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高二数学《等比数列》专题练习题

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湖北十堰市第一中学高二数学等比数列练习试题百度文库

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一、等比数列选择题1．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-2．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312C ．15D ．63．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．503B ．507C ．1007D ．20074．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6B ．16C ．32D ．645．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞07．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45B ．54C ．99D ．818．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40B ．81C ．121D ．242 9．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8B ．8-C ．16D ．16-10．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ）A ．180B ．160C ．210D ．25011．题目文件丢失！12．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1413．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．2514．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6416．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．1517．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（ ） A ．2B ．4C ．74 D ．15818．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏19．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（ ）A ．32B ．63C ．123D ．12620．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则n a 的表达式为（ ）A ．12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．123n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题21．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40022．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <23．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-24．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 25．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ） A ．8 B ．12 C ．－8D ．－1226．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥27．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++28．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=29．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍30．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍31．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值32．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--33．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，87101a a -<-.则下列结论正确的是（ ）A ．01q <<B ．791a a <C ．n T 的最大值为7TD ．n S 的最大值为7S34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1035．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 2．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 3．D 【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D 4．C【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 5．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 6．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 7．C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.故选C 8．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113a q S q--===--， 故选：C. 9．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C. 10．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列.所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C11．无12．B 【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q q---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---， 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 13．B 【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭， 当且仅当6852a a ==时取等号． 故选：B . 14．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.15．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 16．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 17．C 【分析】利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以31312311(12)7712244a S a a a a --===⋅， 故选：C 18．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 19．D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2260q q --=，∴2q 或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q ==， ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--， 故选：D. 20．D【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得23q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-， 当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，()1111111n nn a q a aq S qq q-==-⋅+---， 所以11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---， 要使数列{}13n S a -为等比数列，则需11301a a q -=-，解得23q =. 213a a =，2123a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故21111222333n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-⋅+---是等比数列，则11301aa q-=-，即可求得q 的值，通项即可求出.二、多选题21．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 22．BD 【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2nn a =，24nn a =，数列{}2na 的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 23．BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-.∴363242q ==--或243236q -==-. 故选：BD 24．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .25．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 26．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-， 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确；因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 27．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 28．BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =， 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-， 所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误； 因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 29．BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 30．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 31．AB 【分析】由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意，只有01q <<，数列{}n a 递减，从而确定20191a >,202001a <<，从可判断各选项．【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a >>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且20191a >,202001a <<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；因为20191a >,202001a <<，所以2019T 是数列{}n T 中的最大值，C ，D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定20191a >,202001a <<． 32．AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.故选：AB. 33．ABC 【分析】由11a >，781a a >，87101a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D. 【详解】11a >，781a a >，87101a a -<-， 71a ∴>，801a <<，∴A.01q <<，故正确；B.27981a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确. 故选：ABC ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 34．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 35．ACD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) 11121131313131313n n n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。

高二数学等比数列练习试题doc

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一、等比数列选择题1．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．43．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．14．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．32 5．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ）A ．1B ．2±C ．2D ．2- 6．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）A ．2±B ．2C ．3±D ．37．12的等比中项是（ ）A ．－1B ．1C．2D．2±8．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ） A ．3B ．505C ．1010D ．20209．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-11．题目文件丢失！12．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞13．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202014．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6B ．7C ．8D ．915．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列16．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．317．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11618．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8019．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．520．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ）A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列24．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---25．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） A．12B．12- C．12+ D．12-+ 26．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-= B ．12n n aC ．21nn S =-D ．121n n S -=-27．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8328．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >29．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅或 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列C ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列D ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列，且公比相同 30．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍31．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．22212413n na a a -+++= D ．m n +为定值32．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 33．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）34．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x x =D ．()ln f x x =35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】 因为12n n a a +=， 所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． 因为32a =，所以235328a a q ===． 故选：C2．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q ，所以2424a q a ==. 故选：D. 3．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 4．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦， 即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---， 令210t q =>，则()222421211t t t q q-=-=--+， 所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 5．B 【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B 6．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案.【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D. 7．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】2311()((2-==，的等比中项是故选:D 8．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C 9．A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =， 所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.11．无12．C 【分析】由等比数列性质求得3a ，把35124a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以5332a =，解得32a =，则235114a a a a ==，35124a a a ++ 1111a a =++，易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 13．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.14．B 【分析】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =， 5(12)312012n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=∴该女子所需的天数至少为7天．故选：B 15．C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ，若24nna =，则2nn a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 16．D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可 【详解】设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==， 故选：D 17．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 18．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 19．B 【分析】本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再然后根据24242k a a a +++=求出2q，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 20．B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确； 因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.二、多选题 21．无 22．无23．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 24．BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222 (2)2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题, 25．AB 【分析】因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2111qq q q -=-+，因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >，所以解得12q +=，②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即321q q =+， 整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >，所以解得q =，综上q =或q =， 故选：AB 26．BC 【分析】根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，2410a a +=，4410q q∴+=即22520q q -+=，解得2q或12， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q，312414a a q ===， 12n na ，212121n n n S -==--，()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 27．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 28．AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为0q <，所以29109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确；对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 29．AD 【分析】根据{}n S 为等比数列等价于2n na a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】{}n S 为等比数列等价于1n n S S +为常数，也就是等价于12+1n n n n a a a a ++即2n na a +为常数.对于A ，因为{}n a 是等比数列，故22n na q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足； 对于B ，取21221,2nn n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅不是等比数列，2121n n a a +-不是常数，故B 错. 对于C ，取2123,2n nn n a a -==，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅是等比数列，21213n n a a +-=，2222n naa +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2n na a +为常数. 故选：AD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 30．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 31．BD 【分析】由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数列前n 项和公式，求出 122212443n na a a +-+++=，故选项C 错误，由等比数列的通项公式得到62642m n +==，所以选项D 正确. 【详解】由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=，所以12nn a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，故选项A 错误，选项B 正确； 数列{}2na 是以首项214a=，公比14q =的等比数列，所以()()21112221211414441143n n n na q a a a q +-⨯--+++===--，故选项C 错误； 6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.故选：BD 【点睛】本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 32．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 33．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题. 34．AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q . 对于A ，则2221112()()n n n n nn f a aa q f a aa +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +===，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a qq f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 35．ACD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1， ∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】根据等比数列的通项公式，有，所以【考点】本小题主要考查等比数列通项公式的应用，考查学生的运算能力.点评：等差数列和等比数列是两种常考的数列，它们的基本运算要加以重视.2.已知实数列－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于()A．－4B．±4C．－2D．±2【答案】C【解析】.3.在等比数列中，且，则的值为（）A．16B．27C． 36D． 81【答案】B【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：设公比为q，因为，即，所以，q=3，从而=，=27，故选B。

4.在等比数列中，已知，则= （）A．8B．－8C．D． 16【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：因为，所以，，，故选A。

5.若正项等比数列的公比为，且，成等差数列，则。

【答案】【解析】主要考查等差、等比数列的概念及其通项公式。

解：因为成等差数列，所以，即，所以，解得，所以=。

6.已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，求数列的通项公式。

【答案】数列的通项公式为或。

【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：设数列的首项为，公差为，则，则，由于成等比数列，所以，化简得所以解得或所以数列的通项公式为或。

7.在等比数列中,,则公比 .【答案】【解析】因为,解之得.8.在数列{an }中，其前n项和Sn＝，若数列{an}是等比数列，则常数a的值为．【答案】【解析】当n=1时，,因为{an}是等比数列,所以.9.设椭圆C：与直线相交于P,Q两点，且（O为坐标原点）（1）求证：等于定值（2）若椭圆的离心率，求椭圆长轴长的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）证明：消去得设点，则，由，，即化简得，则即，故（Ⅱ）解：由化简得由得，即故椭圆的长轴长的取值范围是。

10.某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为()A．q B．12qC．(1＋q)12D．(1＋q)12－1【答案】D【解析】设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为＝(1＋q)12－1.本题选择D选项.11.（1）设数列满足且，求的通项公式；（2）数列的前项和，求数列的通项公式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由可得为等差数列，于是，从而可得结果；（2）当时，直接由前项和求首项，当大于等于时，由求解即可得结果.试题解析：（1）∵，∴数列是公差为1的等差数列，∴.∴.（2）当时，；当时，.∴【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.12.设是公比为正数的等比数列，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】（1）an＝2n（2）2n＋1＋n2－2.【解析】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，设出等比数列的首项与公比，借助等比数列通项公式列方程组，解方程组得出首项与公比，写出通项公式，根据首项与公差写出通项公式，利用分组求和法求出数列的和，一组利用等差数列前n项和公式求和，另一组采用等比数列前n项和公式求和，另外注意运算的准确性.试题解析：(1)设q为等比数列{an }的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an }的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)(2)Sn＝.【点睛】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，得出首项与公比（或公差），然后写出通项公式；有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，本题采用分组求和法求和，本题要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.13.等比数列中，若，，则（）A．64B．-64C．32D．-32【答案】A【解析】数列是等比数列，，，即解得那么故选A．14.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A．5B．6C．7D．12【答案】B【解析】把配方得得到顶点坐标为，即由成等比数列，则，故选B．15.已知函数的最低点为.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）根据函数的最低点为，得到对称轴与最小值，列方程组求出，，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）由由，可得，分别求出与的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：（1）依题意，得，①，②由①②解得，，.∴.则原不等式可化为，解得或.故不等式的解集为.（2）由，得，即，则，即.∵，∴的最小值是.的最大值是.∴，即.故实数的取值范围是.16.已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以, ,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求；（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1); (2);(3)【解析】(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时，当时，，适合上式，（）.(II)，则•，‚，•-‚得，..(III),当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18.已知数列{a}满足．n（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）【解析】(1)分类讨论和两种情况可得数列{an}的通项公式为；(2)结合(1)的结论错位相减可得数列{bn}的前n项和.试题解析：（1）当n＝1时，，，两式相减得，∴，当n＝1时也满足，∴．（2），∴Sn ＝1×3+2×32+3×33+…+n×3n，3Sn＝1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，两式相减得∴-2Sn＝3+32+33+34+…+3n-n×3n+1，∴．19.在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等比数列，那么位于表中的第10行第11列的数是________________.【答案】【解析】由题意知，第1列的数是首项为1，公比为2的等比数列，所以第10行的第一个数为。

(完整版)等比数列专项练习题(精较版)

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等比数列一、选择题1、若等比数列的前3项依次为 2 ，32 ，62 ，……则第四项为（ ）A 、1B 、n 2C 、92D 、822、公比为15 的等比数列一定是（ ）A 、递增数列B 、摆动数列C 、递减数列D 、都不对3、在等比数列{a n }中，若a 4●a 7 = -512，a 2 + a 9 = 254，且公比为整数，则a 12 =A 、-1024B 、-2048C 、1024D 、20484、已知等比数列的公比为2，前4项的和为1，则前8项的和等于（ ）A 、15B 、17C 、19D 、215、设A 、G 分别是正数a 、b 的等差中项和等比中项，则有（ ）A 、ab ≥ AGB 、ab < AGC 、ab ≤ AGD 、AG 与ab 的大小无法确定6、{a n }为等比数列，下列结论中不正确的是（ ）A 、{a n 2}为等比数列B 、{ 1a n }为等比数列C 、{lg a n }为等差数列D 、{a n a n +1}为等比数列7、一个等比数列前几项和S n = ab n+ c，a ≠ 0，b ≠ 0且b≠ 1，a、b、c为常数，那么a、b、c必须满足（）A、a + b = 0B、c + b = 0C、c + a = 0D、a + b + c = 08、若a、b、c成等比数列，a、x、b和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，则ax+ cy的值为（）A、1B、2C、3D、49、已知{ a n }是等比数列，a2 = 2，a5 = 14，则公比q =（）A、-12B、-2 C、2 D、1210、如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（）A、b = 3，ac = 9B、b = -3，ac = 9C、b = 3，ac = -9D、b = -3，ac = -911、已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a2 - a1 b2的值是（）A、12B、-12C、12或-12D、1412、等比数列{a n}中，a6 + a2 = 34，a6 - a2 = 30，那么a4等于（）A、8B、16C、±8D、±1613、若等比数列a n满足a n a n+1 = 16n，则公比为（）A、2B、4C、8D、±1614、等比数列{ a n }中，|a 1| = 1，a 5 = -8a 2，a 5 > a 2，则a n =（ ）A 、(-2)n -1B 、- (-2)n -1C 、(-2)nD 、- (-2)n15、已知等比数列{a n }中，a 6 - 2a 3 = 2，a 5 - 2a 2 = 1，则等比数列{a n }的公比是A 、-1 B 、2 C 、3 D 、416、正项等比数列{a n }中，a 2a 5 = 10，则lg a 3 + lg a 4 =（ ）A 、-1B 、1C 、2D 、017、在等比数列{b n }中，b 3•b 9 = 9，则b 6的值为（ ）A 、3B 、±3C 、-3D 、918、在等比数列{a n }中，a 2a 5a 7 =16π3 ，则tan(a 1a 4a 9) =（ ）A 、-√3B 、√3C 、-√33D 、√3319、若等比数列{a n } 满足a 4 + a 8 = -3，则a 6(a 2+2a 6+a 10) =（ ）A 、9B 、6C 、3D 、-320、设等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 6S 3 =3，则S 9S 6 =（ ）A 、12B 、73C 、83D 、121、在等比数列{a n } 中，a n ＞0，a 2 = 1 - a 1，a 4 = 9 - a 3，则a 4 + a 5 =（）A 、16B 、27C 、36D 、8122、在等比数列{a n} 中a2 = 3，则a1a2a3 =（）A、81B、27C、22D、923、等比数列{a n} 中a4，a8是方程x2+3x+2=0 的两根，则a5a6a7 =（）A、8B、±2 2C、-2 2D、2 224、在等比数列{a n} 中，若a3a4a5a6a7 = 243，则a72a9的值为（）A、9B、6C、3D、225、在3 和9 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（）A、912B、1014C、1114D、121226、已知等比数列1，a2，9，⋯，则该等比数列的公比为（）A、3或-3B、3 或13C、3 D、1327、在等比数列{a n} 中，前7 项和S7=16，又a12 + a22 +⋯+ a72 = 128，则a1 - a2+ a3 -a4 + a5 - a6 + a7 =（）A、8B、132C、6 D、7228、等比数列{a n} 的前n项和为S n，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4 =（）A、7B、8C、16D、15二、填空题29、在等比数列{a n }中，若S 4 = 240，a 2 + a 4 = 180，则a 7 = ______，q =______。

