椭圆与双曲线基础知识对比表
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
双曲线和椭圆知识点汇总
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二) 双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3） 焦点在y 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 心实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越准线 渐近线 焦半径公式|PF 1|= |PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的下上两焦点，P 为椭圆上的一点)4. 等轴双曲线22(0)x y λλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x=±③离心率为5. 共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x y a b+=的共轭双曲线是 6.双曲线系（1） 共焦点的双曲线的方程为2221x y k k c+=-(0<k<c 2,c 为半焦距) （2） 共渐近线的双曲线的方程为2222(0)x y a bλλ-=≠。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二) 双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x=±③离心率为5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
椭圆与双曲线性质对照表
15. O 为坐标原点， P, Q 为双曲线
x2 y2 1 上两动点， a2 b2 始终保持 OP OQ (可能没有)，作 OH PQ 于 H 点. 1 1 1 1 1 则 2 2 ; 2 2 2 | OH | | OP | | OQ | a b
a 2b 2 即 H 点的轨迹为一个圆： x y 2 . | a b2 |
2b 2 ). a
2b 2 ). a
x2 y2 6. AB 是椭圆 2 2 1 的不平行于对称轴的弦， a b M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOM k AB b 2 x0 b2 ，即 . K AB a2 a 2 y0
x2 y2 6. AB 是双曲线 2 2 1 的不平行于对称轴的弦， a b M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOM k AB b 2 x0 b2 ，即 . K AB a2 a 2 y0
2
则 (1) S F1PF2
sin( ) sin 2 c 2 e ； b 2 cot ； (2) 2 | sin sin | 2a sin( ) 2
5. AB 是过椭圆
x2 y2 1 焦点 F 的弦，与长轴的夹角为 ， a2 b2 2ab 2 则 | AB | 2 . 当 0 时， AB 为长轴； b c 2 sin 2
则 x0
a2 b2 a2 b2 . x0 a a
a 2 b2 a 2 b2 . , 或 x0 a a
x2 y2 10. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 上， a b
则过 P0 的椭圆的切线方程是
x2 y2 10. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 2 1 上， a b
中职教育数学《椭圆、双曲线、抛物线》知识点总结
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、 椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨迹叫做椭圆。
符号语言：()12222MF MF a a c +=>将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠与椭圆12222=+by a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()222221x y k b a k b k +=>-++ 与椭圆 12222=+by a x 共离心率的椭圆系方程可设为：）0，（2222≠=+λλb y a x双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。
符号语言：()12-222MF MF a a c =<将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在标准方程22221x y a b -= (0,0)a b >> 22221y x a b-= (0,0)a b >> 图 形性质焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦 距 c F F 221=c F F 221= 范 围x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈对 称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标)0,(a ± ),0(a ±，实轴、虚轴 实轴长=a 2，虚轴长=b 2；实半轴长=a ,虚半轴长=ba b c 、、关系 222c a b =+离 心 率(e 1)ce a=>渐近线方程b y x a=± a y x b=±焦点位置不确定的双曲线方程可设为：()2210mx ny mn -=>与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线系方程可设为：()2222221x y b k a a k b k -=-<<-+ 与双曲线22221x y a b -=共渐近线或离心率的双曲线系方程可设为：()22220x y a bλλ-=≠yoabxxy o a bx yao抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做抛物线。
