抛物线及其标准方程3PPT课件
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抛物线及其标准方程(优秀课件)
抛物线与圆的 焦点与准线： 对于抛物线， 焦点在准线上； 对于圆，焦点
在圆外
抛物线与圆的 离心率：对于 抛物线，离心 率恒为1；对 于圆，离心率
恒为0
抛物线的应用与拓展
第七章
抛物线在几何中的应用
● 定义与性质：抛物线是一种特殊的二次曲线，具有对称性和准线等性质。 ● 方程与标准形式：抛物线的方程有多种形式，其中最常用的是标准方程y^2=4px。 ● 焦点与准线：抛物线的焦点位于其对称轴上，准线则是垂直于对称轴的直线。 ● 离心率：抛物线的离心率始终为1，这是其与椭圆和双曲线的重要区别。 ● 焦半径公式：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于到准线L的距离PL。 ● 焦点弦长公式：对于抛物线上的任意两点AB，其到焦点的距离之和AF+BF等于到准线的距离之和AL+BL。 ● 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点的射影垂直，且切线斜率等于该点横坐标的平方根。 ● 切线方程：抛物线上任意一点的切线方程可以表示为y=kx^2，其中k为切线斜率。 ● 切线与准线的关系：抛物线上任意一点的切线与准线平行，且切线与准线的距离等于该点到焦点的距离。 ● 切线与直线的交点：抛物线上任意一点的切线与过该点的直线交于一点，该点坐标为(x0,y0)。
抛物线及其标准方 程
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 抛物线的定义与性质 03 抛物线的标准方程 04 抛物线的几何意义与图像特征 05 抛物线与直线的关系
06 抛物线与圆的关系
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第一章
抛物线的定义与性质
4.3.1抛物线的标准方程 课件(共14张PPT)
程为 x 3 .
2
2
活动 3 巩固练习，提升素养
例1 （2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2)，求它 的标准方程.
解（2）因它的标准方程为为焦点在 y 轴的负半轴上， 并且 p 2，p 4 ，所以所求方程是
2
x2 8 y
课堂小结
y2 2 px p＞0或y2 2 px p＞0 x2 2 py p＞0或x2 2 py p＞0
试一试 第一步：在画板上画一条直线 l，使 l 与画板左侧的边
线平行； 第二步：再在直线 l 外画一个定点 F．取一个丁字尺靠
紧画板左侧外沿，丁字尺和直线垂直且相交于点 P，在丁 字尺的另一端取一点 Q， 将一条长度等于 PQ 的细绳，一 端固定在点 Q ，另一端固定在点 F；
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
F p ，0 ，准线为 x p ．
2
2
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
设 M(x,y) 是抛物线上一点，则 M 到 F 的距离为
MF
x
p 2
2
y2
，M
到直线
l
的距离为
x
p 2
，所以
x p 2 y2 x p .
2
2
将上式两边平方，并化简得
y2 2 px p＞0．
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
抛物线的标准方程还有其他几种形 ：y2 2 px， x2 2 py x2 2 py ，它们的焦点、准线方程以及图形如表中所示：
3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.
抛物线及其标准方程(课件)(3)
解（直接法）：设 M(x，y)，则由已知，得
|MF|+1=|x+5|
l
y
.M
即 (x 4)2 y2 1 x 5 化简得 y2 16x 即为点 M的轨迹方程 .
o
.
Fx
另解(定义法)：
由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：
解：因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且 p = 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方
程是2x2 =－8y .
例3已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线
的标准方程
yl
Fo
x
X=1
解：因为准线方程是 x = 1，所以 p=2 ， 且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛 物线的标准方程是 y2 =－4x .
M
M
HM
lF
【讲授新课】
y
解：以过F且垂直于 l 的直线为x
M(x,y) 轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐
Ko F
标原点建立直角坐标系xoy.
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
依题意得
(x
p )2
y2
| x
p |
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
两边平方,整理得
x2 2 py
p 0
求P！
想一想
求抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程时，关键是求什么？
【讲授新课】
例1 已知抛物线的标准方程是y2＝6x， 求它的焦点坐标和准线方程.
