运筹学基础及应用
运筹学基础及应用共107页文档
求Z极大或极小
2020/4/19
4
1.2 线性规划问题的数学模型
三个组成要素：
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量。
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表 示为决策变量的函数。
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可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集 合称为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一
个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应 的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以
j1
x
j
0
（ j 1， ， n）
标准形式特点：
1. 目标函数为求极大值； 2. 约束条件全为等式；
3. 约束条件右端常数项全为非负；
4. 决策变量取值非负。
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一般线性规划问题如何化为标准型：
1. 目标函数求极小值：
n
minz cj xj j1
令： z'z，即化为：
maxz max(z)minz
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可 用资源的限制，表示为含决策变量的等式或 不等式。
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一般线性规划问题的数学模型：
目标函数：m （ m a ） z x 或 c i 1 x 1 n c 2 x 2 c n x n
a11x1 a12x2 a1nxn （或,）b1
约束条件：a21x1a22x2a2nxn（ 或,）b2
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及应用习题解答z 3。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
(a)约束方程组的系数矩阵12 3 6 3 0A 8 1 4 0 23 0 0 0 0基基解是否基可行解目标函数值X1 X2 X3 X4 X5 X6P1 P2 P3163 7-60 0 0否P1 P2 P4 0 10 0 7 0 0 是10P1 P2 P50 3 0 0 72是 3习题一P46x i1-的所有X i,X2，此时目标函数值o(b)约束方程组的系数矩阵A 12 3 4A2 2 12⑻(1)图解法基 基解 是否基可行解 目标函数值X 1X 2X 3X 4P 1P 24 11否"2P 1P 3 2 0 110 是435 ~5~5P 1P 4111否—36P 2P 312是52P 2P 41否22P 3P 40 0 1 1是5最优解xT2 11 5吋omax z 10x 1 5x 2 0x 3 0x 4 3x i 4X 2 X 3st. 5x 1 2x 2 x 48 9 8 12。
min—,— — 5 3 5C j 105 0 0 C B基b X 1X 2X 3X 421143 0 X 3— 1—"5"5582110X 11C j 105 0 0 C B 基bX 1 X 2 X 3 X 4 0 X 3 9 341 0 0X 48[5] 20 1 C j Z j105令 X iX 20,0,9,8，由此列出初始单纯形表最优解即为3x1 4x2 9的解x5x 1 2x 2 81,-，最大值z 竺 2 2(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式则P 3，P 4组成一个基。
得基可行解xC j Z j0 1221 8320，min14 22新的单纯形表为C j 105 0 0 C B基b X 1X 2X 3X 435 3 5X 2— 01— —2141410X 11121—7525c jZ j14 143*35x i 1, x 2 - , X 3 0, X 4 0。
运筹学基础及应用第五版 胡运权34015电子教案
例：要离最小的方案。
A
5 S
5 B
5
D
T
C
E
4
即求图中的最小部分树
2、求法
方法一： 避圈法 将图中所有的点分V为V两部分， V——最小部分树中的点的集合 V——非最小部分树中的点的集合
⑴ 任取一点vi，令vi∈V，其他点在V中 ⑵ 在V与V相连的边中取一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vj∈V ，并在V中去掉vj ⑶ 重复⑵ ，至所有的点均在V之内。
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A
F
B
E
C
D
为满足题目要求，应 该选择不相邻的点来 安排比赛的顺序：
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
§6.2 树图和图的最小部分树
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
运筹学基础及应用(全套课件296P) ppt课件
我国朴素的运筹学思想：田忌赛马、丁渭修皇宫
1938年英国最早出现了军事运筹学，命名为“Operational
Research”,1942年，美国从事这方面工作的科学家命其名为
“Operations Research”这个ppt课名件字一直延用至今。
2
§0.1 运筹学简述
