高中数学学案-导数的概念及计算
学案15 导数的概念(文理)
学案 导数的概念及其运算（文理）一、 目标要求1、了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义。
2、能据导数定义，求函数y=c ，x y xy x y x y x y =====,1,,,32的导数， 3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数。
二、知识梳理⑴ 函数在点0x x =处的导数及导函数：⑵ 函数在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处⑶导数的基本运算① 基本初等函数的导数公式C C (0'=为常数) '()n x = =')(sin x '(cos )x ='()x e = ；'()x a = ；'(ln )x = ；'(log )a x = ② 函数的和、差、积、商的求导法则（4）、（理）复合函数的导数：一般地，设函数()u x ϕ=在x 处有导数''()x u x ϕ=，函数y=f(u)在x 的对应点u 处有导数''()x y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且三、基础训练1、设()ln ,f x x x =若()'02fx =，则0x =（ ） A 2e B e C ln 22 D ln2 2、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）)(A 034=--y x )(B 430x y -+= （C ）450x y +-=（D ）430x y ++=3、半径为r 的圆的面积2)(r r s π=，周长r r c π2)(=，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ππ2)('2=………………… ①①式可用自然语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数.对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子___________,且用自然语言叙述为____________.4、如图，函数f(x)的图像是折线段A,B,C ，其中的坐标分别为(O,4)，(2,0),(6,4),则f(f(0))= , 函数f(x)在x=1处的导数(1)f '= 四、典例精析 例 1 求下列函数的导数： ⑴ ;sin 2x x y = ⑵;ln x xy =(3)1cos x y xe -= (理) （4）y=21x + (理)例2 已知函数f(x)=x 3+x-16 ⑴ 求直线)(x f y =在点)6,2(-处的切线的方程； ⑵ 直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； ⑶如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程。
高二数学下第七讲 高二导数概念(学案)
第七讲 导数概念，运算及几何意义一．课时目标1.通过实例分析了解函数平均变化率的意义．.会求函数f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．2.了解函数的平均变化率及导数间的关系．掌握函数在一点处导数的定义，以及函数f (x )在区间(a ，b )内导函数的概念.3.理解函数y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的导数与函数y ＝f (x )图象在点(x 0，y 0)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义．4.已知函数解析式，会求函数在点(x 0，y 0)处切线的斜率，能求过点(x 0，y 0)的切线的方程.5.掌握基本初等函数的导数公式．.掌握导数的和、差、积、商的求导法则．6.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.二．重点难点1.理解函数平均变化率的意义．(难点)2.求函数f (x )在 x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(重点)3.理解函数在某点处的导数．(难点)4.根据导数的几何意义，求函数在点(x 0，y 0)处的切线的方程．(重点)5.准确理解在某点处与过某点处的切线方程．(易混点) 6导数公式表的记忆．.应用四则运算法则求导(重点) 7.利用导数研究函数性质．(难点)三．知识梳理1．函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率:函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率为1212)()(x x x f x f --若12x x x -=∆，12y y y -=∆，则平均变化率可表示为xy ∆∆.2． 函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义:lim 0→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00=lim 0→∆x xy ∆∆为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或'y |0x x =，即)(0'x f ＝lim 0→∆x xy ∆∆为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或'y|0x x =，即)(0'x f ＝lim 0→∆x xy ∆∆＝lim 0→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00(2)几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数)(0'x f 的几何意义是在曲线y ＝)('x f 上点 处的切线的 相应地，切线方程为 . 3．函数f (x )的导函数:称函数)('x f ＝lim→∆xxx f x x f ∆-∆+)()(为)('x f 的导函数，导函数有时也记作y ′.4．5.导数运算法则:(1)[f (x )±g (x )]′＝ ；(2)[f (x )·g (x )]′＝ ；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数:复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的 关系为y ′x ＝ ，即y 对x 的导数等于的导数与 的导数的乘积．四．正本清源1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系：(1)函数)(x f 在点0x 处的导数)(0'x f 是一个常数；(2)函数y ＝)(x f 的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝)(x f 在区间(b a ,)内每一点x 都可导，是指对于区间(b a ,)内的每一个确定的值0x 都对应着一个确定的导数)(0'x f．这样就在开区间(b a ,)内构成了一个新函数，就是函数)(x f 的导函数)('x f ．在不产生 混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线)(x f y= “在点),(00y x p 处的切线”“过点),(00y x p 的切线”的区别与联系 (1)曲线)(x f y =在点),(00y x p 处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线)(x f y=过点),(00y x p 的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．五．典例分析题型一 利用导数的定义求函数的导数例1 求函数12+=x y在0x 到0x ＋Δx 之间的平均变化率．思维启迪：紧扣定义xf ∆∆＝xx f x x f ∆-∆+)()(00进行计算．探究提高 ： 求函数)(x f 平均变化率的步骤：①求函数值的增量)()(12x f x f f-=∆②计算平均变化率xf ∆∆＝1212x x )f(x )f(x --.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．变式训练1 过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点P 处切线的斜率．题型二 导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝x （2311xx x++）；(2)y ＝x －sin2xcos2x ；(3)y ＝(1)1)-. 思维启迪：若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．探究提高 ①求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；②有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(x －2)2；(2)y ＝cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 2； (3)y ＝log 2(ax 3)．例3 求下列复合函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5； (2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)． 思维启迪：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．探究提高 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 变式训练3 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n (n ∈N *)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 5.题型三 导数的几何意义例4 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．思维启迪：函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在点Q (2，－1)处的导数值等于切线斜率为1，且点Q (2，－1)、点P (1,1)都在抛物线上．探究提高 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．变式训练4 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.求y ＝f (x )的解析式．题型四 求切点坐标例5 在曲线y ＝x 2上哪一点处的切线，满足下列条件：(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．分别求出该点的坐标．[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．变式训练5 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?[特别提醒] (1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行．