本科近世代数复习题

《近世代数》复习试题一、填空题1.设A={a,b,c,d},则A到A自身的所有映射共有个;其中单射有个.2.设R表示实数加群,而R+表示正实数乘法群,写出从R到R+的一个同构映射;设Q表示有理数集合,写出Q的对于普通加法来说的自同构(x→x除外).3.在整数集合Z定义两个二元关系:∼1和∼2.关系∼1具有对称性和传递性,但不具有反身性:;∼2具有反身性和对称性,但不具有传递性:.4.在有理数集合Q上定义二元关系∼:a∼b⇔a−b∈Z.写出由等价关系∼决定的等价类的代表团;写出模12的剩余类的一个代表团.5.设A是有n(n≥3)个元的集合.2A表示A的所有子集的集合.在2A上定义等价关系:X∼Y⇔X与Y有相同个数的元素.由此等价关系决定2A的分类共有类,而个数为2的类中共有个元素.6.就同构意义上来说,4阶群只有两个,它们是和;阶数最小的非交换群是;7.给出S6的一个5-循环置换π=(32154)，那么π−1=,π4=.在对称群S4中，(132)2(1234)−1=.对称群S n的阶是.8.设G是群,a,b∈G,且ab=ba,a和b的阶分别是m和n,d为m,n的最大公约数,则ab的阶是.设H,K≤G,且|H|=s,|K|=t,(s,t)=1,则|H∩K|=.9.群Z8的生成元有个;Z p(p为素数)的生成元有.无限循环群的生成元只有个.10.Z6的所有子群有个;而Z8的所有子群有个.11.任一个有限群都同一个群同构;任一个群都同一个群同构.12.写出一个阶数大于10且只有平凡不变子群的群;指数是2的子群一定是.13.设群G只有平凡不变子群,f是G的非零自同态,则ker f=,Imf=.14.设G是实数域R上所有的n阶可逆矩阵关于乘法构成的群,映射f:A→det A是G到(R∗,×)的同态,则ker f=.设G={2m3n|m,n∈Z}是关于数的乘法构成的群,f:2m3n→2m是G的自同态,则Imf=.15.设H是群G的不变子群,且H在G中的指数为m,则商群G/H的阶是,且对任意g∈G,g m∈.16.写出一个有零因子没有单位元的非交换环(用集合表示);写出一个有零因子没有单位元的交换环(用集合表示).17.含有2q(q为奇素数)个元的无零因子环的特征是;在特征为5的交换环R中,对任意的a,b∈R,(a+b)5=.设R是一个有6个元且有单位元的交换环，则R必有.18.在Z6[x]中,多项式([3]x3+[5]x−[4])([2]x2+[3]x−[2])=;而方程x2−x=0在Z6中的解是.19.在整数环Z中,设m和n的最大公约数是d,则由m,n生成的理想(m,n)=;且(m)∩(n)=.20.模9的剩余类环Z9的零因子为;可逆元是.剩余类环Z p(p为素数)的逆元有.21.找出Z6的所有理想;Z6的子环{[0],[2],[4]}的单位元是.找出模12的剩余类环的所有理想.22.若I是有单位元的交换环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为;在整数环上的多项式环Z[x]中,用集合表示由2和x生成的理想(x,2)=.23.若R是一个有单位元1的环,I是R的理想，那么R/I的单位元是;R/I的零元是.偶数环2Z的商域是.24.写出整数环Z上的多项式环Z[x]的一个极大理想;整数环Z的每个极大理想是由一个生成.25.高斯整数环Z[i]的所有单位是;与2+3i相伴的元是.26.环R={a+b √3i|a,b∈Z}的所有单位是;写出环R的一个素元.二、单项选择题1.设N是自然数集合,则以下定义的运算◦是N上的代数运算的是..................()A).a◦b=√ab B).a◦b=ln(a+b)C).a◦b=a−b D).a◦b=(a+b)22.下列定义的运算中满足交换律的是.............................................()A).非零实数集R∗的普通除法;B).全体整数集合上的普通减法;C).在Z上,a◦b=a+2b;D).在实数集R的普通乘法.3.设R是实数域,+,−,·是通常的加,减和乘法.以下定义的运算满足结合律的是...()A).a◦b=2a+b B).a◦b=bC).a◦b=a−b D).a◦b=(a+b)24.有理数集Q上的代数运算a◦b=b3.............................................()A).既适合结合律又适合交换律B).适合结合律但不适合交换律C).不适合结合律但适合交换律D).既不适合结合律又不适合交换律5.设Z是整数集合,则以下定义在Z上的关系∼是等价关系的是.....................()A).a∼b⇔a≤b B).a∼b⇔ab=0C).a∼b⇔ab≤0D).a∼b⇔a,b同奇同偶.6.以下映射中是群同态的是......................................................()A).f:(R,+)→(R,+),f(x)=|x|;B).f:(R,+)→(R,+),f(x)=x2;C).f:R∗→R∗,f(x)=x2;D).f:G→G,f(A)=A T,其中G表示数域F上全体n阶可逆矩阵关于乘法构成的群,而A T表示A的转置.7.设R是环,a,b,c∈R,m,n∈Z.则以下不成立的是............................()A).(a−b)c=ab−bc;B).(ma)(nb)=(mn)(ab).C).(a m)n=a mn;D).(a−b)n=a n−b n.8.在环Z6[x]中,以下是Z6[x]的零因子是...........................................()A).[1]x2+[2]B).[2]x3+[3]C).[3]x+[1]D).[3]x+[3]9.对称群S4中,元素(12)(34)的逆元是............................................()A).(1234)B).(1324)C).(13)(24)D).(12)(34)10.设R={a b00|a,b∈Z},R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个环是.....()A).无单位元有零因子的交换环B).无单位元无零因子的交换环C).无单位元的无零因子的非交换环D).无单位元的有零因子非交换环11.设C是复数域,下列映射f是C的自同构的是.....................................