奥数新讲义-一元二次方程-根与系数的关系2(学)
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
一元二次方程根与系数的关系(新2)
∵当Δ2=16m2-4(4m2-4m-5)≥0时, - ≥ 时 5 2-4mx+4m2-4m-5=0有实根,则有 x 有实根, + - = 有实根 m ≥ 4 5 ∴ ≤ m ≤ 1且m ≠ 0 4 是整数, =-1和 . 又m是整数,故m=- 和1. 是整数 =-
一元二次方程的根与 系数的关系( ) 系数的关系(2)
学习目标: 学习目标: 1.已知方程的一根,会求另一根及字母 已知方程的一根, 已知方程的一根 系数. 系数. 2.已知两根之间的关系求字母的取 已知两根之间的关系求字母的取 值范围. 值范围.
考题选讲
你能想出几种方法? 你能想出几种方法?
2
=-1时 的根不是整数, 当m=- 时,mx2-4x+4=0的根不是整数,不 =- + = 的根不是整数 符合题意,舍去; 符合题意,舍去; 当m=1时,mx2-4x+4=0的根为 = 时 + = 的根为 x1=x2=2;x2-4mx+4m2-4m-5=0两根为 ; + - = 两根为 x1=5,x2=- ,符合题意.∴当m=1时 , =-1,符合题意. 时
2m 2 + m 6 =0 8 2m 1 解之得,m = 2 ≤ 0, 8
≥0
=-2时 原方程的两根互为相反数. ∴当m=- 时,原方程的两根互为相反数. =-
是什么整数时, 6, 当m是什么整数时,关于 一元二次方程 是什么整数时 关于x一元二次方程 mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0 + = 与 + - = 的根都是整数. 的根都是整数.
一元二次方程的根与系数的关系(2)(实用资料)ppt
* 一元二次方程的根与系数的关系
目标突破
目标一 探究一元二次方程的根与系数的关系
例 1 教材“实践与探索”针对训练 请大家完成下面的表格：
一元二次方程 ax2＋
bx＋c＝0
x1
x2
x1＋x2 x1x2
－ba
c a
x2－2x－3＝0 __3___ __－__1__ ____2__ __－__3_ ___2__ __ *2* ．通一一过元元自二二学次次阅方方读程程、的的讨根根论与 与，系系在数数理的的解关关12一系系元二次2方2 程根与系数的关系的1 基2础上，会用根与系数的关系求相应代数式或字母的值．
一元二次方程的根与系数的关系
∴x ＋x ＋x x ＝25－x x ＝25＋6＝31. 目标一 探究一元二次方程的根与2 系数的关2系
* 一元二次方程的根与系数的关系
已知关于 x 的方程 x2－(k－1)x＋k＋1＝0 的两个实数根的平方和 等于 4，求实数 k 的值．
解：第一步：设方程的两个根分别为 x1，x2. 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝k－1，x1·x2＝k＋1. 第二步：又∵x12＋x22＝4，即(x1＋x2)2－2x1x2＝4， ∴(k－1)2－2(k＋1)＝4，即 k2－4k－5＝0， 解得 k1＝5，k2＝－1.∴实数 k 的值为 5 或－1. 以上解法正确吗？若不正确，请指出错误，并写出正确答案．
* 一元二次方程的根与系数的关系
例 3 教材补充例题 已知关于 x 的方程 x2－2x－c＝0 的一 个根是 3，求它的另一个根和 c 的值．
解：设方程的另一个根为 x1. 根据题意，可知x31x＋1＝3＝－2c，，解得xc＝1＝3－，1， 所以方程的另一个根为－1，c＝3. (本题还可以直接将一元二次方程的一个根 x＝3 代入到原方程中，求出 c 的值，再解一元二次方程，求出另一个根)
一元二次方程根与系数的关系2
课时训练
4.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根，且 1 1 3 ，求a的值.
2 x1 2 x2
解：据题意得x1+x2=1；x1· x2=a ∵1 1 x 2 2 x 2 2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
x
2 1
x
2
2
x x
2 1
2
2
∴3a2+2a-1=0，即 a 又∵Δ=1-4a≥0， 1 ∴a≤ 4 ∴a=1/3舍去， ∴a只能取-1.
