《直角三角形的性质和判定 》ppt课件
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湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形》优课件
第一章 直角三角形复习
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
03880_八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
16
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a
。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
13
实例分析与解题技巧
2024/1/26
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
14
04
直角三角形中特殊角度计算
2024/1/26
15
30°-60°-90°三角形性质
等。
HL全等条件只适用于直角三角 形，不能用于其他类型的三角形
。
8
SAS与ASA在直角三角形中应用
要点一
SAS（Side-Angle-Side）全等 条件在直角…
如果两个直角三角形的两条边和它们之间的夹角对应相等 ，那么这两个直角三角形全等。
要点二
ASA（Angle-Side-Angle）全 等条件在直…
拓展到解三角形
学习如何使用已知信息（如角度或边长）来解三角形，包括使用正 弦定理、余弦定理等。
实际应用与问题解决
尝试将直角三角形的性质应用于实际问题解决中，如测量、建筑和 物理等领域。
26
THANKS
感谢观看
2024/1/26
27
2 3
测量距离
在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a
。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
13
实例分析与解题技巧
2024/1/26
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
14
04
直角三角形中特殊角度计算
2024/1/26
15
30°-60°-90°三角形性质
等。
HL全等条件只适用于直角三角 形，不能用于其他类型的三角形
。
8
SAS与ASA在直角三角形中应用
要点一
SAS（Side-Angle-Side）全等 条件在直角…
如果两个直角三角形的两条边和它们之间的夹角对应相等 ，那么这两个直角三角形全等。
要点二
ASA（Angle-Side-Angle）全 等条件在直…
拓展到解三角形
学习如何使用已知信息（如角度或边长）来解三角形，包括使用正 弦定理、余弦定理等。
实际应用与问题解决
尝试将直角三角形的性质应用于实际问题解决中，如测量、建筑和 物理等领域。
26
THANKS
感谢观看
2024/1/26
27
2 3
测量距离
在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
湘教版八年级下册直角三角形的性质和判定(Ⅱ)课件
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史 上具有特殊的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的思想意义。
仔细看一看，数一数、算一算：
以直角三角形三边长所围成的三个正方形的面积有什么联系？
3²+ 4²= 5²
6²+8²=10²
猜一猜：任意直角三角形，三边长的关系。
假设Ｃ 修１
修此公路需要多少钱？
∟
Ｂ
Ｄ
Ａ
例题剖析
如图,在等腰三角形中,
A
已知
AB=AC=13,BC=10,AD
⊥BC于点D,你能算出
BC边上的高吗AD的长
吗?
B
D
C
[活动1]
1.分别以6cm、8cm、10cm为三边画出两个三角形， 请视察并说出此三角形的形状？
2.根据上面问题，结合三角形三边长度的平方关系， 你能猜一猜三角形的三边长度与三角形形状之间有 怎样关系吗？
“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个 半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北 方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
[活动5]
练习
1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）. A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0） D．2，3，4
[活动2]
问题
1．三边长度分别为6 cm、8 cm、10 cm的三角形与 以6 cm、8 cm为直角边的直角三角形之间有什 么关系？你是怎样得到的？
2．你能证明以3cm、4cm、5cm为三边长的三角形 是直角三角形吗？
3．如图，若△ABC的三边长为a、b、c，满足
试证明△ABC是直角三角形．
仔细看一看，数一数、算一算：
以直角三角形三边长所围成的三个正方形的面积有什么联系？
3²+ 4²= 5²
6²+8²=10²
猜一猜：任意直角三角形，三边长的关系。
假设Ｃ 修１
修此公路需要多少钱？
∟
Ｂ
Ｄ
Ａ
例题剖析
如图,在等腰三角形中,
A
已知
AB=AC=13,BC=10,AD
⊥BC于点D,你能算出
BC边上的高吗AD的长
吗?