椭圆与双曲线对比
（右正左负）
|PF1|=|ey0+a|
|PF2|=|ey0-a |
（下加上减）
（上正下负）
焦
准
距
参数方程
椭圆与双曲线定义和性质对比
表一（定义探究）
类比目标探究项目
椭圆
双曲线
图
形
绘图原理
绳子总长不变
拉链拉开部分长度相等
点集的文字描述
平面内到两定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）点的集合
平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于两定点的距离）点的集合
轨迹的点的集合
|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)
顶
点
离心率
，
，
第
二
定
义
到定点的距离与到定直线的距离比是常数 （0<e<1）的点的轨迹
到定点的距离与到定直线的距离比是常数 （e>1）的点的轨迹
准线
焦半径
|PF1|=a+ex0
|PF2|=a-ex0
（左加右减）
|PF1|=a+ey0
|PF2|=a-ey0
（下加上减）
|PF1|=|ex0+a|
|PF2|=|ex0-a|
平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于两定点的距离）点的集合
图
形ห้องสมุดไป่ตู้
方
程
焦点
坐标
方程与定义的联系
“和”用“+”
“差”用“－”
方程与焦点的联系
哪个分母系数大
焦点就在哪个轴
哪个分母系数为正
焦点就在哪个轴
长短半轴、半焦距
a，b，c
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结椭圆和双曲线是高中数学中重要的曲线类型，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆与双曲线的基本概念、性质以及相关公式进行总结。
一、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和恒为常数2a的点P所构成的图形轨迹。
2. 椭圆的性质：- 两个焦点F1、F2与椭圆的中心O满足关系：OF1 + OF2 = 2a。
- 椭圆的半长轴为a，半短轴为b，有关系式a > b。
- 椭圆的离心率e满足关系e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
- 椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化成一个圆。
3. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为中心坐标。
4. 椭圆的重要公式：- 椭圆的周长C = 4a(E(e))，其中E(e)为第二类椭圆积分。
- 椭圆的面积S = πab。
二、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差恒为常数2a的点P所构成的图形轨迹。
2. 双曲线的性质：- 两个焦点F1、F2与双曲线的中心O满足关系：|OF1 - OF2| = 2a。
- 双曲线的半长轴为a，半短轴为b，有关系式a > b。
- 双曲线的离心率e满足关系e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
- 双曲线的离心率大于1。
- 对于双曲线的每个点P，其到焦点的距离之差等于常数。
3. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为中心坐标。
4. 双曲线的重要公式：- 双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x。
- 双曲线的面积S = πab。
总结：椭圆和双曲线是两种常见的曲线类型，具有各自的定义、性质和方程。
掌握椭圆和双曲线的知识，有助于我们理解和解决与这两类曲线相关的问题。
椭圆和双曲线知识点
椭圆和双曲线知识点椭圆和双曲线是数学中的两种重要曲线，它们在几何学、物理学以及工程学等领域有广泛的应用。
本文将介绍椭圆和双曲线的定义、性质以及一些实际应用。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹。
这两个点被称为焦点，而这个常数称为椭圆的离心率。
椭圆的形状与焦点之间的距离和离心率有关，当离心率为0时，椭圆退化为一个点，当离心率为1时，椭圆退化为一条线段。
椭圆的性质有很多，其中一些最重要的性质如下：1. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是通过椭圆两个焦点的直线段，短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段。
2. 椭圆的焦距：椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，它决定了椭圆的形状。
4. 椭圆的焦点定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
除了这些基本性质，椭圆还有很多其他的性质和定理，如椭圆的切线定理、椭圆的对称性等，它们在几何学中起着重要的作用。
二、双曲线的定义与性质双曲线是平面上满足到两个给定点的距离之差等于常数的所有点的轨迹。
与椭圆不同，双曲线有两个焦点和一个常数，这个常数称为双曲线的离心率。
双曲线的形状与焦点之间的距离和离心率有关。
双曲线也有一些重要的性质：1. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是双曲线的特殊直线。
2. 双曲线的极限点：双曲线的极限点是离焦点最近的点，它们与焦点之间的距离等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的对称性：双曲线关于两个焦点和中心都有对称性。
双曲线也有很多其他的性质和定理，如双曲线的切线定理、双曲线的拐点等。
三、椭圆和双曲线的应用椭圆和双曲线在实际应用中有广泛的应用。
