证明或判断等差数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华 玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列{}n a 中，若1n n a a d--=（d 为常数）或1nn a q a -=（q 为常数），则数列{}na 为等差（等比）数列．这是证明数列{}na 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11214n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2111234n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）21321111144228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+Q ，所以541132416a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 猜想：{}n b 是公比为12的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242n n n n n b a a a b n *++-⎛⎫=-=-=-=∈ ⎪⎝⎭N ， 所以{}n b 是首项为14a -，公比为12的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

例2．（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+， 又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．故总有112(1)n n a a n *++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而1121n n a a ++=+．所以数列{1}n a +是等比数列．评析：这是常见题型，由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子，得到1n n a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n a 的表达式，则较繁．注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a q a -==L （常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==L （常数0≠）． 二．运用等差或等比中项性质212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法．例3．（2005江苏卷）设数列{}n a 的前项为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=L ，，，，，其中AB ，为常数． （1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列；（3）略．解：（1）由1231611a a a ===，，，得1231718S S S ===，，．把12n =，分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，解得，20A =-，8B =-．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即11582208n n n na S S n ++--=--，①又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．④④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=L ，又215a a -=， 因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．评析：此题对考生要求较高，通过挖掘n S 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．例4．（高考题改编）正数数列{}n a 和{}n b 满足：对任意自然数1n n n n a b a +，，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列．证明：数列为等差数列．证明：依题意，1002n n n n n a b b a a +>>=+，，，且1n a +2)n a n ∴=≥．2n b ∴=由此可得=2)n =≥．∴数列为等差数列．评析：本题依据条件得到n a 与n b 的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决． 三．运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k =时命题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡．例5．(2004全国高考题)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，12(1,2,)n n n a S n n ++==L ．证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列． 证明：由11a =，12(1,2,)n n n a S n n ++==L ，知211213,1a S a +==214222S a ==，111S =，猜测n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列． 下面用数学归纳法证明：令n n Sb n=.(1)当2n =时，212b b =，成立．(2)当3n =时，312332132(13)12,42S a a a b b =++=+++===，成立．假设n k =时命题成立，即12k k b b -=． 那么当1n k =+时，111222111k kk k k k k k k S S S S a k b S b k k k k++++++=====+++，命题成立．综上知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列． 例6．（2005浙江卷）设点1(0)(2)n n n n n A x P x -，，，和抛物线2:()n n n C y x a x b n *=++∈N ，其中11242n n a n -=---，n x 由以下方法得到：11x =，点22(2)P x ，在抛物线2111:C y x a x b =++上，点11(0)A x ，到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，L ，点11(2)n n n P x ++，在抛物线2:n n n C y x a x b =++上，点(0)n n A x ，到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．（1）求2x 及1C 的方程．（2）证明{}n x 是等差数列．解：（I ）由题意得：2111(1,0),:7A C y x x b =-+．设点(,)P x y 是1C上任意一点，则1||A P ==令2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意：'2()0,f x =即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又22(,2)P x 在1C 上，222127,x x b ∴=-+解得：213,14.x b ==，故1C 方程为2714.y x x =-+(II)设点(,)P x y 是n C上任意一点，则||n A P =令222()()()n n n g x x x x a x b =-+++，则'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++．由题意得g 1'()0n x +=，即211112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++= 又2112,n n n n n x a x b ++=++Q11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*）下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当1n =时，11,x = 等式成立．②假设当n k =时，等式成立，即21,k x k =- 则当1n k =+时，由（*）知 110(12)2k k k k k x x a ++=+-+又11242,k k a k -=--- 1122 1.12k k kk k x a x k ++-∴==++即当1n k =+时，等式成立．由①②知，等式对n N ∈成立．{}n x ∴是等差数列． 评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前n 项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作． 四．反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：例7．（2000年全国高考（理））设{}{}n n a b ，是公比不相等的两等比数列，n n n c a b =+．证明数列{}n c 不是等比数列．证明：设{}{}n n a b ，的公比分别为p q ，，p q ≠，n n n c a b =+，为证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠g．事实上，2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++ 2222222213113311111111()()()()()c c a b a b a b a p b q a p b q a b p q =++=++=+++g222p q p q pq ≠+>Q ，，又11a b ，不为零，2213c c c ∴≠g ，故{}n c 不是等比数列． 评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证{}n c 不是等比数列，只要由特殊项（如2213c c c ≠g）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性?．??五．看通项与前n 项和法若数列通项n a 能表示成n a an b =+（a b ，为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；若通项n a 能表示成nn a cq =(c q ，均为不为0的常数，n +∈N )的形式，则数列{}n a 是等比数列． 若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2n S an bn =+ (a ，b 为常数)的形式，则数列{}n a 等差数列；若S n能表示成n n S Aq A =-(A q ，均为不等于0的常数且q ≠1)的形式，则数列{}n a 是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．例8．(2001年全国题)若S n 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =,则{}n a 是( ).Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列 Ｃ．等差数列，而且也是等比数列 Ｄ.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B ，大大节约了时间，同时大大提高了命中率． 六．熟记一些常规结论，有助于解题若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则（1）数列{}n a {}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；（2）若{}n b 是公比为q '的等比数列，则数列{}n n a b g是公比为qq '的等比数列； （3）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列； （4）{}n a 是公比为q 的等比数列；（5）在数列{}n a 中，每隔()k k *∈N 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1k q+；（6）11212{}{}{}{}n n n n n n a a a a a a ++-+-，，，，123456789{}a a a a a a a a a ++++++L ，，，，L等都是等比数列；（7）若()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等比数列； （8）232n n n n n S S S S S --，，均不为零时，则232n n n n n S S S S S --，，成等比数列； （9）若{log }b n a 是一个等差数列，则正项数列{}n a 是一个等比数列．若数列{}n a 是公差为d 等差数列，则（1）{}n ka b +成等差数列，公差为kd （其中0k k b ≠，，是实常数）；（2）(1){}n k kn S S +-，（k k ∈N ，为常数），仍成等差数列，其公差为2k d ；（3）若{}{}n n a b ，都是等差数列，公差分别为12d d ，，则{}n n a b ±是等差数列，公差为12d d ±；（4）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时，数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列； （5）()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等差数列．例9．（96年全国高考题）等差数列{}n a 的前n 项和为30，前2n 项和为100则它的前3n项和为（ ）Ａ．130 Ｂ．170Ｃ．210Ｄ．260解：由上面的性质得：232n n n n n S S S S S --，，成等比数列，故2322()()n n n n n S S S S S -=+-，32(10030)30(100)n S ∴-=-， 3210n S ∴=．故选Ｃ．评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．。