f ′(x 0)＞0，切线与x 轴正向夹角为锐角，f ′(x 0)＜0，切线与x 轴正向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程．六 易错警示：分不清“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”的区别致误例6 已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．批阅笔记(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是切点，从而导致错误．(4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错误的．依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线有除切点外的其他公共点．思想方法感悟提高．七课后小结1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f (x0)与(f (x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，而函数值f (x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx 的区别，这里的x是常量，Δx是变量．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．八家庭作业1，（2011全国高考4）曲线2y21x x=-+在点（1,0）处的切线方程为（A）1y x=-（B）1y x=-+（C）22y x=-（D）22y x=-+2，（2011年山东高考4）曲线311y x=+在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15,3，（2011年江西考4）曲线xy e=在点A（0,1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.eD.1 e4，（2011年重庆高考文3)曲线在点,处的切线方程为(A)(B)(C) (D)5,（2011年江西高考理4）设xxxxf ln42)(2--=，则0)('>xf的解集为A.),0(+∞ B. ),2()0,1(+∞- C. ),2(+∞ D.)0,1(-6，(2011年全国高考理8）曲线21xy e-=+在点（0,2）处的切线与直线0y=和y x=围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23 (D)17，（2011年湖南高考7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C．2-D．28，(2011年辽宁文高考题20）设函数)(x f =x+ax2+blnx ，曲线y=)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2． （I ）求a ，b 的值；（II ）证明：)(x f ≤2x -2．9，（2011年全国Ⅰ理高考题21）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
5.2.2导数的四则运算法则学案-高二下学期数学人教A版选择性
5.2.2导数的四则运算法则【学习内容】函数求导数【课标要求】能利用导数四则运算法则求简单函数的导数；【学习目标】2.3能推导导数的四则运算法则，并能进行简单应用；2.4能灵活运用导数的运算法则解决综合问题；【学习重点】利用导数的四则运算法则求函数的导数【学习难点】能灵活运用导数的运算法则解决函数求导一、利用运算法则求函数的导数任务一：独立计算并试着猜想.问题1：设f (x )=x 2 ，g (x )=x ，计算[f (x )+g (x )]′与[f (x )−g (x )]′，它们与f ’(x)和g ‘(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 问题2：计算[()()]f x g x '与()()f x g x ''，它们是否相等？()f x 与()g x 商的导数是否等于它们导数的商呢？总结：两个函数()f x 和()g x 的和（或差）的导数法则：[()()]f x g x '±= . 两个函数()f x 和()g x 的乘积(或商)的导数法则：[()()]f x g x '= .()[]()f x g x '= .任务二：完成例1, 要求：认真审题，规范作答（8min ）例1求下列函数的导数（1）32234y x x =--；（2）y =2sinx +3x ；（3）3x y x e =；（4）22sin xy x =.练习运用1（1）ln x y e x = （2）2(2y x x =+； （3）tan y x =二、综合运用求导法则任务一：完成例2, 要求：认真审题，规范作答（7min ）例2日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t 水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x =<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%；（2）98%. 任务二：完成例3, 要求：认真审题，规范作答 例3 求曲线23y x x =+在点()1,4处的切线方程． 练习运用2已知函数()x f x ax be =+图象上的点()1,2P -处的切线与直线3y x =-平行，则a = ，。
学案7：§3.1 导数的概念及运算
§3.1 导数的概念及运算高考·导航1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．主干知识 自主排查1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点 处的 相应地，切线方程为 . 2．函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 3．基本初等函数的导数公式若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ ；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝ (g (x )≠0)．[小题诊断]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝04．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________． 5．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．易错通关1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝ln xex 的导函数为______________．2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x 图象的切线，则实数a ＝________.核心考点 互动探究考点一 导数的运算 1．求y ＝x 2sin x 的导数．2．求y ＝－sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4的导数．3．求y ＝11－x ＋11＋x 的导数．4．求y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)的导数．思维升华导数运算的技巧考点二 导数的几何意义[锁定考向] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)根据参数切线的性质求参数． 角度一 求切线方程1．(1)经过原点(0,0)作函数f (x )＝x 3＋3x 2的图象的切线，则切线方程为________． (2)已知函数f (x )＝(－x 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线．方法技巧与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0. 角度二 求切点坐标 2．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．角度三 根据切线的性质求参数3．(1)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A.5π6 B.3π4C.π4D.π6(2)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行，求a 的值．方法技巧一般已知曲线上一点P (x 0，y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k ，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k ＝f ′(x 0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角度α或有关参数的值．即时应用1．若幂函数f (x )＝mx a 的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝02．已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为( )A ．0B ．23C ．0或－23D ．－233．曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为____________．4．曲线f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．5．设曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝e x 在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．考点三 导数的几何意义与函数性质的交汇考查导数的几何意义是课标卷命题考查的重点，常考查求切线方程及利用切线性质解决有关问题等，还与函数的图象与性质交汇考查，具有一定的综合性.(1)设函数y ＝x sin x ＋cos x ，且在图象上点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图象大致为( )(2)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．方法技巧求解导数的几何意义与函数性质交汇问题的2个注意点： 1．要注意函数相关性质在本课题中的作用．2．抓住导数的几何意义，利用函数性质或图象求解问题．即时应用1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋1)x 是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为( ) A ．y ＝xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝1D ．y ＝02．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列正确的是( )A ．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)B ．