湖南省长沙二十一中高二数学等比数列练习试题百度文库

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一、等比数列选择题1．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．19B ．17C ．13D ．72．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．83．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．164．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ） A ．3B ．505C ．1010D ．20205．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．76．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ． 7．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．168．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．89．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．2511．题目文件丢失！12．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9813．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．314．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定15．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 16．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1117．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．312或112B ．312 C ．15D ．618．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列19．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏20．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1-B ．4C ．12-D ．12±二、多选题21．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40022．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-23．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >B ．1q >C ．11nn a a +< D ．当10a >时，1q >24．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2825．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列26．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++27．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T28．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=29．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=30．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 31．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1B ．1＜b 1C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n32．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1033．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列34．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．B 【分析】根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2174a a a =可求得7a 的值. 【详解】在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，由等比中项的性质可得24354a a a a ==，解得41a =， 17a =，21741a a a ==，因此，717a =. 故选：B. 2．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 3．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q ，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C . 4．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C 5．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-， 当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A 6．C【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以q =所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选：C. 7．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 8．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ． 9．D 【分析】利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩，所以14a q +=.故选：D 10．B 【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案.由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭， 当且仅当6852a a ==时取等号． 故选：B .11．无12．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 13．D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可 【详解】设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==， 故选：D 14．A 【分析】根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值. 【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =， 故选：A 15．D由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =， 所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 16．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 17．B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+∴，2332a a =+∴，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 18．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 19．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 20．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C.二、多选题21．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 22．BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-.∴363242q ==--或243236q -==-.故选：BD 23．ABC 【分析】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，因为11n n a a q -=，可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->，当10a >时，1q >，此时101nn a a +<<， 当10a <时，101,1nn a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 24．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 25．ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确；2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确．故选：ABD ． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．26．AD【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 27．AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.28．BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以 231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22nn n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 29．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 30．ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 31．ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解. 【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ， ∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩；∴12123212244a a a a a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n •b n +1＝2n ∴122324b b b b =⎧⎨=⎩；∴2132b b b b ⎧⎨⎩＞＞；∴1＜b1B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nnnb b b b ⋅--=+=+-))2121n n ≥-=-；∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC 【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 32．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 33．BC【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0． 根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4． 故必有公比q ＞0， ∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 34．AC 【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，()461r ∴=+，解得13r =-，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a a S a +==为定值，但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.。

高二数学等比数列练习题

高二数学等比数列练习题

高二数学等比数列练习题1. 已知一个等比数列的首项是2，公比是3，请计算该数列的前五项。

解答：首项 a = 2公比 r = 3第一项：a1 = a = 2第二项：a2 = a * r = 2 * 3 = 6第三项：a3 = a2 * r = 6 * 3 = 18第四项：a4 = a3 * r = 18 * 3 = 54第五项：a5 = a4 * r = 54 * 3 = 162所以，该等比数列的前五项分别是2、6、18、54和162。

2. 设等比数列的首项是5，公比是0.5，请计算该数列的前十项之和。

解答：首项 a = 5公比 r = 0.5项数 n = 10要求前十项之和，可以使用等比数列前n项和的公式：Sn = a * (1 -r^n) / (1 - r)代入已知数值，有：Sn = 5 * (1 - 0.5^10) / (1 - 0.5)= 5 * (1 - 0.0009765625) / 0.5= 5 * 0.9990234375 / 0.5≈ 9.990234375所以，该等比数列的前十项之和约为9.99。

3. 已知等比数列的第4项是32，公比是2，请计算该数列的前八项。

解答：第四项 a4 = 32公比 r = 2第一项可以通过递推关系式求得：a1 = a4 / (r^3) = 32 / (2^3) = 32 / 8 = 4由此，可列出该数列的前八项：a1 = 4a2 = a1 * r = 4 * 2 = 8a3 = a2 * r = 8 * 2 = 16a4 = 32a5 = a4 * r = 32 * 2 = 64a6 = a5 * r = 64 * 2 = 128a7 = a6 * r = 128 * 2 = 256a8 = a7 * r = 256 * 2 = 512所以，该等比数列的前八项分别是4、8、16、32、64、128、256和512。

4. 若一个等比数列的前三项和为14，公比为2，请计算该数列的前五项之和。

等比数列精选高考题

等比数列精选高考题

高二数学《等比数列》专题练习题 注意事项：1.考察内容：等比数列 2.题目难度：中等题型3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。

