证明或判断等差数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法

湖北省 王卫华 玉芳

翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．

一、利用等差（等比）数列的定义

在数列

{}

n a 中，若

1n n a a d

--=（d 为常数）或

1

n

n a q a -=（q 为常数），则数列{}n

a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n

a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：

例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11

214

n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数

，

记211

1234

n n b a n -=-=，，，，…．

（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）213211111

44228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+Q ，所以54113

2416

a a a ==+，

所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ⎛⎫⎛⎫=-

=-=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，， 猜想：{}n b 是公比为

1

2

的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242

n n n n n b a a a b n *++-⎛⎫=-=-=-=∈ ⎪⎝⎭N ， 所以{}n b 是首项为14a -

，公比为1

2

的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

例2．（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且

125()n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．

解：由已知*

125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减

得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，

当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+， 又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．

故总有112(1)n n a a n *

++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而

11

21

n n a a ++=+．

所以数列{1}n a +是等比数列．

评析：这是常见题型，由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子，得到1n n a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n a 的表达式，则较繁．

注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有

1

n

n a q a -==L （常数0≠）；②n *

∈N 时，有1

n n

a q a +==L （常数0≠）． 二．运用等差或等比中项性质

212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这

是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法．

例3．（2005江苏卷）设数列{}n a 的前项为n S ，已知1231

611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=L ，，，，，其中A

B ，为常数． （1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列；（3）略．

解：（1）由1231

611a a a ===，，，得1231718S S S ===，，．

把12n =，分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28248A B A B +=-⎧⎨

+=-⎩

，

解得，20A =-，8B =-．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即

11582208n n n na S S n ++--=--，

①

又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．

④

④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=L ，又215a a -=， 因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．

评析：此题对考生要求较高，通过挖掘n S 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．

例4．（高考题改编）正数数列{}n a 和{}n b 满足：对任意自然数1n n n n a b a +，，，成等差

数列，11n n n b a b ++，，成等比数列．证明：数列为等差数列．

证明：依题意，1002n n n n n a b b a a +>>=+，，

，且1n a +

2)n a n ∴=≥．

2n b ∴=

由此可得=2)n =≥．

∴数列为等差数列．

评析：本题依据条件得到n a 与n b 的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差

数列，使问题得以解决． 三．运算数学归纳法

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k =时命题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡．

例5．(2004全国高考题)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，

12(1,2,)n n n a S n n ++=

=L ．证明：数列n S n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等比数列． 证明：由11a =，12(1,2,)n n n a S n n ++==L ，知21121

3,1a S a +==214222

S a ==，