解：将②代入①中得(2x+m)2=4x即4x2+4(m-1)x+m2=0 Δ =［4(m-1)］2-4×4m2=-32m+16=0 ∴m=1/2
பைடு நூலகம் 典型例题解析
【例1】 (2008年·北京市)已知：关于x的方程 x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2,且(x1-x2)2=16，如果关 于 x 的另一个方程 x2-2mx+6m-9=0 的两个实数根都在 x1 和 x2 之间，求m的值. m=4 【例2】 (2008年·四川省)已知x1,x2是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根. (1) 是否有在实数 k，使 (2x1-x2)(x1-2x2)=-3/2 成立 ? 若存 在，求出k的值；若不存在，请说明理由. x1 x2 (2)求使 x x 2 的值为整数的实数k的整数值.
第二章第六课时：
一元二次方程根与 系数的关系(二)
要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练
要点、考点聚焦
1. 能利用一元二次方程根与系数的关系式，确定方程 中字母系数的值或其取值范围. 2.运用韦达定理应适用的条件，确定所求字母系数的 值是否符合条件. 3.能把二次三项式或二次函数以及二元二次方程组等 问题转化为根与系数问题加以解决.
一元二次方程根与系数的关系课件
应用四 已知关于方程两根的代数式的值， 求方程中字母的系数
已知：x1、x2是关于x的方程x2 2a 1x a2 0
Байду номын сангаас
的两个实数根且x1 2x2 2 11,求a的值.
x1、x2是方程x2 2a 1x a2 0的两个实数根，
x1 x2 1 2a, x1x2 a2.
x1 2x2 2 11, x1x2 2x1 x2 4 11.
2 (4)3x2 5x 2 0, ( 1 ,2);
3 (5)x2 8x 11 0, (4 5,4 5).
（） （） （）
（） （）
应用二 利用根与系数的关系解决已知一根求 另一根的问题
已知关于x的方程2x2 kx 4 0的一个根是- 4，
求它的另一个根及k的值.
设方程的另一个根是x2 ,则
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b2 4ac
0 两个不相等的实数根 0 两个相等的实数根 0 没有实数根
那么x1
x2
b a
, x1x2
c. a
例3 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高
难度的动作，如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到 最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之 间应遵循下面的公式：
h 1 gt 2 2
其中h 的单位是 m，t 的单位是s，g=9.8 m/s2.假设跳板的
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0. 即 y2＋6y－8＝0.
1.2 一元二次方程的根与系数的关系
| x1 x2 | _________
已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,
求下列代数式的值 Zx xk
(1)
1Fra bibliotek1
； (2) ；
2 2 2
(3) ； (4) 1 1 .
方程x2(m1)x2m10，求m满足什么条件时,
如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
的两根为x1、x2 ( b2－4ac≥0 ).
那么x1+x2、 x1 x2与系数a，b，c 有何 关系？Zx xk
●
归纳小结
韦达定理
如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的 两根为x1、x2 ( b2－4ac≥0 ),那么: Zx xk
①方程的两根互为相反数？
②方程的两根互为倒数？ ③方程的一根为零？Zx xk
b x1+x2= a
,
x 1 x 2=
●
c a
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？
（不解方程）
zxxk
（1）x2-3x+1=0 （3）2x2+3x=0
（2）3x2-2x=2 （4）3x2=1
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根。(口答)
（1）x2-6x-7=0（-1，7） （2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3）
个根是
，m的值是
。Zx xk
2、如果方程x2+ 2x+a=0的一个根是1－ 2 那么另一个根是 ，a的值为 。
例题讲解
设x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根,则
《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件
的两个实数根x1.x2，那么x1+x2， x1.x2与系数a，b， c 的关系.
x1+x2= b a
x1.x2= c a
5
归纳：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个
实数根是x1，x2 那么x1+x2= b，x1·x2= c .
a
a
如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么
3
方程
两个根x1、 两根 两根
x2的值
的和 的积
请 同
x1 x2 x1+x2 x1·x2
学 们
x2 +3x+2=0 1 2 3 2
观
察
x2 -5x+6=0 -2 -3 -5 6
下
表
3x2+x-2=0
-1
2 3
1 3
2 3
2x2-4x+1=0
1+ 2 2
1- 2 2
21
2
4
请同学们猜想：
对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
4.6 一元二次方程根与系数的关系
-.