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)
抛物线的标准方程
图形
标准方程 ④ y2=2px(p>0)
焦点坐标
p 2
,0
y2=-2px(p>0)
⑤
-
p 2
,0
准线方程 x=- p
2
p
x= 2
x2=2py(p>0)
0,
p 2
p
⑥ y=-2
续表
图形
标准方程 ⑦ x2=-2py(p>0)
焦点坐标
0,-
p 2
准线方程 y= p
2
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” 。 1.抛物线的焦点到准线的距离是p. ( √ )
a
0,
1 4a
,准线方程是y=-
1 4a
.
抛物线的定义及应用
1.利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题 先将几何条件转化,其关键是根据几何性质,将几何条件化为抛物线的定义:动点到定点的 距离等于到定直线的距离,且定点不在定直线上;再利用抛物线的定义写出标准方程,写标 准方程时要注意:先定性、再定量. 2.利用抛物线的定义解决抛物线的焦半径问题 (1)抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及与准线的距离的转化,通过转 化可以求最值、参数、距离.
由抛物线的定义知,点P到准线x=
1 2
的距离|PD|等于点P到焦点F
-
1 2
,0
的距离|PF|,因此点P
到点M(0,2)的距离与点P到准线x= 1 的距离之和等于点P到点M(0,2)的距离与点P到点
2
F
-
1 2
,0
的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F
-
1 2
,0
的距离(当点P位于P'的位置时),即最小
北师大版高中数学选择性必修1第2章3.1抛物线及其标准方程课件(3)
y
M(x，y)
l
oK
F
x
比较探究结果
y
y
M(x，y)
l
oK
F
x
y 2 2 px p 2
y
l
l
K
M(x，y)
M(x，y)
o F
x
y 2 2px p 2
方程最简洁
K
o
F
y 2 2 px
x
新知获得
获知二：抛物线的标准方程．
y
方程 = ( > )表示抛物线，
其焦点F位于x轴的正半轴上，坐标是( ,0)，
法二：以定点F为原点,过点F垂直于l的直线为x轴，垂足为K，
建立直角坐标系(如下图所示)，直线l的方程为 = −p，
记|FK|=p，定点F(0,0)，
设抛物线上任一点 M为(x,y)，
由抛物线定义得： + =| + |
2
2
化简整理得： y 2 px +p ( p 0)
y
l
M(x，y)
• 抛物线的方程是如何定义的？
实践体验：按下列步骤作出一条曲线
• 在纸一侧固定直尺；
• 将直角三角板的一条直角边紧贴直尺；
• 取长等于另一直角边长的绳子；
• 固定绳子一端在直尺外一点F；
C
A
• 固定绳子另一端在三角板点A上；
• 用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的
直角边；
• 上下移动三角板,用笔画出轨迹。
解： =± 或 =±.
（3）求过点A（-3,2）的抛物线的标准方程.
解： = −
或 = −
3.3抛物线标准方程PPT课件(人教版)
2.抛物线的标准方程有四种不同的情势: 每一对焦点和准线对应一种情势. 3.p的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离 4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
作业： P73习题2.4A组 1.（2）、（3） 2， 3
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你 能根据上述办法求出它的标准方程吗？完成 课本P66探究.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
yl
y2=-2px
F O x (p>0)
y
x2=2py
F
O
x (p>0)
l
y
l x2=-2py
O
x (p>0)
F
四种抛物线的 对照 P的意义:抛物 线的焦点到准 线的距离方程
的特点:
(1).左边是二
次式,
(2).右边是一 次式,决定了 焦点的位置. (3).开口方向 (4).知1定3
P66思考：
二次函数
的图像为什么是
抛物线？你能把它化成标准方程并写出它的
焦点坐标和准线方程吗？来自、实践感知例（1）已知抛物线标准方程是 y2 6x ，则它的焦点坐标为______， 准线l 的方程为 _________
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
3.填空
（1）抛物线 y2 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是
。
（2）抛物线 y 2 2 px( p 0) 上一点 M 到焦点 F 的距离a(a p ) ,则点 M 到准线的距离 2
是 ________，点 M 的横坐标是
；
学习小结:
1.抛物线的定义:
作业： P73习题2.4A组 1.（2）、（3） 2， 3
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你 能根据上述办法求出它的标准方程吗？完成 课本P66探究.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
yl
y2=-2px
F O x (p>0)
y
x2=2py
F
O
x (p>0)
l
y
l x2=-2py
O
x (p>0)
F
四种抛物线的 对照 P的意义:抛物 线的焦点到准 线的距离方程
的特点:
(1).左边是二
次式,
(2).右边是一 次式,决定了 焦点的位置. (3).开口方向 (4).知1定3
P66思考：
二次函数
的图像为什么是
抛物线？你能把它化成标准方程并写出它的
焦点坐标和准线方程吗？来自、实践感知例（1）已知抛物线标准方程是 y2 6x ，则它的焦点坐标为______， 准线l 的方程为 _________
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
3.填空
（1）抛物线 y2 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是
。
