2019年中国科学技术大学创新班笔试数学真题
中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题
中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题中国科学技术大学~自主招生数学部分共8个填空题、3个解答题，分值为100;物理部分共10个选择题、6个大题，分值为100。
根据考生回忆，物理部分中规中矩，而数学部分整体格式类似高中数学联赛一试，难度和联赛一试相仿。
以下是部分真题。
填空题(1)二元绝对值不等式控制区域求面积，一个小难点是两个绝对值都是二元的。
如果第一时间抓住图形对称中心，分类讨论起来并不困难。
(2)考查三角形和向量结合类型题目，具体来说就是“奔驰定理”。
若知道结论可以快速解答，不知道的话就需要一些时间来推论了。
(3)有一道送分题，表面看上去是在考察代数，实际上可以转化为一个圆和一个定点的距离问题。
涉及到二次曲线参数方程的知识。
解答题(1)直接考查计数原理中的完全错排数，剩下就是计算了。
(2)数论题目，要用到二试以上的知识点，涉及的知识有费马小定理，欧拉定理。
题目难度较大，没有学过竞赛的题目根本无从下手。
中国科学院大学~综合评价中国科学院大学2019年综合评价采用5人小组面试，组员之间没有交流讨论环节，一共1个小时。
随机分组，不分专业。
面试问题大概分三个方向，1、考生自我介绍及个人情况了解;2、围绕国科大相关提问;3、专业相关的题目。
面试真题(部分)1、自我介绍，为什么来到国科大2、如果过了清北线怎么抉择?3、介绍所认识的国科大优势4、你认为目前科学能解决但未解决的问题是什么?5、介绍个人对未来的专业发展有什么规划，兴趣，暑假计划6、高中让你骄傲的事是什么?7、你认为弱势群体是谁?为什么?8、你的人生理想是什么?浙江大学~自主招生面试题(考生回忆)1、最喜欢的一本书，具体理由2、接着提问，喜欢的书有什么缺陷和不足3、用英语回答，暑假准备做什么南京大学~自主招生南京大学2019年自主招生笔试分为理科综合和文科综合，其中，理科综合一共8大题，4题数学、4题物理，考两小时。
“思维量和计算量都挺大的，有些题目需要用到高中的一些结论来倒推。
2019年中科大创新班笔试数学真题及答案
4.
设
O
是
ABC
的外心，
4
OA
5
OB
6
OC
0
，则
tan
BAC
_____.
5. 设曲线 x 13 y 13 1 关于直线 y kx b 对称，则 k,b _____.
6. 设 x 3 cost , y 4 cost , t 是参数，则 x2 y2 的最大值为_____.
解析： 易知：四面体 ABCD是一个对棱相等的四面 体 置入到长方体即可.假设其边长为a, b, c. a2 b2 16,b2 c2 25, c2 a2 36.
a 3 6 ,b 2
10 2
,c
3
10 2
. VABCD
15 4
6
10 .
解析：令 fn
本试题由天科教育研究院整理。
2019 年中国科学技术大学创新班笔试数学真题答案 【天科教育研究院解答】
本试题由天科教育研究院解答。
1. x 2 y 3x 4 y 5 区域面积
.
1 .答案：25 解析：
画出可行域如图，
S ABCD
4S ABO
4*
25 4
25
。
2. 方程 sin 2x cos 3x 0, x 0,2 的所有根之和
解析：由几何意义注意 z 1与z 1的夹角 ，z 的轨迹为单位圆上对应复数,所以
z2
z3 min
z
z2
z3 min
z 1 3z min
2019年中科大创新班考试数学模拟试题及参考答案
2019年中科大创新班考试数学模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
4.本试卷共四大题，满分100分，解答题需写出必要的计算和证明过程。
一、填空题（每小题5分，共40分）1.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．2.已知{}7,6,5,4,3,2,1,0=A ，A A f →:，若7=+j i ，则ij j f i f =)()(，那么映射f 的个数是.3.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于.4.在锐角ABC △中，G O ,分别是其外心和重心，若AC OG ∥且 75=∠B ,则=+C A tan tan .5.如图，在单位正四面体ABCD 中，K N M ,,分别在棱BD AD AB 、、上，满足.41,31===DK DN BM 则面ACK 与面CMN 所夹锐角的余弦值为.6.设复数z ，11=+z z ，则z 的取值范围是为.7.严格递增的正实数数列{}n x 满足：{}n x x ∈当且仅当2{}x x +=整数，（其中，等式中的{}x 表示x 的小数部分）．那么，这个数列的前100项之和是．8.任意m 个正整数中，必有一个数的各位数码之和是11的倍数，则m 的最小值为.二、解答题（20分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边依次成等差数列。
求证：312tan 2tan =C A .三、解答题（20分）已知对于任意的]1,1[-∈x ，都有12≤++c bx ax ，证明：对于任意的]1,1[-∈x ，都有22≤++a bx cx 。
四、解答题（20分）在坐标平面内，从原点出发以同一初速度0v 和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间的夹角）[]2,,0(παπαα≠∈射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。
40、中国科学技术大学2019-2020学年第一学期数学分析(B1)期中考试(9页 文字版)
3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
)
(x
x
1 0 )f
(x
0
)
.