4.参考答案：有详细答案5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ）A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－233.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ）A ．16B ．24C ．48D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（ ） A. －4 B.4 C . ±4 D. 55.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69S S =A ． 2 B.73C. 83D.36.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.21或21- D.2或－27.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．15 B ．17 C ．19 D ．218.已知等比数列{}na 的首项为8，nS 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 （ ） A 、 S 1 B 、S 2 C 、 S 3 D 、 S 49.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不是等比数列也不是等差数列D.既是等差数列又是等比数列10.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）．A a(1+p)7B a(1+p)8C )]1()1[(7p p pa +-+ D )1()1[(8p p pa +-+]二、填空题11.若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = ． 12.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．13.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = _____14.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______. 三、解答题15.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=． （1）试用n a 表示1n a +； （2）求证：2{}3na -是等比数列； （3）当176a=时，求数列{}n a 的通项公式．16.已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； （Ⅲ）求和2462n nT a a a a =+++L17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； （3）试比较n a 与n S 的大小.18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列. （1）求{}n a 的公比q ； （2）若331=-a a ，求n S .答案一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D二、填空题11.3212.25；解析：∵1, a 1, a 2, 4成等差数列，∴12145a a +=+=；∵1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，∴22144b =⨯=，又2210b q =⨯>，∴22b =；∴=+221b a a 25；13.15214.12-n三、解答题15.（1）解析：11,n nna a a αβαβ++==，而6263ααββ-+=，得1623n n na a a +-=， 即1623n n a a +-=，得11123n n aa +=+； （2）证明：由（1）11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，所以2{}3na -是等比数列；（3）解析：当176a =时，2{}3na -是以721632-=为首项，以12为公比的等比数列，1211()322n n a --=⨯，得21()()32n na n N *=+∈．16.解析：（Ⅰ）2335,,22aa ==-474a = （Ⅱ）当2(21)12112,22(21)22n n n n n ba a a n -+-≥=-=-=+--时 222(1)1111[2(22)](21)2[2]222n n n a n n a b ---=--+--=-= ∴12122b a =-=-又 ∴1111()()222n n nb -=-⋅=-（Ⅲ）∵22n n a b =+ ∴242n n T a a a =++L=12(2)n b b b n ++++L 11[1()]1222()2 1.1212n n n n -=-+=+-- 17.解析：（1）由已知q a a b b nn n n log log 121==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列，且公差为.log 2q d = （先求q 也可） 4分 （2）因0log ,11211>=⇒>a b a ，又263531=⇒=++b b b b ，所以.05=b由.291,404,22211513⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+==+=n n S d b d b b d b b n 由*511212,221,164log 1log N n a q a a b q d n n ∈=⇒==⇒⎩⎨⎧==-==-. 8分（3）因,0>na 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >；又可验证2,1=n 是时，n nS a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 12分18.解析：（1）由题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ ，又0,01≠≠q a ，故.21-=q（2）由已知得.43)21(1211=⇒=--a a a从而].)21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----=高二数学必修5《等比数列》练习卷知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．4、通项公式的变形：1n m n m a a q -=；2()11n n a a q --=；311n n a q a -=；4n m n ma q a -=．5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅． 同步练习：1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）A ．4B ．32C ．169D ．22、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（ ） AB．(112±C．(112+D．(1125、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则123422a a a a ++的值为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．16、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ）A ．3b =，9ac =B ．3b =-，9ac =C ．3b =，9ac =-D ．3b =-，9ac =-7、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ） A ．81B．CD ．2438、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（ ） A ．98b a B ．9b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．109b aD ．10b a ⎛⎫⎪⎝⎭9、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a 的值为（ ） A ．25B．C．-D．±10，则它的第四项是（ ） A ．1 BCD．11、随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，2000年价格为8100元的计算机到2015年时的价格应为（ ） A ．900元B ．2200元C ．2400元D ．3600元12、若数列{}n a 为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（ ）1{}2n a ；21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；3{}n a ；4{}2log n a ；5{}1n n a a +⋅；6{}1n n a a ++A ．3B ．4C ．5D ．613、在等比数列{}n a 中，若39a =-，71a =-，则5a 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．3或3-D ．不存在14、等比数列{}n a 中，236a a +=，238a a =，则q =（ ） A ．2B ．12C ．2或12D ．12-或2-15、在等比数列{}n a 中，首项10a <，若{}n a 是递增数列，则公比q 满足（ ） A ．1q > B ．1q < C ．01q << D ．0q <16、若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2 B ．1或2- C ．1-或2- D ．1-或217、已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a 等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．1418、生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10％～20％的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在123456H →H →H →H →H →H 这条生物链中，若使6H 获得10kJ 的能量，则需要1H 最多提供的能量是（ ）A ．410kJB ．510kJC ．610kJD ．710kJ19、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8-D ．10-20、数列{}n a 满足()1123n n a a n -=-≥，143a =，则4a =_________．21、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于________．22、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．23、首项为3的等比数列的第n 项是48，第23n -项是192，则n =________． 24、在数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =______________．25、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =_________________．26、已知数列{}n a 为等比数列． 1若54a =，76a =，求12a ；2若4224a a -=，236a a +=，125n a =，求n ．27、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式．28、若数列{}n a 满足关系12a =，132n n a a +=+，求数列的通项公式．29、有四个实数，前3个数成等比数列，它们的积为216，后3个数成等差数列，它们的和为12，求这四个数．高一数学同步测试（12）—等比数列一、选择题：1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 （ ） ①{a n 2}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{na 1}也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列A ．4B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 （ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1 B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ）A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 （ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ ） A ．32 B ．313 C ．12 D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 （ ） A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅L 等于 （ ） A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 （ ） A ．全体实数 B ．－1 C ．1 D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 （ ）A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6] 二、填空题：13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =________．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ． 三、解答题：17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N*) (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．18．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N*，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1(x≠0)．21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m 2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万 m 2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m 2)参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n －2．14.251+．15.512 ．16.123-n ．三、解答题：17.(1)证明： 由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1) 又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19.解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③③代入①得qa -11＝64④∴S 3n ＝qa -11(1－q 3n )＝64(1－341)＝63解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝6320.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋根据已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--q q a q q a n n 160)1(481)1(211① ②1)1(21---x x x n ， ∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ． 21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ，∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6． 若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6．综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11 则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m 2)1.3.1等比数列一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－92．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．813．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A. B. C ．2 D ．34．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A. B. C. D.5．若正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )A. B. C. D．不确定二、填空题6．在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．1.答案 B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c 必同号．2.答案 B解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3.答案 A解析∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝3.∵a1a9＝a2a8＝a，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log33＝.4.答案 A解析设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q为＝.5.答案 A解析a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q －1)＝0 (q≠1)，∴q2－q－1＝0，∴q＝ (q＝<0舍去)，∴＝＝.6.答案 4解析q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.7.答案 5解析设公比为q，则⇒⇒q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.9.解由题意可列关系式：②÷①得：q (1－q )＝＝，∴q ＝，∴a 1＝＝＝96.又∵a 6＝a 1q 5＝96×＝3，∴a 5，a 7的等比中项为3.10．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n ＝a n ＋b n ， 证明数列{C n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，C n ＝a n ＋b n . 要证{C n }不是等比数列，只需证C ≠C 1·C 3.8.答案解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝. 较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.高二数学必修5《等比数列的前n 项和》练习卷知识点：1、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．2、等比数列的前n 项和的性质：1若项数为()*2n n ∈N ，则Sq S =偶奇．2n n m n m S S q S +=+⋅．3n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．同步练习：1、数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（ ）A ．11na a--B ．111n a a+--C ．211n a a+-- D ．以上均不正确2、若数列的前n 项和为()10n n S a a =-≠，则这个数列是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．等比或等差数列D ．非等差数列3、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（ ）A ．1SB ．1n q SC ．1n Sq -D ．nq S4、已知数列{}n a 的前n 项的和是n S ，若12n n n S S a +-=，则{}n a 是（ ）A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．摆动的等比数列D ．常数列5、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ） A ．41.1a B ．51.1a C ．()5101.11a - D ．()2111.11a -6、等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．54B ．64C ．2663D ．26037、在等比数列中，301013S S =，1030140S S +=，则20S =（ ） A ．90B ．70C ．40D ．308、等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．192 9、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180B ．108C ．75D ．6310、在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．711、数列1，12+，2122++，…，（2122+++…12n -+），…的前n 项和等于（ ） A ．12n n +- B ．122n n +--C ．2n n -D ．2n12、首项为a 的数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为（ ） A ．1n a -B ．naC ．n aD ．()1n a -13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项的倒数之和为n T ，则n nS T 的值为（ ）A ．1n a aB ．1na a C ．1n n n a aD ．1nn a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14、某林厂年初有森林木材存量S 3m ，木材以每年25％的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 3m ，为实现经过两年砍伐后的木材的存量增加50％，则x 的值是（ ） A ．32S B ．34S C ．36S D ．38S 15、已知数列{}n a 的前n 项和为()20,0n n S b a a b =⨯+≠≠．若数列{}n a 是等比数列，则a 、b 应满足的条件为（）A ．0a b -=B ．0a b -≠C ．0a b +=D ．0a b +≠16、在正项等差比数列{}n a 中，若27S =，691S =，则4S 的值为（ ） A ．28 B ．32 C ．35 D ．4917、等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132log log a a ++…310log a +=（ ） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+18、等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ） A ．C A+B = B ．2C B =AC ．2C A +B -=BD ．()22C A +B =A B+19、一个等比数列{}n a 共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为（ ）A ．65B ．56C ．20D ．11020、已知等比数列{}n a 的公比为13q =，且135a a a +++…9960a +=，则1234a a a a ++++…100a +=（ ）A ．100B ．80C ．60D ．40 21、若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则a =（ ）A ．3B ．1C ．0D ．1-22、数列12，14，18，…的前10项和等于____________________．23、在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则6S =________．24、在等比数列{}n a 中，设11a =-，前n项和为nS ，若1053132S S =，则n S =_____________．25、若数列{}n a 满足：11a =，12n na a +=，1n =，2，3…，则12a a ++…n a +=________．26、在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =___________．27、等比数列{}n a 中，若166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，则q =________． 28、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．29、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值． 30、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1050S =，求15S ．31、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，求{}n a 的通项公式． 高二数学必修5《等比数列》练习卷 知识点：1、如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与 的等比中项．若 ，则称 为 与 的等比中项．3、若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 ．4、通项公式的变形：① ；② ；③ ；④ ．5、若 是等比数列，且 （ 、 、 、 ），则 ；若 是等比数列，且 （ 、 、 ），则 ． 同步练习：1、在等比数列 中，如果 ， ，那么 为（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若公比为 的等比数列的首项为 ，末项为 ，则这个数列的项数是（ ） A ． B ． C ． D ．3、若 、 、 成等比数列，则函数 的图象与 轴交点的个数为（ ） A ． B ． C ． D ．不确定4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（）A．B．C．D．5、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（）A．B．C．D．6、如果，，，，成等比数列，那么（）A．， B．，C．，D．，7、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．8、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．9、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（）A．B．C．D．10、设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是（）A．B．C．D．11、随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，年价格为元的计算机到年时的价格应为（）A．元B．元C．元D．元12、若数列为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（）⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹A．B．C．D．13、在等比数列中，若，，则的值为（）A．B．C．或D．不存在14、等比数列中，，，则（）A．B．C．或D．或15、在等比数列中，首项，若是递增数列，则公比满足（）A．B．C．D．16、若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（）A．或B．或C．或D．或17、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）A．B．C．D．18、生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有％～％的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在这条生物链中，若使获得的能量，则需要最多提供的能量是（）A．B．C．D．19、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（）A．B．C．D．20、数列满足，，则_________．21、若是等比数列，且，若，那么的值等于________．22、若为等比数列，且，则公比________．23、首项为的等比数列的第项是，第项是，则________．24、在数列中，若，，则该数列的通项______________．25、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．26、已知数列为等比数列．⑴若，，求；⑵若，，，求．27、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．28、若数列满足关系，，求数列的通项公式．29、有四个实数，前个数成等比数列，它们的积为，后个数成等差数列，它们的和为，求这四个数．高二数学必修5《等差数列》练习卷知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．2、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．3、若等差数列的首项是，公差是，则．4、通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．5、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．同步练习：1、等差数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2、下列四个命题：①数列，，，是公差为的等差数列；②数列，，，是公差为的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成的形式（、为常数）；④数列是等差数列．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③④D．③④3、中，三内角、、成等差数列，则（）A．B．C． D．4、已知，，则、的等差中项是（）A．B．C．D．5、已知等差数列，，，…，的公差为，则，，，…，（为常数，且）是（）A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列C．非等差数列D．以上都不对6、在数列中，，，则的值为（）A．B．C．D．7、是等差数列，，，…的（）A．第项B．第项C．第项D．第项8、在等差数列中，已知，，则等于（）A．B．C．D．9、在等差数列，，，…中第一个负数项是（）A．第项B．第项C．第项D．第项10、在等差数列中，已知，，则等于（）A．B．C．D．11、在和（）两个数之间插入个数，使它们与、组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．12、设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A．B．C．D．13、与的等差中项是（）A．B．C．D．14、若，两个等差数列，，，与，，，，的公差分别为，，则（）A．B．C．D．15、一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（）A．B．C．D．16、在等差数列中，若，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．17、等差数列 中， ， ，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．18、设数列 是递增等差数列，前三项的和为 ，前三项的积为 ，则它的首项是（ ）A ．B ．C ．D ．19、高山上的温度从山脚起，每升高 米降低 ℃，已知山顶的温度是 ℃，山脚的温度是 ℃，则山脚到山顶的高度为（ ）A ． 米B ． 米C ． 米D ． 米20、等差数列 的公差是 ， … ，则 … _________．21、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列 是等和数列，且 ，公和为 ，那么 的值为________，这个数列的通项公式 ____________________．22、在 和 之间插入 个数，使它们与 、 组成等差数列，则该数列的公差为________．23、已知数列 的公差 ， ，则 ________．24、等差数列 中， ， ，且从第 项开始每项都大于 ，则此等差数列公差 的取值范围是___________．25、等差数列 ， ， ，…的第 项的值为________．26、一个等差数列 ， ，则 ___________．27、在数列 中，若 ， ，则 __________________．28、 ， ， ， ， 是等差数列中的连续五项，则 __________， _________， ___________．29、在等差数列 中，已知 ， ，求 ， ， ， ．30、在等差数列 中，若 … ， … ，求 … ．31、已知 个数成等差数列，它们的和为 ，平方和为 ，求这 个数．高二数学必修5《不等关系与不等式》练习卷知识点：1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： 1a b b a >⇔<；2,a b b c a c >>⇒>；3a b a c b c >⇒+>+； 4,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；5,a b c d a c b d >>⇒+>+；60,0a b c d ac bd >>>>⇒>；7()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；8)0,1a b n n >>>∈N >．同步练习：1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+2、下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b <D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是（ ）1若x y z >>，则xy yz >；2a b >，c d >，0abcd ≠，则a b c d >； 3若110a b <<，则2ab b <；4若a b >，则11b b a a ->-．A ．1B ．2C ．3D ．44、如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b < B ．< C ．22a b < D ．a b >5、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ） A ．()2lg 1lg 2x x +≥ B ．212x x +> C ．2111x ≤+ D ．12x x +≥ 6、若a 、b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1b a <C ．()lg 0a b ->D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如果a R ∈，且20a a +<，那么a ，2a ，a -，2a -的大小关系是（ ）A ．22a a a a >>->-B ．22a a a a ->>->C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>- 8、若231x x M =-+，22x x N =+，则（ ） A ．M >N B ．M <N C ．M ≤ND ．M ≥N9、若2x ≠或1y ≠-，2242x y x y M =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．M ≥N10、不等式1222a a +>，2()2221a b a b +≥--，322a b ab +>恒成立的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 11、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-12、给出下列命题：122a b ac bc >⇒>；222a b a b >⇒>；333a b a b >⇒>；422a b a b >⇒>．其中正确的命题是（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．1413、已知实数a 和b 均为非负数，下面表达正确的是（ ）A ．0a >且0b >B ．0a >或0b >C ．0a ≥或0b ≥D ．0a ≥且0b ≥14、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，c d a b-<-，则下列不等式中成立的是（ ）A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d < 15、若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大小关系是（ ） A ．()()f x g x <B ．()()f x g x =C ．()()f x g x >D ．随x 值的变化而变化16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次，为了卸货的方便，两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时间分别x ，y 小时，且两船互不影响，则x ，y 应满足的关系是（ ）A ．20y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ B ．200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ C ．200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ D ．2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17、某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：1200元以内（包括200元）不予优惠；2超过200元不超过500元，按标价9折优惠；3超过500元其中500元按2优惠，超过部分按7折优惠，某人两次购物分别付款168元和423元，若他一次购物，应付款_______________元．18、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于70分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是____________________________．19、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么c a ________c b． 20、某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p 应不少于2.3％，写成不等式组就是____________________．21、某中学对高一美术生划定录取控制分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 不低于380分，体育成绩z 不低于45分，写成不等式组就是____________________．22、若0a b <<，且12a b +=，则12，a ，2ab ，22a b +中最大的是_______________．23、a 克糖水中有b 克糖（0a b >>），若再添进m 克糖（0m >），则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式______________________．24、已知a 、b R +∈，且a b ≠，比较55a b +与3223a b a b +的大小．25、比较下列各组中两个数或代数式的大小： 12 ()()4422a b a b ++与()233a b +． 26、已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d >--．新课标数学必修5第2章数列单元试题（2）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知两数的等差中项为10，等比中项为8，则以两数为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+10x +8=0B ．x 2－10x +64=0C ．x 2+20x +64=0D ．x 2－20x +64=0考查等差中项，等比中项概念及方程思想．【解析】设两数为a 、b ，则有a +b =20，ab =64．由韦达定理，∴a 、b 为x 2－20x +64=0的两根．【答案】D2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A ．511个B ．512个C ．1023个D ．1024个考查等比数列的简单运用．【解析】a 1=1，公比q =2．经过3小时分裂9次，∴末项为a 10，则a 10=a 1·29=512．【答案】B3．等比数列{a n }，a n >0，q ≠1，且a 2、21a 3、a 1成等差数列，则5443a a a a ++等于（ ）A ．215+B ．215-C ．251-D ．215± 考查等比数列性质及方程思想．【解析】依题意：a 3=a 1+a 2，则有a 1q 2=a 1+a 1q ，∵a 1>0，∴q 2=1+q ⇒q =251±．又∵a n >0．∴q >0，∴q =215+，5443a a a a ++=q 1=215-． 【答案】B4．已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第（ ）项（ ）A ．23B ．24C ．19D ．25考查数列方法的灵活运用．【解析】由题意，根号里面是首项为2、公差为4的等差数列，得a n =2+（n －1）4=4n －2，而72=98，令98=4n －2⇒n =25．【答案】D5．等差数列{a n }中，S 9=－36，S 13=－104，等比数列{b n }中，b 5=a 5，b 7=a 7，则b 6等于（ ）A ．42B ．－42C ．±42D ．无法确定考查等比、等差的综合运用．【解析】S 9=－36⇒a 5=－4，S 13=－104⇒a 7=－8⇒b 6=±75a a =±42．【答案】C6．数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n （n ∈N *），则这个数列是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项是等比D ．除去最后一项为等差考查数列求和及通项．【解析】S n +1－S n =（3+2a n +1）－（3+2a n ）⇒a n +1=2a n （n ≥1）．【答案】A7．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于（ ）A ．210B ．220C ．26D ．215考查等比数列性质的运用及转化能力．【解析】由a 1·a 30=a 2a 29=…=a 15a 16已知转化为（a 1a 30）15=230⇒a 1a 30=22又a 3·a 6·…·a 30=（a 3a 30）5=（a 1q 2·a 30）5=（a 1a 30）5·210=220．【答案】B8．若S n 是{a n }前n 项和且S n =n 2，则{a n }是（ ）A ．等比但不是等差B ．等差但不是等比C ．等差也是等比D ．既非等差也非等比考查数列概念．【解析】∵S n =n 2，S n －1=（n －1）2，S n +1=（n +1）2∴a n =S n －S n －1=2n －1，a n +1=S n +1－S n =2n +1∴a n +1－a n =2，但12121-+=+n n a a n n 不是常数． 【答案】B9．a 、b 、c 成等比数列，则f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定考查等比数列与二次函数知识的综合运用．【解析】由已知b 2=ac ，∴Δ=b 2－4ac =－3ac ．又∵a 、b 、c 成等比，∴a 、c 同号，∴Δ<0．【答案】A10．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为（a －d ）元/m 2，二层价格a 元/m 2，三层价格为（a +d ）元/m 2，第i 层（i ≥4）价格为［a +d （32）i－3］元/m 2．其中a >0，d >0，则该商品房的各层房价的平均值为（ ）A ．a 元/m 2B ．a +101［（1－（32）17）d 元/m 2 C ．a +［1－（32）17］d 元/m 2D ．a +101［1－（32）18］d 元/m 2 考查等比数列的应用．【解析】a 4+a 5+…+a 20=17a +d321)32(13217-⎥⎦⎤⎢⎣⎡- =17a +2d ·［1－（32）17］ ∴a 1+a 2+…+a 20=20a +2d ［1－（32）17］∴平均楼价为a +101d ［1－（32）17］． 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时．考查等比数列求和的运用，化归迁移能力．【解析】由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息总人数为1+2+22+…+2n =2n +1－1≥55．即2n +1≥56⇒n +1≥6⇒n ≥5．【答案】512．已知a n =nn n 10)1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项为_______． 考查数列及不等式的运用． 【解析】设{a n }中第n 项最大，则有⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥+⋅≥+++--111110)1(910)1(910910)1(9n n nn n n n n n n nn ，∴8≤n ≤9 即a 8、a 9最大． 【答案】a 8和a 913．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______．考查关于多边形内角和和等差数列的运用． 【解析】由S 5=5×46°+245⨯d =540°得d =31°∴a 5=46°+4×31°=170°． 【答案】170°14．在数列{a n }中，已知a 1=1，a n =a n －1+a n －2+…+a 2+a 1．（n ∈N *，n ≥2），这个数列的通项公式是_______． 考查数列的解题技巧．【解析】由a n =a n －1+a n －2+…+a 2+a 1=S n －1（n ≥2） 又a n =S n －S n －1=a n －1－a n∴nn a a 1+=2（n ≥2），由a 2=a 1=1∴a n =2n －2（n ≥2），∴a n =⎩⎨⎧≥=-)2( 2)1( 12n n n【答案】a n =⎩⎨⎧≥=-)2( 2)1( 12n n n三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能．试求出前7项和．考查等差、等比数列概念、求和公式和运用知识的能力．【解】（1）若3，9，…，2187，能成等差数列，则a 1=3，a 2=9，即d =6．则a n =3+6（n －1），令3+6（n －1）=2187，解得n =365．可知该数列可构成等差数列，S 7=7×3+267⨯×6=147．（2）若3，9，…，2187能成等比数列，则a 1=3，q =3，则a n =3·3n －1=3n ，令3n=2187，得n =7∈N ，可知该数列可构成等比数列，S 7=31)31(37--=3279．16．（本小题满分10分）已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差．考查等差、等比数列的基本概念、方程思想及分类讨论的思想． 【解】设成等比数列的三个数为qa ，a ，aq ，由qa ·a ·aq =103，解得a =10，即等比数列q10，10，10q ．（1）当q >1时，依题意，q5+（10q －7）=20．解得q 1=51（舍去），q 2=25．此时2，10，18成等差数列，公差d =8．（2）当0<q <1，由题设知（q10－7）+5q =20，求得成等差数列的三个数为18、10、2，公差为－8． 综上所述，d =±8．17．（本小题满分10分）已知y =f （x ）为一次函数，且f （2）、f （5）、f （4）成等比数列，f （8）=15，求S n =f （1）+f （2）+…+f （n ）的表达式． 考查用函数的观点认识数列的能力及等比数列的求和．【解】设y =f （x ）=kx +b ，则f （2）=2k +b ，f （5）=5k +b ，f （4）=4k +b ，依题意：［f （5）］2=f （2）·f （4）．即（5k +b ）2=（2k +b ）（4k +b ）化简得k （17k +4b ）=0． ∵k ≠0，∴b =－417k ①又∵f （8）=8k +b =15 ② 将①代入②得k =4，b =－17．∴S n =f （1）+f （2）+…+f （n ）=（4×1－17）+（4×2－17）+…+（4n －17）=4（1+2+…+n ）－17n =2n 2－15n ．18．（本小题满分12分）设a n 是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，求数列{a n }的通项公式．考查已知前n 项和S n 求通项a n 方法及运用等差、等比数列知识解决问题的能力．【解】∵a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，∴21（a n +2）=nS 2，即S n =81（a n +2）2当n =1时，a 1=81（a 1+2）2 a 1=2．当n ≥2时，a n =S n －S n －1=81［（a n +2）2－（a n －1+2）2］即（a n +a n －1）（a n －a n －1－4）=0又∵a n +a n －1>0，∴a n =a n －1+4，即d =4． 故a n =2+（n －1）×4=4n －2．19．（本小题满分12分）是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件①a +b +c =6，②a 、b 、c 成等差数列，③将a 、b 、c 适当排列后，能构成一个等比数列．考查等差、等比数列性质及分类讨论思想． 【解】假设存在这样的三个数 ∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c 又a +b +c =6，∴b =2．设a =2－d ，b =2，c =2+d ．①若2为等比中项，则22=（2+d ）（2－d ） ∴d =0，则a =b =c ，不符合题意．②若2+d 为等比中项，则（2+d ）2=2（2－d ），解得d =0（舍去）或d =－6．∴a =8，b =2，c =－4．③若2－d 为等比中项，则（2－d ）2=2（2+d ），解得d =0（舍去）或d =6 ∴a =－4，b =2，c =8综上所述，存在这样的三个不相等数，同时满足3个条件，它们是8，2，－4或－4，2，8．新课标数学必修5第2章数列单元试题（3）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为（ ）。