（2）抛物线 y 2 2 px( p 0) 上一点 M 到焦点 F 的距离a(a p ) ,则点 M 到准线的距离 2
是 ________，点 M 的横坐标是
；
学习小结:
1.抛物线的定义:
3-3-1抛物线及其标准方程课件(人教版)
D．12
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线
的方程是( C )
A．y2＝－8x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x
D．y2＝4x
4．已知抛物线过点(－11，13)，则抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝12629x
B．y2＝－11619x
C．y2＝－11619x 或 x2＝11231y D．x2＝－11231y
【解析】 ∵y2＝4x，∴F(1，0)，准线是 x＝－1. ∵|PM|＝5，∴xP＝4，∴|yP|＝4. ∴S△MPF＝12×5×4＝10.
探究 2 解决轨迹为抛物线问题的方法： 轨迹为抛物线的问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先 将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足 动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的 条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义 的条件．
探究 3 一般方程标准化是基本的解题方法． 思考题 3 (1)抛物线 y＝－16x2 的焦点坐标是________，准
线方程是________．
(2)已知抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准 线方程．
【思路分析】 由题设参数 a≠0，有两种情况 a＞0 或 a＜0， 需分别求解．
例 1 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
【解析】 (1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p>0)． ∵抛物线过点(－3，2)， ∴4＝－2p×(－3)或 9＝2p×2. ∴p＝23或 p＝94. ∴所求抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y. (2)由题意，可设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)． ∵A(3，m)到焦点距离为 5，∴p2＋3＝5，即 p＝4. ∴所求抛物线方程为 y2＝8x.
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)
5.二次函数 = ( ≠ )的图象是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点
坐标、准线方程.
问题1 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题2 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
y
M
H
•
K O
•
F
x
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).
① 我们把方程①叫做抛物线的标准方程
p
它表示焦点在 x轴正半轴上,焦点是F ( ,0)
，
2
p
准线是 x 的抛物线.
2
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.y
p
( , 0) ,
2
焦点坐标是:_________
p
x
准线方程为:_______2
向右
开口方向：_____
焦点到准线的距离(焦准距).
p的几何意义是：___________________
问题4 抛物线只有这一种形式吗 ？
M
H
K
•
O
•
F
x
四种不同的建立平面直角坐标系
y
y
M
H
M
y
H
y
•
K O
•
F
x
•
FO
•
K
x
F•
O•
K
K•
O•
F
M
H
x
M
x
H
抛物线方程特点
l
F
坐标、准线方程.
问题1 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题2 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
y
M
H
•
K O
•
F
x
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).
① 我们把方程①叫做抛物线的标准方程
p
它表示焦点在 x轴正半轴上,焦点是F ( ,0)
，
2
p
准线是 x 的抛物线.
2
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.y
p
( , 0) ,
2
焦点坐标是:_________
p
x
准线方程为:_______2
向右
开口方向：_____
焦点到准线的距离(焦准距).
p的几何意义是：___________________
问题4 抛物线只有这一种形式吗 ？
M
H
K
•
O
•
F
x
四种不同的建立平面直角坐标系
y
y
M
H
M
y
H
y
•
K O
•
F
x
•
FO
•
K
x
F•
O•
K
K•
O•
F
M
H
x
M
x
H
抛物线方程特点
l
F
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)(3)
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线L叫做抛物线的准线。
即：若
=1, 则点M的轨迹是抛物线
N
M
·
·F
新知探究
2、抛物线的标准方程
设焦点到准线的距离
为常数P(P>0)
如何建立坐标系,
求出抛物线的标准方
程呢？
l
N
K
M
·
·F
试
一
试
？
2、抛物线的标准方程
如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为 y
中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件，
就可以求出抛物线的标准方程 .