解(1) 由带 Peano 余项的 Taylor 定理,
f (x)
f (x0)
f (x0)(x
x0)
f (x0)(x 2
x0)2
o((x
x0)2) (x
4.
设由参数方程 yx
arctan t ln(1 t2) 确定 y 是 x 的函数,
求 dy , d2y dx dx 2
.
解 由题意得,
dx 1 , dy 2t dt 1 t2 dt 1 t2
故
dy dy dt 2t (1 t2) 2t dx dt dx 1 t2
d2y dx 2
②若 {Sn } 有界, 则 {Sn } 收敛, 记为 Sn S (n ) . 则
综上,
lim
n
an
nlim(Sn
Sn1)
S
S
0.
lim
an
0.
n a1 a2 an
错解 直接用夹逼定理, 写出诸如 inf an 0 的式子, 这显然是错误的( inf an 0 ).
2. 若 lim x 2 3x 2 ax b 0 , 求a,b 的值. x
3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷(创新班)-学生用卷
2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷（创新班）-学生用卷一、综合题（本大题共11小题）1、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第1题 若z +z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是 ．2、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第2题 若|5x +6y |+|9x +11y |⩽1，则包围图形的面积S = ．3、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第3题 f (x )=√3+1x 的离心率是 ．4、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第4题 a 1=1，a 2=3，a n =2a n−12a n−2+a n−1，则a n = ．5、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第5题 x 2−y 2=4p 2，x ，y 为正整数，p 为素数，则x 3−y 3= ．6、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第6题 a =20202020，b =√20192021⋅20212019，c =12(20192021+20212019)，则a ，b ，c 大小顺序是 ．7、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第7题 f (x )=(x −1)2+k 2，且a ，b ，c ∈[0,1]，f (a )、f (b )、f (c )为三角形的三边，则k 的取值范围是 ．8、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第8题a1，a2，⋯，a n为1，2，⋯，n的排列，若i<j且a i<a j则(a i,a j)为顺序对，设x为a1，a2，⋯，a n的顺序对的个数，则E(X)=．9、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第9题已知x∈[0,π2]，求y=3sin2x−2sin2x+2sinx−cosx的取值范围．10、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第10题已知f(x)=x3+ax2−x+1−a，求所有a∈R，使得∀x∈[−1,1]，|f(x)|⩾|x|恒成立．11、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第11题已知1+√2+⋯+√n<C(n+1)32，证明：当C=23，不等式成立，且C<23该不等式不成立．1 、【答案】暂无;2 、【答案】暂无;3 、【答案】暂无;4 、【答案】暂无;5 、【答案】暂无;6 、【答案】暂无;7 、【答案】暂无;8 、【答案】暂无;9 、【答案】暂无;10 、【答案】暂无;11 、【答案】暂无;。
2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷
2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷一、填空题1．若z+＝1，则|z+1|﹣|z﹣i|取值范围是 ．2．若|5x+6y|+|9x+11y|≤1，则满足条件的点（x，y）组成的面积为 ．3．函数f（x）＝+所表示的曲线离心率为 ．4．若a1＝1，a2＝3，a n＝2+a n﹣1，求a n＝ ．5．若x2﹣y2＝4p2，其中x，y∈Z+，p为素数，则x3﹣y3＝ ．6．已知a＝20202020，b＝，c＝，则a，b，c 大小顺序 ．7．已知f（x）＝（x﹣1）2+k2，且∀a，b，c∈（0，1），都存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则k的取值范围为 ．8．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n的一个排列，若i＜j且a i＜a j，则称（a i，a j）为有序对子，设X为a1，a2，…，a n有序对子的个数，则E（X）＝ ．9．求函数f（x）＝3sin2x﹣2sin2x+2sin x﹣cos x，x∈[0，]的值域 ．10．已知f（x）＝x3+ax2﹣x+1﹣a（a∈R），若∀x∈[﹣1，1]，使得|f（x）|≥|x|恒成立，则a 取值范围为 ．11．已知1++……+＜C（n+1），证明：当C＝，不等式成立，且C＜该不等式不成立．2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．若z+＝1，则|z+1|﹣|z﹣i|取值范围是 （﹣1，]． ．【考点】复数的模．【分析】由题意设z＝，则|z+1|﹣|z﹣i|＝，再由其几何意义，即平面内一动点A（0，b）到两定点B（，0），C（，1）距离之差求解．【解答】解：由题意设z＝，则|z+1|﹣|z﹣i|＝，其几何意义为平面内一动点A（0，b）到两定点B（，0），C（，1）距离之差，由图可知，当A，B，C三点共线时，距离之差最大，当b→﹣∞时，最小，则0﹣1＝﹣1＜|z+1|﹣|z﹣i|≤．∴|z+1|﹣|z﹣i|的取值范围是（﹣1，]．故答案为：（﹣1，]．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．2．若|5x+6y|+|9x+11y|≤1，则满足条件的点（x，y）组成的面积为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】依题意，将原不等式转化为不等式组，作出可行域，进而求得所求面积．【解答】解：|5x+6y|+|9x+11y|≤1等价于或或或，作出对应的可行域如下图所示，易知平面区域为平行四边形，其面积为．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划问题，涉及了平行四边形的面积以及点到直线的距离公式，两点间的距离公式等知识点，属于中档题．3．函数f（x）＝+所表示的曲线离心率为 ．【考点】双曲线的性质．【分析】由坐标轴的旋转变换公式，代入函数f（x）的解析式，化简消去x'y'项，求得θ，可得曲线的标准方程，求得a，b，c，e，计算可得所求值．【解答】解：由坐标轴的旋转变换公式，代入y＝+即x2﹣xy＝﹣，可得x'2cos2θ+y'2sin2θ﹣2x'y'sinθcosθ﹣（x'2sinθcosθ﹣y'2sinθcosθ+x'y'cos2θ﹣x'y'sin2θ）＝﹣，化为x'2（cos2θ﹣sinθcosθ）+y'2（sin2θ+sinθcosθ）﹣x'y'（2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ）＝﹣，为了得到曲线的标准方程，可令2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ）＝0，即sin2θ+cos2θ＝0，即tan2θ＝﹣，可取θ＝60°，则曲线的标准方程为﹣＝1，则a2＝2，b2＝，c2＝，e2＝＝，即e＝．故答案为：．【点评】本题考查函数表示的曲线的离心率的求法，运用坐标轴的旋转变换是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．4．若a1＝1，a2＝3，a n＝2+a n﹣1，求a n＝ ．【考点】数列递推式．【分析】先把已知式子变形为，再累乘即可得a n．【解答】解：由题意可知．于是，所以，当n≥2时有，．当n＝1时也满足上式．故答案为：．【点评】本题考查累乘法求数列通项，正确的将题干所给式子进行变形是解题的关键，属于中档题．5．若x2﹣y2＝4p2，其中x，y∈Z+，p为素数，则x3﹣y3＝ 6p4+2 ．【考点】有理数指数幂及根式．【分析】x2﹣y2＝4p2＝（2p）2＝（x﹣y）（x+y）其中x，y∈Z+，p为素数，由x，y∈Z+，可得x﹣y，x+y都为奇数或都为偶数．而4p2为偶数，因此（x﹣y）与（x+y）都为偶数．对p，x分类讨论即可得出结论．【解答】解：∵x2﹣y2＝4p2＝（2p）2＝（x﹣y）（x+y）其中x，y∈Z+，p为素数，由x，y∈Z+，可得x﹣y，x+y都为奇数或都为偶数．而4p2为偶数，因此（x﹣y）与（x+y）都为偶数．①若p＝2，则x﹣y＝2，x+y＝8，x＝5，y＝3，∴x3﹣y3＝98．②若p＞2，则p为奇数．∴（x﹣y）（x+y）＝2×2p2．∴x﹣y＝2，x+y＝2p2．设y＝2k+1（k∈Z+），则x＝2k+3，可得：2k+2＝p2，矛盾，因此不成立，舍去．设y＝2k（k∈Z+），则x＝2k+2，可得：2k+1＝p2，∴x＝p2+1，y＝p2﹣1．于是x3﹣y3＝（p2+1）3﹣（p2﹣1）3＝6p4+2．上式对于p＝2时也成立．综上可得：x3﹣y3＝6p4+2．故答案为：6p4+2．【点评】本题考查了整数的性质、素数的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知a＝20202020，b＝，c＝，则a，b，c 大小顺序 c＞a＞b ．