高二数学等比数列练习试题

高二数学等比数列练习试题

一、等比数列选择题1．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ）A ．25B ．254C ．5D ．252．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:33．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．14．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项5．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-6．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *∈，m n m n a a a +=⋅，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞8．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．169．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7 B ．8C ．9D ．1011．题目文件丢失！12．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭13．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202014．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C．2-D15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．1516．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．617．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102318．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏19．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-20．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．37二、多选题21．题目文件丢失！22．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40023．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为124．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <25．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >B ．1q >C ．11nn a a +< D ．当10a >时，1q >27．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．113()2n n a -=⋅-B ．36nn S a =+C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a3a =，则19p s +的最小值为83D ．若1n n t S m S ≤-≤恒成立，则m t -的最小值为11628．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8329．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T30．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列C ．数列{}2lg na是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列31．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-32．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=33．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<34．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1135．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．B 【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭， 当且仅当6852a a ==时取等号． 故选：B . 2．A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 3．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 4．B 【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a q a -===，所以12q =， 则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 5．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 6．C 【分析】令1m =，可得112+=⋅=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】因为对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅，所以令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ， 因为10a ≠，所以0n a ≠，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2(12)6212n -=-，解得n =5，故选：C 7．C 【分析】由等比数列性质求得3a ，把35124a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以5332a =，解得32a =，则235114a a a a ==，35124a a a ++ 1111a a =++，易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 8．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 9．D 【分析】利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩，所以14a q +=. 故选：D 10．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C11．无12．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n na =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈， 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B13．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.14．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 15．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 16．C【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得等比数列通项5111122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n = 故选：C 17．A 【分析】根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12,2nn a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选：A. 18．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 19．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 20．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算.二、多选题 21．无22．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 23．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 24．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 25．AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ；利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-， 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ，当1q ≠-时， 则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确； 故选：AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题. 26．ABC 【分析】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，因为11n n a a q -=，可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->，当10a >时，1q >，此时101nn a a +<<， 当10a <时，101,1nn a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 27．ABD 【分析】根据等差中项列式求出12q =-，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为114，C 不正确；利用1nn y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由13a =，21344a a a -=+得243343q q -⨯=+⨯，解得12q =-，所以113()2n n a -=⋅-，13(1())1221()121()2n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝⎭；所以A ，B 正确；3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，所以114p s qqq --=，所以6p s +=，则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，122,2121()2122,2nn n nn S n ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3[,2)2n S ∈，又1n n y S S =-关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138(,]23nn S S -∈，当n 为偶数时，153[,)62n n S S -∈，所以83m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 28．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a =故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 29．AD 【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 30．ABD 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 31．BC【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q或12q =．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na ，()1122112n n n S ⨯-==--，所以()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.32．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 33．ABD 【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 34．AB 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案． 【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n b -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n ()21212n n -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB 【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 35．ABD 【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

高二数学必修五《等比数列》专项练习题

高二数学必修五《等比数列》专项练习题

高二数学必修五《等比数列》专项练习题一、选择题：1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（ ）①{a n 2}也是等比数列②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{n a 1}也是等比数列④{ln a n }也是等比数列 A ．4B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为（ ）A ．216B ．－216C ．217D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ） A ．1B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或21 4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）A ．4B ．23C ．916D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为（ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是（ ）A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ． (1＋1.1 5)a 7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）A ．89a bB ．(ab)9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为（ ）A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为（ ）A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）A ．102B ．202C ．162D ．152 11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为（ ）A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 （ ）A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6] 二、填空题：13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．三、解答题：17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *)(1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 求{a n }的通项公式．18．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．19．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1(x≠0)．21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万 m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n －2． 14.251+．15.512 ．16.123-n ．三、解答题：17.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)qn －1即a n =(a 1＋1)qn －1－1=2·2n －1－1=2n－118.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--n n a②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③③代入①得qa-11＝64④∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－341)＝63解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝63 20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋①②1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1．若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ，∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6．综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)， 又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m 2)。

湖南省长沙二十一中高二数学等比数列练习试题百度文库

湖南省长沙二十一中高二数学等比数列练习试题百度文库

一、等比数列选择题1．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．22．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．63．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．503B ．507C ．1007D ．20074．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6 B ．16 C ．32 D ．64 5．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ）A ．1B ．2±C ．2D ．2-6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则n a 的表达式为（ ）A ．12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．123n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或610．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8B ．7C ．6D ．412．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D13．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9814．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6415．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥B ．若13a a =，则12a a =C ．2221322a a a +≥D ．若31a a >，则42a a >16．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（ ） A ．2B ．4C ．74 D ．15817．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）A ．2016B ．1528C ．1504D ．99218．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8019．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-20．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35124a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()3,+∞C ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞二、多选题21．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比22．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） AB．12- C．12+ D．12-+ 23．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <24．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+26．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 27．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 28．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ） A ．8 B ．12 C ．－8D ．－1229．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8330．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T31．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路32．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．22212413nn a a a -+++=D ．m n +为定值33．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 34．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a =，且53a a =，所以21q =，解得1q =±， 所以91012a a q ==±.故选：C. 2．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 3．D 【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D 4．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 5．B 【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B6．D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0nn n S T λ-->恒成立，转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=， 所以22114n n a a -=.又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列， 所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由2(1)0n n n S T λ-->，得214141(1)10234n nn λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以221131(1)1022nn nλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以211131(1)110222n n nn λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 又*n N ∈，所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以1131(1)1022n n nλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，当n 为偶数时，()()321210nnλ--+>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++， 令6321n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，所以22693215λb <=-=+； 当n 为奇数时，()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++，所以16332121λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.综上，实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 7．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得23q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-， 当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列.当1q ≠时，()1111111n nn a q a aq S qq q-==-⋅+---， 所以11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---， 要使数列{}13n S a -为等比数列，则需11301a a q -=-，解得23q =. 213a a =，2123a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故21111222333n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-⋅+---是等比数列，则11301aa q-=-，即可求得q 的值，通项即可求出. 8．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 9．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 10．C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+，即求.【详解】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 11．A 【分析】利用已知条件化简，转化求解即可． 【详解】已知{}n a 为等比数列，1322a a a ∴=，且22a =，满足13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ． 【点睛】 思路点睛：（1）先利用等比数列的性质，得1322a a a ∴=，（2）通分化简312311124S a a a ++==. 12．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 13．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 14．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S .【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 15．C 【分析】取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】解：设等比数列的公比为q ，对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；对于B 选项，若13a a =，则211a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误；对于C 选项，由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥⋅=，故正确；对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()14221a a a q q -=-，其正负由q 的符号确定，故D 不确定. 故选：C. 16．C 【分析】利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以31312311(12)7712244a S a a a a --===⋅， 故选：C 17．C 【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】因为119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，所以，41049104561022222212a a a -+++=++==--，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=故选：C 【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 18．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 19．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 20．C 【分析】由等比数列性质求得3a ，把35124a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以5332a =，解得32a =，则235114a a a a ==，35124a a a ++ 1111a a =++，易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数．二、多选题21．BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，211n n n na a a a +++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32nn a =-+，2113n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 22．AB 【分析】因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2111qq q q -=-+，因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >，所以解得q =， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即321q q =+，整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >，所以解得q =，综上12q +=或12q -+=， 故选：AB 23．BD 【分析】根据22n nS a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n n S n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证.当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n n a =，24nn a =，数列{}2na的前n 项和为()141444143n n n S +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 24．BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案．由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；由663312912S S -==-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 25．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m np p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确； 38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 26．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .27．BCD 【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 28．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 29．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 30．ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 31．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确； 对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 32．BD 【分析】由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数列前n 项和公式，求出 122212443n na a a +-+++=，故选项C 错误，由等比数列的通项公式得到62642m n +==，所以选项D 正确. 【详解】由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=， 所以12nn a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，故选项A 错误，选项B 正确； 数列{}2na 是以首项214a=，公比14q =的等比数列，所以()()21112221211414441143n n n n a q a a a q +-⨯--+++===--，故选项C 错误；6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.故选：BD 【点睛】本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 33．ABD 【分析】 由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.因为1231n na +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确， 故选：ABD【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题.34．ABD【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q （负值舍去），选项A 正确； 1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 35．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确；D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x =-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n nb a a =-<， 当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n nb a a =-也是递减的， 即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。