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)C ．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)D ．0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)【参考答案】主干知识 自主排查1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2) (x 0，f (x 0)) 切线的斜率 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．基本初等函数的导数公式 0αx α－1cos x －sin x e xa x ln a1x1x ln a4.导数的运算法则 (1) f ′(x )±g ′(x )(2) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2[小题诊断]1．B【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B. 2．C【解析】∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)． 3．C【解析】∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2， ∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.故选C. 4．3【解析】因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ， 所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.5．3【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x ， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.[小题纠偏]1．y ′＝1－x ln xx e x2．e 2【解析】设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·0e x＝－1，∴0e x＝a ，又－1a·0e x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.核心考点 互动探究考点一 导数的运算1．解：y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .2．解：∵y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x . 3．解：∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. 4．解：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. 考点二 导数的几何意义 角度一 求切线方程 1．(1)y ＝0或9x ＋4y ＝0【解析】当(0,0)为切点时，f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.当(0,0)不为切点时，设切点为P (x 0，x 30＋3x 20)(x 0≠0)，则切线方程为y －(x 30＋3x 20)＝(x －x 0)·(3x 20＋6x 0)，切线过原点，所以x 30＋3x 20＝3x 30＋6x 20，所以x 0＝－32，此时切线方程为9x ＋4y ＝0. (2)解：因为f (x )＝(－x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋1)e x ＋(－x 2＋x －1)e x ＝(－x 2－x )e x . 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝－2e.又f (1)＝－e ，所以所求切线方程为y ＋e ＝－2e(x －1)，即2e x ＋y －e ＝0. 角度二 求切点坐标2．解：(1)根据题意，得f ′(x )＝3x 2＋1.所以曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13， 所以要求的切线的方程为y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又直线l 过点(0,0)，则(3x 20＋1)(0－x 0)＋x 30＋x 0－16＝0，整理得x 30＝－8，解得x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l 的斜率k ＝13， 所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 角度三 根据切线的性质求参数 3．(1)B【解析】由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4，故选B.(2)解：由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2. 因为f ′(x )＝ln x ＋ax＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋a ＋1＝a ＋1＝2，a ＝1.即时应用1．C【解析】由f (x )＝mx a 为幂函数，得m ＝1.因为点A ⎝⎛⎭⎫14，12在幂函数f (x )的图象上，代入可得a ＝12.则f ′(x )＝12x ，故f (x )的图象在点A ⎝⎛⎭⎫14，12处的切线的斜率为f ′⎝⎛⎭⎫14＝1.根据直线的点斜式方程可知要求的切线方程为y －12＝x －14，化简可得4x －4y ＋1＝0.故选C.2．C【解析】曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线的斜率为0|x x y '＝＝2x 0，曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝－3x 20.由题意，得2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23.故选C. 3．x －y ＋1＝0【解析】因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 4．(－∞，1]【解析】由题意，得f ′(x )＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P (t ，f (t ))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t ＞0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1. 5．(0,1)【解析】由y ＝1x 得y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线的斜率k ＝－1，所以曲线y＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为1.由y ＝e x ，得y ′＝e x ，所以0e x＝1，解得x 0＝0，y 0＝1，即点P (0,1)．考点三 导数的几何意义与函数性质的交汇考查 (1)A (2)y ＝－2x －1【解析】(1)y ′＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0，由于它是奇函数，排除B ，C ； 当0＜x ＜π4时，k ＞0，排除D ，故选A.(2)令x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝ln x －3x (x ＞0)，则f ′(x )＝1x－3(x ＞0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.即时应用1．A【解析】函数f (x )是奇函数，可得f (－x )＝－f (x )， 即有－x 3＋ax 2－(a ＋1)x ＝－x 3－ax 2－(a ＋1)x ，可得a ＝0，即f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，可得曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率为k ＝1，切点为(0,0)，即曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x .故选A. 2．C【解析】由题意知，(2，f (2))，(3，f (3))两点连线的斜率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，而f ′(2)，f ′(3)分别表示函数f (x )的图象在点(2，f (2))，(3，f (3))处切线的斜率，由图象可知0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)3－2＜f ′(2)，即0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)．。
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。
如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义和物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义及求导法则；2. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，四则运算法则，复合函数的链式法则；3. 导数的应用：讲解导数在实际问题中的应用，如运动物体的瞬时速度、加速度，函数的单调性、极值等。
三、教学重点与难点1. 导数的定义及求导法则；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、求导法则及应用；2. 利用例题，演示导数的计算过程；3. 引导学生运用导数解决实际问题。
五、教学过程1. 引入极限的概念，讲解导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，通过极限的概念来理解导数；2. 讲解基本函数的导数公式，四则运算法则，复合函数的链式法则：引导学生掌握导数的计算方法；3. 利用例题，演示导数的计算过程：让学生通过例题，加深对导数计算方法的理解；4. 讲解导数在实际问题中的应用：如运动物体的瞬时速度、加速度，函数的单调性、极值等，培养学生运用导数解决实际问题的能力；5. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、例题演示、练习题等方式，评价学生对导数的概念、计算方法及应用的掌握程度。
六、教学拓展1. 导数的几何意义：讲解导数表示曲线在某一点的切线斜率，引导学生理解导数的几何interpretation；2. 导数与函数的单调性：讲解导数与函数单调性的关系，引导学生理解如何利用导数判断函数的单调性；3. 导数与函数的极值：讲解导数与函数极值的关系，引导学生如何利用导数求函数的极值。
七、教学案例分析1. 分析实际问题，引导学生运用导数求解：如物体运动的速度、加速度问题，函数的单调性问题等；2. 分析复杂函数的导数求解过程：引导学生理解并掌握复杂函数导数的求解方法。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