B
D
C
[活动1]
1.分别以6cm、8cm、10cm为三边画出两个三角形， 请视察并说出此三角形的形状？
2.根据上面问题，结合三角形三边长度的平方关系， 你能猜一猜三角形的三边长度与三角形形状之间有 怎样关系吗？
“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个 半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北 方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
[活动5]
练习
1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）. A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0） D．2，3，4
[活动2]
问题
1．三边长度分别为6 cm、8 cm、10 cm的三角形与 以6 cm、8 cm为直角边的直角三角形之间有什 么关系？你是怎样得到的？
2．你能证明以3cm、4cm、5cm为三边长的三角形 是直角三角形吗？
3．如图，若△ABC的三边长为a、b、c，满足
试证明△ABC是直角三角形．
八年级下册数学直角三角形的性质和判定课件
图1-3
线段CD 比线段AB短.
1 我测量后发现CD = AB. 2
图1-3
1 如图1-3， 如果中线CD = AB，则有∠DCA = ∠A . 2 由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作 射线 CD交AB于D，使 ∠ DCA = ∠A ， 则 CD = AD .
1.直角三角形的判定定理和性质定理；
2.应用定理进行推理论证解决有关问题.
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课后作业
见《学练优》本课“课后巩固提升”
1 AB. 2
图1-4
结论
由此得到：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 AB . 线，且 CD 1 2 求证：△ABC是直角三角形.
图1-5
证明：因为 CD 1 AB= BD= AD ， 2 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B .
3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB， AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的 度数是（ B ）. A.150° B.130° C.120° D.100° 解 因为BE，CD是ABC的高， 所以∠BDP=90°，∠BEA=90°. 又∠A=50° ， 所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 90° + 40°= 130°. 故应选择B.
1 是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = AB 成立呢？ 2
图1-3
图1-4
又∵ ∠A +∠B=90° ， DCA+ DCB 90 ，
∴ B DCB.
故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
1.1直角三角形的性质和判定PPT课件
成立呢？
2
∠A如CD图=∠1A，。如于果是中在线图C2中D ，12过ABR，t△即ACBDC =的A直D，角所顶以点
C 作射线 CD′交 AB 于 D′，使 ∠1 = ∠A，则有 AD=CD.
(等角对等边)
图1
图2
又∵∠A +∠B = 90° ( 直角三角形两个角等于90° )
∠1 +∠2 = 90°
∴ ∠B =∠2 ∴ BD=CD (等角对等边)
∴
BD=
AD=CD
1 2
AB.
∴ D′是斜边AB的中点
即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′
与CD重合，并且有
CD
1 2
AB.
求证：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D是AB的中点，连结
CD，求证： CD 1 AB
C
2
A 提示：延长CD，使得CD=DE,
D
B
连结BE,
先证△ACD≌ △BED，然
E
后证△ACB≌ △EBC，得
AB=CE，最后说明 CD 1 AB
2
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 求证：这个三角形是直角三角形.
如图，已知：CD是△ABC的AB 边 求上证的：中△线AB，C且是C直D角 12三AB角形.
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
说一说
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和：∠A+∠B=？
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 课件 2024-2025学年湘教版八年级数学下册
AB,垂足为点D,若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?
【思维切入】ED⊥AB→∠ADE=90°,直角三角形的性质→
∠1+∠A=90°,∠1=∠2→∠2+∠A=90°→△ABC是直角三角形.
【自主解答】△ABC是直角三角形,理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1=∠2,
∴∠A+∠2=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.
(1)求∠BAE的度数;
(2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,
证明:△ADF是直角三角形.
【解析】略
重点3
利用直角三角形的性质求线段之间的关系
【典例3】如图所示,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB上的中线,G是CE的
1
则AD与BC的数量关系是BC=2AD或AD= BC.
2
直角三角形的这个性质与等腰三角形的“三线合一”常结合在一起考查组成综合
性题目.
【触类旁通】
如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD
于点M,连接AM.
1
(1)求证:EF= AC;
2
(2)若EF⊥AC,求证:AM+DM=CB.
中点,AB=2CD,求证:DG⊥CE.
【自主解答】略
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,
75°
∠BAE=15°,则∠CDE的大小为________.
5+2思维赋能
【模型溯源】
【思维切入】ED⊥AB→∠ADE=90°,直角三角形的性质→
∠1+∠A=90°,∠1=∠2→∠2+∠A=90°→△ABC是直角三角形.
【自主解答】△ABC是直角三角形,理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1=∠2,
∴∠A+∠2=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.
(1)求∠BAE的度数;
(2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,
证明:△ADF是直角三角形.