【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。

5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。

高二数学等比数列试题

高二数学等比数列试题

高二数学等比数列试题1.在等比数列中，，则= ．【答案】20×2n-3.【解析】q3==8,q=2.an=20×2n-3.【考点】本题主要考查等比数列的概念及通项公式。

点评：简单题，直接运用等比数列的通项公式求解。

2.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .【答案】【解析】由题设知an q2=an+anq,得q=.【考点】本题主要考查等比数列的概念及通项公式。

点评：直接运用等比数列的通项公式，建立关于公比的方程以求解。

3.在等比数列{an }中，已知Sn=3n+b，则b的值为_______．【答案】b=-1.【解析】a1=S1=3+b，n≥2时，an=Sn－Sn－1=2×3n－1．a n为等比数列，∴a1适合通项，2×31－1=3+b，∴b=－1．【考点】本题主要考查等比数列的概念及通项公式。

点评：已知数列的前项的和Sn求通项公式，属于数列的基本问题，要特别注意检验n=1的情况是否适合的式子。

4.数列{an }中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为的等比数列，则a n等于。

【答案】（1－）.【解析】an =a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）=（1－）。

【考点】本题主要考查等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式。

点评：简单题，套用公式。

5.设等比数列的前n项和为Sn ,S4=1,S8=17,求通项公式an.【答案】an =或an=。

【解析】设的公比为q，由S4=1,S8=17知q≠1,∴解得或。

∴an =或an=。

【考点】本题主要考查等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式。

点评：综合性较强，是等比数列的基本问题。

准确解答方程组是关键。

6.已知数列是公差为1 的等差数列，数列的前100项的和等于100，求数列的前200项的和。

【答案】【解析】由已知，得，，所以数列是以2为公比的等比数列，设的前n项和为Sn。

广东省惠州市实验中学高二数学等比数列练习试题

广东省惠州市实验中学高二数学等比数列练习试题

一、等比数列选择题1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（ ）A ．2-B ．2-或1C ．1D ．22．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．13．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．24．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或65．已知数列{}n a 满足112a =，*11()2n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．3(1,)2-C ．3(,)2-∞D ．(1,2)-6．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110247．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞09．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）A ．3B ．12C ．24D ．4811．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8012．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（ ） A ．32B ．16C ．8D ．413．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．12214．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±15．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．2516．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6B ．7C ．8D ．917．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或218．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 19．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232nq a ==则项数n 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．620．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于，若第六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40024．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列25．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >B ．1q >C ．11nn a a +< D ．当10a >时，1q >27．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +<28．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ） A ．8 B ．12 C ．－8D ．－1229．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T30．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．8601a a << C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T31．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 32．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 33．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<34．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1135．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．A 【分析】由416a =-，314S a =+列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案. 【详解】 因为314S a =+， 所以234+=a a ，所以()2131416a q q a q ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 解得2q =-， 故选：A . 2．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 3．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 4．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 5．C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12n n a =，得2(2)2n n nn b n a λλ-==-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．【详解】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以1111()222n n n a -==， 2(2)2n n nn b n a λλ-==- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立， 即1(12)2(2)2n n n n λλ++->-，整理得：22n λ+<32λ∴＜ ，故选：C. 【点睛】本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有： 一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 6．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n nn a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 7．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 8．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 9．D 【分析】利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩，所以14a q +=.故选：D 10．C 【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()7171238112a S ⋅-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==，故选：C. 11．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 12．C 【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】 因为12n n a a +=，所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． 因为32a =，所以235328a a q ===． 故选：C 13．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =， 故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =， 故12q =， 所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 14．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C. 15．B 【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭， 当且仅当6852a a ==时取等号． 故选：B . 16．B 【分析】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =， 5(12)312012n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=∴该女子所需的天数至少为7天．故选：B 17．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 18．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n na ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式. 【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 19．C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得等比数列通项5111122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n = 故选：C 20．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选：B.二、多选题 21．无 22．无23．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 24．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 25．ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数） 所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122na n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m na a m d n a a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=-所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-，即()1112dm n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n dS m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 26．ABC 【分析】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，因为11n n a a q -=，可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->，当10a >时，1q >，此时101nn a a +<<， 当10a <时，101,1nn a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 27．BCD 【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 28．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题.【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.30．ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 31．BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系.由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 32．ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 33．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 34．AB 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案． 【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n b -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n ()21212n n -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB 【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 35．ACD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1， ∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。

高二等差等比数列练习题及答案

高二等差等比数列练习题及答案

等差、等比数列练习一、选择题1、等差数列a n中， S10120 ，那么 a1 a10（）A. 12B.24C.36D.482、已知等差数列a， a n2n19 ，那么这个数列的前n 项和 s n（）nA. 有最小值且是整数B.有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D.有最大值且是分数3、已知等差数列a n1a4a10080 ，那么 S100的公差 d， a22A ．80B ．120C ．135D ． 160．4、已知等差数列a n中， a2 a5a9a1260 ，那么 S13A． 390B． 195C． 180D． 1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A. 0B.90C.180D.3606、等差数列a n的前m项的和为30，前2m 项的和为 100，则它的前 3m项的和为 ()A. 130B.170C.210D.2607、在等差数列a n中， a2 6 ， a8 6 ，若数列a n的前 n 项和为 S n，则（）A.S4 S5B. S4 S5C. S6 S5D. S6 S58、一个等差数列前 3 项和为 34 ，后 3 项和为 146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n 项之和 n3为，且前 n 个偶数项的和为 n 2 (4n3) ，则前 n 个奇数项的和为（）A ．3n 2 (n1) B． n2 (4n 3)C．3n 2D．1n3210 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A． 6B．8 C．10D． 12二．填空题1、等差数列a中，若 a6a3a8，则s9.n2、等差数列a n中，若 S n3n22n，则公差 d.3、在小于100的正整数中，被 3 除余 2 的数的和是4、已知等差数列{ a n}的公差是正整数，且 a 3a712, a4 a6 4 ，则前10项的和S10=5、一个等差数列共有 10 项，其中奇数项的和为25，偶数项的和为15，则这个数列的第 6 2项是*6 、两个等差数列a n和 b n的前n项和分别为S n和T n，若 S n7n 3，则a8.T n n3b82、设等差数列a n的前 n 项和为 S n，已知 a3 12 ， S12>0，S13<0，①求公差 d 的取值范围；② S1 , S2 ,L , S12中哪一个值最大并说明原因.3、己知{ a n}为等差数列，a12, a2 3 ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数组成一个新的等差数列，求：（ 1）原数列的第 12 项是新数列的第几项（ 2）新数列的第 29 项是原数列的第几项一、选择题1.(2009 年广东卷文 ) 已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 · a 9 =2 a 5 2 ， a 2 =1，则 a 1 = A.1B.2 C. 2222、若是1,a,b, c, 9 成等比数列，那么（）A 、 b 3, ac 9B 、 b3, ac 9 C 、 b3, ac 9 D 、 b 3, ac93、若数列 a n 的通项公式是 a n(1) n(3n 2), 则 a 1 a 2a10（ A ）15 （B ）12（C ）D）4. 设 { a n } 为等差数列，公差 d = -2 ， S n 为其前 n 项和 . 若 S 10 S 11 ，则 a 1 =（）5. （ 2008 四川）已知等比数列a n 中 a 2 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 () A.,1 B.,0 U 1,C. 3,D.,1U3,6. （ 2008 福建 ) 设｛ a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7, a 5=16, 则数列｛ a n ｝前 7 项的和为 ( )7. （ 2007 重庆）在等比数列{ a n } 中， a 2 ＝8， a 5＝ 64，，则公比q 为（）A ． 2B． 3C． 4D． 88．若等比数列 { a n } 知足 a n a n+1=16n ，则公比为A ． 2B ． 4C ． 8D ． 169．数列 { a } 的前 n 项和为 S ，若 a =1， a n+1 =3 S （n ≥ 1），则 a =nn 1 n 6（A ）3 ×44（B ）3 ×44+1（C ）44（ D ）44+110.(2007 湖南 ) 在等比数列 { a n } （ n N*）中，若 a 1 1 ， a 41 ，则该数列的前 10 项8和为（ ）A ． 21 B． 21C． 21122210D ． 22421112. （ 2008 浙江）已知 a n a 2， a 51a 2 a 3a n a n 1 =是等比数列， 2，则 a 1a 24（ ）（ 14 n ）（ 12 n ）C. 32（1 4n） D.32（ 1 2 n）33二、填空题：三、 13.（ 2009 浙江理）设等比数列{ a n}的公比q 1S4．，前 n 项和为 S n，则2a414. （ 2009 全国卷Ⅱ文）设等比数列{ a n } 的前 n 项和为s n。

高二等比数列经典练习题

高二等比数列经典练习题

高二等比数列经典练习题等比数列是数学中常见的一种数列形式，它具有很多重要的特性和应用。

在高二阶段，学生们通常会接触到一些经典的等比数列练习题，这些题目能够帮助他们加深对等比数列的理解和运用。

本文将介绍几道高二等比数列经典练习题，并附有详细的解题步骤和解析，希望对同学们的学习有所帮助。

练习题一：已知等比数列的首项是2，公比是3，请计算该等比数列的第4项和第5项。

解题步骤：首先，我们可以利用等比数列的通项公式来计算这两项。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

第4项的计算：a4 = a1 * r^(4-1) = 2 * 3^3 = 2 * 27 = 54第5项的计算：a5 = a1 * r^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162因此，该等比数列的第4项为54，第5项为162。

练习题二：已知等比数列的首项是1，公比是0.5，求该等比数列的前8项的和。

解题步骤：首先，我们需要计算等比数列的前8项。

利用通项公式可知：第1项：a1 = 1第2项：a2 = a1 * r = 1 * 0.5 = 0.5第3项：a3 = a2 * r = 0.5 * 0.5 = 0.25...第8项：a8 = a7 * r = (a1 * r^6) * r = a1 * r^7 = 1 * 0.5^7 = 0.0078125然后，我们将这8项相加得到等比数列的前8项和。

计算如下：s8 = a1 * (1 - r^8) / (1 - r)= 1 * (1 - 0.5^8) / (1 - 0.5)= 1 * (1 - 0.00390625) / (1 - 0.5)= 0.99609375 / 0.5= 1.9921875因此，该等比数列前8项的和为1.9921875。

练习题三：已知等比数列的前6项之和是62，公比是2，求该等比数列的首项。

解题步骤：我们已知等比数列的前6项之和为62，可以利用等比数列的部分和公式来解题。

高中数学选择性必修二 精讲精炼 4 等比列(精练)(含答案)

高中数学选择性必修二 精讲精炼 4 等比列(精练)(含答案)