1
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能
力．
2
解下面的一元二次方程：
①x2 3x 2 0,
②x2 5x 6 0,
③3x2 x 2 0， ④2x2 4x 1 0.
11
2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一
个
16
一元二次方程根与系数的关系经典讲义(第2课时)
一元二次方程根与系数的关系经典讲义（第2课时）【学习目标】1．已知一元二次方程两根的关系求参数的取值范围；2．已知一元二次方程两根的关系会求参数；3．会求含有一元二次方程两根的代数式的值.【知识回顾】【新知讲解】1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围【例1】已知关于x的方程2120,3x kx--=设方程的两个根为x1,x2，若12122()x x,x x+>求k的取值范围.解：根据题意，得22184(2)033k k ∆=-⨯⨯-=+>， 所以k 为任意实数，方程都有两个不相等的实数根. ∵x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，且12122()x x x x +>，∴236k ⨯>-，解得k>-1. 综上，k 的取值范围是 k>-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.总结：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则有1212,b cx x x x a a +=-⋅=．这是著名的韦达定理.已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.练1．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0，求k 的取值范围.【解析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ，变形后代入即可得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ，∵x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立，∴x 1•x 2﹣（x 12+x 22）≥0，即x 1•x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2]≥0，∴k 2+2k ﹣[（2k+1）2﹣2（2k+1）]≥0， ∴k≤﹣或k≥1.点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于k 的不等式．【例2】（2015•丹江口市一模）已知关于x 的方程x 2﹣2（m+1）x+m 2﹣3=0 （1）当m 取何值时，方程有两个实数根？（2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=26，求m 的值．解：（1）根据题意，得△=4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0， 解得m≥﹣2；（2）当m≥﹣2时，x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3．则（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣5x 1x 2=[2（m+1）]2﹣5（m 2﹣3）=26，即m 2﹣8m+7=0，解得m 1=1＞﹣2，m 2=7＞﹣2， 所以m 1=1，m 2=7．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．总结：1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式△的关系如下： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两实数根x1，x2又有如下关系：1212,b cx x x xa a+=-⋅=，所以已知关于x1，x2的关系等式可以求原方程中的字母参数.3. 注意使用1212,b cx x x xa a+=-⋅=的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△≥0.练2（2015•广水市模拟）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1、x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为负整数，求出m的值，并解出方程的根．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×2×（m﹣1）≥0，然后解不等式；（2）先根据根与系数的关系得x1+x2=1，x1•x2=，把7+4x1x2＞x12+x22变形得7+6x1•x2＞（x1+x2）2，所以7+6×＞1，解得m＞﹣3，于是得到m的取值范围﹣3＜m≤﹣，由于m为负整数，所以m=﹣2或m=﹣1，然后把m的值分别代入原方程，再解方程．解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m﹣1）≥0，解得m≤﹣；（2）根据题意得x1+x2=1，x1•x2=，∵7+4x1x2＞x12+x22，∴7+6x1•x2＞（x1+x2）2，∴7+6×＞1，解得m＞﹣3，∴﹣3＜m≤﹣，∵m为负整数，∴m=﹣2或m=﹣1，当m=﹣2时，方程变形为2x2﹣2x﹣1=0，解得x1=，x2=；当m=﹣1时，方程变形为x2﹣x=0，解得x1=1，x2=0．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．2．根据一元二次方程求含两根的代数式的值【例3】（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值.注意1212,b cx x x x a a +=-⋅=中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混. 如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：（1）222121212(x x )2x x x x +=+- （2）22121212()(x x )4x x x x -=+-（3）12121211x x x x x x ++=（4）22221121212121212(x x )2x x x x x x x x x x x x ++-+== （5）1(x 1)+21212（x +1）=x x +(x +x )+1（6）12x x -==练3（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x 的方程x 2+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求的值.【解析】（1）由方程x 2+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k 的取值范围； （2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根， ∴△＞0，即4+4k ＞0 ∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2， αβ=﹣k ，∴=，点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【课后练习】一、选择题1.（2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 －2 B. 2 C. 5 D. 62. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 23.（2013四川泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 二、填空题4．（2015•泸州）设x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值为________．5．（2013贵州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab 的值是 ．6.（2015•日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015=___________． 三、解答题7．（2015•梅州）已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．