在天体力学中，行星的轨道通常是椭圆或近似椭圆的；在电磁波传播中，天线的辐射范围可以用双曲线来描述；在光学中，镜面反射和折射也与椭圆和双曲线有关。
此外，椭圆和双曲线还可以用于数据拟合、信号处理、图像处理等领域。
椭圆、双曲线基本知识一览表
椭圆双曲线图形定义 {}c F F a PFPF P 222121=>=+{}c F F a PFPF P 222121=<=-方 程 12222=+b y a x 12222=+b x a y 12222=-b y a x 12222=-bx a y 焦点 )0,(c F ±),0(c F ±)0,(c F ± ),0(c F ±范围 b y a x ≤≤,a yb x ≤≤,a x ≥a y ≥焦半径PP ex a PF ex a PF -=+=21PP ey a PF ey a PF -=+=21不作要求c b a ,,的关系a 最大且222c b a+= c 最大且222b a c+=焦点位置 的判断 22,y x 哪个分母大，焦点就在相应轴上；且大的分母为2a22,y x 哪个系数为正，焦点就在相应轴上；且正的分母为2a统一 方程122=+ny m x 当且仅当n m n m ≠>>,0,0时，才表示椭圆122=+ny m x 当且仅当0<mn 时，才表示双曲线 焦点三角 形面积θθsin 212tan21221PF PF b S PF F ==∆ )21(212121P P x F F y F F ==或 θθsin 212tan121221PF PF b S PF F ==∆)21(212121P P x F F y F F ==或 焦点三角形方法椭圆定义+余弦定理+整体思想双曲线定义+余弦定理+整体思想顶点坐标 ()0,a A ±，()b B ±,0()a A ±,0，()0,b B ±()0,a A ±()a A ±,0张角21PF F ∠ 最大张角为21BF F ∠ 不考虑焦半径范围 c a PF c a +≤≤-1（到右焦点同理）a c PF a c PF -≥+≥21,（总之a c PF -≥）长（实）轴 短（虚）轴 长轴：a A A 221= 短轴：b B B 221=实轴：a A A 221= 虚轴：b B B 221=离心率 )10(122<<-==e ab ac e)1(122>+==e ab ac e渐近线 无x ab y ±= x ba y ±=中点弦定理：M 为弦AB 的中点设曲线为122=+n y m x ，M 为弦AB 的中点mnk k AB OM -=•。
圆、椭圆、双曲线基本知识点
五、圆1、圆的方程标准式：222()()x a y b r -+-= 圆心（a ，b ） 半径：r一般式：220x y Dx Ey F ++++= 圆心：(,)22D E --，半径：r = 注：（1）方程表示圆：2240D E F +-> （2）方程表示点：2240D E F +-=（3）图形不存在：2240D E F +-<2、点00(,)P x y 与圆的位置关系：圆内、圆外、圆上方法一：设M=22x y Dx Ey F ++++，将点00(,)P x y 代入求出M 的值（1）M>0 ，则点P 在圆外。
（2）M=0 点P 在圆上。
（3）M<0 点P 在圆内方法二：求出点P 到圆心的距离d ，（1）d>0 ，则点P 在圆外。
（2）d=0 点P 在圆上。
（3）d<0 点P 在圆内3、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交方法一：直线与圆联立组成方程组，消元整理成一元二次方程并计算∆ （1）∆>0，直线与圆有两个交点：相交； （2）∆<0，直线与圆没有交点：相离（3）∆=0，直线与圆有一个交点：相切； 方法二：计算圆心到直线的距离d（1）d>r ，相离。
（2）d=r 相切。
（3）d<r 相交4、圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；六、椭圆1、椭圆的标准方程焦点在x 轴上： 22221x y a b += （a>b>0） 焦点在y 轴上：22221x y b a+= （a>b>0）2、22Ax By C +=为椭圆的充要条件是：0ABC A B C A B ≠⎧⎪⎨⎪≠⎩、、同号3、动点P 到两定点1F （-c ，0）和2F （c ，0）的距离之和等于定值2a （1）1F 2F =2a ：P 的轨迹为线段1F 2F ； （2）1F 2F <2a ：P 的轨迹为椭圆； （3）1F 2F >2a ：P 的轨迹不存在；4、1、长轴EQ=2a 短轴MN=2b 焦距1F 2F =2c2、椭圆上任意一点P ，到两个焦点的距离之和为定值2a ：122PF PF a +=3、222a b c =+ 4、离心率：ce a=（0<e<1） 5、准线：焦点在x 轴上：2a x c =±焦点在y 轴上：2a y c=±5、共焦点的椭圆系方程：（1）与椭圆22221x y a b +=（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为： 22221x y a b λλ+=++（a>b>0，20b λ+>） （2）与椭圆22221x y b a+=（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为： 22221x y b a λλ+=++（a>b>0，20b λ+>） 6、椭圆的焦半径：（1）定义：椭圆上任意一点00(,)P x y 到焦点的线段： （2）焦半径的计算公式：22221x y a b+=：设椭圆的左焦点为：1F ；右焦点为：2F P 点到左焦点的距离：10PF a ex =+ P 点到右焦点的距离：20PF a ex =-22221x y b a+=：设椭圆的下焦点为：1F ；上焦点为：2FP 点到下焦点的距离：10PF a ey =+ P 点到上焦点的距离：20PF a ey =- 7、焦点弦：（1）定义：经过焦点的直线与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则线段122()AB a e x x =++ 8、焦点三角形：（1）椭圆上任意一点P 与1F 和2F 的连线形成的三角形：12PF F ∆； （2）12PF F ∆的面积公式：122tan 2PF F S b θ∆=⋅ （θ为12F PF ∠）9、椭圆的通径过焦点作垂线，垂线与椭圆交于A 、B 两点，则AB 为通径：22b AB a=七、双曲线：1、双曲线的标准方程焦点在x 轴上：22221x y a b -= 焦点在y 轴上：22221y x a b-=2、22Ax By C +=为双曲线的冲要条件是：0ABC A B ≠⎧⎨⎩、、异号3、动点P 到两定点1F （-c ，0）和2F （c ，0）的距离之差等于定值2a4、1、实轴：2a 虚轴 ：2b 焦距1F 2F =2c2、双曲线上任意一点P ，到两个焦点的距离之差为定值2a ：12-2PF PF a =3、222=a b c +5、共焦点的双曲线系方程：（1）与双曲线22221x y a b -=（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为：22221x y a b λλ-=++（a>b>0，22a b λ-<<）（2）与椭圆22221y x a b-=（a>b>0）有公共焦点的椭圆方程为：22221y x a b λλ-=++（a>b>0，22a b λ-<<）6、共渐近线的双曲线系方程：与双曲线22221x y a b -=有共同渐进线的双曲线方程为：2222x y k a b-= （0k ≠）7、等轴双曲线：（1）定义：实轴和虚轴相等的双曲线；（2）等轴双曲线方程：22x y λ-= （0λ≠）0λ>：焦点在x 轴上； 0λ<：焦点在y 轴上；（3）等轴双曲线离心率ce a== （4）等轴双曲线两条渐近线垂直；6、双曲线的焦半径：（1）定义：双曲线上任意一点00(,)P x y 到焦点的线段： （2）焦半径的计算公式：22221x y a b-=：设双曲线的左焦点为：1F ；右焦点为：2F22221y x a b-=：设双曲线的下焦点为：1F ；上焦点为：2F8、焦点三角形：（1）双曲线上任意一点P 与1F 和2F 的连线形成的三角形：12PF F ∆； （2）12PF F ∆的面积公式：122tan2PF F b S θ∆=（θ为12F PF ∠）9、双曲线的通径过焦点作垂线，垂线与椭圆交于A 、B 两点，则AB 为通径：22b AB a=。
椭圆与双曲线的比较
双曲线的性质在许多领域中都有应用。例如，在声学中，声音的传播路径可以用 双曲线来描述。在光学中，双曲线用于描述光的折射和反射。此外，双曲线还用 于描述电子的运动轨迹以及某些化学反应的动力学。
图像与性质应用的比较
相同点
椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的性质。例如，它们都具有两个焦点，且都满足特定的数学方程。
双曲线的焦点与离心率
焦点
双曲线有两个焦点，位于双曲线 的两侧，与双曲线相切。
离心率
双曲线的离心率是衡量双曲线开 口程度的指标，其值大于1。离心 率越大，双曲线的开口程度越大 。
焦点与离心率比较
焦点数量
焦点位置
离心率范围
几何特性
椭圆和双曲线都有两个焦点。
椭圆的焦点位于椭圆中心两侧 ，而双曲线的焦点位于双曲线 的两侧。
椭圆的参数 $a$、$b$ 和 $c$ 之间满足 $a^2 = b^2 + c^2$。
双曲线的标准方程与几何特性
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是双曲线的半实轴和半虚轴。
焦点位置
双曲线的两个焦点位于副轴上，距离 原点的距离分别为 $c$ 和 $-c$，其 中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
02
标准方程与几何特性
椭圆的标准方程与几何特性
标准方程
几何特性
椭圆的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是 椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆是一个封闭的曲线，它有两个焦点， 并且有一个主轴和一条副轴。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（2）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（3）顶点：焦点在$x$轴上时，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上时，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），反映了椭圆的扁平程度。
4、椭圆中的重要结论（1）过椭圆焦点的弦长：若弦过焦点$F_1$，则弦长$｜AB| ＝ 2a e(x_1 ＋ x_2)＄。
（2）椭圆上一点到焦点的距离：设椭圆上一点$P(x_0, y_0)＄，两焦点为$F_1$，＄F_2$，则$｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0$，＄｜PF_2| ＝ aex_0$。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
椭圆_双曲线_知识点
双曲线(1) 若焦点在x轴上的椭圆2212x ym+=的离心率为12，则m= ( )Ｂ32Ｃ83Ｄ23(2) 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(3) 设P是双曲线19222=-yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-yx,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF，则=||2PF ( )A 1或5B 6C 7D 9(4) 已知双曲线1222=-yx的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且120,MF MF⋅=则点M到x轴的距离为 ( ) A43B53(5) 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )C 216若双曲线的渐近线方程为xy3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.8、过双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．