高等数学导数的概念教案
1. 让学生理解导数的概念，掌握导数的定义和性质。
2. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握求导数的基本方法。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的性质3. 求导数的方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、性质和求导数的方法。
2. 难点：导数的直观理解和求复杂函数的导数。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如速度、加速度等，引导学生思考导数的概念。
2. 讲解：讲解导数的定义，引导学生理解导数的几何意义。
3. 练习：让学生独立完成一些简单函数的导数计算，巩固导数的求法。
4. 应用：结合实际问题，让学生运用导数解决问题，体会导数的应用价值。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和求导数的方法。
五、课后作业1. 完成教材上的课后练习题。
2. 找一些实际问题，运用导数解决。
3. 复习本节课的内容，准备下一节课的学习。
1. 评价学生对导数概念的理解程度。
2. 评价学生掌握导数性质和求导数方法的情况。
3. 评价学生在实际问题中运用导数的熟练程度。
七、教学策略1. 采用生动的生活实例引入导数概念，提高学生的学习兴趣。
2. 通过多媒体手段展示导数的几何意义，增强学生的直观感受。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握求导数的方法。
4. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
八、教学资源1. 教材：高等数学导数部分。
2. 多媒体课件：用于展示导数的几何意义和实例分析。
3. 练习题库：用于巩固所学知识和提高解题能力。
4. 网络资源：用于拓展学生视野，了解导数在实际应用中的广泛性。
九、教学反思在教学过程中，要及时关注学生的学习反馈，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，要加强针对性训练，提高学生的理解能力和应用能力。
注重培养学生的数学思维，激发学生学习高等数学的兴趣。
十、教学拓展1. 导数在微积分学中的应用：极限、积分等。
高中数学《导数的概念》教案导学案
导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。
4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义；2. 导数的计算；3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 导数的定义及其几何意义；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、计算方法及应用；2. 利用图形展示导数的几何意义；3. 通过例题演示导数的计算过程；4. 引导学生运用导数解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 相关实际问题。
第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 解释导数的几何意义1.3 导数的计算方法第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的计算规则2.3 高阶导数第三章：导数在实际问题中的应用3.1 运动物体的瞬时速度和加速度3.2 函数的极值问题3.3 曲线的凹凸性和拐点第四章：导数的其他应用4.1 曲线的切线和法线4.2 函数的单调性4.3 函数的凸性第五章：练习与拓展5.1 导数计算的练习题5.2 实际问题的练习题5.3 拓展练习题六、教学过程6.1 导入：通过回顾函数图像，引导学生思考如何描述函数在某一点的瞬时变化率。
6.2 新课讲解：详细讲解导数的定义，通过图形和实例直观展示导数的几何意义。
6.3 例题演示：挑选典型例题，展示导数的计算过程，引导学生理解和掌握计算方法。
6.4 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
七、导数的计算7.1 基本导数公式：讲解常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
7.2 导数的计算规则：介绍导数的四则运算法则、复合函数的导数等。
7.3 高阶导数：讲解函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念及计算方法。
八、导数在实际问题中的应用8.1 运动物体的瞬时速度和加速度：结合物理知识，讲解导数在描述物体运动中的应用。
8.2 函数的极值问题：引导学生利用导数求解函数的极值，探讨极值在实际问题中的应用。
高中数学导数的概念教案
高中数学导数的概念教案
一、教学目标：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 掌握导数计算的方法和规则；
3. 能够应用导数解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 导数计算的方法和规则；
3. 实际问题应用。
三、教学内容与安排：
第一课时：导数的基本概念
1. 定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率；
2. 物理意义：导数表示了函数的变化速率，可以用来解释速度、加速度等物理现象；
3. 讨论导数存在的必备条件。
第二课时：导数的计算方法
1. 导数的计算法则：和、差、积、商、复合函数的导数；
2. 高阶导数的计算方法；
3. 计算导数的基本技巧。
第三课时：导数的应用
1. 利用导数求函数的极值；
2. 利用导数解决优化问题；
3. 利用导数解决曲线的切线问题。
四、教学方法：
1. 讲授相结合，引导学生主动探究；
2. 注重示范和实例讲解，提高学生的问题解决能力；
3. 课堂小组讨论，促进学生之间的合作与交流。
五、教学评价：
1. 课堂练习与作业；
2. 实际问题解决能力的考核；
3. 学生的课堂表现和参与度。
六、教学反思：
1. 根据学生的理解情况调整教学内容和节奏；
2. 激发学生的学习兴趣，增强学生的主动学习意识；
3. 关注学生的学习过程，及时给予反馈和帮助。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版一、教学目标：1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法及应用；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率；2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；3. 导数的应用：求函数的极值、单调性、曲线的凹凸性等。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、计算方法及应用；2. 难点：导数的计算规则、复合函数的导数、导数在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解导数的定义、计算方法和应用；2. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；3. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率；2. 讲解导数的定义，通过图形和实例使学生理解导数的物理意义；3. 讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；4. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；5. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题；6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案内容仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估：1. 课后作业：布置有关导数计算和应用的习题，巩固所学知识；2. 课堂练习：及时反馈学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导；3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，了解学生的理解程度和团队合作能力。
七、教学拓展：1. 导数在实际应用中的例子：如优化问题、物理运动方程等；2. 导数与其他数学概念的联系：如微分方程、泰勒公式等；3. 导数在高等数学中的作用：如多元函数的导数、隐函数的导数等。
八、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，如《高等数学》、《数学分析》等；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 习题库：整理一份全面的习题库，便于学生课后练习。
(浙江专用)高考数学总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念与导数的计算学案
第1讲 导数的概念与导数的计算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝0lim x ∆→ ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx＝limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__xf (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x )′＝x ·2x －1.( )(4)若f (x )＝e 2x，则f ′(x )＝e 2x.( )解析 (1)f ′(x 0)是函数f (x )在x 0处的导数，(f (x 0))′是常数f (x 0)的导数即(f (x 0))′＝0；(3)(2x )′＝2xln 2； (4)(e 2x)′＝2e 2x.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A.x sin x B.－x sin x C.x cos xD.－x cos x解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案 B3.(选修2－2P18AT7改编)曲线y ＝sin x x 在x ＝π2处的切线方程为( )A.y ＝0B.y ＝2πC.y ＝－4π2x ＋4πD.y ＝4π2x解析 ∵y ′＝x cos x －sin x x 2，∴y ′|x ＝π2＝－4π2，当x ＝π2时，y ＝2π，∴切线方程为y －2π＝－4π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，即y ＝－4π2x ＋4π.答案 C4.(2017·西安月考)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 解析 y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 答案 35.(2017·丽水调研)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f ′(5)＝________；f (5)＝________.