【考点】不等关系与不等式．【分析】利用基本不等式即可比较出b，c的大小关系；利用不等式的性质即可比较b，a的大小关系；利用即可比较c与a的大小关系．【解答】解：，＝，，∴c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．【点评】本题考查实数的大小比较，属于中档题．7．已知f（x）＝（x﹣1）2+k2，且∀a，b，c∈（0，1），都存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则k的取值范围为 （﹣∞﹣1]∪[1，+∞） ．【考点】二次函数的性质与图象．【分析】利用二次函数图象的对称性，三角形的边角性质，两边之和大于第三边解出本题答案．【解答】解：函数f（x）在（0，1）单调递减，由∀a，b，c∈（0，1），都存在已f（a），f（b），f（c）为边的三角形可得，f（0）≤2f（1）即k2≥1，所以k≤﹣1或k≥1．故答案为（﹣∞，﹣1]，或[1，+∞）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，三角形两边之和大于第三边．8．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n的一个排列，若i＜j且a i＜a j，则称（a i，a j）为有序对子，设X为a1，a2，…，a n有序对子的个数，则E（X）＝ ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】对于排列A：a 1，a2，…，a n，构造一个排列A1：a n，…，a2，a1，求出x A与的平均值为：＝，对于任意一个排列A都可以构造一个排列A1，由此能求出E（X）．【解答】解：对于排列A：a1，a2，…，a n，构造一个排列A1：a n，…，a2，a1，此时，＝，∴x A与的平均值为：＝，而对于任意一个排列A都可以构造一个排列A1，∴E（X）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查平均值、倒序相加求和法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．求函数f（x）＝3sin2x﹣2sin2x+2sin x﹣cos x，x∈[0，]的值域 [﹣，5] ．【考点】三角函数的最值．【分析】利用换元法把函数f（x）表示为t的二次函数，然后根据t的取值范围求得函数的值域．【解答】解：设t＝2sin x﹣cos x＝sin（x﹣θ），x∈[0，]，tanθ＝且θ∈（0，），∵x∈[0，]，∴x﹣θ∈[﹣θ，﹣θ]，∴sin（x﹣θ）∈[﹣sinθ，sin（﹣θ）]＝[﹣，]，∴t∈[﹣1，2]，又t2＝4sin2x+cos2x﹣4sin x cos x＝3sin2x+1﹣2sin2x，∴y＝f（x）＝t2+t﹣1，t∈[﹣1，2]，∴﹣≤y≤5，即f（x）的值域为[﹣，5]．故答案为：[﹣，5]．【点评】本题主要考查换元法、二次函数在处理函数值域中的应用，属于中档题．10．已知f（x）＝x3+ax2﹣x+1﹣a（a∈R），若∀x∈[﹣1，1]，使得|f（x）|≥|x|恒成立，则a 取值范围为 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】先考虑x＝0时，易知a∈R；当x≠0 时，将|f（x）|≥|x|转化为，令，x∈[﹣1，0）∪（0，1]，利用导数研究函数φ（x）的最值求解即可．【解答】解：情形一：当x＝0 时，易知a∈R；情形二：当x≠0 时，此时|f（x）|＞|x|等价于，令，则，令，则，令u（x）＝x3+3x+1，易知u（x）单调递增，且u（0）＝1，u（﹣1）＝﹣3＜0，由零点存在性定理可知：必有一个x0∈（﹣1，0），使得u（x0）＝0，此时x∈（﹣1，x0），h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（x0，0），h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，①当a⩾1 时，此时h（0）＝a﹣1＞0，则x∈（0，1），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，此时，φ（x）＜φ（1）＝1，不满足题意，②当时，此时由零点存在性定理可知：必有一个x1∈（0，1），使得h（x1）＝0，此时x∈（x1，1），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，此时φ（x）＜φ（1）＝1，不满足题意，③当时，此时，则φ′（x）＜0，此时x∈（﹣1，0），φ（x）单调递减，则φ（x）＜φ（﹣1）＝﹣1，满足题意，同理可得x∈（0，1），φ（x）单调递减，φ（x）＞φ（1）＝1，满足题意，综上所述，a取值范围为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查不等式恒成立的处理，考查学生的转化能力和运算能力，属于难题．11．已知1++……+＜C（n+1），证明：当C＝，不等式成立，且C＜该不等式不成立．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】先证明当C＝，不等式成立．利用分析法证明；再再证当C＜时，该不等式不成立．利用数列的极限证明．【解答】解：先证明当C＝，不等式成立．要证，只需证，只需证，根据积分的定义易得，令，其在（0，+∞）上为增函数，则原函数，依据积分法，有f（n）＜F（n+1）﹣F（n），所以，命题得证．再证当C＜时，该不等式不成立．因为，又，所以当时，不满足题意．【点评】本题考查分析法证明数列不等式，考查数列的极限，考查转化思想和极限思想，属于难题．。