2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它
的标准方程就唯一确定了；
若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则
所求的标准方程就会有多解．
先定位，后定量
课堂练习
求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：1）设抛物线的标准方程为x2=2py
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
y
o
﹒
x
2、抛物线的标准方程
方程 y2
y
= 2px（p＞0）
表示的抛物线，其焦点位于X轴的正半
轴上，其准线交于X轴的负半轴
p
即右焦点F（
，0）
2 p
左准线L：x = - 2
o
﹒
x
但是，对于一条抛物线，它在坐标平面
内的位置可以不同，所以建立的坐标系
也不同，所得抛物线的方程也不同，所
以抛物线的标准方程还有其它情势。
2、抛物线的标准方程
抛物线的标
准方程还有
哪些情势?
其它情势的
定直线L叫做抛物线的准线。
即：若
=1, 则点M的轨迹是抛物线
N
M
·
·F
新知探究
2、抛物线的标准方程
设焦点到准线的距离
为常数P(P>0)
如何建立坐标系,
求出抛物线的标准方
程呢？
l
N
K
M
·
·F
试
一
试
？
2、抛物线的标准方程
如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为 y
中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件，
就可以求出抛物线的标准方程 .
2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它
的标准方程就唯一确定了；
若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则
所求的标准方程就会有多解．
先定位，后定量
课堂练习
求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：1）设抛物线的标准方程为x2=2py
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
y
o
﹒
x
2、抛物线的标准方程
方程 y2
y
= 2px（p＞0）
表示的抛物线，其焦点位于X轴的正半
轴上，其准线交于X轴的负半轴
p
即右焦点F（
，0）
2 p
左准线L：x = - 2
o
﹒
x
但是，对于一条抛物线，它在坐标平面
内的位置可以不同，所以建立的坐标系
也不同，所得抛物线的方程也不同，所
以抛物线的标准方程还有其它情势。
2、抛物线的标准方程
抛物线的标
准方程还有
哪些情势?
其它情势的
课件3：2.3.1 抛物线及其标准方程
当焦点在 y 轴上时，同理可得，抛物线标准方程为 x2＝92y， 故所求的抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y.
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4，故抛物线的焦点 为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，故 p＝8，此时抛 物线方程为 y2＝16x，当焦点为(0，－2)时，p2＝2，故 p＝4，此 时抛物线方程为 x2＝－8y，从而所求的抛物线的标准方程为 y2 ＝16x 或 x2＝－8y.
[解析] 以拱桥顶为坐标原点，拱高所在直线为 y 轴，建 立如图所示的坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，由题 意知，点 A(4，－5)在抛物线 x2＝－2py(p>0)上．
∴16＝－2p×(－5)，2p＝156. ∴抛物线方程为 x2＝－156y(－4≤x≤4)． 设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B、B′时， 船开始不能通航，设 B(2，y′)．
(2)由焦点到准线的距离为 5，知 p＝5，又焦点在 x 轴负半 轴上，所以，所求抛物线的标准方程是 y2＝－10x.
命题方向 抛物线的实际应用
[例 3] 如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O′P ＝1m，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下， 若最高点距水面 2m，P 距抛物线的对称轴 1m，则水池的直径 至少应设计多少米？(精确到 1m)
B．6
C．8
D．12
(2)过点 A(1,0)，且与直线 l：x＝－1 相切的圆的圆心的轨
迹是( ) A．圆 C．双曲线
B．椭圆 D．抛物线
[分析] (1)根据点 P 到 y 轴的距离求出它到抛物线准线的
距离，利用抛物线定义转化为它到焦点的距离．
(2)根据动圆过点 A，且与直线 l 相切，可知圆心到点 A 的
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4，故抛物线的焦点 为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，故 p＝8，此时抛 物线方程为 y2＝16x，当焦点为(0，－2)时，p2＝2，故 p＝4，此 时抛物线方程为 x2＝－8y，从而所求的抛物线的标准方程为 y2 ＝16x 或 x2＝－8y.