解析 f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3. 答案 －1 36.(2017·舟山调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ，则f (0)＝________；f (x )＝________.解析 ∵f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ，∴f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，∴f (0)＝1， 即1＝12f ′(1)e －2，∴f (x )＝e 2x ＋x 2－2x .答案 1 e 2x＋x 2－2x考点一 导数的运算【例1】 分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x·1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x.规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【训练1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos xex ；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5).解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos xex. (3)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x . ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)令u ＝2x －5，y ＝ln u .则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线的方程 【例2－1】 (1)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y ＝0C.x －y －3＝0D.x ＋y ＋1＝0(2)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为________. 解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1， 故函数f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4.故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0.答案 (1)C (2)3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 命题角度二 求参数的值【例2－2】 (1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A.1B.2C.－1D.－2(2)(2017·温州调研)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设切点为(x 0，y 0)，y ′＝1x ＋a，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0＋1，1x 0＋a ＝1，y 0＝ln （x 0＋a ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝0，a ＝2.(2)∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，∴x ＋1x－a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(x >0).答案 (1)B (2)[2，＋∞) 命题角度三 公切线问题【例2－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8. 答案 8规律方法 (1)求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a 的值为( ) A.－1或－2564B.－1或214C.－74或－2564D.－74或7解析 由y ＝x 3得y ′＝3x 2，设曲线y ＝x 3上任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32.①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2＋154x －9＝0， Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋4·a ·9＝0得a ＝－2564.②当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝274x －274，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2－3x －94＝0，Δ＝32＋4·a ·94＝0得a ＝－1.综上①②知，a ＝－1或a ＝－2564.答案 A[思想方法]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. [易错防范]1.求导常见易错点：①公式(x n)′＝nx n －1与(a x )′＝a xln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cosx )′＝sin x ；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.。
选修2-2第1章第1-2节 导数的概念及运算(理)(学案含答案)
对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些根本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法那么进展求导。
例1函数 在 = 附近有意义且可导，导函数为 ，假设 =2，那么 趋于〔〕
A.2 B. C. D.
思路分析：此题是导数概念题，注意自变量的增量为 。
解题过程：原式= ，应选D。
解题后反思：对导数概念问题，注意要准确地从函数增量的式子中找出自变量的增量，紧扣函数在某一点的导数的概念：函数增量与自变量增量的比的极限值就是这一点的导数解题，此题中自变量的增量为 。
函数 在点 处的导数的几何意义是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说，曲线 在点 处的切线的斜率是 。相应地，切线方程为 。
3Hale Waihona Puke 导数的运算：〔1〕根本函数的导数公式： ； ； ；
〔2〕导数的运算法那么：
设 均可导，那么
〔C为常数〕；
〔3〕复合函数的导数：设 均可导，那么复合函数 可导，且
知识点一：导数的概念
下节课我们将学习导数的应用，那么导数的应用是指它在哪些方面的应用呢？请同学们阅读课本，并且进展考虑。
又∵点Q〔 , 〕既在切线上，又在函数图像上，
∴ ，解得， 或 ，
∴切线方程为 =0或 =0。
解题后反思：注意过某点的切线与在某点的切线的区别,要掌握过某点的曲线的切线方程求法。
知识点三：导数的实际意义
例4设球的半径为时间t的函数 ，假设球的体积以均匀速度c增长，那么球的外表积的增长速度与球的半径
学案14：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． 问题导学一、根据求导公式和导数运算法则求导数 活动与探究1求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋2x ＋1x 2；(2)y ＝3x ＋ln x ＋5； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ； 迁移与应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的导数为( ) A ．y ′＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 B ．y ′＝cos x －sin x C ．y ′＝－sin x D ．y ′＝cos x 2．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ．名师点睛应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则，可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．(2)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．迁移与应用1．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________． 2．求过点(1，－1)与曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．名师点睛(1)根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0．(2)注意区别“在P 处”求切线和“过P ”求切线的不同，后者点P 不一定是切点，要先设出切点再求切线． 三、导数的综合应用 活动与探究3已知函数f (x )＝x 2a －1(a ＞0)的图象在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．迁移与应用1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎭⎫0，π4 B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2 C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫3π4，π 2．讨论关于x 的方程ln x ＝kx 的解的个数． 当堂检测1．已知函数π()=sin 2f x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π2f'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝( ) A ．π2-B ．0C ．1D ．π22．下列结论正确的个数为( )①y ＝ln 2，则1'=2y ；②21=y x ，则=32'|=27x y -；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④12=log y x ，则1'=ln2y x -． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e4．设y ＝－2e x sin x ，则y ′＝__________．5．若曲线运动的物体的位移s 与时间t 的关系为221=2ts t t-+，则t ＝2时的瞬时速度为__________．课堂小结：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．参考答案一、根据求导公式和导数运算法则求导数活动与探究1解：(1)∵y ＝3x 2＋2x －1＋x －2，∴y ′＝6x －2x －2－2x －3＝6x －2x 2－2x 3．(2)y ′＝3x ln 3＋1x．