美国运筹学的早期著名工作之一是研究深水炸弹起爆深度问 题。当飞机发现潜艇后，飞机何时投掷炸弹及炸弹的引爆引 度是多少？运筹学工作者对大量统计数字进行认真分析后， 提出如下决策：1.仅当潜艇浮出水面或刚下沉时，方投掷深 水炸弹。2.炸弹的起爆深度为离水面25英尺（这是当时深水 炸弹所容许的最浅起爆点）。空军采用上述决策后，所击沉 潜艇成倍增加，从而为反法西斯战争的胜利做出了贡献，为 运筹学增添了荣誉。
16 y3
4 X2 1Leabharlann y4X1 0 , X2 0
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
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6
§0.2 运筹学的发展
2. 20世纪50年代初期到50年代末期——成长时期 电子计算机技术的迅速发展促进运筹学的推广； 美国的约半数的大公司经营管理中融入运筹学；
大批的国家成立运筹学会，各种运筹学刊物相继问世 ； 1957年，牛津大学，第一次国际运筹学会议 1959年，国际运筹学会 成立
ppt课件
11
第 2 章 线性规划的对偶 理论
运筹学的基本概念与应用
运筹学的基本概念与应用运筹学是一门应用数学科学，主要涉及决策问题的建模和求解。
它的核心目标是通过数学方法来优化决策，以便在资源有限的情况下取得最优的结果。
运筹学的应用领域广泛，包括物流管理、供应链优化、生产计划、交通调度等等。
一、运筹学的基本概念1.1 问题建模在运筹学中，问题建模是解决问题的第一步。
它涉及将实际问题抽象化为数学模型，以便使用运筹学方法进行求解。
常用的建模方法包括线性规划、整数规划、图论等。
1.2 数学优化方法数学优化方法是解决运筹学问题的主要手段。
其中最常用的方法是线性规划和整数规划。
线性规划主要用于解决连续变量的优化问题，而整数规划则考虑了变量的整数限制。
除此之外，还有许多其他的数学优化方法，如非线性规划、动态规划等。
1.3 求解技术为了求解运筹学问题，需要使用相应的求解技术。
最常用的求解技术有单纯形法、分支定界法、模拟退火算法等。
这些求解技术可以帮助我们找到问题的最优解或近似最优解。
二、运筹学的应用2.1 物流管理物流管理是运筹学的典型应用领域之一。
通过合理的路径规划、运输调度和仓储管理，可以最大程度地降低物流成本，提高配送效率。
运筹学方法可以帮助企业优化物流网络、车辆调度和库存管理，从而提升物流管理的效果。
2.2 供应链优化供应链是企业和客户之间的交互系统，优化供应链可以带来许多益处。
运筹学可以帮助企业优化供应链的结构和运作方式，从而实现更高效的生产和配送。
通过运筹学方法，可以降低库存成本、提高客户满意度，并且减少供应链中的风险。
2.3 生产计划在生产过程中，需要合理地安排生产计划，以便最大化生产效率、最小化生产成本。
运筹学可以通过合理的订单批量规划、生产调度和生产线优化来提供支持。
通过运筹学方法，可以降低生产时间、提高资源利用率，并最大程度地满足客户需求。
2.4 交通调度交通调度是城市交通管理的重要组成部分，也是一个复杂的优化问题。
运筹学方法可以帮助交通管理部门优化交通信号、路线规划和公交车辆调度，以降低交通拥堵和提高交通效率。
运筹学基础及应用割平面法
运筹学基础及应用割平面法运筹学是一门研究决策问题的学科，它综合应用数学、经济学、管理学等多学科知识，旨在优化资源的利用和决策结果的最优化。
运筹学的基础之一就是割平面法，它是一种常用的数学编程技术，用于求解线性规划问题。
下面将从运筹学基础和割平面法的原理、应用及优缺点等方面进行详细讨论。
首先，运筹学基础是研究和应用数学技术和方法以帮助实现最优决策的学科。
它主要包括线性规划、整数规划、动态规划、网络流量问题等。
其中，线性规划是最常见的一种运筹学方法，可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。
在线性规划中，割平面法是一种常用的解决方法之一。
割平面法（Cutting Plane Method）是一种改进的单纯形法。
它通过引入一系列的“割平面”来不断缩小可行解空间，直到找到问题的最优解。
割平面法的基本思想是：将线性规划问题的可行解空间分割成若干部分，在每一部分内进行求解，并将其最优解通过“割平面”的方式加以限制，不断缩小可行解空间的范围，最终得到最优解。
割平面法的具体实施步骤如下：1. 初始解的求解：通过单纯形法或其他线性规划方法求得问题的初始可行解。
2. 割平面的确定：在当前可行解的基础上，根据问题的特点确定一系列割平面。
3. 解的求解：在原线性规划问题的约束条件下，加入割平面的限制条件，重新求解线性规划问题。
4. 割平面的更新：根据新的最优解重新确定割平面。
5. 重复步骤3和步骤4，直到无法进一步优化或满足停止准则时，停止求解，得到问题的最优解。
割平面法的应用领域非常广泛，尤其适用于那些复杂并且可分割的线性规划问题。
例如在生产计划中，割平面法可以根据不同产品的需求量、原材料的可用量等因素，制定最优的生产计划；在物流领域，割平面法可以优化货物的运输路线、运载量等；在金融投资中，割平面法可以根据投资收益和风险，制定最优的投资组合等。
割平面法的优点是可以有效地缩小可行解空间，提高问题求解的效率；而且它可以灵活地根据问题特点确定割平面，适用于各种不同类型的问题；此外，割平面法的求解过程相对简洁，易于实现。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结运筹学是一门研究如何有效决策和优化资源分配的学科，它涵盖了数学、统计学和计算机科学等多个学科的知识。
在现代社会，运筹学在各个领域都有广泛的应用，比如物流管理、生产调度、供应链优化等。
本文将介绍一些运筹学的基本概念和应用。
1. 线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的数学模型之一。
它的目标是在一组线性约束条件下，最大化或最小化线性目标函数。
线性规划可以用来解决资源分配、生产计划、投资组合等问题。
常见的线性规划算法有单纯形法和内点法。
2. 整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中决策变量被限制为整数。
