8.1单一参数元件电路

第8章 正弦交流电路
学习目标
掌握电阻、电感、电容元件电流、电压关系及功率关系
掌握R —L —C 串联电路电压、电流关系，理解复阻抗概念。

学会分析方法。

掌握R-L-C 并联电路的电流、电压关系及计算。

掌握正弦交流电路的功率和功率因素。

了解提高功率因素的意义，并掌握提高功率因素方法及并联电容器的计算。

学法指导
首先从单一元件的电压-电流的大小和相位关系介绍基础上引入相量式欧姆定律；抓住参考相量和单一元件的相量式欧姆定律，有相量图和相量式两种分析方法；结合阻抗的连接和相量式基尔霍夫定律以及直流电路的分析方法，可以学会分析RLC 串联和RLC 并联电路及一般交流电路的分析；从能量角度谈功率因数及其提高方法。

学习过程
第一节 单一参数元件电路
一、基础知识梳理
1、纯电阻电路电压、电流的关系
如果电压u ＝U m sin （ωt+ψu ），根据欧姆定律，通过电阻的电流瞬时值为
i ＝ ＝ ＝I m sin （ωt+ψi ） 数值关系：I m ＝U m /R 即：
相位关系：ψu ＝ψi 即：同相位
即：两个复数比是一个实数。

这说明电阻元件上，瞬时值、最大值、有效值均符合欧姆定律。

2纯电感电路电压、电流的关系
R u R
ψt ωsin(U m m )+R I U I U m m ==R 0R I U o m
m ==&&
设：i=I m sin ωt ，ψi =0则由数学推导可知，
u=I m ωLsin （ωt+90°）
即电压的最大值为：
U Lm ＝ωLI m 数值上： 欧姆定律
式中X L ＝ωL ＝2πfL X L 称为电感抗，简称感抗，它的单位是欧姆。

相位关系：电压超前电流90°
相量关系：
则：
其中：J 为旋转因子
结论：
⑴瞬时值不符合欧姆定律；
⑵最大值、有效值之间具有欧姆定律；
⑶JX L =JWL 是感抗的复数形式；
⑷相位上电压相量超前电流相量90°。

3、纯电容电路电压、电流的关系
在前面我们已经学过，稳压直流电不能通过电容器，但在电容器充放电过程中，却会
引起电流。

当电容器接到交流电路中时，由于外加电压不断变化，电容器就不断充放电，电路中就不断有电流流过。

这就称为交流电通过电容器。

若u=U m sin ωt 则由数学推导可知，
i=CU Cm ωcos ωt
电流的最大值为：
I m =ωCU cm
数值上：
t
Δi ΔL dt di L u ==L m
m X L ωI U I U ===οο&&90U U ,0I I
==L L jX 90X 90I U 0I 90U I U ====οοοο&&&&I
&C
m m X C ω1I U I U ===
式中X C 称为电容抗，简称容抗。

上式表明：在纯电容电路中，电流的有效值等于它两端电压的有效值除以它的容抗。

容抗是用来表示电容器对电流阻碍作用大小的一个物理量。

它的大小可用公式计算，单位是欧姆。

容抗的大小与频率及电容量成正比。

当电容器的容量一定时，频率f 愈高则容抗X C 愈小。

在直流电路中，因频率f=0，故电容器的容抗等于无限大。

这表明，电容器接入直流电路时，在稳态下是处于断路状态。

相位上：ψ当ψu ＝0时，ψi ＝90°。

也就是说电容元件的电流要比它两端的电压超前
90°，或者说，电压总是滞后电流90°。

即ψi ＝ψu +90°。

这就是电流与电压的相位关系。

相量关系：
结论： ⑴电流和电压瞬时值的关系是微分或积分关系；
⑵引入容抗（X c ）、正弦交流电流、电压的最大值、有效值符合欧姆定律；
⑶-jX c 复容抗；
⑷相位上电流相量超前电压相量90°。

二、应用举例
应用一：有一个220V 、100W 的电烙铁，接在220V 、50Hz 的电源上。

要求：
（1）绘出电路图，并计算电流的有效值。

（2）计算电烙铁消耗的电功率。

（3）画出电压、电流相量图。

应用分析：
解：（1）电路如图，
484100
2202
2===P U R (Ω) ΩfC π21C ω1X C ==c c jX 90X 90
I 0U I U -=-==οοο&&I &U
&οο&&90I I ,0U U ==
45.0484220===R U I (A) （2）10045.0220=⨯==UI P (W) （3）相量图如图所示。

