线性代数 第五章二次型PPT课件
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第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
令 Q (q1, q2 , q3 ) 0
0 1
1 2
1 2
0
则正交变换x＝Qy将二次型化为标准形
f 0 y12 2 y22 2 y32 .
正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有 保持向量的内积、长度不变等优点，即若x＝Qy为 正交变换，则
[Qx1,Qx2 ] (Qx1)T Qx2 x1TQTQx2 x1T x2 [ x1, x2 ]
1 1
(iii)将所求特征向量正交化、单位化
因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.
正交化
取1 1 , 2 2
3
3
3
,
2
,
2
2
2
1
1 1
2 2
1 0 1
长安大学《线性代数》课件-第5章二次型 (2)
n
a
i , j 1
ij
xi x j
ann xn2
f ( x1 , x2 ,
, xn ) ax111 (xa1211x1a
a112xx2 2 aa1n1nxx1 xn )n
12 x
2
x
x
a
x
aa2 n2 nxx2 nx)n
ax21
(
a
x
a
x
2222 2 2
2 221 1 1
可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
如果要把 f = 2y12 + y22 + y32 化为规范形，令
y1 1 / 2 z1
y2 z 2
y z
2
2
可得 f 的规范形：f = z12 + z22 + z32
例 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
2 3
1 3 , 则Q是正交矩阵。
2 3
例
2
2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1 ax 2 4 x1 x 2 4 x 2 x 3
经正交变换 x Q y 化为标准形 f y12 by2 2 4 y 3 2
求 a,b;
解 二次型的矩阵为
2 2 0
ann xn2
2an1, n xn 1 xn
称为二次型．
例如： f ( x , y ) x 2 4 xy 5 y 2
2
2
都是二次型。
f ( x , y , z ) 2 x y xz yz
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
线性代数第5章课件：二次型
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
线代课件§5二次型及其标准形
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
线性代数课件_第五章_相似矩阵及二次型——第7节
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
2020/7/15
课件
14
思考题
设 A,B分别 m阶 为 ,n阶正定 ,试 矩判 阵定分 矩C 阵 A 0是否为正 . 定矩阵
0 B
2020/7/15
课件
15
思考题解答
解 C是正定.的 因为 ,设zT(xT,yT)为mn维向,其 量中 x,y分
是否正定.
5 2 4
解
fx1,x2,x3的矩阵 2 为 1
2
,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5 2
2 10, 1
5 2 4
2 1 2
4 2 10, 5
故上述二次型是正定的.
2020/7/15
课件
11
例2 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3
相等.
2020/7/15
课件
5
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
2020/7/15
课件
4
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩 为r,有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使 f k1 y12 k2 y22 kr yr2 ki 0, 及 f 1z12 2z22 r zr2 i 0,
2020/7/15
课件
14
思考题
设 A,B分别 m阶 为 ,n阶正定 ,试 矩判 阵定分 矩C 阵 A 0是否为正 . 定矩阵
0 B
2020/7/15
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15
思考题解答
解 C是正定.的 因为 ,设zT(xT,yT)为mn维向,其 量中 x,y分
是否正定.
5 2 4
解
fx1,x2,x3的矩阵 2 为 1
2
,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5 2
2 10, 1
5 2 4
2 1 2
4 2 10, 5
故上述二次型是正定的.
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11
例2 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3
相等.
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5
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
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4
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩 为r,有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使 f k1 y12 k2 y22 kr yr2 ki 0, 及 f 1z12 2z22 r zr2 i 0,
大学数学-课件-第五章二次型第二节
能使它变成标准形 d2z22 + d3z32 + … + dnzn2 . 于是非退化线性替换
z1 y1 , z c y c y , 2 22 2 2n n z n cn 2 y2 cnn yn
就使 f ( x1 , x2 , … , xn ) 变成
n
1 x1 y1 a11 a1 j x j , j 2 x y , 2 2 xn y n ,
该变数替换的矩阵为
1 a a 1 0 C1 0 0
1 11 12
a a 0 , 1
于是
1 a , C , 1 O E A1 n 1
1 11
其中 T 为 的转置，En - 1 为 n - 1 级单位矩阵，
C AC1 a 1 T 11
T 1
1
O a11 T En1
2 3 2 3
2z 2( z2 2z3 ) 8z 2z 2z 2( z2 2z3 ) 6z .