整数规划在许多实际问题中都有应用，比如货车路径优化、工人调度等。
求解整数规划问题的方法包括分支定界法和割平面法。
3. 图论图论是运筹学中的一个重要分支，它研究图的性质和图算法。
图是由节点和边组成的数学结构，可以用来表示网络、路径、流量等问题。
常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流算法。
4. 排队论排队论研究的是随机到达和随机服务的系统中的排队行为。
它在交通规划、电话网络、客户服务等领域有广泛的应用。
常见的排队论模型有M/M/1队列、M/M/c队列和M/G/1队列。
排队论可以用来优化服务水平、减少等待时间等。
5. 动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它将问题分解为一系列子问题，并通过递归的方式求解。
动态规划常用于求解最优化问题，比如背包问题、旅行商问题等。
它的核心思想是将问题转化为子问题的最优解，并利用子问题的最优解求解原问题。
6. 模拟优化模拟优化是一种通过模拟实验寻找最优解的方法。
它基于概率统计和随机模拟的原理，通过多次模拟实验来搜索解空间。
模拟优化常用于在实际问题的局部搜索中找到较好的解。
常见的模拟优化算法有遗传算法、蚁群算法和粒子群算法。
7. 供应链管理供应链管理是一种综合运筹学和物流管理的概念，它研究如何优化整个供应链中的流程和资源分配。
供应链管理的目标是降低成本、增加效率并提供更好的顾客服务。
2024年运筹学培训资料包了解运筹学的基本原理和应用
绿色低碳理念在运筹学中的应用
绿色供应链优化
在供应链管理中，考虑 环境因素和碳排放成本 ，通过运筹学方法优化 供应链网络，实现绿色 低碳目标。
低碳交通规划
在城市交通规划中，运 用运筹学方法优化交通 网络布局和交通方式选 择，降低交通碳排放。
可再生能源调度
利用运筹学方法，对可 再生能源进行合理调度 和分配，提高能源利用 效率，减少碳排放。
项目进度与风险管理优化
项目进度计划与控制
制定详细的项目进度计划，监控项目进度，及时发现并解决问题 ，确保项目按时完成。
风险管理策略
识别项目中的潜在风险，评估风险的可能性和影响程度，制定相 应的风险应对措施以降低风险对项目的影响。
多项目协同管理
研究多个项目之间的协同管理问题，如资源共享、优先级排序等 ，以实现多项目的整体最优。
匈牙利法的基本步骤包括构建 初始矩阵、寻找增广路径、调 整指派方案等。
分支定界法
分支定界法是一种求解整数规划问题 的常用方法。
分支定界法的基本步骤包括确定分支 变量、进行分支操作、确定定界条件 、剪枝等。
它通过不断分支和定界的方式，逐步 缩小问题的求解范围，最终找到最优 解。
最短路径法
最短路径法是一种求解图论中最短路径问题的经典算法。
非线性规划问题建模与求解
介绍如何使用LINGO软件对非线性规划问题进行建模和求解，包括问 题转化、算法选择、结果分析等步骤。
CPLEX软件介绍及使用
CPLEX软件概述
CPLEX软件安装与配置
线性规划问题求解
非线性规划问题求解
简要介绍CPLEX软件的功能和 特点，包括高性能计算、大规 模问题求解、多种算法支持等 。
2024年运筹学培训资料包 了解运筹学的基本原理和应 用
运筹学基础及应用的期末
运筹学基础及应用的期末运筹学基础及应用的期末运筹学是一门研究如何对复杂系统进行决策和优化的学科，它主要侧重于对资源的有效利用和规划。
在现代社会中，运筹学在各个领域都有着重要的应用，包括生产制造、物流运输、金融管理等等。
本文将从运筹学的基础知识和应用实例两个方面来进行讨论。
首先，我们来看一下运筹学的基础知识。
运筹学包括了许多重要的概念和方法，比如线性规划、整数规划、动态规划、排队论等等。
其中，线性规划是运筹学中最为基础和重要的方法之一。
它主要用于处理资源分配的问题，通过建立数学模型来求解最优的资源分配方案。
而整数规划则是在线性规划的基础上增加了整数约束条件，它适用于一些需要整数解的问题。
另外，动态规划是一种用来求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题的方法，它在求解最优路径、最优策略等问题中有着广泛的应用。
排队论则是研究排队系统的数学理论，通过对排队系统的建模和分析，来求解系统的性能指标和优化方法。
其次，让我们来看一些运筹学在实际应用中的例子。
首先，以物流运输为例。
在物流运输领域，人们需要考虑如何合理规划货物的运输路径和运输方式，以最大限度地降低成本和提高效率。
通过运筹学方法，可以建立物流网络模型，通过线性规划等方法来求解最优的运输方案，从而实现物流成本的优化。
其次，以生产制造为例。
在生产制造领域，企业需要考虑如何合理安排生产任务和资源分配，以最大限度地提高产能和降低生产成本。
通过运筹学方法，可以建立生产调度模型，通过动态规划等方法来求解最优的生产调度方案，从而提高生产效率和降低成本。
另外，以金融管理为例。
在金融管理领域，人们需要考虑如何合理配置投资组合和规避风险，以最大限度地提高收益和降低风险。
通过运筹学方法，可以建立投资组合优化模型，通过整数规划等方法来求解最优的投资组合，从而实现资产配置的优化。
综上所述，运筹学在现代社会中有着广泛的应用，它不仅为人们提供了一系列解决复杂系统优化问题的方法，也为各个领域的发展提供了重要的决策支持。
《运筹学基础及应用》胡运权主编,哈工大出版社,完整版ppt课件
真实系统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
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运筹学在工商管理中的应用
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运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面： 1. 生产计划 2. 运输问题 3. 人事管理 4. 库存管理 5. 市场营销 6. 财务和会计