[解析] 以拱桥顶为坐标原点，拱高所在直线为 y 轴，建 立如图所示的坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，由题 意知，点 A(4，－5)在抛物线 x2＝－2py(p>0)上．
∴16＝－2p×(－5)，2p＝156. ∴抛物线方程为 x2＝－156y(－4≤x≤4)． 设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B、B′时， 船开始不能通航，设 B(2，y′)．
(2)由焦点到准线的距离为 5，知 p＝5，又焦点在 x 轴负半 轴上，所以，所求抛物线的标准方程是 y2＝－10x.
命题方向 抛物线的实际应用
[例 3] 如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O′P ＝1m，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下， 若最高点距水面 2m，P 距抛物线的对称轴 1m，则水池的直径 至少应设计多少米？(精确到 1m)
B．6
C．8
D．12
(2)过点 A(1,0)，且与直线 l：x＝－1 相切的圆的圆心的轨
迹是( ) A．圆 C．双曲线
B．椭圆 D．抛物线
[分析] (1)根据点 P 到 y 轴的距离求出它到抛物线准线的
距离，利用抛物线定义转化为它到焦点的距离．
(2)根据动圆过点 A，且与直线 l 相切，可知圆心到点 A 的
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( × )
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
3.3.1抛物线及其标准方程 课件(可编辑图片版)(共35张PPT)
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的 点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有
2＋
p 2
＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝
16.∴m＝±4.
答案：±4
题型一 求抛物线的标准方程 探究 1 直接法求抛物线方程 例 1 (1)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离 等于 3 的抛物线的标准方程是( ) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y
3.3.1抛物线及其标准方程
[知识要点]
要点一 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫做__抛__物__线__．点 F 叫做抛物线的__焦__点____，直线 l 叫做 抛物线的_准__线___．
【方法技巧】(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一 个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l 叫 做抛物线的准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等于 1.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距 离．( √ ) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是 抛物线．( × ) (3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物 线才具有标准形式．( √ ) (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写 成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( √ )
受二次函数的影响，误以为 y 根据抛物线方程求准线方程时，应
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设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
设点M的坐标为（x，y），
由定义可知，
(xp)2y2xp
2
2
y
l
· N M ·x
Ko F
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2020年10月2日
6
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程。
其中p为正常数，它的几何意义是
焦点到准线的距离
2020年10月2日
12
2、求下列抛物线的焦点坐标和焦点坐标：
（1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0
（2）x2= 1 y 2
（4）x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
（1） （5，0）
（2） （0，—18 ）
（3） （- —58 ，0）
（4） 2020年10月2日
（0，-2）
x= -5
y= - —1
抛物线及其 标准方程
2020年10月2日
1
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比
是常数e的点的轨迹，当0＜e ＜1时，是椭圆， 当e＞1时，是双曲线。
当e=1时，它又是什么曲线？
l M
·F
l M
F·
l
·M
·F
0＜e ＜1
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e＞1
e=1
2
一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
8
x= —5
8
y=2 13
小结：
1、椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系 及其区别；
2、会运用抛物线的定义、标准方程求它 的焦点、准线、方程；
3、注重数形结合的思想。
2020年10月2日
14
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7
图形 焦 点
y
﹒o
x F ( p ,0) 2
﹒y
F ( p ,0)
﹒o x y
2 F (0, p )
ox
2
﹒y o x
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F (0, p ) 2
准线 x p
2 x p
2
y p 2
y p 2
标准方程 y 2 2 px ( p 0) y 2 2 px ( p 0) x 2 2 py ( p 0)
标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
．y A
代入x2 =2py，得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时，
O
x
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
=
9
2
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4
y或y2 = x 。
3 10
例3、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
x 2 2 py ( p 0)
8
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
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9
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
x0
p 2
?
————————
． y M
．
OF
x
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练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即:
︳︳ ︳︳
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3
二、标准方程
想 一 想
如何建立直角 坐标系？
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l
· N M ·F
4
y
o
y=ax2
y=ax2+c
y=ax2+bx+c x
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二、标准方程
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
15