高考平面向量公式(教师)

第七辑 平面向量专题

一，基本概念

1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。

2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为a 或者AB 。 3，向量的大小：即是向量的长度（或称模）

4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为0，零向量方向是任意的。

5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用e 、i

1=

1=

6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若a 平行于b ，则表示为a ∥b 。

7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若a 与b 相等，记为a =b

8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若a 与b 是相反向量，则表示为a =b -；向量BA AB -=

二，几何运算

1，向量加法：

（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：

（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示，

（3）两个向量和仍是一个向量；

（4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a

c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）：

= << = 2，减法：

（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图CB AC AB =- （2）两向量差依旧是一个向量；

（3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+⇔=- 3，加法、减法联系：

（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，DB AD AB =- （2=，则四边形ABCD 为矩形

B

A

a

C

B A

•

a

b

a b

a

b

b

a +

4，实数与向量的积：

（1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下：

当0>λ时，a λ与a 方向相同；当0<λ时，a λ与a 方向相反；当0=λ时，0=a λ；当0=a 时，0=a λ

；=λ（2）实数与向量相乘满足：a a )()(λμμλ= a a a μλμλ+=+)( b a b a λλλ+=+)( 5，向量共线：

（1）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得a b λ= （2）如图，平面内C B A ,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数q n m ,,， 使得0=++OC n OB m OA q ，且0=++q n m ，反之也成立。 （3）AC AB λ=，则OC OA OB λλ+-=)1(（证明略） 6，向量的数量积

（1

）数量积公式：b a =

⇔=⋅θθcos cos （2）向量夹角θ：同起点两向量所夹的角，范围是[]

0180,0∈θ

（3）零向量与任一向量的数量积为0，即00=⋅a （4

）数量积与夹角关系：b a ≤⋅≤

00=θ 00900<<θ 090=θ 0018090<<θ 0180=θ

b a =⋅

0>⋅>b a 0=⋅b a

b a >⋅>0

b a =⋅（5

=

θcos 称为b 在a

=

θcos a 在b 的方向上的投影

（6）重要结论：直角三角形ABC 中，2

AB AB AC =⋅ （7）向量数量积的运算律：

2a =

e a =（向量e 为与a 方向相同的单位向量） a b b a ⋅=⋅

)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ =⋅+c b a )(c b c a ⋅+⋅

2222)(b b a a b a +⋅+=+ 2222)(b b a a b a +⋅-=- 2

2)()(b a b a b a -=-⋅+

b

a

b a b

a

b

a b

a

三，坐标运算

1，平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数μλ,，使得21e e a μλ+=，我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（证明略）

2，坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底。任作一个向量a ，

由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：j y i x a +=，我们把),(y x 叫做

向量的（直角）坐标，记作),(y x a =，其中x 、y 分别为向量的横纵坐标。这个式子

叫做向量的坐标表示。

3，如图，已知点),(11y x A =，),(22y x B =，由向量的坐标定义可知，

),(11y x OA =，),(22y x OB =，),(1212y y x x OA OB AB --=-=由此可知，一个向量

的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，),(1212y y x x AB --=

4，向量的加减乘坐标运算：已知),(11y x a =，),(22y x b =

（1）加、减、乘：),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅ （2）实数与向量乘积的坐标运算：),(11y x a λλλ= （3

2

2222121,y x y x +=+=

（4）b a ,夹角余弦值22

22

21

2

1

2121cos y

x y x y y x x +⋅++=

θ

5，向量间关系的坐标形式，已知),(11y x a =，),(22y x b = （1）)0(,//≠b b a 的充要条件是，01221=-y x y x

（2）若,b a

⊥则有0=⋅b a ，即02121=+y y x x

6，柯西不等式的向量形式

设向量),(),,(d c n b a m ==，则有bd ac n m +=⋅，

2222d c b a ++=

，因为n m ⋅，所以有柯西不等

式的向量形式：2222d c b a bd ac ++≤+，化简得：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+

y

x

B

A