周期函数课件

3π 2
π
2
+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈
π π ∈ 余弦函数 偶函数 [ −π +2kπ, 2kπ],k∈Z [2kπ, 2kπ + π], k∈Z π π ∈
单调递增 单调递减
求函数的单调区间： 直接利用相关性质 1. 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
3.例题讲解 例题讲解
求下列函数的周期： 例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R R
；
2π
1 π (3) y = 2sin( x − ), x ∈ R 2 6
π
4π
课堂练习： 求下列函数的周期 （）y = sin 3 x，x ∈ R 1 1 π （2）y = 3 sin x − ），x ∈ R （ 2 4
+2kπ)=sin 由sin(x+2 π)=sin sin( +2 π)=sinx ; cos(x+2 π)=cosx +2kπ)=cos cos( +2 π)=cos (k∈Z) 可知： 函数y=sin 和y=cos 都是周期 可知： 函数 =sinx和 =cosx都是周期 =sin =cos 函数， π(k∈Z且 k≠0)都是它的 函数，2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的 周期， 2π。 周期，最小正周期是 2π。
1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
y π
y=sinx
3π 2π 4π 5π 6π x
O
所 有 的 对 称 中 心 坐 标 为 (kπ , 0)
所 有 的 对 称 轴 方 程 为 x = kπ +
π
2
(k ∈ Z )
9π − 2
5π − 2
7π − 2 3π − 2
π − 1 2
y = Asin(wx +ϕ)及y = Acos(wx +ϕ)
的最小正周期
f ( x ) = A sin(ω x + ϕ ) = A sin[(ω x + ϕ ) + 2 π ] = A sin[ω ( x + 2π
ω
) + ϕ ] = f (x +
2π
ω
)
∴y = Asin(wx +ϕ)及 = Acos(wx +ϕ) x ∈R y 2π 的 小 周 为 = 最 正 期 T ω
求下列函数的最大值和最小值， 例3 求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量x 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 y=cosx＋ x∈R； （1） y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R. y=－ sin2 x∈R.
比较下列各组数的大小: 例4 比较下列各组数的大小:
1.4.2 正、余弦函数的图像和性质
1.正弦、余弦函数的图象和性质 y 1 y=sinx
-6π -4π -5π -3π -1 -2π -π π 3π 2π 4π 5π 6π x
O
y=sinx (x∈R) 定义域 x∈R ∈ ∈ 值域 y∈[ - 1, 1 ] ∈ π y=cosx (x∈R) 周期性 T = 2π ∈ y y=cosx
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解： y=2sin(-x ) = -2sinx π π π π ∈ 函数在 [ − +2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 上单调递减 Q 函数在 [
π
3π +2kπ, π 2 2
2
+2kπ],k∈Z上单调递增 π ∈
3π 解： 2 k π − ≤ 2 x − ≤ 2 k π + k π − 8 ≤ x ≤ k π + 8 2 4 2 3π 3π 7π π π kπ + 2 kπ + ≤ 2 x − ≤ 2 kπ + ≤ x ≤ kπ + 2 4 2 8 8 3π π 所以： 所以：单调增区间为 [ k π − , k π + ] 8 8 3π 7π , kπ + ] 单调减区间为 [ k π + 8 8
O
y
π 2
3π 2
y=cosx
5π 2
7π 2
9π 2
x
11π − 2
-1
11π 2
所有对称中心坐标(kπ +
π
2
, 0)
所有的对称轴方程为x = kπ (k ∈ Z )
奇偶性 一般的，如果对于一个定义域关于原点 对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内 的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 一般的，如果对于一个定义域关于原点 关于原点 对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的 偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。
余弦函数的单调性 y=cosx (x∈R) (x∈ y
1 3π
5π − 2
2π
3π − 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
x
7π 2
4π
x
cosx
−π
-1
··· −
π
2
···
0 1
···
π
2
···
π
-1
0
0
增区间为[−π + 2kπ , 2kπ ], (k ∈ Z ) 减区间为[2kπ , π + 2kπ ], (k ∈ Z )
Q
]
π
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ 4 π 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：
4
y 1
−2π
− 3π 2
π )|
y=|sinu|
π
2
−π
−
π
2
O
π
-1 y=- |sinu|
y=sinu
3π 2
(2) y=3sin(2x- 4 )
π
π
π
π
π
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 9π )sin2x
9 解： Q 0 < tan π < 1 8
8
单调减区间为 单调增区间为
[kπ −
π
4
(4) y = log 1 解： 定义域
2
[
1 1 π cos( x + )] 2 3 4
4 3π π [kπ + , kπ + ] 4 4 <
练 求 (1) y=cos2x+sin2x的 期 π ： 证 周 为
证明：f ( x + π) = cos 2( x + π) + sin 2( x + π)
= cos(2x + 2π) + sin(2x + 2π)
= cos 2 x + sin 2 x = f ( x)
∴
f ( x )的 周 期 为 π
π π π 证明：f ( x + ) = sin( x + )｜｜ （x + )｜ ｜ + cos 2 2 2 =｜ ｜｜ ｜=f ( x) cos x + sin x π ∴ f ( x)的周期为 。 2
4.周期函数应用 周期函数应用
已知定义在R上的函数f(x) f(x)满 例1、已知定义在R上的函数f(x)满 f(x＋ f(x)=0 试判断f(x) f(x)是否 足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否 为周期函数？ 为周期函数？ 结论： 定义在R 上的函数f(x) f(x)满足 结论 ： 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x＋a)＋f(x)=0或f(x＋a) =-f(x) ＋ ＋ 或 ＋ 则f(x)是周期为2a的周期函数. ( )是周期为2 的周期函数.
注意：（1）周期T为非零常数。 （2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意 一个x都成立。 （3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集 （至少一端是无界的） （4）周期函数不一定有最小正周期。 举例：f(x)=1(x∈R),任一非零实数都 是函数f(x)=1的周期，但在正实数中 无最小值，故不存在最小正周期。
-3π
5π − 2
-2π
3π − 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
x
4π
x
sinx
−
π
2
···
0 0
···
π
2
···
π
0
···
3π 2
-1
1
-1
增区间为[−
π
2 2 π 3π 减区间为[ + 2kπ , + 2kπ ], (k ∈ Z ) 2 2
+ 2 kπ ,
π
+ 2kπ ], (k ∈ Z )
π π (1)sin(− )与sin(− ); 18 10
23π 17π (2)cos(− )与cos(− ). 5 4
1 ，π 例5 求函数 y = sin( x + ) 2 3 x∈[－ π]的单调递增区间 的单调递增区间. x∈[－2π，2π]的单调递增区间.
练习1、求下列函数的定义域、值域 （）y = − cos x 1 (2) y = −3sin x 2、求下列函数的最大值， (3) y = lg sin x 并找出最大值时x的集合