(3)y ′＝e x cos x －e x sin x ＋cos x ． 迁移与应用 1．【答案】C【解析】∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，∴y ′＝－sin x ． 2．解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3．(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x ． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2． 又y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴k ＝0x x y ='＝3x 20－6x 0＋2．又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0．∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14．因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38． (2)解：∵f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，∴f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax ．设f (x )，g (x )的交点为(x 0，y 0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＝ax 0，y 0＝x 0，y 0＝a ln x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12e ，x 0＝e 2，y 0＝e.∴切线斜率k ＝f ′(x 0)＝f ′(e 2)＝12e ，切点为(e 2，e)，∴切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0．迁移与应用1．【答案】4x －y －3＝0【解析】因为y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0． 2．解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为：k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2．故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0．② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12．故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0． 三、导数的综合应用 活动与探究3解：∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a．又f (1)＝1a －1，∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是y －1a ＋1＝2a (x －1)．∴l 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12⎪⎪⎪⎪－1a －1⎪⎪⎪⎪a ＋12＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2 ≥14×(2＋2)＝1． 当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1．迁移与应用 1.【答案】D【解析】∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4e x ＋1′＝－4exe x＋12＝－4e x ＋1ex ＋2≥－1，即tan α≥－1． 由正切函数图象得α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π，选D ．2．解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 的交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0)，则kx 0＝ln x 0．∵(ln x )′＝1x ，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0．∴x 0＝e ，k ＝1e．结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0＜k ＜1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k ＞1e 时，方程ln x ＝kx 无解．当堂检测 1．【答案】A【解析】∵f (x )＝πsin 2x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ． ∴πππππ'=cos sin =22222f ⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．【答案】D【解析】对①，y ＝ln 2是常数函数，y ′＝0，故①错误；对②，221==y x x -，y ′＝－2x －3＝32x -，∴y ′|x ＝3＝227-，故②正确； 对③，易知其正确； 对④，12=log y x ，11'==1ln2ln 2y x x -，故④正确． 3．【答案】A【解析】根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1． 4．【答案】－2e x (sin x ＋cos x )【解析】y ′＝－2[(e x )′·sin x ＋e x ·(sin x )′]＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 5．【答案】8 【解析】s ′＝21't t -⎛⎫⎪⎝⎭＋(2t 2)′ ＝2421t t t t --(-)＋4t ＝32t t-＋4t ． ∴t ＝2时的瞬时速度为s ′|t ＝2＝228-＋8＝8．。
潍坊一中学案高三数学学案13：导数的几何意义与导数的运算
学案13：导数的几何意义与导数的运算主备人：王英妮审核：李兴国【高考要求】：①理解导数的概念.和导数的几何意义②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【知识梳理】：1.导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝limΔx→0ΔyΔx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝.（2）导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为．【注意】：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是惟一一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．几种常用函数的导数(1)c′＝ (c为常数)． (2)(x n)′＝ (n∈N)．(3)(sin x)′＝ .(4)(cos x)′＝ . (5)(e x)′＝ . (6)(a x)′＝ .(7)(ln x)′＝ . (8)(log a x)′＝ .4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝ (g (x )≠0)． 【自我检测 查找问题】1．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)2.已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2 D ．f (x )＝x －1 3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e4．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值是( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e5．已知函数f (x )＝k cos x 的图像经过点P ⎝⎛⎭⎫π3，1，则函数图像上过点P 的切线斜率等于( ) A ．1 B. 3 C ．－ 3 D ．－16．曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【典型例题】题型一：用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。
1.2导数的计算(三课时)学案
选修2-2 第一章 导数及其应用 1.2导数的计算学案设计：绵阳市开元中学 王小凤老师 学生姓名：第一课时：几个常用函数的导数 一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y 三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx ∆∆所趋于的那个定值。
（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c cx x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy∆→∆→∆'=== 0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy∆→∆→∆'=== 1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数y =的导数()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一．学习目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；二．学习重、难点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及其应用三．学习过程（一）获取新知1．基本初等函数的导数公式2．导数运算法则推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）（二）学以致用例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。
高二数学学案导数的四则运算法则
学案4导数的四则运算法则一、学习目标：1. 掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则2. 能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求一些简单函数的导数二、学习重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则 难点：学生对积和商的求导法则的理解和运用 三、学习过程： 学习活动一：【温故知新】基本初等函数的导数公式()C '= ()n x '= ()a x '=()x a '= (log )a x '=（0,1a a >≠且） ()x e '= (ln )x '=(sin )x '= (cos )x '学习活动二：导数的运算法则【探究】如果(),()f x g x 都有导数且分别为)()(x g x f ''和，则（1）])()(['±x g x f = ； (2) ])()(['∙x g x f = ； (3) ])(['x cf = ；(4) ])()(['x g x f = 。