9、点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标；10 ．设1F ,2F 是椭圆E :2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,△21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）A ．12B ．23C ．34D ．4511．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 （ ）A ．14B C ．12D12、已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为（ ）A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =113、已知双曲线22x a-25y =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于A14B ．4C ．32D ．4314已知12,F F 为双曲线222x y -=的左,右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=（ ）A ．14 B ．35C ．34 D ．4515、椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 16设P 为直线3by x a=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 左支的交点,1F 是左焦点,1PF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =___17已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线,且1C 的右焦点为F ,则a =______,b =_______.18、设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A ．2± B ．34±C ．21± D ．43±19椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ）A ．23B ．3C ．27D ．420．中心在原点，准线方程是4±=x ，离心率是21的椭圆方程为 （ ）A ．1422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=+y xD ．1422=+y x ２1、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩22双曲线与椭圆1522=+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ）A ．1322=-x yB ．1322=-x yC ．1322=-y xD ．1322=-y x23若椭圆x k y e 2289112++==的离心率,则实数k 的值是；24、双曲线的一个顶点把焦点之间的线段分成长短两段比是3 ：1，则双曲线的离心率e=（ ）（A ）2 （B ） 3 （C ）4 （D ）525、双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ） （A ）14-（B ）14（C ）4 （D ）4-26、已知双曲线ny n x --1222=1的离心率为3,则n =（ ） （A ）2 （B ） 3 （C ）4 （D ）527、双曲线1366422=-y x上一点M 到它的右焦点的距离是8，则点M 到右准线的距离为（ ）（A ） 10 （B ）7732 （C ）27（D ）53228、双曲线191622=-y x 上一点P 对两焦点F 1、F 2的视角为60°，则△F 1PF 2的面积为（ ） （A ） 23（B ）33（C ）63（D ）93。
圆锥曲线讲义 圆锥曲线知识总结 抛物线,椭圆,双曲线对比图表
3.几何性质： 1）范围 2）对称性 3）顶点 4）渐近线 5）离心率 6）通径
x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) ，y∈R 关于 x 轴，y 轴，原点对称 (a,0),(-a,0)，实轴长为 2a,虚轴长为 2b y=(b/a)x，双曲线与渐近线无限接近，但永远不会相交 双曲线的焦距与实轴长的比 e=c/a 叫做双曲线的离心率,e>1 过焦点并垂直于坐标轴的弦称为通径。双曲线的通径长为（2b^2)/a
2.标准方程：
x a
2 2
)
(
y2 b2
)
1
，a>b>0
焦点是 F1 （-c,0)， F2 (c,0)，且 c2 a2 b2 。
3.几何性质：
1）范围
x∈[-a,a] ，y∈[-b,b]
2）对称性
关于 x 轴，y 轴，原点对称
3）顶点
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)，长轴长为 2a,短轴长为 2b
1.定义：平面内与两个顶点 F1 ，F2 ,的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1 F2 |且不等于零）
的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
2.标准方程：
x a
2 2
)
(
y b
2 2
)
1
，a>0，b>0
焦点是 F1 （-c,0)， F2 (c,0)，且 c2 a2 b2 。
2.标准方程： y2 2 px ，(p>0)
F( p ,0) 焦点是 2
3.几何性质： 1）范围 2）对称性 3）顶点 4）离心率 5）通径
x∈[0,+∞) ,y∈R 关于 x 轴对称。抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 (0,0) 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比 e=c/a 叫做抛物线的离心率,e=1 过焦点并垂直于轴的弦称为通径。抛物线的通径长为 2p