基可行解
线性规划问题的数学模型
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例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
maxZ 4x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 6x2
x4 2x3
3 x5
2
x
j
0,
j
1,
,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 1 A1 0 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
图解法
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线性规划问题的求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1。
1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z . (b ）用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围,所以该问题无可行解。
1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。
(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。
1。
3(a ）（1） 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ，最大值235=z（2）单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫⎝⎛=θ0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 23 1,4321====x x x x 。
最大值 235*=z(b)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ，最大值217=z（2） 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x则3P ，4P ,5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21σσ>。
运筹学基础及应用第五版 胡运权
则 CX0 CX* Y*b Y0b
但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
（3）无界性
若原问题（对偶问题）最优解无界，则对偶问题（原问 题）无可行解 证：由性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可 能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
现有材料 数量
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有
min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4 y1 y2 y3 y4
列单纯表计算：
Cj → CB XB b 0 y4 -2 0 y5 -1 cj - zj -24 y2 0 y5 cj - zj -24 y2 -5 y3 cj - zj 1/4 1/2 1/3 -1/3 -15 -24 -5 0 0
y1
0 -5
y2
-6 -2
y3
-1 -1
y4
1 0
y5
0 1 0 0 1
s.t
2 X1
+2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12 X1 0 , X2 0
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案一、线性规划1. 求解下列线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.2x1 + x2 ≤ 8x1 + 2x2 ≤ 6x1, x2 ≥ 0答案：首先将约束条件化为标准形式，得到：max z = 3x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2s.t.2x1 + x2 + s1 = 8x1 + 2x2 + s2 = 6x1, x2, s1, s2 ≥ 0通过单纯形法求解，得到最优解为：x1 = 2, x2 = 2，最优值为8。
2. 求解下列线性规划问题的对偶问题：min z = 2x1 + 3x2s.t.x1 + 2x2 ≥ 42x1 + x2 ≥ 6x1, x2 ≥ 0答案：原问题的对偶问题为：max z' = 4y1 + 6y2s.t.y1 + 2y2 ≤ 22y1 + y2 ≤ 3y1, y2 ≥ 0通过单纯形法求解，得到最优解为：y1 = 1, y2 = 1，最优值为10。
二、非线性规划1. 求解下列非线性规划问题：min f(x) = x^2 + 2x + 3s.t.x ∈ [0, 4]答案：首先求导数，得到f'(x) = 2x + 2。
令导数等于0，得到x = -1。
由于x ∈ [0, 4]，所以只需考虑x = 0和x = 4。
计算f(0) = 3，f(4) = 31。
因此，最小值为3，对应的x = 0。
2. 求解下列非线性规划问题：max f(x) = x^3 - 3x^2 + 4s.t.x ∈ [0, 3]答案：首先求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 6x。
令导数等于0，得到x = 0或x = 2。