2 1 2 2 3
w1 z1 , 最后令 w2 z 2 2 z3 , w z , 3 3
即
z1 w1 , z 2 w2 2 w3 , z w , 3 3
n
n
n
a ( a1 j x j ) aij xi x j
1 11 2 j 2 i 2 j 2 2 n
n
n
n
a11 ( x1 a a x j ) bij xi x j ,
j 2 1 11 1 j i 2 j 2
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第三节 相似矩阵
= diagP(-1A1 ,P=2 ,B·P·,·-1,APn)= B , 相故似，则 故1 , 2 , ···, n 即是 A 的 n 个特征值.
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
第五章二次型--精品PPT课件
设 f (x1…xn) = X’AX是K上n元二次型, 做非退 化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆 阵. 则 f ( x1…xn ) = Y’C’YCY = g( y1…yn ).
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第五节 二次型及其标准型
解 设 f = xTAx , 则
A 12
12
,
x
x y
.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
aijபைடு நூலகம்xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
(1) 解 二次型 f 的矩阵 A 为 (2) 解 0二1次型1 f 的矩阵 A 为
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
A 12
12
,
x
x y
.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
例 23 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42 2x1x2 4x1x3 6x1x4 8x2 x3 4x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
aijபைடு நூலகம்xi x j xT Ax,
i1 j1
其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩
阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样,
实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的
关系.
例 22 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩.
(2) f (x1,x2,x3) x12 4x22 x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 .
(1) 解 二次型 f 的矩阵 A 为 (2) 解 0二1次型1 f 的矩阵 A 为
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本容单单若 若束内请 请返结节节击想 想本 本 本容单 单若 若 若束内请 请 请返结节 节已想击想本本 本容单单若 若回束内内请 请返结 结节 节已击想击想本本容单单若回束内内请返结 结节 节 节已击 击想 想想本本容单 单 单若回束内 内结请返结结堂节节已击想 想击按本本容容单 单若回束 束内 内结请返返结结堂节已击击想按本本容容单若回束 束内 内 内结请返 返结 结结堂节已击 击 击想按本本容 容束单若回束束课内内结请返返结 结钮堂节已已击 击想按本 本本容 容束单若回回束束课内结请返返结钮堂节已已击想按本 本容 容 容束单回 回束束 束课内结返 返 返结钮堂节已 已击想按本本,容容束单回回束 束课.内结结!返 返结钮堂 堂节已 已击想按按本本,容束单回回束课.内结结!返结钮堂 堂已 已 已击按 按本 本本,容束回 回 回束课.内结 结!返结钮堂堂已已击按按本 本,容束束回 回束课 课.内结 结!返结钮钮堂堂已击按按本,容束束回束课 课.结 结 结!返钮 钮堂堂 堂已按 按 按本,容束 束回束课课.结结!返钮钮堂 堂已按 按本,,容束束回束课课..结!!返钮钮堂已按本,,束束束回课 课课..结!!钮 钮 钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂已按本,,束回课..结!!钮堂按,,,束课...结!!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
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an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
2
这表明对称矩阵A是二次型 x B x 的矩阵。
求二次型
1
f
x1
,
x2
,
x3
9
6
5 2 x1
4
10
x2
的矩阵A，
任 给 二 次 型 f x A x ,总 有 正 交 变 换 x P y , 使 f化 为 标 准 形
f1y 1 22y 2 2ny n 2
其 中 1 ,2 ,,n 是 f 的 矩 阵 A 的 特 征 值 。
二次型的标准形
定义 如果x的二次型 f(x)xAx经过可逆线性
变换x=Hy变成y的二次型
定理2
任给二次型 f (x) xTAx 总有正交变换x=Py
使 f 化为标准形 f 1y12 nyn 2
其中 1,2, ,n 为A的所有特征值.
f(x)xAx 是任意二次型 其中A是n阶对称矩阵
存在正交矩阵P，使得
Hale Waihona Puke 1PAPn
作正交变换 x P y
f(P y ) y (P A P )y y y1y12 nyn2
f(H y ) d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 d n y n 2
就称此二次型为原来二次型的标准形。
定义
定理1
设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得
BCTAC 则称矩阵A与B是合同的, 称矩阵C为
合同变换矩阵.