当[]1()1=___________g x f x '≡时，有（）小试牛刀1：求下列函数的导数1.y=x 3+2x-3 2.y=xsinx 3.1y x=学习活动三：求导法则的综合应用【探究】求曲线x x y +=在点（1,2）处的切线。
小试牛刀3：求下列曲线在给定点的切线方程：（1） x x y +=3 (0,0) (2)y=sin(2x+2π) (4π,0)四、知识建构五、应用学习1、求下列函数的导数（1）y = xlnx (2)y=cos2x (3)11-+=x x y (4)y=tanx2、求xe x x xf )13()(2+-=的导数，并在函数曲线上求出点，使得曲线在这些点处的切线与x 轴平行。
六、当堂检测A 组1.求下列函数的导数（1）)cos 1(sin x x y += （2）xy xe =（3）x x y ln =(4)xxy sin 1cos +=2.已知曲线,33x x y +=求这条曲线平行于直线215+=x y 的切线方程。
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高中数学学案导数及其应用第1讲导数的概念及计算考点导数的概念及其几何意义知识点1 导数的有关概念(1)导数：如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，就说函数y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x＝x0处的导数(或瞬时变化率)．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.(2)导函数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，那么其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′.注意点如果函数f(x)在x＝x0处可导，那么函数y＝f(x)在x＝x0处连续.2 导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3 几种常见函数的导数原函数导数y＝C(C为常数)y′＝0y＝x n(n∈Q*)y′＝nx n－1y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝－sin xy＝e x y′＝e xy＝ln x y′＝1 xy＝a x(a>0，且a≠1)y′＝a x ln_ay ＝log a x (a >0，且a ≠1)y ′＝1x ln a4 导数的四则运算法则若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． 注意点 “过某点”和“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点.入门测1．思维辨析(1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(1)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.3．曲线y ＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是( )A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0答案 C解析y′＝cos x＋e x，故在点(0,1)处的切线斜率为2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.[考法综述] 导数的运算是所有导数问题的基础，高考中凡是涉及导数的问题必然会用到运算法则．导数的几何意义也是常考内容，主要有两种命题角度：①知切点求切线方程(斜率)；②知切线方程(或斜率)求切点参数值或曲线方程等．一般难度不大，选择、填空、解答题的形式都有．命题法导数的概念和几何意义典例(1)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0 f x0＋h－f x0－hh等于( )A．f(x0) B．－2f′(x0)C．2f′(x0) D．0(2)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )A．－e B．－1C．1 D．e(3)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.[解析] (1)limh→0f x0＋h－f x0－hh＝limh→0f x0＋h－f x0－[f x0－h－f x0]h＝limh→0f x0＋h－f x0h＋limh→0f x0－h－f x0－h＝2f′(x0)．(2)∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.(3)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，f(1)＝a＋2，故f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，代入点(2,7)得，a＝1.[答案] (1)C (2)B (3)1【解题法】导数运算的原则和方法以及导数几何意义问题的解题策略(1)①原则：先化简解析式，再求导．②方法：a．连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；b．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；c．对数形式：先化为和、差的形式，再求导；d．根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；e．三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(2)①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：a．求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；b．由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．②已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.③求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．1．函数f(x)＝e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )A.π4B．0C.3π4D．1答案 A解析由f′(x)＝e x(cos x－sin x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为π4，选A.2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝( )A.103B.43C．－23D．1答案 C解析f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)的图象，知导函数图象为③，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－2a2>0知a<0，所以a＝－2，代入可得函数f(x)＝13x3－2x2＋1，可得f(1)＝－23，故选C.3．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于( ) A．0 B．－1C.12D．2答案 C解析依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝1 2 .4.设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．答案(1,1)解析y′＝e x，则y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线与y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝1x(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y ＝1x上，所以b ＝1，故P (1,1)．5．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e, 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．6．若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，故由题意知对任意x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则有y 1＝1e x 1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，则⎩⎨⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2. 7．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.微型专题导数几何意义应用的创新题型创新考向导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点，此类问题以新定义、新情境为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力．命题形式：常见的有新概念、新情境、新法则等．创新例题如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为( )A．y＝1125x3－35x B．y＝2125x3－45xC．y＝3125x3－x D．y＝－3125x3＋15x解析根据题意知，所求函数在(－5,5)上单调递减．对于A，y＝1125x3－35x，∴y′＝3125x2－35＝3125(x2－25)，∴∀x∈(－5,5)，y′<0，∴y＝1125x3－35x在(－5,5)内为减函数，同理可验证B、C、D均不满足此条件，故选A.创新练习若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切．(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sin x；④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tan x；⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln x.