计算f(0) = 4，f(2) = 2，f(3) = 2。
因此，最大值为4，对应的x = 0。
三、整数规划1. 求解下列整数规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 8x1, x2 ∈ Z答案：通过分支定界法求解，得到最优解为：x1 = 2, x2 = 3，最优值为10。
运筹学基础及应用运输问题胡运权
x12
…
c21
c22
A2
x21
x22
…
Bn c1n
x1n c2n
x2n
产量 a1 a2
┇
Am 销量
┇
┇
┇
cm
cm
1
2
…
xm1
xm2
b1
b1
…
┇
┇
cmn
xmn
am
bn
1.运输规划问题的典例和数学模型 运输问题的求解思路
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
2.表上作业法
计算步骤： (1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表上给出 m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）
运筹学基础及应用
Operations Research
运
第三章
决
筹
胜
帷
运输问题
千
幄
里
之
之
中
Transportation Problem
外
1 运输规划问题的典例和数学模型 2 表上作业法 3 运输问题的应用
CONTENTS
目
录
1.运输规划问题的典例和数学模型
例B33，.1各某产公地司的从产两量个、产各地销A地1、的A销2将量物和品各运产往地三运个往销各地销B地1每, B件2, 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
步骤
描述
方法
第一步 求初始基行可行解（初始调运方案）
最小元素法、西 北角法、 伏格尔法
第二步
求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验
数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若存在检 验数σi j <0，说明还没有达到最优，转第三步。
运筹学基础及应用难吗
运筹学基础及应用难吗运筹学是一门交叉学科，结合了数学、统计学和信息技术等多个领域的知识，用于解决有关决策和优化问题的学科，包括问题建模、模型求解、决策分析等内容。
运筹学基础及应用的难易程度因人而异，但总体上可以说是具有一定难度。
从基础来看，学习运筹学需要具备一定的数学基础，包括线性代数、概率论和数理统计等知识。
此外，对于一些高级领域，如整数规划、动态规划和随机规划等，还需要了解相关的数学理论和方法。
因此，对于没有接受过较为系统的数学培训或数学基础较差的人来说，运筹学基础会稍显困难。
另外，运筹学应用的难度也存在一定的挑战。
运筹学的应用场景广泛，涉及到生产调度、物流配送、资源分配、网络优化等方面，这些问题往往具有高复杂性和多变性。
在实际应用中，对问题的建模和求解往往需要综合考虑多个因素，如约束条件、目标函数、可行解空间等等，需要具备较强的逻辑思维和抽象能力。
另外一个挑战是运筹学应用中的数据处理和计算技术。
现代的数据规模庞大，传统的解析方法和算法已经无法处理了。
因此，运筹学的应用也需要掌握一些高级的数学建模技巧和计算方法，如整数规划的分支定界算法、混合整数规划的启发式算法等等。
此外，对于一些复杂的实际问题，还需要掌握一些高级的计算工具和软件，如线性规划软件和求解器等。
然而，虽然运筹学的基础和应用难度较高，但它也具有广泛的应用前景和重要的实际意义。
运筹学的方法和工具可以帮助企业和组织做出更合理、更科学的决策，优化资源和流程，降低成本，提高效率。
在现代社会中，各个行业都面临着日益复杂的经济环境和管理挑战，因此对于运筹学人才的需求也越来越高。
总结来说，运筹学基础及应用在某些程度上是具有一定难度的。
它需要具备一定的数学基础和计算能力，同时还需要具备较强的逻辑思维和抽象能力。
然而，对于有兴趣和热情的人来说，通过系统学习和实践，往往能够掌握运筹学的核心理论和方法，并在实际应用中取得良好的效果。
运筹学基础及应用
运筹学基础及应用P43例13 、混合配料问题：某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1-19所示。
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大。
试建立这个问题的线性规划的数学模型。
表1-19P44例14、投资项目的组合问题：兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项目的投资：（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；（2）只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；（3）允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，但限额投资20万元；（4）允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10万元。
试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案。
P44例15、生产、库存与设备维修综合计划的安排：红光厂有2台车床，1台钻床，1台磨床，承担4中产品的生产任务．已知生产各种产品所需的设备台时及生产单位产品的售价如表１－20所示．对各种产品今后三个月的市场最大需求（小于最大需求量时即可全部销出）及各产品在今后三个月的生产成本分别如表1－21和表1－22所示．上述设备在1~3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨床安排在3月份维修.各设备每月工作22天.每天2班,每班8h,每次维修占用半各月时间.又生产出来的产品当月销售不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每件每月储存费5元.但规定每月底各种产品储存量均不得超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存50件.试安排该厂各月的生产计划,使总的利润为最大.表１－20a值单位：h表1－21 最大需求量单位：件P81例1、某食品公司经销的主要产品之一是糖果。