【解析】略
重点3
利用直角三角形的性质求线段之间的关系
【典例3】如图所示,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB上的中线,G是CE的
1
则AD与BC的数量关系是BC=2AD或AD= BC.
2
直角三角形的这个性质与等腰三角形的“三线合一”常结合在一起考查组成综合
性题目.
【触类旁通】
如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD
于点M,连接AM.
1
(1)求证:EF= AC;
2
(2)若EF⊥AC,求证:AM+DM=CB.
中点,AB=2CD,求证:DG⊥CE.
【自主解答】略
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,
75°
∠BAE=15°,则∠CDE的大小为________.
5+2思维赋能
【模型溯源】
人教版八年级数学上册直角三角形的性质和判定课件
八年级数学上（RJ） 教学课件
11.2 与三角形有关的角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. （难点）
讲授新课
一 直角三角形的两个锐角互余
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角 形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD ∴∠CED=90° ∴△DCE是直角三角形 ∴∠C+∠D=90° ∵∠A=∠C ∴∠A+∠D=90° ∴△ABD是直角三角形
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
A．∠A+∠B=∠C
在Rt解△AB：C 中∵，∠CC=D90°⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴2 ∠与BE三A角=∠形B有∴DF关=的∠90角°，BEA=∠BDF=90°，
直角三角形的两个锐角互余
∴∠ABE+∠A=90°， A．40°
B．50°
证明：∵∠ACB=90°，
∠C有什么关∴系？∠请说A明理+由∠. BFC=180°.
二 有两个角互余的三角形是直角三角形 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，已知 ∠A +∠B=90° ，求证：△ABC 是直角三角形
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
几何语言：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
11.2 与三角形有关的角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. （难点）
讲授新课
一 直角三角形的两个锐角互余
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角 形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD ∴∠CED=90° ∴△DCE是直角三角形 ∴∠C+∠D=90° ∵∠A=∠C ∴∠A+∠D=90° ∴△ABD是直角三角形
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
A．∠A+∠B=∠C
在Rt解△AB：C 中∵，∠CC=D90°⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴2 ∠与BE三A角=∠形B有∴DF关=的∠90角°，BEA=∠BDF=90°，
直角三角形的两个锐角互余
∴∠ABE+∠A=90°， A．40°
B．50°
证明：∵∠ACB=90°，
∠C有什么关∴系？∠请说A明理+由∠. BFC=180°.
二 有两个角互余的三角形是直角三角形 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，已知 ∠A +∠B=90° ，求证：△ABC 是直角三角形
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
几何语言：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
沪科版数学八上13.直角三角形的性质与判定课件(共15张)
B
C
直角三角形的性质（推论1）：直角三角形的两锐角互余．
A
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵
∠C =90°，
∴
∠A +∠B =90°．
B
C
直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可
以写成Rt△ ABC．
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与
例3
如图，在△ 中， 是 边上的高， 是 上一点，
交 于点，且∠ ＝ ∠.
求证：△ 是直角三角形.
分析：要证△是直角三角形，只要证明∠ +
∠ ＝ 90°即可.
证明：∵ 是 边上的高，
∴ ∠ + ∠ ＝ 90° .
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
3.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，
与∠1互余的角有（ C ）
A．∠B
B．∠A
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
4.在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角
的度数分别为
分析：要证△ 是直角三角形，可证明∠ + ∠ ＝ 90° . 在
△ 中，已知∠ ＝ 90°，∠＝∠，易证△是直角三角
形.
Hale Waihona Puke 证明：∵ ∠ ＝ 90°，∴ ∠+ ∠ ＝ 90° .
∵ ∠ ＝∠，∴ ∠ + ∠ ＝ 90°，
∴ △ 是直角三角形.
2. 直角三角形有什么性质呢？
A
直
角
人教版(部编)八年级数学上册-直角三角形的性质和判定
总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
基本图形
AB o
A
B
o D
C
D
∠A=∠D
C
∠A=∠C
二 有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
直角三角形的性质和判定PPT精选课件
Nhomakorabea2
九龙中学
复习引入
1.直角三角形的定义 有一个是直角的三角形叫直角三角形 2.三角形内角和的性质 三角形内角和等于180°
3.三角形中线的定义 三角形顶点与对边中点的连线段
这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质
3
首页
九龙中学
合作探究
如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等
于多少呢？
线段CD 比线段AB短.
