5.4埃尔米特(Hermite)插值

计算方法
由插值条件得到以下方程组
H 3 ( 1) a0 a1 a2 a3 1 H 3 ( 0 ) a0 0 H 3 (1) a0 a1 a2 a3 1 H 3 ( 0 ) a1 0
解上述方程组
a0 0, a1 0, a2 0, a3 1
i 0 i 0 i 0
n
n
n
n1 ( x ) i ( x ) f ( xi ) i ( x ) f ( xi ) H2 i 0
n
H 2 n1 ( x j ) i( x j ) f ( x j ) i ( x j ) f ( x j )
j ( x ) ( x x j )l ( x )
2 j
n n 1 2 H 2 n1 ( x ) 1 2( x x j ) l j ( x ) f ( x j ) ( x x j )l 2 ( x ) f ( x j ) j j 0 k 0 x j xk j 0 k j
f(x) f '(x)
2 2 11 12 H 3 ( x ) 3 2 x 219 x 144 3 265 2 x x 121 23 23 2 2 1 1 x 121 x 144 x 144 x 121 2 2 22 23 24 23
其中
( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
(a, b)
定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证明方法
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式,即 n=1的情况
计算方法
H 3 ( x ) j ( x ) f ( x j ) j ( x ) f ( x j )
i( x j ) 0 i ( x j ) 0
(i, j =0,1,2, …,n)
Hermite插值多项式可写成插值基函数表示的形式
H 2 n1 ( x ) i ( x ) f ( xi ) i ( x ) f ( xi )
i 0
n
计算方法
验证：
H 2n1 ( x j ) i ( x j ) f ( xi ) i ( x j ) f ( xi ) ij f ( xi ) 0 f ( x j )
1 x 121 x 144 121 144 22 144 121
2
x
2
121 11 1/22
144 12 wk.baidu.com/24
1 x 144 x 121 144 121 24 121 144
得 由
125 H 3 (125) 11.18035
可求得
15 f ( x) 16 x 7 / 2 15 1 R3 (125) 4 2 19 2 384 16 3
(4)
15 19 2 0.000012 3 384 121 11
计算方法
例2 已知函数 y= f(x) 的数据如下表所示, 求次数
j 0 j 0
1
1
x x0 x x1 2 0 ( x ) (1 2 )( ) x0 x1 x0 x1 x x1 2 0 ( x ) ( x x0 )( ) x0 x1
(4)
x x1 x x0 2 1 ( x ) (1 2 )( ) x1 x0 x1 x0
n
计算方法
H2n+1(x)为满足条件
H ( xi ) f ( xi ),
H ( xi ) f ( xi )
( i 0,1, , n)
的2n+1次Hermite插值多项式。
计算方法
定理
满足插值条件
H ( xi ) f ( xi ) ( i 0,1, , n)
H ( xi ) f ( xi ),
的Hermite插值多项式是惟一的。 证: 设 H 2 n1 ( x )和 H 2 n1 ( x )都满足上述插值条件,令
( x ) H 2 n1 ( x ) H 2 n1 ( x )
则每个节点 xk ( k 0,1, , n) 均为 ( x )的二重根,
计算方法
即
( x ) 有2n+2个根，
插值(Hermite)。
计算方法
定义 已知 n+1个互异点上 a x0 x1 xn b 的函数值 f ( xi ) 和导数值 f ( xi ) ,若存在 一个次数不超过2n+1的多项式H(x)，满足 H ( xi ) f ( xi ), H ( xi ) f ( xi ) ( i 0,1, , n) 则称H(x)为f(x)的2n+1次埃尔米特(Hermite)插值。
故得
H3 ( x) x 3
x
1 0 1 0 0
1 1
计算方法
另解
y ( x) y f ( x )
由题意知：x=0是H3(x)的二重零点，故可令 H3(x)=x2(ax+b) 由H3(-1)= -1 H3(-1)=1 知 b - a= -1 a +b= 1 解之得 a=1 b=0 故有 H3(x)=x3
i 0 i 0
n
n

0 ij f ( x j ) f ( x j )
i 0
n
计算方法
根据插值条件可求出 j ( x ) 和 j ( x )( j 0,1, n)
n 1 2 1 2( x x ) j ( x) l j ( x) j k 0 x j xk k j
计算方法
§5.4 埃尔米特(Hermite)插值
许多实际问题不但要求插值函数p(x)在插值节
点处与被插函数f(x)有相同的函数值p(xi)=f(xi) (i=0,1,2,…,n), 而且要求在有些节点或全部节点上 与f(x)的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相 等，能满足这种要求的插值问题就称为埃尔米特
计算方法
上式给出了2n+2个条件，可惟一确定一个次数不超
过2n+1的多项式H2n+1(x)，采用类似于求Lagrange 插值多项式的基函数方法求埃尔米特(Hermite)插 值多项式H2n+1(x) 。
计算方法
次数不超过2n+1次的多项式的形式为： H2n+1(x)= H(x),
H2n+1(x)=a0+ a1x+ a2x2+ …+ a2n+1x2n+1
不超过三次的Hermite的插值多项式H3(x)使
H3(xi) = yi
H´3(xi) = y´i x
(i=0,1,2)
1 1
0 0 0
1 1
y ( x) y f ( x )
解
所求三次Hermite的插值多项式为
H 3 ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3
但 ( x ) 是不高于2n+1次的多项式， 所以
( x) 0
H 2 n1 ( x ) H 2 n1 ( x )
惟一性得证。
计算方法
定理
若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则
2n+1次Hermite插值多项式的余项为
f ( 2 n 2 ) ( ) 2 R2 n1 ( x ) f ( x ) H 2 n1 ( x ) ( x) ( 2n 2)!
由2n+2个条件来确定2n+2个系数a0, a1, a2, …a2n+1显然
非常复杂, 所以要用求Lagrange插值多项式的基函数
的方法, 求插值基函数i(x)及i(x) (i=0,1,2, …,n)共有 2n+2个, 设每一个基函数为次数不超过2n+1次的多项 式，且满足条件
计算方法
0 i j i ( x j ) ij 1 i j 0 i j i( x j ) ij 1 i j
x x0 2 1 ( x ) ( x x1 )( ) x1 x0
f ( ) R3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 4!
( x0 , x1 )
例1 已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表,用埃 尔米特插值公式计算1251/2的近似值,并估计其截断误 2 差. 解 H ( x ) 11 1 2 x 121 x 144 3 121 144 144 121 2 x 144 x 121 12 1 2 144 121 121 144