均值不等式教学设计

基本不等式教学设计

一、录制内容

同学们，大家好！基本不等式是高中数学教材必修五第三章不等式内容的一个重要组成部分，本节课我要讲的内容是“基本不等式”，我将以“什么是基本不等式→如何证明基本不等式→如何利用基本不等式求最值”为探究线索进行讲解。

首先一起来了解两个概念，如果,a b 为正数，则称2

a b +为,a b 的算术平均数，

,a b 的几何平均数。在有了这样两个概念之后我们可能会比较好奇这两个数之间有怎样的大小关系呢？下面我们分别从代数角度和几何角度来进行证明。

从代数角度比较大小常用的方法就是作差，所以我们不妨先用作差法来探究

之间的大小关系，有一定的应用性，所以我们称其为基本不等式。那么如何来证明不等式呢？其实刚才作差探究两者大小关系的过程就给出了基本不等式的一种代数证法。那么基本不等式又有怎样的几何意义呢？一起来看一个图形。

这是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标，此会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，之所以用这个作为会标，一方面是因为它看上去像一个风车，象征了中国人民的热情好客，另一方面，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，揭示了很多的数学奥秘，下面我们就利用这个图形反映出来的面积大小关系对基本不等式加以解释。 设直角三角形的一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，则容易得到大正方形边长为b a +，小正方形边长为a b -。需要说明的是，当b a =时，原图中的小正方形消失，四个直角三角形刚好拼成一个完整的大正方形。根据边长可以进一步求得每一个小三角形的面积为2

ab ，大正方形面积为b a +，从图形上可以看出大正方形的面积要大于或者等于四个直角三角形面积的和，所以有

b a +≥ab 2也就是2

b a +≥ab ，当且仅当a b =时，四个直角三角形面积的和

2

a b +=。好，这样我们就借助于图形用几何方法对基本不等式做出了证明。

通过以上的学习可以知道基本不等式是解决最大（小）值问题的有力工具，在利用基本不等式求最大（小）值时，我们有这样两个原理：

呢？接下来我们看一下例2：

们可以归纳出在利用基本不等式求最值时的一般流程：

反思本节课的内容可以发现，对基本不等式的证明可以用代数法和几何法，这两种证法刚好将数和形高度的统一到了一起，突出数形结合的思想。有了这样的基础知识之后，我们应该注意在利用基本不等式求最值时必须具备“一正二定三相等”这三个条件，当满足这样的条件后利用两个原理即“积定和最小，和定积最大”便可求得最值。

课后完成课本第101页习题3.4A 组第1题和第3题。

好，本节微课到此结束，谢谢大家！

二、教学目标

1.通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。

2.通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力，引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

3.通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯。

三、教学重难点

教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式

b a +≥ab 2的证明过程；

用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题。 教学难点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab ≤

2

b a +的证明过程。 四、学情分析 学生在前面学习了用不等关系表示不等式、不等式的基本性质以及实数大小的比较方法，在初中学习了勾股定理等与基本不等式有关的知识。但是能否在具体问题情境中发现不等关系，并抽象概括出基本不等式是本节教学的一个重难点，另外，对不等式的证明，学生经历的很少，这又是本节课的另外一个难点。用基本不等式证明不等式，求最值、解决实际问题是学生的第三个难点。基于上述因素，在教学设计上可以通过合理的问题，引导学生自主发现、探索并证明。

五、教材分析

本节是人教社高中数学必修五第三章《不等式》第四节的内容，是在学生学习了不等关系与不等式、不等式的基本性质以及实数大小的比较等内容后的一个综合应用，也是今后学习选修教材的推理与证明以及不等式选讲的必备知识。本节内容从不等关系的发现到用不等式描述并证明，再从几何意义等角度对基本不等式加以解释，最后到基本不等式的应用是一个完整的系统。其意图就是让学生经历一个数学结论的获得所必须经历的过程，是让学生学数学用数学的良好素材。判断b a ,是否为正数 b a +ab 验证等号是否 结果 为定值，或 者为定值 化简不等式

成立配凑 式子

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。

六、教学环节

(一)课堂导入，引入新知

若b a ,为正数，则称2

b a +为b a ,的算术平均数，称ab 为b a ,的算术平均数。 (设计意图：寻求学生的最近发展区，引入新的概念为下面的学习扫清障碍.)

(二)信息交流，揭示规律

问题1：2

b a +与ab 有怎样的大小关系呢？ 用做差法探究两个正数的算术平均数与几何平均数的大小关系，第一步作差2

b a +-ab ，第二步变形将b a ,分别写成2)(a 和2)(b 的形式，得到一个完全平方式。第三步定号显然这个式子大于等于0，第四步得出结论，若0,0>>b a ，则ab ≤

2

b a +当且仅当b a =时，取“=”。 如此一来，我们可以得到如下结论：

若0,0>>b a ，则ab ≤2

b a +当且仅当b a =时，取“=”。 (设计意图：培养学生独立思考、解决问题的能力，使学生体会不等式证明的常用方法.）

问题2：均值不等式又有怎样的几何意义呢？

这是2002年8月在北京召开的国际数学大会会标，此会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，之所以用这个作为会标，一方面是因为它看上去像一个风车，象征了中国人民的热情好客，另一方面，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，揭示了很多的数学奥秘。 设直角三角形的一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，则容易得到大正方形边长为b a +，小正方形边长为a b -。当b a =时，原图中的小正方形消失，四个直角三角形刚好拼成一个完整的大正方形。根据边长可以进一步求得每一个小三角形的面积为2

ab ，大正方形面积为b a +，从图形上可以看出大正方形的面积要大于或者等于四个直角三角形面积的和，所以有b a +≥ab 2也就是

2

b a +≥ab ，当且仅当a b =时，四个直角三角形面积的和与大正方形的面积

2

a b +=。 (设计意图：以学生初中已经接触过的赵爽弦图作为素材，可使学生有熟悉的感觉.)

问题3：通过刚才的学习我们可以得到怎样的规律呢？