中科大创新班初试入围考试试卷解析
中科大创新班初试入围考试试卷解析一、数学部分（共75分）1. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求函数f(x)的极值。
- 解：首先对函数f(x)求导，f^′(x)=3x^2 - 3。
- 令f^′(x)=0，即3x^2 - 3 = 0，化简得x^2 - 1=0，解得x = ±1。
- 当x < - 1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。
- 当-1 < x < 1时，f^′(x)<0，函数f(x)单调递减。
- 当x>1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。
- 所以x = - 1时，函数f(x)取得极大值f(-1)=(-1)^3 - 3×(-1)+1 = 3；x = 1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1^3 - 3×1 + 1=-1。
2. （20分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)，求角B和边c的值。
- 解：根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，将a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)代入可得：- sin B=(bsinA)/(a)=(2×sinfrac{π)/(3)}{2√(3)}=(2×frac{√(3))/(2)}{2√(3)}=(1)/(2)。
- 因为a>b，所以A>B，又A=(π)/(3)，所以B=(π)/(6)。
- 然后根据三角形内角和C=π - A - B=π-(π)/(3)-(π)/(6)=(π)/(2)。
- 再根据勾股定理c=√(a^2)+b^{2}=√((2sqrt{3))^2+2^2} = 4。
3. （20分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：由a_n + 1=2a_n+1可得a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。
2019创新班数学真题集答案补充
提示：不动点法。
8、从正 2017 边形的边和对角线中选取 3 条不同线段，它们两两不相交的概率是
。
3C26017
C 答案：
3 C22017
提示：如果三条线不相交，则需要 6 个点，而在一个 6 边形只有 3 组两两不相交的线段。
三、（20 分）设实数 a1, b1, a2 , b2 ，a2017 , b2017 满足 0 ai bi 1, i 1,2,,2017 ，证明： 若，则存在实数 x 使得 ai x bi , i 1,2,,2017 。
综上： (a,b, c) (1, 2, 0), (1, 1, 1) 。
a b c a 解 2：由题意令 f (x) (x a)(x b)(x c) x3 ax2 bx c ，则 ab bc ca b ，
abc c
③ x 0, y 0 ， n种 2④x0,
y
0
，
C2 n2
2n 1
4
最终
1
n
2
n
2
4
C2 n2
2n
1
2n2 2n 1
4、【解析】最小值显然如答案
f x
4x 4
2x2 2x 1 2x2 2x 5
4t
2t 2 6t 5 2t 2 2t 5
，令 t x 1考虑 t 0 情况
4
2
6 5 t t2
2
2 t
5 t2
显然 t 时，原式最大 2
6、【解析】
PA PB PC PD 6
中国科学技术大学2022年创新班招生考试初试数学二试题及答案
中国科学技术大学2022年特殊类型（创新班）招生考试
数学A
注意事项：
1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷共5题，每题20分，共100分。
需要写出必要的计算和证明过程。
一、求满足2022a b c ++=
且2022abc 可被整除的正整数集合{},,a b c 个数。
二、求满足如下条件的所有函数()f x ；
（1） 定义域为1122 −
，； （2） (0)0f =； （3） 1
sin ()sin ()33
x f x f x −=恒成立。
三、欧拉有著名公式2
2221111++++=236
n π ，求最小正整数n ，使得2211162022n
k k π=>−∑。
四、在圆周上独立地随机选取n 个点，求这n 个点可以被半圆周覆盖的概率。
五、设2*()()1,,2!!