我测量后发现CD
=
1 2
AB.
图1-3
11
九龙中学
问题：是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = 1 AB成立呢？
1
2
分析：如图1-3， 如果中线CD = 2 AB，则有∠DCA = ∠A
方法：由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点
C作射线 CDˊ交AB于Dˊ,使∠DˊCA=∠A
要点精析:
性质的前提条件是 （ 一条边上的中线等于这条边上的一半
性质的结论的是 （ 这个三角形是直角三角形
• （二）、过程与方法：通过对几何问题的“操作--探究--讨论--交流--讲评”的学习过程， 提高分析问题和解决问题的能力。
• （三）、情感态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参 与数学思维与交流活动。
• 教学重点难点:
• 重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
• 难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 • 教法学法：观察、比较、合作、交流、探索
则∠B=—5—0° 则∠B=—6—0°
3、在△ABC中 , ∠C=90°, ∠A—∠B=20°，则∠A= 55° ，
∠B= 35° 。
九龙中学
复习引入
1.直角三角形的定义 有一个是直角的三角形叫直角三角形 2.三角形内角和的性质 三角形内角和等于180°
3.三角形中线的定义 三角形顶点与对边中点的连线段
这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质
3
首页
九龙中学
合作探究
如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等
于多少呢？
线段CD 比线段AB短.
我测量后发现CD
=
1 2
AB.
图1-3
11
九龙中学
问题：是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = 1 AB成立呢？
1
2
分析：如图1-3， 如果中线CD = 2 AB，则有∠DCA = ∠A
方法：由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点
C作射线 CDˊ交AB于Dˊ,使∠DˊCA=∠A
要点精析:
性质的前提条件是 （ 一条边上的中线等于这条边上的一半
性质的结论的是 （ 这个三角形是直角三角形
• （二）、过程与方法：通过对几何问题的“操作--探究--讨论--交流--讲评”的学习过程， 提高分析问题和解决问题的能力。
• （三）、情感态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参 与数学思维与交流活动。
• 教学重点难点:
• 重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
• 难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 • 教法学法：观察、比较、合作、交流、探索
则∠B=—5—0° 则∠B=—6—0°
3、在△ABC中 , ∠C=90°, ∠A—∠B=20°，则∠A= 55° ，
∠B= 35° 。
直角三角形的性质PPT课件-2024鲜版
互余角定义
两个角的度数之和等于90度，则 这两个角互为余角。
2024/3/28
互余角性质
直角三角形中的两个锐角互为余角 ，即它们的度数之和等于90度。
互余角的应用
在解决直角三角形的问题时，可以 利用互余角的性质来求解未知角度 。
12
锐角三角函数定义域值域
2024/3/28
锐角三角函数定义
01
在直角三角形中，锐角的三角函数值可以通过三角形的边长比
直角三角形具有一些 特殊的性质和定理， 如勾股定理、射影定 理等。
2024/3/28
直角三角形的两个锐 角互余，即它们的角 度和为90度。
4
直角边、斜边及高
直角三角形的两条直角边分别 称为“邻边”和“对边”。
2024/3/28
直角三角形的斜边是除了直角 边外的第三条边，也是三角形 中最长的一条边。
勾股定理的应用
在几何、三角学、工程学 等领域有广泛应用，如计 算距离、角度、面积等。
8
射影定理与相似性质
射影定理的表述
在直角三角形中，斜边上 的垂线将斜边分为两段， 这两段与垂线和两直角边 构成的三角形相似。
2024/3/28
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角形的性质
相似三角形的对应角相等 ，对应边成比例。
射影定理的应用
可用于证明相似三角形、 求解线段比例等问题。
2024/3/28
18
05
直角三角形拓展知识
2024/3/28
19
逆勾股定理及其证明
2024/3/28
逆勾股定理定义
在直角三角形中，已知两条直角 边长度，可以求得斜边长度；反 之，已知斜边和一条直角边长度 ，可以求得另一条直角边长度。
两个角的度数之和等于90度，则 这两个角互为余角。
2024/3/28
互余角性质
直角三角形中的两个锐角互为余角 ，即它们的度数之和等于90度。
互余角的应用
在解决直角三角形的问题时，可以 利用互余角的性质来求解未知角度 。
12
锐角三角函数定义域值域
2024/3/28
锐角三角函数定义
01
在直角三角形中，锐角的三角函数值可以通过三角形的边长比