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及丨、V:用习题解答习题一 P461.1(a)2 = 3。
(b)用亂解法找+到满足所打约柬条仲的公：it•范W，所以该问题无可行解。
1.2(a)约束方程组的系数矩阵最优解A.=(o，i a o,7，o，o)r(b)约束方程组的系数矩阵 f I 2 3 4、4 = l2 2 I 2,最优解1 = (^,0，11，0^ V55 )"1.3(a)(1)图解法⑵单纯形法首先在各约朿条件上添加松弛变铽，将问题转化为标准形式max z = 10a-, +5a'2 +0x3 +0a4[3a-. +4 义2 + A3 = 9 si.<[5a-j + 2X2 + a'4 = 8则A，P4组成个猫《=令 A = ;c2 = 0得-站可行解a_ = (0.0.9,8)，山此列出初始单纯形表cr 2 >0， 0 - minj 2Ax2xi =~，a-3 =0, a 4最优解即为严+2X2=24的解x =卩，2V 最大值z : IA"i + X y =5I 2 2 /新的单纯形农为A', Xo X A14 14_5_ _25M ~T?q.qcO ，表明已找到问题垴优解.(b)(1)图解法17(2)单纯形法苘先在外约朿条件.h 添加松弛变M ，将问题转化为标准形式 max z = 2.v, + x 2 + Ox 3 + 0.v 4 + Oa 5 5a'2 + = 15 6.y, + 2x 2 + .v 4 = 240 00 --2 *^4o A :5、Q 0 一4(7,^2 <0,表明已找到问题最优解^ =1，X 2=- , A-32L估• 17Hi Z =——21.6(a)在约朿条件中添加松弛变量或剩余变量，且令k = jc 2 -a :； (a*2 > 0,.v ； > o)Xx = ~X->该问题转化为max z' = -3a, - x 2 + .v 2 - 2a 3 + 0.v 4 + (Xv 5 2x | + 3a -2 - 3a 2+ 4a 3 +a 4 =12攀 M I4a'| +x 2 -A*2 -2a*3 —^5 =8 3a*, -X 2 +X 2 — 3a*3 = 6A*,, A '2，X 2, x 3，A-4 , A 3 ^ 0-K 约朿系数矩陴为23 -34 I 0 4 丨-1-20-13 -丨丨一3 0 0在A 屮人为地添加两列单位向虽/>7，2 3 -3 4 1 0 0 0 4 丨-1 -2 t) -1 丨 0 3-1 I -3 0 0 0 1令 max z'= -3a -i - x 2 +x 2- 2.v 3 + Oa:., + 0.v 5 - Mx 6 - Mx 7 得初始单纯形表15最大a 4 = 0，x 5SS ^ Xi x 2x 4 x 5 x 6-2 0 0M -M4 10 -I 0 00 0 0-3 + 7M -J 1 -2-5M 0 -M 0 0-I-5(b)在约朿条件中添加松弛变M 或剩余变M ，.R 令a:3 (jc 3>0,.x ；>0)该问题转化为max z • = 一3^ - 5.v 2 + x ?- x ? + 0,v 4 + Ox 5 x, + 2X 2 + x^- x^-x 4 =6 2.v, + x 2- 3jc 3 - 3^：3 + a*5 = 16 x 2+ 5 a*3 一 5a*3= 10 •v p A ：2，“x 4，A 5^0艽约柬系数矩阵为213-30-1 115-50 0v/ft A 屮人为地添加两列单位向觉p 7, 121-1-1010、2 13-30 100 115 -5 0 0 01、 /令 max z , = -3a*, 一 5,v 2 + .v 3 一 x 3 + 0x 4 + 0x s 一 Mx b - Mx 1衍初始单纯形表0 0 -M - M X. X, X,X, X, X, X, x n-A/ x 616-M x 7 10-3 + 2A/ 5 + 3M 1+6M -1-6M -M 0 0 0(a)解1:大\1法在上述线性规划问题中分别减去剩余变萤x 4，x 6,〜再加上人工变蛩15，17，'，得max z = 2x t - x2 + 2x3 + 0,v4 - Mx s + 0,v6 - Mx7 + 0a8- Mx^-3 + 7M -J 1 -2-5M 0 -M 0 0A', + X 2 + A ：3 - + JC 5 = 6 -2x l + jc 3 — a*6 + x 1 —2 2x z — j c 3 - a *8+ j c 9 =0a-,,.v 2,a*3,j:4,a:5,^6,x 7,x 8,a-9 >0，r,其中MS 个任意人的正数-据此可列出单纯形表22MMMjc, x 2x 4X5 X6 A-M x s 6 -M x 7一2 —Ma 、00 0 0[2]0 M 02-M 3A/-1 2 + A/ -M 1/2 -1/2 0 0-1/2 -1/2x s-M x,—Ix\ [1]1/2^ 5M 3 … ^… A/ I 1 3A/ 2-M0 ----- + — - M0 -M 0 ------------------ 一十 ---2 2 2 2 2 2-M jr 5 3 2 .v 3 2 -I x 2 I 3/2 -3/2 1/2 -1/2 -11-1/2 1/2 -1/2 1/20 0 0 1 1 03/40 0?>M +3 -5M -3 M-3M4Af+5 0 ■M22 2x, 3/4 A 3 7/2 7/40 00 1 0| 43/8 - 8 8-5/4 -M8山单纯形表计算结果可以ft 出，ct 4 >0且％<0(/ =丨，2，3),所以该线性规划问题有无界解 解2:两阶段法。