对于任意可逆矩阵C, 令 BCTAC如果 A 是对称
矩阵,则B也是对称矩阵, 且R(A)=R(B).
多媒体教学演示
第一章 矩阵与线性方程 第二章 向量与线性方程组 第三章 向量的内积与正交矩真 第四章 矩阵的特征与特征向量 第五章 二次型 第六章 线性空间与线性变换 第七章 Matlab 软件的应用
第五章 二次型
§1 二次型的标准形 §2 二次型的规范形 §3 正定二次型
第一节 二次型的标准形
用正交变换化二次型为标准型
定理: 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PAP
1
PAP
2
n
P(e1e2 en)
正交矩阵P 对称矩阵A
P A P
1
2
n
f xAx
P(e1e2 en)
正交变 换
x Py fy P A P yy y
1 y 1 22y 2 2ny n 2
2 4 x3
并求f 的秩。
求二次型 f 3x12 4x1x2 6x22 经过变换
x1 2 y1 y2 x2 y1 2 y2
之后的表达式。
解
x
x1 x2
y
y1 y2
f
x
3 2
2 6
x
x
2 1
1 2
y
f
21
12y3 2
22 61
12y
y1 2
13 22
f xAx 为标准形
解 矩阵A的特征多项式为
1 2 4
2 4
特
4
2
(4)(5)2
征 值
2 1
1 4,
2 3 5
对于1 4, 可 得 特 征 向 量 1 （ 2 ， 1 ， 2 ）
对于235， 得 到 线 性 无 关 的 特 征 向 量 2 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， 3 （ 1 ， 2 ， 0 ）
用正交变换化二次型为标准型的具体步骤： 1. 求二次型的矩阵A 2.求矩阵A的特征方程 AE 0
3.求特征方程的根，即特征值 1, , n 4. 对每个特征值 i 解方程组 (AiE)x0
得到n个特征向量
5. 对这个特征向量正交化和单位化，得到 e 1 , e 2 ,e n其 中 e i 是 对 应 于 i 的 单 位 特 征 向 量
二次型和它的矩阵
定义 含 有 n 个 自 变 量 x 1 ， x 2 ， ， x n 的 二 次 齐 次 函 数 f(x1,x2, xn)a11x122a12x1x2 2a1nx1xn a22x22 2a2nx2xn
叫做二次型。
annxn2
（ f x1，x2，，xn） x1,x2,
a11
xn a21
22 61
1
2y
y
10
0
0 35
y
10y12 35y22
只含有平方项的二次型叫做标准形
f xAx x C y C可逆
f yCACy（秩不变）
要 使 二 次 型 f经 可 逆 变 换 x C y 变 成 标 准 形 ， 就 是 要 使 C A C 成 为 对 角 矩 阵 。
对 任 意 实 对 称 矩 阵 A , 总 有 正 交 矩 阵 P , 使 P A P
6. Pe1 e2 en作 正 交 变 换 x P y代 入 f，
便得到标准型 f1 y 1 22y 2 2ny n 2
用正交变换化 f 6x12 24x1x2 x22 为标准形。
6 12
A
1
2
1
6 A E
1 22 5 1 5 0 ( 1 0 ) ( 1 5 ) 0
正交化 2 2，3 3[[32， ，22]]2 （ 0.5,2,0.5)
1 ( 2 , 1 , 2 ) ,2 ( 1 , 0 , 1 ) , 3 ( 0 . 5 , 2 , 0 . 5 )
1 ,2 ,3 是 正 交 特 征 向 量 组 。
单位化
e1
1 1
(2,1, 2) 333
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
2
这表明对称矩阵A是二次型 x B x 的矩阵。
求二次型
1
f
x1
,
x2
,
x3
9
6
5 2 x1
4
10
x2
的矩阵A，
任 给 二 次 型 f x A x ,总 有 正 交 变 换 x P y , 使 f化 为 标 准 形
f1y 1 22y 2 2ny n 2
其 中 1 ,2 ,,n 是 f 的 矩 阵 A 的 特 征 值 。
二次型的标准形
定义 如果x的二次型 f(x)xAx经过可逆线性
变换x=Hy变成y的二次型
定理2
任给二次型 f (x) xTAx 总有正交变换x=Py
使 f 化为标准形 f 1y12 nyn 2
其中 1,2, ,n 为A的所有特征值.
