2021年广东省新高考数学总复习：立体几何中探索性问题的研究

2021年广东省新高考数学总复习：立体几何中探索性问题的

研究

[追根溯源]

高考中的立体几何探索性试题，我们一般可以采用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．

探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，这类试题的一般设问方式是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．

例题 如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.

(1)证明：P A ⊥平面ABCD ；

(2)求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小；

(3)问：在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC .证明你的结论．

审题方法 F 是线段PC 上的点，一般可设PF →＝λPC →，求出λ的值，点P 是已知的，即可求

出点F .

解题思路 (1)证明的是线面垂直，只要努力去找直线与平面内的两条相交直线垂直即可；(2)按找二面角的方法进行；(3)通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，利用坐标关系和向量的相等就可以解决了．

(1)证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，所以AB ＝AD ＝AC ＝a ，在△P AB 中，由

P A 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2，知P A ⊥AB ，同理P A ⊥AD ，所以P A ⊥平面ABCD .

(2)解 如图1所示，作EG ∥P A 交AD 于G ，由P A ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作 GH ⊥AC 于H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，则∠EHG 为所求二面角的平面角，设为θ.又PE ∶ED ＝2∶1，

图1

则EG ＝13a ，AG ＝23a ，GH ＝AG sin 60°＝33

a ， 从而tan θ＝EG GH ＝33

，所以θ＝30°. (3)解 以A 为坐标原点，直线AD ，AP 分别为y 轴，z 轴，过A 点垂直平面P AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．由题设条件，相关各点的坐标分别为A (0， 0， 0)，B ⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，0，C ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0，D (0，a ， 0)，P (0， 0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a .