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运筹学基础及应用P43例13 、混合配料问题:某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1-19所示。
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大。
试建立这个问题的线性规划的数学模型。
表1-19甲乙丙原料成本(元/kg) 每月限制用量(kg) A 2.00 2000 ?60% ?30%B 1.50 2500C 1.00 1200 ?20% ?50% ?60%0.50 0.40 0.30 加工费(元/kg)3.40 2.85 2.25 售价(元/kg)P44例14、投资项目的组合问题:兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项目的投资:(1) 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资;(2) 只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元;(3) 允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，但限额投资20万元;(4) 允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10万元。
试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案。
P44例15、生产、库存与设备维修综合计划的安排:红光厂有2台车床，1台钻床，1台磨床，承担4中产品的生产任务(已知生产各种产品所需的设备台时及生产单位产品的售价如表,,20所示(对各种产品今后三个月的市场最大需求(小于最大需求量时即可全部销出)及各产品在今后三个月的生产成本分别如表1,21和表1,22所示(上述设备在1~3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨床安排在3月份维修.各设备每月工作22天.每天2班,每班8h,每次维修占用半各月时间.又生产出来的产品当月销售不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每件每月储存费5元.但规定每月底各种产品储存量均不得超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存50件.试安排该厂各月的生产计划,使总的利润为最大.表,,20 a值单位:h iji ? ? ? ? j车床 ,., ,., ,.,钻床 ,., ,., ,.,磨床 ,., ,., ,.,售价(元,件) ,, ,, ,, ,,表 1,21 最大需求量单位:件 K ? ? ? ? j1月 200 300 200 200 2月 300 200 0 300 3月 300 100 400 0表,,22 产品成本单位:元,件K ? ? ? ? j,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,,P81例1、某食品公司经销的主要产品之一是糖果。
它下面设有三个加工厂，每天的糖果生产量分别为:A1—7t,A2—4t,A3—9t.该公司把这些糖果分别运往四个地区的门市部销售，各地区每天的销售量为:B1—3t,B2—6t,B3—5t,B4—6t.已知从每个加工厂到各销售门市部每吨糖果的运价如表3—1所示，问该食品公司应如何调运，在满足各门市部销售需要的情况下，使总的运费支出为最少。
表3—1B1 B2 B3 B4 加工厂\门市部A1 3 11 3 10A2 1 9 2 8A3 7 4 10 5P95例2、设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为7t、5t、7t，B1、B2、B3、B4四个销地需要该种物资，销量分别为2t、3t、4t、6t，又知各产销地之间的单位运价见表3—25，试决定总运费最少的调运方案。
表3—25 单位运价表单位:元/tB1 B2 B3 B4 产地\销地A1 2 11 3 4A2 10 3 5 9A3 7 8 1 2P96例3、设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。
假定等量的化肥在这些地区使用效果相同，已知各化肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区单位化肥的运价如表3—29所示，试决定使总的运费最节省的化肥调拨方案。
表3—29 运价:万元/万t化肥厂\需求地区 ? ? ? ? 产量(万t)A 16 13 22 17 50B 14 13 19 15 60C 19 20 23 5030 70 0 10 最低需求(万t)50 70 30 最高需求(万t) 不限P98例4、在本章的例1中，如果假定:(1)每个工厂生产的糖果不一定直接发运到销售点，可以将其中几个产地的糖果集中一起运;(2)运往各销地的糖果可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地;(3)除产、销地之外，中间还可以有几个转运站，在产地之间、销地之间或产地与销地之间转运。
已知各产地、销地、中间转运站及相互之间每吨糖果的运价如表3—33所示，问在考虑到产销地之间直接运输和非直接运输的各种可能方案的情况下，如何将三个厂每天生产的糖果运往销售地，使总的运费最少。