f(x)xAx 是任意二次型 其中A是n阶对称矩阵
存在正交矩阵P，使得
Hale Waihona Puke 1PAPn
作正交变换 x P y
f(P y ) y (P A P )y y y1y12 nyn2
f(H y ) d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 d n y n 2
就称此二次型为原来二次型的标准形。
定义
定理1
设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得
BCTAC 则称矩阵A与B是合同的, 称矩阵C为
合同变换矩阵.
对于任意可逆矩阵C, 令 BCTAC如果 A 是对称
矩阵,则B也是对称矩阵, 且R(A)=R(B).
多媒体教学演示
第一章 矩阵与线性方程 第二章 向量与线性方程组 第三章 向量的内积与正交矩真 第四章 矩阵的特征与特征向量 第五章 二次型 第六章 线性空间与线性变换 第七章 Matlab 软件的应用
第五章 二次型
§1 二次型的标准形 §2 二次型的规范形 §3 正定二次型
第一节 二次型的标准形
用正交变换化二次型为标准型
定理: 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PAP
1
PAP
2
n
P(e1e2 en)
正交矩阵P 对称矩阵A
P A P
1
2
n
f xAx
P(e1e2 en)
正交变 换
x Py fy P A P yy y
1 y 1 22y 2 2ny n 2
2 4 x3
并求f 的秩。
求二次型 f 3x12 4x1x2 6x22 经过变换
x1 2 y1 y2 x2 y1 2 y2
之后的表达式。
解
x
x1 x2
y
y1 y2
f
x
3 2
2 6
x
x
2 1
1 2
y
f
21
12y3 2
22 61
12y
y1 2
13 22
f xAx 为标准形
解 矩阵A的特征多项式为
1 2 4
2 4
特
4
2
(4)(5)2
征 值
2 1
1 4,
2 3 5
对于1 4, 可 得 特 征 向 量 1 （ 2 ， 1 ， 2 ）
对于235， 得 到 线 性 无 关 的 特 征 向 量 2 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， 3 （ 1 ， 2 ， 0 ）
用正交变换化二次型为标准型的具体步骤： 1. 求二次型的矩阵A 2.求矩阵A的特征方程 AE 0
3.求特征方程的根，即特征值 1, , n 4. 对每个特征值 i 解方程组 (AiE)x0
得到n个特征向量
5. 对这个特征向量正交化和单位化，得到 e 1 , e 2 ,e n其 中 e i 是 对 应 于 i 的 单 位 特 征 向 量
二次型和它的矩阵
定义 含 有 n 个 自 变 量 x 1 ， x 2 ， ， x n 的 二 次 齐 次 函 数 f(x1,x2, xn)a11x122a12x1x2 2a1nx1xn a22x22 2a2nx2xn
叫做二次型。
annxn2
（ f x1，x2，，xn） x1,x2,
a11
xn a21
22 61
1
2y
y
10
0
0 35
y
10y12 35y22
只含有平方项的二次型叫做标准形
f xAx x C y C可逆
f yCACy（秩不变）
要 使 二 次 型 f经 可 逆 变 换 x C y 变 成 标 准 形 ， 就 是 要 使 C A C 成 为 对 角 矩 阵 。
对 任 意 实 对 称 矩 阵 A , 总 有 正 交 矩 阵 P , 使 P A P
6. Pe1 e2 en作 正 交 变 换 x P y代 入 f，
便得到标准型 f1 y 1 22y 2 2ny n 2
用正交变换化 f 6x12 24x1x2 x22 为标准形。
6 12
A
1
2
1
6 A E
1 22 5 1 5 0 ( 1 0 ) ( 1 5 ) 0
正交化 2 2，3 3[[32， ，22]]2 （ 0.5,2,0.5)
1 ( 2 , 1 , 2 ) ,2 ( 1 , 0 , 1 ) , 3 ( 0 . 5 , 2 , 0 . 5 )
1 ,2 ,3 是 正 交 特 征 向 量 组 。
单位化
e1
1 1
(2,1, 2) 333