()A).f:a+bi→a B).f:a+bi→a−biC).f:a+bi→bi D).f:a+bi→b+ai12.以下命题中不不正确的是........................................................()A).一个群可以与它的真子群同构;B).一个有单位元的环和它的子环有相同的单位元C).两个不相连的循环置换可以交换;D).群与它的子群有相同的单位元.13.以下命题中不不正确的是........................................................()A).除环和域只有平凡理想;B).如果环R对于加法构成循环群,则R是交换环;C).设R是特征为p的环,则对任意的a,b∈R,(a+b)p=a p+b p;D).一个没有单位元的环的子环可以有单位元.14.以下命题中不不正确的是........................................................()A).不是每个环都有极大理想;B).两个理想的交还是理想.C).阶为偶数的群中,阶为2的元素的个数是奇数;D).设H是群G的不变子群,则对任意的g∈G,h∈H,gh=hg;15.以下命题不不正确的是...........................................................()A).环R上一切常数项为零的多项式的集合构成R[x]的理想;B).群G的有限子集H构成G的子群的充要条件是∀a,b∈H,ab∈H;C).无限循环群只有两个生成元;D).设R是偶数环,则(4)是R的极大理想,且R/(4)是域.16.以下命题不不正确的是...........................................................()A).若环R满足消去律，那么R必定没有零因子;B).除环的中心是一个域.C).整数集合Z中的整除关系是一个等价关系;D).设f是环R到R的满同态,I是R的理想，则f(I)也是R的理想;17.以下命题不不正确的是...........................................................()A).设p是素数,则Z p是一个域;B).4阶群一定是循环群;C).4个元的域的特征是2;D).在环Z中,(3,7)=(1)=Z.18.设a是10阶循环群G的一个生成元,则以下也是G的生成元的是..................()A).a2B).a5C).a6D).a919.域F上的多项式环F[x]是........................................................()A).除环B).域C).非唯一分解环D).欧氏环20.下列命题正确是...............................................................()A).整环是唯一分解环B).整环是主理想环C).唯一分解环是主理想环D).主理想环是唯一分解环三、辨析题.下列命题是否正确,正确的加以证明,错误的举出反例,并加以说明.1.设M是一个非空集合,2M是M的幂集(M的子集的全体称为M的幂集).则2M关于集合的并∪是构成群.2.如果群G的每一个元素的阶是有限的,则G是有限群.3.设G是阶大于2的非交换群,则一定存在非单位元a,b∈G,使得ab=ba.4.6阶群G有且只有一个3阶子群H,且H G.5.设H,K都是群G的子群,且H G,K H,则K G.6.设R是环,I R,J I,则J R.7.设f:R→¯R是环满同态,则R有零因子的充要条件是¯R有零因子.8.(x)既是Z[x]的极大理想,也是Q[x]上的极大理想.9.如果有单位元的环R只有平凡理想,则R是除环.10.整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构.四、证明题1.设S是任意集合,(G,+)是加群.令A=G S表示S到G的所有映射的集合.在A=G S上定义二元运算:∀f,g∈G S,x∈G,(f+g)(x)=f(x)+g(x).证明(A,+)是一个加群.2.设(Z,+)是整数加群,在Z上定义新的二元运算◦:a◦b=a+b−2,∀a,b∈Z.证明(Z,◦)是一个加群.(即交换群)3.证明实数域R 上所有n 阶可逆矩阵构成的集合M n (R )关于矩阵的乘法构成一个非交换群.设H ={A ∈M n (R )||A |=1},证明H 是M n (R )的不变子群.M n (R )/H 与什么环同构?4.设G 表示有理数域Q 到Q 的一切形如f a,b (x )=ax +b,a =0,a,b ∈Q的所有变换的集合.令H ={f 1,b∈G |b ∈Q }.再令¯G={a b 01|a,b ∈Q ,a =0},¯G 关于矩阵的乘法做成一个群.¯H ={a 001|0=a ∈Q }.证明(1).G 关于变换的合成做成一个非交换群,且G ∼=¯G.(2).H 是G 的不变子群,且G/H ∼=¯H,因而G/H 是一个交换群.5.设R ={a +b √2|a,b ∈Z ,}.证明R 关于数的加法和乘法做成一个整环.6.设R ={a +b √2|a,b ∈Q ,}.证明R 关于数的加法和乘法做成一个域.7.设R 是一个有单位元1的非交换环.用GL (R )表示R 的所有群同态的集合.在GL (R )上定义如果二元运算:∀f,g ∈GL (R ),x ∈G ,(f +g )(x )=f (x )+g (x );(f ◦g )(x )=f (g (x )).证明(GL (R ),+,◦)是一个非交换环.8.设A =Z ×Z 是关于以下定义的加法,乘法作成的环:(a,b )+(c,d )=(a +c,b +d ),(a,b )(c,d )=(ac,bd ),∀(a,b ),(c,d )∈A.令f :A →Z ,(a,b )→a .(1)证明：f 是A 到Z 的一个同态满射.(2)求ker f .(3)A/ker f 是怎样的一个环?9.设Z [x ]是整数环Z 上的多项式环.定义映射φ:Z [x ]→Z ,f (x )→f (0).证明φ是环Z [x ]到Z 的环满同态,ker φ是怎样的理想?10.设R ={a +bi |a,b ∈Z ,i 2=−1}.证明R 关于数的加法和乘法构成一个整环.R/(1+i )含有几个元?11.设Z [x ]是整数环Z 上的多项式环.(x 2+1)表示由x 2+1生成的主理想.证明Z [x ]/(x 2+1)∼=Z [i ].。