答案①③④解析对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1,0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos x，y′|x＝0＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝sin x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝sin x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝1cos2x，y′|x＝0＝1cos20＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝tan x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝tan x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，④正确；对于⑤，y′＝1x，y′|x＝1＝1，所以l：y＝x－1是曲线C：y＝ln x在点P(1,0)处的切线，令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，可得h′(x)＝1－1x＝x－1x，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，可知曲线C：y＝ln x在点P(1,0)附近位于直线l的下方，⑤错误．1．准确转化：解决此类问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于导数几何意义的应用中的创新问题，可恰当选用图象法、特例法、一般逻辑推理等方法，同时结合导数的几何意义求解，以此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是( )A．1 B.1 64C．1或164D．1或－164[错解][错因分析] (1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻．[正解] 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝32(x0＝0舍)，所以k＝－14，∴所求切线l的方程为y＝－14x.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝－14x，y＝x2＋a，得x2＋14x＋a＝0.依题意，Δ＝116－4a＝0，∴a＝164.综上，a＝1或a＝164.[答案] C[心得体会]课时练基础组1.[武邑中学模拟]已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则limΔx→0fΔx－1＋f1Δx＝( ) A．1 B．－1C．2 D．－2答案 A解析由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，所以limΔx→0fΔx－1＋f1Δx＝limΔx→0 f－1＋Δx－f－1Δx＝f′(－1)＝1，故选A.2．[枣强中学一轮检测]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝( )A.1eB．eC．－1eD．－e答案 C解析由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋1x，则f′(e)＝2f′(e)＋1e⇒f′(e)＝－1e，故选C.3．[衡水中学周测]若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析依题意得，f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－a sin0＝2×0＋b，故b＝0，又有m＝f(0)＝g(0)，则m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.4．[冀州中学月考]曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A．45°B．60°C．120°D．135°答案 A解析由y＝x3－2x＋4，得y′＝3x2－2，得y′|x＝1＝1，故切线的倾斜角为45°.5．[武邑中学周测]已知f(x)＝x3－92x2＋6x－a，若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，则m的最大值为( )A．3 B．2C．1 D．－3 4答案 D解析f′(x)＝3x2－9x＋6，因为对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以81－12(6－m)≤0，解得m≤－34，即m的最大值为－34，故选D.6．[衡水中学月考]函数f(x)＝x sin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为( )答案 C解析 ∵f (x )＝x sin x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，∴f ′(－x )＝－sin x －x cos x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数，由此可排除A ，B ，D ，故选C.7．[枣强中学猜题]若点P 在曲线f (x )＝ln x ＋ax 上，且在点P 处的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 B解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x ＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意，知x 0>0，所以a ＝2－1x 0<2，故选B.8．[衡水中学期中]抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233D.433答案 D解析 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12p x 20，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′＝x p ，故在M 点处的切线的斜率为x 0p ＝33，故M ⎝⎛⎭⎪⎫33p ，16p .由题意又可知抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线右焦点为(2,0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，16p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，(2,0)三点共线，16p －033p －2＝p2－00－2，可求得p ＝433，故选D. 9．[武邑中学期中]曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.10．[衡水中学期末]若f ′(x 0)＝2，则lim k →0f x 0－k －f x 02k＝________.答案 －1 解析 f ′(x 0)＝lim k →0f [x 0＋－k ]－f x 0－k(这里Δx ＝－k )，所以，lim k →0f x 0－k －f x 02k＝lim k →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12·f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.11．[冀州中学期末]已知函数y ＝2cos x ＋3的导函数为G (x )，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π上，随机取一个值a ，则G (a )<1的概率P 为________．答案78解析 由题意，知G (x )＝y ′＝－2sin x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π上，由G (a )＝－2sin a <1，得a∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，π，故概率P ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝78. 12. [衡水中学预测]过函数y ＝x 12(0<x <1)图象上一点M 作切线l 与y 轴和直线y ＝1分别交于点P 、Q ，点N (0,1)，则△PQN 面积的最大值为________．答案827解析 设切点为M (t 2，t )，0<t <1，因为y ′＝12x，所以切线斜率为k ＝12t，切线方程为y －t ＝12t (x －t 2)，即y ＝12t x ＋t 2，分别令x ＝0、y ＝1得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2、Q (2t －t 2,1)，所以△PQN的面积S ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2·(2t －t 2)＝14t 3－t 2＋t ，S ′＝34t 2－2t ＋1＝14(t －2)(3t －2)，注意到0<t <1，所以当t ＝23时，△PQN 的面积取到最大值14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23＝827.能力组13.[枣强中学热身]曲线y ＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．3B ．2 C.13 D.19答案 D解析 由题意，知y ′＝1＋x 2，∴曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫1，43处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝1＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23.∴切线与x 轴和y 轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23.∴所求三角形的面积为12×13×23＝19，故选D. 14．[衡水中学猜题]已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________.答案 －7解析 由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|3＋a ×2＋4－a －5|3＋a2＋1＝5⇒a ＝－52，∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7.15．[衡水中学一轮检测]设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．答案－2解析∵y′| x＝1＝n＋1(n∈N*)，∴曲线在点(1,1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)(n∈N*)，令y＝0，得x＝x n＝nn＋1(n∈N*)，∴a n＝lgnn＋1(n∈N*)，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg12＋lg2 3＋…＋lg99100＝lg⎝⎛12×23×…×⎭⎪⎫99100＝lg1100＝－2.16. [冀州中学模拟]已知点P在曲线y＝4e x＋1(其中e为自然对数的底数)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则tanα的取值范围是________．答案[－1,0)解析易知y′＝－4e xe x＋12，显然y′<0，又－4e x e x＋12＝－4e x＋1e x＋2≥－42 e x·1e x＋2＝－1(当且仅当e x＝1e x时取“＝”)，∴tanα的取值范围是[－1,0)．。