直角三角形具有一些 特殊的性质和定理， 如勾股定理、射影定 理等。
2024/3/28
直角三角形的两个锐 角互余，即它们的角 度和为90度。
4
直角边、斜边及高
直角三角形的两条直角边分别 称为“邻边”和“对边”。
2024/3/28
直角三角形的斜边是除了直角 边外的第三条边，也是三角形 中最长的一条边。
勾股定理的应用
在几何、三角学、工程学 等领域有广泛应用，如计 算距离、角度、面积等。
8
射影定理与相似性质
射影定理的表述
在直角三角形中，斜边上 的垂线将斜边分为两段， 这两段与垂线和两直角边 构成的三角形相似。
2024/3/28
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角形的性质
相似三角形的对应角相等 ，对应边成比例。
射影定理的应用
可用于证明相似三角形、 求解线段比例等问题。
2024/3/28
18
05
直角三角形拓展知识
2024/3/28
19
逆勾股定理及其证明
2024/3/28
逆勾股定理定义
在直角三角形中，已知两条直角 边长度，可以求得斜边长度；反 之，已知斜边和一条直角边长度 ，可以求得另一条直角边长度。
人教版八年级数学课件《直角三角形的性质和判定》
∵ ∠ AEC = ∠ BED ， ∴ ∠ CAE= ∠ DBE .
A
B
典例解析
人教版数学八年级上册
如图，∠ACB=90°, CD丄AB，垂足D ，∠ACD与∠B有什么关系？
为什么？
C
A
D
解： ∠ACD＝∠B.理由如下：
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°。
因为CD⊥AB，
B
所以∠BCD＋∠B＝90°。
如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试 判断△ABD的形状.
巩固训练
人教版数学八年级上册
如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判
断△ABD的形状.
解：
在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDCபைடு நூலகம்∠C
＝180°－80°－70°＝30°.
知识精讲
人教版数学八年级上册
在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C等于多少度？
A
解：在△ABC 中，
∠C =180°-∠A -∠B
B
C
=180°-60° -30°
直角三角形表示：Rt△ 直角三角形ABC 记作：Rt△ABC
=90°
知识精讲
人教版数学八年级上册
在△ABC 中， 若∠A +∠B =90°，这个三角形是什么三角形？
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°， ∴△ABD是直角三角形．
小结梳理
人教版数学八年级上册
1 直角三角形的两个锐角互余. 2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
B
典例解析
人教版数学八年级上册
如图，∠ACB=90°, CD丄AB，垂足D ，∠ACD与∠B有什么关系？
为什么？
C
A
D
解： ∠ACD＝∠B.理由如下：
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°。
因为CD⊥AB，
B
所以∠BCD＋∠B＝90°。
如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试 判断△ABD的形状.
巩固训练
人教版数学八年级上册
如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判
断△ABD的形状.
解：
在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDCபைடு நூலகம்∠C
＝180°－80°－70°＝30°.
知识精讲
人教版数学八年级上册
在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C等于多少度？
A
解：在△ABC 中，
∠C =180°-∠A -∠B
B
C
=180°-60° -30°
直角三角形表示：Rt△ 直角三角形ABC 记作：Rt△ABC
=90°
知识精讲
人教版数学八年级上册
在△ABC 中， 若∠A +∠B =90°，这个三角形是什么三角形？
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°， ∴△ABD是直角三角形．
小结梳理
人教版数学八年级上册
1 直角三角形的两个锐角互余. 2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
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CD，求证： C D 1 A B
C
2
A 提示：延长CD，使得CD=DE,
D
B
连结BE,
先证△ACD≌ △BED，然
E
后证△ACB≌ △EBC，得
AB=CE，最后说明 C D 1 A B
2
例1 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 求证：这个三角形是直角三角形.
如图，已知：CD是△ABC的AB 边 求上证的：中△线AB，C且是C直D角12三AB角形.