表3—33产地中间转运站销地A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4A1 1 3 2 1 4 3 3 11 3 10 产地A2 1 3 5 2 1 9 2 8 ——A3 3 1 2 3 7 4 10 5 ——T1 2 3 1 1 3 2 2 8 4 6 中间转运站T2 1 5 1 1 1 4 5 2 7 —T3 4 2 3 1 2 1 8 2 4 —T4 3 2 3 2 1 2 1 2 6 —B1 3 1 7 2 4 1 1 1 4 2 销地B2 11 9 4 8 5 8 1 2 1 —B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 3B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3P108例2、有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种文字，交甲、乙、丙、丁)如表4—1所示。
四个人去完成。
因各人专长不同，他们完成翻译不同文字所需的时间(h应如何分配，使这四个人分别完成这四项任务总的时间为最小。
表4—1工作\人甲乙丙丁2 10 9 7 译成英文15 4 14 8 译成日文13 14 16 11 译成德文4 15 13 9 译成俄文P120例3、东方大学计算机实验室聘用4名大学生(代号1、2、3、4)和两名研究生(代号5、6)值班答疑。
已知每人从周一至周五每天最多可安排的值班时间及每人每h值班的报酬如下表4—7所示:表4—7学生代号报酬(元/h) 每天最多可安排的值班时间周一周二周三周四周五1 10.0 6 0 6 0 72 10.0 0 6 0 6 03 9.94 8 3 0 54 9.85 56 0 45 10.8 3 0 4 8 06 11.3 0 6 0 6 3该实验室开放时间为上午8:00至晚上10:00，开放时间内须有且仅须一名学生值班。
规定大学生每周值班不少于8h，研究生每周不少于7h，每名学生每周值班不超过3次，每次值班不少于2h，每天安排值班的学生不超过3人，且其中必须有一名研究生。
试为该实验室安排一张人员的值班表，使总支付的报酬为最少。
P121例4 红星日用化工厂为发运产品，下一年度需6种不同容积的包装箱。
每种包装箱的需求量及生产一个的可变费用如下表4—8所示:表4—81 2 3 4 5 6 包装箱代号0.08 0.1 0.12 0.15 0.20 0.25 容积500 550 700 900 450 400 需求量(个)5.0 8.0 10.0 12.1 16.3 18.2 可变费用(元/个)由于生产不同容积包装箱时需进行专门准备、下料等，生产某一容积包装箱的固定费用均为1200元。
又若某一容积包装箱数量不够时，可用比它容积大的代替。
试问该化工厂应订做哪几种代号的包装箱各多少个，使费用最节省。
P122例5 春江市计划为新建的5个居民小区中的两个分别各设立一所小学。
表4—9给出了各小区内及各小区间的平均不行时间(min)及各居民小区的小学生人数。
要求为该市提供决策建议，两所小学应分别建于哪两个居民小区，以及各居民小区学生应分到哪所小学上学，使学生总的上学步行时间为最短。
表4—9小学位于该区小学生数至其他区步行时间(min)1 2 3 4 51 200 5 20 15 25 102 180 20 4 20 15 253 300 15 20 6 25 154 160 25 15 25 4 125 350 10 25 15 12 5P123例6 清源市下设八个区，表4—11给出救护车从一个区至另一个区的车程时间(min)。
该市拟建救护中心，要求各区离救护中心的车程时间必须在8min之内。
试为该市提供决策建议:至少建多少个救护中心，建于何处, 表4—11 单位:min2 3 4 5 6 7 8 从\至1 8 9 11 13 14 8 152 10 12 13 11 17 143 7 7 8 12 104 8 7 10 95 8 14 166 10 77 12P125习题四4.1、试利用0—1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件。
(a)x1+x2?2或2*x1+3*x2?5。
(b)变量x只能取值0、3、5或7中的一个。
(c)变量x或等于0，或?50。
(d)若x1?2，则x2?1，否则x2?4。
(e)以下四个约束条件中至少满足两个:x1+x2?5，x1?2，x3?2，x3+x4?6。
4.2、某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，目的使总的钻探费用最小。
若10个井位代号为s1，s2，……，s10，相应的钻探费用为c1，c2，……，c10，并且井位的选择上要满足下列条件:(1)或选择s1和s7，或选择钻探 s8;(2)选择了s3或s4就不能选s5，或反过来也一样;(3)在s2、s6、s9、s10中最多只能选两个。
试建立这个问题的数学模型。
4.4、已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩(各为50m)如表4—13所示。
试问如何从中选拔一个4*50m混合泳的接力队，使预期的比赛成绩为最好。
表4—13 单位:s赵钱张王周37.7 32.9 38.8 37.0 35.4 仰泳43.4 33.1 42.2 34.7 41.8 蛙泳33.3 28.5 38.9 30.4 33.6 蝶泳29.2 26.4 29.6 28.5 31.1 自由泳4(5 P125分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五项任务，每个人完成各项任务的时间如表4-14所示。
由于任务数多余人数，故考虑:(a) 任务E必须完成，其它四项中可任选3项完成;(b) 其中有一人完成两项，其他每人完成一项;(c) 任务A由甲或丙完成，任务C由丙或丁完成，任务E由甲、乙或丁完成，且规定4人中丙或丁完成两项任务，其他每人完成一项;试分别确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少。