4.3 等比数列(精练)【题组一 等比数列的判断或证明】1(2021·全国)有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；①等比数列中公比的取值范围是(,)-∞+∞；①若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；①若2b ac =，则a ，b ，c 成等比数列.其中说法正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确； 对于①，因为等比数列的公比不为0，所以①不正确；对于①，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以①正确；对于①，只有当a ，b ，c 都不为0时，a ，b ，c 才成等比数列，所以①不正确. 因此，正确的说法只有1个， 故选：B.2．(2021·全国高二专题练习)以下条件中，能判定数列是等比数列的有( ) ①数列1，2，6，18，…； ①数列{}n a 中，已知212a a =，322a a =；①常数列a ，a ，…，a ，…；①数列{}n a 中，1(0)n na q q a +=≠，其中*n N ∈.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；①中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ①中，当0a =时，不是等比数列；①中，数列符合等比数列的定义，是等比数列. 故选：A.3．(2021·全国高二单元测试)已知数列{}n a 是等比数列，则下列数列中：①{}3n a ；①{}2n a ；①12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，等比数列的个数是( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】设{}n a 的公比为q ，则3331n n a q a -=，112112n n a q a -=，故{}3n a 、12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等比数列. 取2n n a =，2n a n b =，则31212324,216,2256a a ab b b ======，此时32124,16b b b b ==，3212b bb b ≠，故{}2n a 不是等比数列， 故选：C.4．(2021·全国)设x R ∈,记不超过x 的最大整数为[]x ，如[]2.52=，[]2.53-=-，令{}[]x x x =-，则⎪⎪⎩⎭，⎣⎦，三个数构成的数列 A ．是等比数列但不是等差数列 B ．是等差数列但不是等比数列 C ．既是等差数列又是等比数列 D ．既不是等差数列也不是等比数列 【答案】A【解析】⎪⎪⎩⎭-,⎣⎦=1,故三个数成等比,选A ．5．(2021·吉林延边二中高二月考)下列命题中正确的是( ) A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列 B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a ，2b ，2c 是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a ，2b ，2c 是等差数列 【答案】C【解析】若1a b c ===-，则对数无意义，A,B 错误；对C ，若a ，b ，c 是等差数列，则2a c b +=，所以()2222222a c a c b b +⋅===，正确；对D ，若1,2,4a b c ===，则22,24,216a b c ===，显然2222a c b +≠⨯，错误. 故选：C.6(2021·全国高二专题练习)已知不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则一定不可能．．．是等差数列的为( )A ．a ，c ，bB ．2a ，2b ，2cC ．||a ，||b ，||cD ．1a ，1b ，1c【答案】D【解析】因为不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，所以该等比数列的公比1q ≠，显然有0,0a q ≠≠，2,b aq c aq ==， A ：若a ，c ，b 成等差数列，显然2c a b =+成立，即22aq a aq =+，化简为2210q q --=，解得12q =-，或1q =(舍去)，所以假设成立，故a ，c ，b 有可能是等差数列；B ：若2a ，2b ，2c 成等差数列，显然2222b a c =+成立，即222244a q a a q =+，化简为：42410q q -+=，解得：22q =显然q =q =所以假设成立，故2a ，2b ，2c 有可能成等差数列；C ：若||a ，||b ，||c 成等差数列，显然2||b a c =+，即22aq a aq =+，化简为：2210q q -+=，解得1q =，因为1q ≠，所以1q =-，因此假设成立， 故||a ，||b ，||c 有可能 成等差数列；D ：若1a ，1b ，1c 成等差数列，显然1112b a c⋅=+，即21112aq a aq ⋅=+， 化简为：2210q q -+=，解得1q =，而1q ≠，因此假设不成立，故1a ，1b ，1c一定不可能成等差数列，故选：D7．(2021·辽宁阜新·高二期末)(多选)已知等比数列{}n a 中，满足11a =，公比3q =-，则( ) A ．数列{}13n n a a ++是等比数列 B ．数列{}1n n a a +-是等差数列 C ．数列{}1n n a a +是等比数列 D ．数列{}3log n a 是等差数列 【答案】CD【解析】等比数列{}n a 中，满足11a =，公比3q =-，()13n n a -=-.对于A ，()()()()11133331130n n n nn n n a a --+⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-⋅=⎣⎦⎣⎦，不是等比数列，故A 错误； 对于B ，()()()1143333n n nn n a a -+-=---=⋅-，是等比数列，故B 错误；对于C ，()()()1211333n n n n n a a --+=-⋅-=-，是等比数列，故C 正确；对于D ，()133log log 31n n a n -=-=-，是等差数列，故D 正确.故选：CD.8．(2021·全国)(多选)若{}n a 是等比数列，则( )A ．{}2n a 是等比数列B ．{}1n n a a ++是等比数列C ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D ．{}1n n a a +⋅是等比数列【答案】ACD【解析】因为{}n a 是等比数列，所以设其公比为q ，即1n na q a +=． 因为2212n na q a +=，所以{}2n a 是等比数列，所以A 选项正确； 因为11111n n n na a a q a ++==，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，所以C 选项正确；； 因为2211n n n na a q a a +++=，所以{}1n n a a +是等比数列，所以D 选项正确； 当1q =-时，10n n a a ++=，所以此时1{}n n a a ++不是等比数列，所以B 选项错误. 故选：ACD9．(2021·深圳市皇御苑学校)(多选)已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是 A ．1{}na B ．22log ()n a C ．1{}n n a a ++ D ．12{}n n n a a a ++++【答案】AD【解析】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ．10．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2()1n +a n ，设b n ＝na n.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式.【答案】(1)b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4；(2)是，理由见解析；(3)12n n a n -=⋅.【解析】(1)由条件可得a n ＋1＝2(1)n n+a n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得11n a n ++＝2n an，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n na n-=，所以12n n a n -=⋅. 【题组二 等比数列基本量计算】1．(2021·全国高二课时练习)在数列{}n a 中，11a =，点()1,n n a a +在直线2y x =上，则4a 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．16【答案】B【解析】因为点()1,n n a a +在直线2y x =上，所以12n n a a +=， 因为11a =，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以3341128a a q =⋅=⨯=.故选：B.2．(2021·北京牛栏山一中高二期中)已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，下表给出了S n 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于( ) A ．81 B ．27 C ．-81或81 D ．-27或27【答案】B【解析】由题意得，等比数列{}n a 中，1545181a S S a =-⎧⎨-==-⎩，故481q =，3q =±， 因为10S <，44110qS q -=->，由410q ->，所以10q ->， 所以3q =-，所以()13n n a -=--，故3341(3)27a a q ==--=． 故选：B ．3．(2021·全国高二课时练习)记正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34a =，425S S =，则6S =( ) A ．2 B ．－21 C ．32 D ．63【答案】D【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 因为34a =，425S S =，所以()()212311111145a q a a q a q a q a a q ⎧=⎪⎨+++=+⎪⎩，即()2123441a q q q q ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，解得121q a =⎧⎨=⎩， 所以()666112216312S ⨯-==-=-.故选：D.4．(2021·全国高二课时练习)在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为___________.【答案】80，40，20，10【解析】不妨设等比数列16{},160,5n a a a ==，公比为q则561a a q =，即 5=160q 5，① q 5=132，① q =12. 故2342131415180,40,20,10a a q a a q a a q a a q ========① 这4个数依次为80，40，20，10. 故答案为：80，40，20，105．(2021·全国高二课时练习)在等比数列{a n }中，若a 3=3，a 10=384，则公比q =___________. 【答案】2【解析】33a =，10384a =，7103a a q ∴=，73843q ∴=，即771282q ==，2q ∴=，故答案为：2．6．(2021·上海市进才中学高二月考)在2，x ，8，y 四个数中，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，则x y -=___________ 【答案】8-或24-.【解析】由已知得216,16x x y ==+解得412x y =⎧⎨=⎩或420x y =-⎧⎨=⎩，8x y ∴-=-或24x y -=-.故答案为：8-或24-.7．(2021·全国高二课时练习)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________. 【答案】45【解析】设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列.即 ()()()()()()2232141,24113,aq aq a aq aq aq ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩整理得22(1)3,(1)6,a q aq q ⎧-=⎨-=⎩ 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 故答案为：458．(2021·全国高二专题练习)等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)若a 1＝－8，a 3＝－2，求S 4； (2)若S 6＝315，q ＝2，求a 1. 【答案】(1)－15或－5；(2)5.【解析】(1)由题意可得2312184a q a -===-， 所以12q =-或12q =.当12q =-时，4418125112S ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当12q =时，44181215112S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--； 综上所述，415S =-或45S =-.(2)()6161231512a S -==-，解得15a =.9．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 是等比数列． (1)若13a =，2q，6n =，求n S ；(2)若1 2.7a =-，13q =-，190n a =，求n S ；(3)若11a =-，464a =，求q 与4S ； (4)若332a =，392S =，求1a 与q ． 【答案】(1)189； (2)9145-； (3)4q =-，451S =； (4)13,12a q ==或116,2a q ==-. 【解析】(1)因为13a =，2q，6n =，可得6616(1)3(12)189112a q S q -⨯-===--.(2)因为1 2.7a =-，13q =-，且190n a =，所以11112.7()(1)91903111451()3nn n a a q a q S q q--⨯---====-----. (3)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =-，464a =，可得331164a q q =-⨯=， 即364q =-，解得4q =-，所以4414(1)1[1(4)]5111(4)a q S q --⨯--===---. (4)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为332a =，392S =， 当1q =时，可得332n a a ==，此时392S =，满足题意； 当1q ≠时，可得23131332(1)912a a q a q S q ⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得116,2a q ==-. 【题组三 等比数列中项性质】1．(2021·全国)若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =( )A ．8B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】因为1,2,m 为等比数列，故212m=即4m =，故选：B. 2．(2021·全国高二课时练习)在等比数列{}n a 中，已知37,a a 是方程2610x x -+=的两根，则5a = A ．1 B ．1- C ．±1 D ．3【答案】A【解析】在等比数列{}n a 中，因为37,a a 是方程2610x x -+=的两个根，所以373760,10,a a a a +=>⋅=>所以3750,0,0,a a a >>>因为23751,a a a ⋅==所以51,a =选A.3．(2021·全国)在正项等比数列{}n a 中，已知1234a a a =，45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．14 D ．16【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则312324a a a a ==，3456512a a a a ==，所以，395223a q a ==，则1333q =,因为311324n n n na a a a -+==，则3364323248134n n a q a -====，即24333n -=，解得14n =.故选：C. 4．(2021·全国)在等比数列{}n a 中，5673a a a =，67824a a a =，则789a a a 的值为( ) A ．48 B ．72 C ．144 D ．192【答案】D【解析】由5673a a a =，得363a =，由67824a a a =，得3724a =，所以337362483a q a ===， 所以3789678248192a a a a a a q ==⨯=．故选：D5．(2021·新蔡县第一高级中学)已知1k ≠，则等比数列2log a k +，4log a k +，8log a k +的公比为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】设数列的公比为()0q q ≠，2log a k +，4log a k +，8log a k +的公比相当于2log a k +，21log 2a k +，21log 3a k +的公比，相当于21log a k +，21log 2a k +，21log 3a k +的公比， 令2log a t k =，即相当于1t +，12t +，13t +的公比， ①()211123t t t ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14t =-，则314t +=，1124t +=， ①公比111243134t q t +===+． 故选：B6．(2021·北京清华附中高二期中)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且33a =，则3132333435log log log log log a a a a a ++++=( )A ．52B ．5C ．10D ．15【答案】B【解析】因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且33a =，所以()5313233343531234533log log log log log log log a a a a a a a a a a a ++++=⋅⋅⋅⋅=53log 35==.故选：B.7．(2021·江西省铜鼓中学高二开学考试(文))已知1-，a ，b ，9-成等差数列，1-，c ，d ，e ，9-成等比数列，则b ad-=( )． A ．83B ．89C ．89-D ．89或89-【答案】B【解析】因为1-，a ，b ，9-成等差数列，所以公差'9(1)884133d ----===--, 所以'83b a d -==-，因为1-，c ，d ，e ，9-成等比数列，所以d 是1-和9-的等比中项， 所以21(9)9d =-⨯-=，解得3d =或3d =-， 因为等比数列中奇数项同号，所以3d =-，所以88339b ad --==-， 故选：B【题组四 等比数列的前n 项和性质】1．(2021·安徽宣城·高二期中(文))设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S =( ) A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾. 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q Sqq--++===--，则332q =， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q qS qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=. 故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．63【答案】D【解析】由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48，12，3， 即S 21－S 14＝3，①S 21＝63. 故选：D3．(2021·新余市第一中学高二月考)已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9C ．63D ．7或63【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ， 则()10102010111220121010S S a a a q a a a q S -=+++=+++=，()20203020212230121010S S a a a q a a a q S -=+++=+++=，所以，()()2202201010103020S S S S S q S -==⋅-，()()21010214921S S -=-， 整理可得21010704410S S -+=，解得107S =或63.当1063S =时，201042S S -=-，则10422633q =-=-，显然不成立，故107S =. 故选：A.4．(2021·全国)设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 10①S 5=1①2，则S 15①S 5=( ) A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A【解析】:①数列{a n }为等比数列,且其前n 项和记为S n , ①S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列. ①S 10∶S 5=1∶2,即S 10=12S 5, ①等比数列S 5,S 10-S 5,S 15-S 10的公比为1055-S S S =-12. ①S 15-S 10=-12(S 10-S 5)=14S 5.①S 15=14S 5+S 10=34S 5.①S 15①S 5=34.故选：A.5．(2021·全国高二课时练习)已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =( ). A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【解析】由题意可得所有项之和S S +奇偶是所有偶数项之和的4倍，①4S S S +=奇偶偶， 设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得S qS =偶奇，即1S S q=奇偶， ①14S S S q +=偶偶偶，①0S ≠偶,①解得13q =， 又前3项之积3123264a a a a ==，解得24a =，①2112a a q==. 故选:B.6．(2021·北京海淀·)已知等比数列{}n a 的前n 项和3=+n n S r ，则2a =__________，r =__________． 【答案】6 1-【解析】因等比数列{}n a 的前n 项和3=+nn S r ，于是得113a S r ==+，2221(3)(3)6a S S r r =-=+-+=，32332(3)(3)18a S S r r =-=+-+=，数列公比32123a a q a a ===，解得1r =-， 此时31n n S =-，当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅，12a =满足上式，即123,n n a n N -*=⋅∈，有1123323nn n n a a +-⋅==⋅是非零常数，则{}n a 是等比数列， 所以26,1a r ==-. 故答案为：6；1-.7．(2021·全国高二课时练习)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =______. 【答案】73【解析】1q ≠，否则61316233S a S a ==≠. ①()()6136331111311a q S q q S a q q--==+=--， ①32q ＝.①()()9193962661111271112311a q S q qS q a q q----====----. 故答案为：738．(2021·全国高二课时练习)等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 【答案】16【解析】由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2 其公比6336222S S q S --===，得S 12－S 9＝2×23＝16.故答案为：169．(2021·全国)若数列{}n a 为等比数列，且121a a +=，344a a +=，则910a a +=___________. 【答案】256 【解析】①{}n a 是等比数列，①12a a +，34a a +，56a a +，78a a +，910a a +为等比数列， 且公比34124a a q a a +==+， ①491014256a a +=⨯=. 故答案为：25610．(2021·全国)已知正项等比数列{}n a 共有2n 项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q =______. 【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶， 则()24213211321n n n S a a a a q a q a q q a a a qS --=+++=+++=+++=奇偶，由23n S S =奇，得()13S q S +=奇奇，因为0n a >，所以0S >奇，所以13q +=，2q .故答案为：2.11．(2021·全国高二课时练习)已知等比数列{}n a 共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q =________. 【答案】2【解析】由题意, 设奇数项的和为1S ,偶数项的和为2S ,得1211228080240160S S S S S S -==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩ 故公比21160280S q S -===- 故答案为212．(2021·全国高二课时练习)设S n 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010S S S =+________. 【答案】118【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知1q ≠，因为515(1)1a q S q -=-，10551110(1)(1)(1)11a q a q q S q q--+==--，05511113S S q ==+，52q =，1053S S =， 2055105101120555(1)(1)(1)(1)(1)(1)(12)(14)1511a q a q q q S S q q S S q q --++===++=++=--．①55102055131518S S S S S S ==++．故答案为：118． 13．(2021·全国)已知等比数列{}n a 的前n 项和2133n n S t -=⋅-，则实数t 的值为______.【答案】3【解析】由2133n n S t -=⋅-，得13133n n t S ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.当1q =时，1n S na =，不合乎题意.当1q ≠时，()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，令11a A q =-，则()1nn S A q =-， 所以，13t=，解得3t =.故答案为：3.14．(2021·柳州市第二中学(理))已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S t +=+，则数列的通项公式n a =______________. 【答案】23n ⋅.【解析】由13n n S t +=+得，当1n =时，21139a S t t ==+=+，当2n =时，1232327a a S t t +==+=+，2927t a t ++=+，所以218a =当3n =时，433233354a S S =-=-=，因为数列{}n a 是等比数列，所以3221a a a =，即()1818549t ⨯=⨯+，所以3t =-，16a =，公比213a q a ==， 所以1116323n n n na a q --===⋅⋅.故答案为：23nn a =⋅.15(2021·全国高二专题练习)已知等比数列{}n a 的前n 项和13n n S λ+=+，则1a λ+=______.【答案】3【解析】2n ≥时，11(3)(3)23n n nn n n a S S λλ+-=-=+-+=⨯，又119a S λ==+，数列{}n a 等比数列， ①3212a a a a =，即1854918λ=+，解得3λ=-． ①13a λ+=. 故答案为：3．【题组五 等比数列的单调性】1．(2021·全国)等比数列{}n a 是递增数列，若5160a a -=，4224a a -=，则公比q 为( ) A ．12 B ．2C ．12或2-D ．2或12【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 是递增数列，则数列{}n a 的公比q 满足0q >且1q ≠， 所以，()()421512421116052421a q a a q a a q a q q --+====--，即22520q q -+=，解得12q =或2. 若12q =，则()2421131248a a a q q a -=-=-=，解得164a =-， 此时1111642n n n a a q --==-⨯，此时数列{}n a 为递增数列，合乎题意； 若2q，则()242111624a a a q q a -=-==，解得14a =，此时1111422n n n n a a q --+==⨯=，此时数列{}n a 为递增数列，合乎题意.综上所述，12q =或2. 故选：D.2．(2021·陕西新城·西安中学高三(文))在等比数列{a n }中，279a a =且a 8＞a 9，则使得110n a a ->的自然数n 的最大值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】C【解析】因为279a a =，即()26811a q a q =，所以51a =，又因为89a a >，所以数列{}n a 为单调递减，因为()()44549111110n n n n a a q q a q q q a ---=-=-=->， 所以901n q q ->=，所以9n <.又因为n 为整数，故max 8n =. 故选：C3．(2021·全国高二课时练习)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n +1>S n ”是“{a n }单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要；故选：D 4．(2021·福建省福州第一中学高三开学考试(理))(多选)设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是( ) A ．1q > B ．81a =C ．106T T >D ．7T 与8T 均为n T 的最大值【答案】BD 【解析】由题意知，A ：由67T T <得71a >，由78=T T 得887=1T a T =， 所以87=1a q a <，又0q >，所以01q <<，故A 错误； B ：由78=T T 得887=1T a T =，故B 正确； C ：因为{}n a 是各项为正数的等比数列，(01)q ∈，， 有12789101a a a a a a >>>>=>>>，所以2210789108996=()1T a a a a a a a T ==<， 所以106T T <，故C 错误；D ：1278910T T T T T T <<<<>>>，则7T 与8T 均为n T 的最大值，故D 正确. 故选：BD5．(2021·江苏连云港·高三月考)(多选)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件()()120202021202020211,1,110a a a a a >⋅>-⋅-<，则下列结论中正确的有( ) A ．1q > B ．20212020S S >C ．202020221a a ⋅<D ．2020T 是数列{}n T 中的最大值【答案】BCD【解析】依题意等比数列{}n a 满足条件： 11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，若1q ≥，则2019202020201202111,1a a qa a q =⋅>=⋅>， 则2020202110,10a a ->->，则()()20202021110a a -->与已知条件矛盾. 所以1q ≥不符合，故A 选项错误. 由于11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，所以202020211,01a a ><<，01q <<，0n a >， 则2021202020212020S a S S =+>， 所以B 选项正确，又20202022220211a a a =⋅<.所以C 选项正确.因此，前2020项都大于1， 从第2021项开始起都小于1， 因此2020T 的值是n T 中最大的. 所以D 选项正确.故选：BCD.6．(2021·全国高二课时练习)(多选)关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是( )A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 【答案】BCD【解析】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ．7．(2021·全国高二课时练习)若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{}n a 是一个“2020积数列”，且11a >，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的值为________． 【答案】1009或1010【解析】设数列{}n a 的公比为q ． 由题意可得，20201232020a a a a a =⋅⋅⋅⋅，①12320191a a a a ⋅⋅⋅⋅=，①212019220183201710101a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===．又11a >，①01q <<，数列{}n a 为递减等比数列， 10091a >，10101a =，10111a <，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的值为1009或1010． 故答案为：1009或10108．(2021·西城·北京育才学校高二期中)等比数列满足如下条件：①10a <；①数列{}n a 单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式n a =________. 【答案】12n-(答案不唯一) 【解析】满足上述所有条件的一个数列的通项公式12n na =-. 故答案为：12n-(答案不唯一) 9．(2021·湖北黄州·黄冈中学高三)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，写出{}n a 的一个通项公式n a =________，满足下面两个条件：①{}n a 是单调递减数列；①{}n S 是单调递增数列. 【答案】12n⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)【解析】根据前n 项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是符合条件的例子， 故答案为：12n⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)【题组六 等比数列的实际运用】1．(2021·全国高二课时练习)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？【答案】(1)a n ＝*10*450.5,110,500.99,1120,.n n n n N n n N -⎧+≤≤∈⎨⨯≤≤∈⎩；(2)2036年不需要调整政策． 【解析】解:(1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5，公差为0.5的等差数列， 所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列． 又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n －10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝*10*450.5,110,500.99,1120,.n n n n N n n N -⎧+≤≤∈⎨⨯≤≤∈⎩(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)()1049.510.9910911045.52210.99-⨯=⨯+⨯+- ＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为2020S =47.54万． 因为47.54＜49，故到2036年不需要调整政策．2．(2021·全国高二课时练习)某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796)【答案】甲方案的获利较多．【解析】根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列．甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝101(1.31)1.31--≈42.65(万)， 而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元，那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元；乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝10(1 5.5)2⨯+＝32.50(万元)，贷款的本利和为：1．1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)，①乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)．所以，甲方案的获利较多．3．(2021·全国高二课时练习)一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．(1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？(2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．【答案】(1)64米；(2)不能超过，理由见解析.【解析】(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成115a =，2d =-的等差数列，则12(1)(1)15(2)2216n n n n n S na d n n n --=+=+⨯-=-+当8n =时，8()64n max S S ==即，飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米．(2)不能超过．由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成115b =，0.8q =的等比数列， 则1(1)15(10.8)75(10.8)7510.2n n n n b q S q --===-<- 所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．4．(2021·全国高二课时练习)某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x 万元，余下的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后)，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)【答案】424万元．【解析】设a n 表示第n 年年底扣除消费资金后的资金，则：a 1＝1 000(1＋12)－x ，a 2＝[1 000(1＋12)－x ](1＋12)－x＝1 000(1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 3＝[1 000(1＋12)2－x (1＋12)－x ](1＋12)－x＝1 000(1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 4＝1 000(1＋12)4－x (1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 5＝1 000(1＋12)5－x (1＋12)4－x (1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x . 则1 000×(32)5－x [(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ①1 000×(32)5－5312312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-＝2 000.解得x ≈424(万元)．①每年年底扣除的消费资金为424万元．5．(2021·江苏姑苏·苏州中学高二月考)某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．(1)今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？(精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活)(2)现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？( 3.5，精确到1万个)【答案】(1)62.2万尾；(2)2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划．【解析】(1)依题意，2021年每月投入的数量构成一个首项为3万，公差为0.2万的等差数列，2021年底一共养殖的数量为12113120.249.22⨯⨯+⨯=万尾， 所以2021年年底共有鱼13+49.2=62.2万尾；(2)依题意，从2021年起，每年新投入的数量构成一个首项为60万的等比数列，设公比为q ，且1q >，于是得260606080013q q ++≥-，即2727060q q +-≥，解得132q ≥≈， 所以2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划.。