例1：把L =51mH 的线圈（线圈电阻极小，可忽略不计），接在u =2202sin(314t +60o) V 的交流电源上，试计算：
（1）X L 。

（2）电路中的电流i 。

（3）画出电压、电流相量图。

解：（1）16105131423=⨯⨯==-fL X L π(Ω)
（2）︒-=︒
︒==30/75.1390/1660/220L jX U I &&（A ） )30314sin(275.13︒-=t i （A ）
（3）相量图如图所示。

举一反三：把C =140μF 的电容器，接在u =102sin314t V 的交流电路中，试计算：
（1）X C 。

（2）电路中的电流i 。

（3）画出电压、电流相量图。

巩固训练
1、在纯电阻正弦交流电路中，已知路端电压u=102sin(ωt-6
π)伏，电阻R=10欧，那么电流i= ，电压与电流的相位差φ= 电阻上消耗的功率P= 瓦。

2、 在纯电阻电路中，下列各式正确的是： （ ）
A 、i=R U ；
B 、I= R U ；
C 、.I =R
u ； D 、i=R U m 3、如图所示电路中，电阻R=2K ，接到正弦电压上，若最大值为537V ，则电流表的读数为 ，电压表的读数为 。

4.在纯电感电路中，电流与电压的频率 ，电压 电流90°。

5.把一个的电感元件接到频率为50HZ ，电压有效值为10V 的正弦交流电上，问电流是多少如果保持电压不变，而电源频率变为5KHZ ，这时电流将为多少
6．纯电阻元件的复阻抗Z= ，纯电感元件的复阻抗Z= ，纯电容元件的复阻抗Z= 。

7．纯电阻电路复数形式的欧姆定律为 ，纯电感电路复数形式的欧姆定律为 纯电容电路复数形式的欧姆定律为 。

8．正弦交流电压V t u )3100sin(220ππ+
=，将它加在100Ω的电阻两端，每分钟放出的
热量为 ；将它加在F C μπ1
=的电容器两端，通过该电容器的电流瞬时值表达式为 ；将它加在H L π1=
的电感两端，通过该电感的电流瞬时值表达式
为 。

三、课后巩固 1、如图所示，已知R 1= R 2=2k Ω，u = 220√2sin(314t + 90) V ，求电流表、电压表的读数。

2、一个电阻为10 k Ω的负载，接到u = 220√2sin(314t + 45) V 的交流电源上，求（1）流过负载的电流为多大（2）写出电流的瞬时值的表达式，并画出它们的波形图。

（3）电阻消耗的功率P 为多少
3.已知某电感线圈感抗X L =20欧，若加在该线圈两端正弦交流电压为u = 50sin(314t -60) ，则流过该线圈的电流为i= 。

4.已知在某纯电感电路中加上220V 的市电，设电压的初相为45，感抗为5欧，写出电流的瞬时值表达式和相量式，画出相量图。

5.已知C=10PF ，当f1=106HZ ，则X C = Ω，当f2=103HZ ，则X C = Ω。

6.在64μF 电容器两端加。

设电压u 和电流i 的方向一致，则在t=T/4时电流的瞬时值为i= A ，电压的瞬时值u= V 。

7.对于直流来讲，即f=0时，此时，X L = ,X C = ；对于交流来讲，即f ≠0时，若f 增加时，此时，X L = ,X C = 。

举一反三：
解：（1）7.22101403141216
=⨯⨯==-fC X C π(Ω) （2）︒=︒
-︒=-=90/44.090/7.220/10C jX U I &&（A ） )90314sin(244.0︒+=t i （A ）
（3）相量图如图所示。

巩固训练
1、2sin(ωt-/6) 0 100W
2、 B
3、 380V
4、 相同 超前
5、
6、 R j ωL 1/j ωC
7、 R U I /..= jXL U I /..= jXC U I -=/.
.
8、 14520J *10-2sin(100t+5/6)A (100t-1/6)A
课后巩固
1、55mA 110V
2、I=22 mA i=222sin(314t+45o ) mA P= mW
3、i=(314t-150o )A
4、i=442sin(314t-45o )A .
I=44∠-/4
5、Ω15900KΩ
6、0 220
7、0 2fL 增大1/2fC 减小。