结论
直角三角形的判定定理：
三角形一边上的中线等于这条边的一半的 三角形是直角三角形.
例2：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB
的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D
C
A
E
B
变式训练．已知，如图，BD、CE分别是△ABC的高， M、N分别是BC、DE的中点，分别连结ME，MD。 求证：MN⊥ED
∠1 +∠2 = 90°
∴ ∠B =∠2 ∴ BD=CD (等角对等边)
∴ B D =A D =C D 1 2A B .
∴ D′是斜边AB的中点
即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′
与CD重合，并且有
CD 12 AB.
求证：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D是AB的中点，连结
是否任意一个Rt △ABC都有CD 1 AB
成立呢？
2
∠A如CD图=∠1A，。如于果是中在线图C2中D，12过ABR，t△即ACBDC =的A直D，角所顶以点
C 作射线 CD′交 AB 于 D′，使 ∠1 = ∠A，则有 AD=CD.
(等角对等边)
图1
图2
又∵∠A +∠B = 90° ( 直角三角形两个角等于90° )
1.1 直角三角形的性质和判定
南县城西中学 杨 平
说一说
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和：∠A+∠B=？
∠A +∠B = 90°
直角三角形的性质：
直角三角形两锐角互余
2.如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°， 那么△ABC是直角三角形吗？
由三角形内角和性质， ∠A +∠B+∠C= 180°，因为 ∠A +∠B=90°，所以 ∠C=90°，于是△ABC是直 角三角形. 直角三角形的判定定理：
ND E
• ∴MN⊥ED
B
M
C
练习
（1）在Rt△ABC中，有一个锐角为52度， 那么另一个锐角度数为 ；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A ∠B =30度，那么∠A= ，∠B= ；
（3）在△ABC中， ∠C=90 °，CE是AB 边上的中线，那么与CE相等的线段是 _____，与∠A相等的角是_____，若 ∠A=35°，那么∠ECB= ______． （4）在直角三角形中，斜边及其中线之和为6， 那么该三角形的斜边长为________．
证明：∵ C D 1 2A B =B D =A ∵ ∠A+∠B+∠ACB =180°（三角形 内角和的性质）
即∠A+∠B+∠1+∠2=180° ∴ 2(∠A+∠B)=180°
∴ ∠A+∠B =90° ∴ △ABC是直角三角形( 有两个角互余的三角形是直角三角形)
小结与复习
1.本节课我们学习了哪些内容?
1：直角三角形两锐角互余；
直角三角形的性质：
2：在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半；
……
1：有一个角内角等于90°的三角形是直角
三角形。
直角三角形的判定：
2：三角形一边上的中线等于这条边的一半 的三角形是直角三角形；
3：有两个角互余的三角形是直角三角形；
（1） 求证：∠1=∠2 （2） 过点M作AB的垂直平分线交CD延长线于 E， 求证：CM=EM
（3） △AEB是什么三角形？证明你的猜想
C
21
H
A
MD
B
E
再 见 我们的生活离不开数学，
我们要做生活的有心人。
A EN D
B
M
C
变式训练：如图，在△ABC中，BD、CE是高， M、N分别是BC、ED的中点，试说明： MN⊥DE.
•解：连结EM、DM.
• ∵BD、CE是高，M是BC中点，
• ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
EM 1 BC， DM 1 BC，
A
2
2
• ∴EM=DM. • 又∵N是ED中点，
……
作业：
1、如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90度，CD是斜边
C
AB上的高，那么， 与∠B
互余的角有 ，与∠A互
余的角有 ，与∠B相等
的角有
，与∠A相等 A
D
A
B
的角有 .
2、如图，在△ABC中，
E
F
AD⊥BC，E、F分别是AB、
AC的中点，且DE=DF.求
证:AB=AC
B
D
C
思考与探究：
如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB上 的中点，CH⊥AB于H，CD平分∠ACB
有两个角互余的三角形是直角三角形.
图3-58
探究
画一个Rt△ABC，∠ACB=90°， CD是斜边
AB上的中线，并度量CD、AB、AD、BD的长度，
再比较CD、AB的关系。
CD=
；AD=
；
BD=
；AB=
；
1
CD= 2 AB
你们得到了什么结论？
结论
直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半.