高二数学等比数列试题

高二数学等比数列试题

高二数学等比数列试题1.设是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则与的大小关系为（）A．B．C．D．与公比的值有关【答案】A【解析】∵等比数列{an }，各项均为正数∴a1＞0，q＞0 且q≠1a 1+a8-（a4+a5）=（a1+a1q7）-（a1q3+a1q4）=a1（q3-1）（q4-1）＞0∴a1+a8＞a4+a5故选A．【考点】本题考查了等比数列的通项公式及性质。

点评：对于比较大小一般采取作差法，属于基础题。

2.已知是等比数列，且，，那么（）A．10B．15C．5D．6【答案】C【解析】因为，所以由等比数列的性质得，即，又，所以5，选C。

【考点】本题考查了等比数列的性质。

点评：灵活运用等比数列的性质，简化解题过程，属于基础题。

3.若等比数列的前项之和为，则等于（）A．3B．1C．0D．【答案】D．【解析】，由已知n=1时，=3+a，，由其为等比数列，所以由3+a=2，a=－1，选D。

【考点】本题主要考查等比数列的前n项和公式。

点评：基本题型，利用求，要特别注意检验n=1的情况。

4.等比数列的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】因为是等比数列所以++=,因为q＜0 所以≤-2，所以，又t== ³－m³所以t－m³，故选B。