n
n x x f x x n N x R n −=−++∈∈ 。
（1） 证明：：方程21()0n f x −=有唯一实数解，记作n a 。
（2） 数列{}n a 是否为单调数列?请证明你的结论。
2021年中国科学技术大学少年创新班考试数学试题
四、（20
分）已知
g0 x
1,
g1x
x,
gn x
gn1x2 2n1 gn2 x
, n
2 。
学
科 心 求证： gnx是n次整系数多项式，并求出gnx 0的所有实根 。 学五、（20 分）已知 a 为实数， a为不大于a的最大整数，a a a
求证：“ a为无理数 ”当且仅当“对 m N , n N , 使0 na 1 ”。
学
心 2021 年中国科学技术大学少年创新班考试数学试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 将试卷写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本试卷共四大题，满分 100 分，解答题需写出必要的计算和证明过.
一、填空（每题 6 分，共 30 分）mFra bibliotek心 科5.
学 一小球可在 0，1，2，, n这n 1个位置移动，小球可等可能地向前或向后移动一个单位，
若在 0 处则只能向前移，问，首次移动至 n 的平均步数为_______。
心 二、（15分）ABC 内角为 A, B,C ，求证； 3 cos A cos B 3 cos C 2 。 2
科 三、（15 分）若 f x y f xcos y f y f x对x, y R 成立，求所有函数 f x 。 2
1.
科 a R, x4 4a 50x2 a2 0 有四解且成等差数列，则 a _______。
2.
学 如图，求 ACB1D1与BDA1C1 公共部分体积_______。
学 心
科
心3. 若直线 x y 1与y 4 相切，则a b 最小值为_______。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题及其详解
１. 满足 ｘ ＋ ２ｙ ＋ ３ｘ ＋ ４ｙ ≤５ ( ｘꎬｙ∈Ｒ) 的点( ｘꎬｙ)
所构成的区域的面积是 .
２. 方程 ｓｉｎ２ｘ ＋ ｃｏｓ３ｘ ＝ ０(０ < ｘ≤２π) 根的和是
.
３. 若△ＡＢＣ 三个顶点的坐标分 别 是 Ａ (０ꎬ１ ) ꎬＢ (１ꎬ
０) ꎬ Ｃ ç ｘꎬ
２０１９ 年中国科学技术大学
自主招生数学试题及其详解
甘志国
( 北京市丰台二中 １０００７１)
摘 要:２０１９ 年中国科学技术大学自主招生数学试题共包含 ８ 道填空题和 ３ 道解答题ꎬ试题难度是中等.
解得由笔者给出.
关键词:２０１９ 年科学技术大学自主招生数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ回忆版ꎻ详解
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０１９)３４ － ００４６ － ０４
４
注 由以ＢꎬＣꎬＤ 的坐标分别是 (５ꎬ － ２. ５ ) ꎬ( － １０ꎬ
７. ５) ꎬ( － ５ꎬ２. ５) ꎬ(１０ꎬ － ７. ５) . 可求得 ＡＢ ＝ ５ １３ ꎬ直
５
线 ＡＢꎬＣＤ 的距离是
ꎬ所以题中的区域的面积是 ５ １３
ï
î － ２ｘ － ２ｙ≤５ꎬ
Ｃ 的坐标分别是( － １０ꎬ７. ５) ꎬ( － ５ꎬ２. ５) ꎬ进而可求得其
１
５
２５
面积是 ５ ２
＝ .
２
２２ ４
ìｘ ＋ ２ｙ≤０ꎬ
ïï
(３) í３ｘ ＋ ４ｙ≤０ꎬ
ï
î － ４ｘ － ６ｙ≤５ꎬ
可得该区域即△ＯＣＤꎬ其中点 Ｃꎬ
１
５
２５
面积是 ５ １３
( ｎ∈Ｎ ∗ ) 有唯一的零
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。