c三个值正确给1分；写出推导公式给1分，判断首项给1分．
●
②利用等比数列累加列方程给3分；求出p4，写出结论给1分．
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利用模型②，可得该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值为 ^y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
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● 规范解答·分步得分
● (1)解：X的所有可能取值为－1,0,1．
● P(X＝－1)＝(1－α)β，
● P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
● P(X＝1)＝α(1－β).
3分
● 所以X的分布列为
●
X 4分 －1
P (1－α)β
0 αβ＋(1－α)(1－β)
1 α(1－β)
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第二部分
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●
( 2 0 1 9 ·全 国 Ⅰ ) 为 治 疗 某 种 疾 病 ， 研 制 了 甲 、 乙 两 种 新 药 ， 希 望 知 道 哪 种 新 药 更 有 效 ， 为 此
进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机
●
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
●
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
【审题路线图】 (1)确定X的取值情况→求概率→写分布列． (2)确定系数a，b，c→构造并证明等比数列 ―已―知―p0，―p→8 求p4→说明试 验方案的合理性.
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又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列. 7分
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②解：由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0) ＝48－3 1p1． 由于p8＝1，故p1＝48－3 1，
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●
(ⅱ)从计算结果看，相对于2018年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测
值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得
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(ⅰ)从折线图可以看出，2002年至2018年的数据对应的点没有随机 散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2002年至2018年的数据建 立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2012年 相对2011年的环境基础设施投资额有明显增加，2012年至2018年的数据 对应的点位于一条直线的附近，这说明从2012年开始环境基础设施投资 额的变化规律呈线性增长趋势，利用2012年至2018年的数据建立的线性 模型 ^y ＝99＋17.5t可以较好地描述2012年以后的环境基础设施投资额的 变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
● (1)求X的分布列；
●
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i
时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，
7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8．
的概率为p4＝2157≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这
种试验方案合理.
12分
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●
构建答题模板
● 第一步
● 定元：确定随机变量的意义和取值．
来自百度文库
● 【跟踪演练】
●
( 2 0 1 8 ·全 国 Ⅱ 改 编 ) 下 图 是 某 地 区 2 0 0 2 年 至 2 0 1 8 年 环 境 基 础 设 施 投 资 额 y ( 单 位 ： 亿 元 ) 的 折
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(1)分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的 预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
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选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药
治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方
便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，
乙药得－1分；
●若 施 以 乙 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 甲 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 乙 药 得 1 分 ， 甲 药 得 － 1 分 ； 若 都 治 愈 或 都 未 治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变 量t的两个线性回归模型．根据2002年至2018年的数据(时间变量t的值依 次为1,2，…，17)建立模型①： ^y ＝－30.4＋13.5t；根据2012年至2018年 的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：^y＝99＋17.5t.
● 第二步
● 定性：确定概率模型并计算随机变量取每一个值的概率．
● 第三步
● 列表：写出随机变量的分布列．
● 第四步
● 求解：利用随机变量的分布列，等比数列累加法并结合题目条件求解.
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● (2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.5分
● －1). ●
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi 6分
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10分
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所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) ＝44－3 1p1
＝2157.
11分
p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果 可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效
●
【评分细则】 第(1)问：三个概率写正确给3分；分布列写正确再给1分．
● 第(2)问：①a，b，c三个值正确给1分；写出推导公式给1分，判断首项给1分．
●
②利用等比数列累加列方程给3分；求出p4，写出结论给1分．
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