【考点】本题主要考查等比数列的通项公式，均值定理的应用。

点评：易错题，利用等比中项及均值定理，确定得到t的范围。

5.认定：若等比数列的公比q满足，则它的所有项的和，设。

则（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】=+=，故选C。

【考点】本题主要考查等比数列各项和的公式。

点评：理解题意是基础，准确计算是关键。

6.有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为_____________。

【答案】1，4，16或16，4，1。

【解析】设三数为a，b，c，则a+b+c=21 (1)a+b+(c－9)=3b (2)即b=4又a，b，c，成等比数列，所以a+4+ =21，整理得即a=1或a=16当a=1时，b=4，c=16当a=16时,b=4，c=1，故这三个数为1，4，16或16，4，1。

高二数学等比数列习题

高二数学等比数列习题

高二数学等比数列习题一、选择题（每小题6分，共42分）1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（）A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则，即b2=ac.2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（）A.120B.240C.320D.480【答案】C【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.∴a5+a6= =320.3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（）A.0B.1C.-1 D.2【答案】C【解析】∵an=要使{an}成等比，则3+a=231-1=230=2,即a=-1.4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（）A.［，2)B.［，2］C.［，1)D.［，1］【答案】C【解析】因f(n+1)=f(1)f(n),则an+1=a1an= an，∴数列{an}是以为首项，公比为的等比数列.∴an=n.Sn= =1-n.∵n∈N*,∴ ≤Sn＜1.5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则的值是( )A. B.C. D. 或【答案】B【解析】∵a3=a2+a1,∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).∴ .6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40a50a60的值为( )A.32B.64C.±64D.256【答案】B【解析】因a1a99=16,故a502=16,a50=4,a40a50a60=a503=64.7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的.前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )A.（SS′B.C.nD.【答案】B【解析】设等比数列的首项为a1,公比q（q≠1）则P=a1a2an=a1n ,S=a1+a2++an= ,S′= ++ ,∴ =(a12qn-1 =a1n =P,当q=1时和成立.二、填空题（每小题5分，共15分）8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.【答案】384【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.知a1=3,q=2,故a8=a1q7=3×27=384.9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，Sn=a1+a2++an,a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an=【答案】（）n-2【解析】∵an+1= Sn,∴an= Sn-1(n≥2).①-②得,an+1-an= an,∴ (n≥2).∵a2= S1= ×1= ,∴当n≥2时，an= （）n-2.10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列④若{an}的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列【答案】②④【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,(1)求证数列{bn}也是等比数列；（2）已知q＞1,a1= ,问n为何值时，数列{an}的前n项和Sn大于数列{bn}的前n项和Sn′.(1)证明：∵ =q,∴ 为常数，则{bn}是等比数列.(2)【解析】Sn=a1+a2++an= ,Sn′=b1+b2++bn= ,当Sn＞Sn′时，又q＞1,则q-1＞0,qn-1＞0,∴ ,即qn＞q7,∴n＞7,即n＞7(n∈N*)时，Sn＞Sn′.12.已知数列{an}:a1,a2,a3,an,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),(an-an-1),此数列是首项为1，公比为的等比数列.(1)求数列{an}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知得an-an-1=n-1(n≥2),a=1,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)= ［1-n］.(2)Sn=a1+a2+a3++an= - ［ +2++n］= - ［1-n］= ×n.13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.(1)求数列{cn}的前n项和Sn.(2)是否存在n∈N*,使得成立？请说明理由.【解析】(1)由已知得∴an=a1qn-1=2n.∴cn=11-log2a2n=11-log222n=11-2n.Sn=c1+c2++cn= =-n2+10n.(2)假设存在n∈N*,使得即 .∴22n+3×2n-3＜0,解得 .∵ =1,而2n≥2,故不存在n∈N*满足 .14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)= ,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2,),且x1=1.(1)设an=|xn- |,证明：an+1＜an;(2)设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜ .证明：（1）an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= . ∵xn＞0,∴an+1＜( -1)|xn- |＜|xn- |=an,故an+1＜an.(2)由（1）的证明过程可知an+1＜( -1)|xn- |＜( -1)2|xn-1- |＜＜( -1)n|x1- |=( -1)n+1∴Sn=a1+a2++an＜|x1- |+( -1)2++( -1)n =( -1)+( -1)2++( -1)n= ［1-( -1)n］＜ .。

高二数学等比数列练习试题 百度文库

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一、等比数列选择题1．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．42．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或64．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ）A ．-3+(n +1)×2nB ．3+(n +1)×2nC ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞06．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f7．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n n b b +，则b 2020＝（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ）A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（ ） A ．2-B ．2-或1C ．1D ．211．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1613．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．12214．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．716．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ）A ．2B ．2或2-C ．2-D17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或218．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．1519．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．520．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =a （ ） A ．14n - B ．41n - C ．12n -D ．21n -二、多选题21．题目文件丢失！22．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+24．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-25．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列 D ．3a ，6a ，9a 成等比数列 26．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ）A ．8B ．12C ．－8D ．－1227．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列28．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+29．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（ ） A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值30．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---31．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列32．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 33．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）34．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，87101a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．791a a <C ．n T 的最大值为7TD ．n S 的最大值为7S35．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】 因为12n n a a +=， 所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． 因为32a =，所以235328a a q ===． 故选：C 2．B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 4．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ，则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 5．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 6．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122ff-==.所以第五个单音的频率为1122f=.所以第八个单音的频率为1262f f=故选：B.7．D【分析】由题设求出数列{}n a的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.【详解】解：(21)[(2)22](2)2(2)n n nnS a b n a b bn a b=---⨯+=+-⋅-+，∴当1n=时，有11S a a==≠；当2n≥时，有11()2nn n na S S a bn b--=-=-+⋅，又当1n=时，01()2a ab b a=-+⋅=也适合上式，1()2nna a bn b-∴=-+⋅，令n b a b bn=+-，12nnc-=，则数列{}nb为等差数列，{}nc为等比数列，故n n na b c=，其中数列{}nb为等差数列，{}nc为等比数列；故C错，D正确；因为11()22n nna ab bn--+=-⋅⋅，0b≠，所以{}12nbn-⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错.故选：D.【点睛】方法点睛：由数列前n项和求通项公式时，一般根据11,2,1n nnS S naa n--≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.8．A【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a⋅⋅⋅⋅的结果为20201bb，再根据等比数列下标和性质求解出2020b的结果.【详解】因为1nnnbab+=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b bb ba a a a ab b b b b b⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=，因为数列{}n a为等比数列，且10102a=，所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9．A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．A 【分析】由416a =-，314S a =+列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案. 【详解】 因为314S a =+， 所以234+=a a ，所以()2131416a q q a q ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 解得2q =-， 故选：A . 11．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 12．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 13．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =， 故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =， 故12q =，所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 14．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈， 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 15．C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 16．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 17．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 18．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 19．B 【分析】本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再然后根据24242k a a a +++=求出2q，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 20．D 【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==， 因此()()111111111221112n nnn n n n n na q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.二、多选题21．无22．BD 【分析】根据22n nS a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n n S n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2nn a =，24nn a =，数列{}2na 的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 23．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 24．BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-.∴363242q ==--或243236q -==-. 故选：BD 25．AD 【分析】根据等比数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a aq a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363aq a =，在1q ≠时，两者不相等，错误；C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 26．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC.【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 27．AC 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，可判断B ；由122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.【详解】等比数列{}n a 中，满足11a =，2q，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确； 因为122log log 21n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；数列{}n a 中，101010111222S -==--，202021S =-，303021S =-，10S ，20S ，30S 不成等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 28．CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 29．AB 【分析】由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意，只有01q <<，数列{}n a 递减，从而确定20191a >,202001a <<，从可判断各选项．【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a >>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且20191a >,202001a <<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；因为20191a >,202001a <<，所以2019T 是数列{}n T 中的最大值，C ，D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定20191a >,202001a <<． 30．AD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由1231,1,3a a a ===可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故B 错误；由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即32211111a a a a ++≠++，故C 错； 因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选:AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前n 项和，考查了分组求和．31．BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r+->1112222da ra dr r n N d dr -+-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q r N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，当n N >时，11110n n rx x q x r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N>=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题. 32．ABD 【分析】 由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】 因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.因为1231n na +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，故选：ABD【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题.33．BCD【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可.【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列. B. 2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列；当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥， 即()()()211111111111nn n a q a q a q q q q -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾， 综上，{}n S 不是等比数列.故选：BCD.【点睛】考查等比数列的辨析，基础题.34．ABC【分析】由11a >，781a a >，87101a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D.【详解】11a >，781a a >，87101a a -<-， 71a ∴>，801a <<，∴A.01q <<，故正确；B.27981a a a =<，故正确；C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确.故选：ABC ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．35．ABD【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可. 【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q （负值舍去），选项A 正确； 1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.。

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高二数学《等比数列》专题练习题
注意事项：1.考察内容：等比数列
2.题目难度：中等题型
3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。

4.参考答案：有详细答案
5.资源类型：试题/课后练习/单元测试
一、选择题
1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310l o g l o g l o g a a a +++＝
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋3log 5
2.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=10
20a a （ ） A.
32 B.23 C. 32或23 D. －32或－2
3 3.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．2
4 C ．48 D ．128
4.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（ ）
A. －4
B.4
C. ±4
D. 5
5.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 6
9S S = A ． 2 B. 73 C. 83
D. 3 6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ）
A.1
B.1或－1
C.21或2
1- D.2或－2 7.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为
A ．15
B ．17
C ．19
D ．21
8.已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为
（ ） A 、 S 1 B 、S 2 C 、 S 3 D 、 S 4
9.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等比数列也不是等差数列
D.既是等差数列又是等比数列
10.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）．
A a(1+p)7
B a(1+p)8 C
)]1()1[(7p p p a +-+ D )1()1[(8p p p a +-+] 二、填空题
11.若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = ． 12.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______． 13.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = _____
14.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______.
三、解答题
15.设二次方程2110()n n a x a x n N *
+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=．
（1）试用n a 表示1n a +；
（2）求证：2{}3n a -是等比数列；
（3）当176
a =
时，求数列{}n a 的通项公式．
16.已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数
，且*22,n n b a n N =-∈ （Ⅰ）求234,,a a a ；
（Ⅱ）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； （Ⅲ）求和246
2n n T a a a a =+++
17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b
（1）求证：数列{}n b 是等差数列；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式；
（3）试比较n a 与n S 的大小.
18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列.
（1）求{}n a 的公比q ；
（2）若331=-a a ，求n S .
答案
一、选择题
1.B
2.C
3.A
4.B
5.B
6.B
7.A
8.D
9.C
10.D
二、填空题 11.
32
12.25；解析：∵1, a 1, a 2, 4成等差数列，∴12145a a +=+=；∵1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，∴22144b =⨯=，又2210b q =⨯>，∴22b =；∴=+221b a a 25； 13.
152
14.12-n 三、解答题
15.（1）解析：11,n n n a a a αβαβ++==，而6263ααββ-+=，得1623n n n
a a a +-=， 即1623n n a a +-=，得11123
n n a a +=
+； （2）证明：由（1）11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，所以2{}3n a -是等比数列； （3）解析：当176a =时，2{}3n a -是以721632-=为首项，以12为公比的等比数列， 1211()322n n a --=⨯，得21()()32n n a n N *=+∈．
16.解析：（Ⅰ）2335,,22a a ==-474
a = （Ⅱ）当2(21)12112,22(21)22
n n n n n b a a a n -+-≥=-=-=+--时 222(1)1111[2(22)](21)2[2]222
n n n a n n a b ---=--+--=-=
∴12122b a =-=-又 ∴1111()()222n n n b -=-⋅=- （Ⅲ）∵22n n a b =+ ∴242n n T a a a =++
=12(2)n b b b n ++++11[1()]1222()2 1.1212
n n n n -=-+=+-- 17.解析：（1）由已知q a a b b n n n n log log 12
1==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列， 且公差为.log 2q d = （先求q 也可） 4分
（2）因0log ,11211>=⇒>a b a ，又263531=⇒=++b b b b ，所以.05=b 由.291,404,222115
13⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+==+=n n S d b d b b d b b n 由*511212,221,164
log 1log N n a q a a b q d n n ∈=⇒==⇒⎩⎨⎧==-==-. 8分 （3）因,0>n a 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >； 又可验证2,1=n 是时，n n S a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 12分 18.解析：（1）由题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ ，又0,01≠≠q a ，故.2
1-=q （2）由已知得.43)21(1211=⇒=--a a a 从而].)21(1[38)2
1(1])21(1[4n n n S --=----=。

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