8. 已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.9．（2015•南充）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）10．（2015•华师一附中自主招生）已知m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根 （1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．11．（2015•孝感校级模拟）已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．12．（2014•广东模拟）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2=2（k﹣1），；（3）求（x1﹣1）•（x2﹣1）的最小值．13.（2010•黄州区校级自主招生）已知方程x2﹣2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m的取值范围．14.（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．课后小测答案：一、选择题1. B2. B3.【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则原式＝212 12212) (xxx xxx-+＝3)3 (2)3(2--⨯--＝－5．故选B．点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．二、填空题4．【解析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，故答案为：27．点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．5. 【解析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．6.【解析】由于m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，可知m ，n 是x 2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n 2=n+3，利用它们可以化简2n 2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n ）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解：由题意可知：m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，所以m ，n 是x 2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n 2=n+3，则2n 2﹣mn+2m+2015 =2（n+3）﹣mn+2m+2015 =2n+6﹣mn+2m+2015 =2（m+n ）﹣mn+2021 =2×1﹣（﹣3）+2021 =2+3+2021 =2026．故答案为：2026． 点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值． 三、解答题7．【解析】（1）关于x 的方程x 2﹣2x+a ﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根．解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 8.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m 的方程，从而得到m 的值，但前提条件是方程得有实数根. 解：原方程可变形为：0)1(222=++-m x m x . ∵1x 、2x 是方程的两个根，∴△≥0,即：4（m +1）2-4m 2≥0, ∴ 8m+4≥0, m≥21-. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0,由△=0,即8m+4=0,得m=21-. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当12x x =时，m 的值为21-. 点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值. 9．【解析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）要是方程有整数解，那么x 1•x 2=4﹣p 2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．解；（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程有整数解，∴x 1•x 2=4﹣p 2为整数即可，∴当p=0，±1时，方程有整数解．点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键． 10．【解析】（1）首先求出m 和n 的值，进而判断出m 和n 均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；（2）根据m 和n 小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．解：（1）∵m，n 是方程x 2+3x+1=0的两根， ∴m=，n=，∴m＜n ＜0，原式=•﹣=﹣=﹣6﹣2m ﹣=∵m，n 是方程x 2+3x+1=0的两根，∴m 2+3m+1=0， ∴原式=0；（2）∵m＜0，n ＜0， ∴+=﹣m ﹣n =+=（），∵m+n=﹣3，mn=1，∴原式=9﹣2=7．点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．11．【解析】由x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，可得x1+x2=﹣，x1•x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，又由﹣x1+x1x2=4+x2，即可求得a的值．解：存在．∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1•x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，∴a＞0，∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+x2+x1，即=4﹣，解得：a=24．点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．12．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，然后解不等式即可；（2）利用求根公式得到x 1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣，然后分别计算x1+x2，x1x2的值即可；（3）利用（2）中的结论得到（x1﹣1）•（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．（1）解：依题意得△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，解得k≤；（2）证明：∵△=4﹣8k，∴x=，∴x 1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣∴x 1+x2=k﹣1++k﹣1﹣=2（k﹣1）；x 1•x2=（k﹣1+）（k﹣1﹣）=（k﹣1）2﹣（）2=k2；（3）解：（x1﹣1）•（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1=（k﹣1）2+2，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+2≥2，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）的最小值为2．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．13.【解析】由于方程x2﹣2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2|≤3就又可以得到m的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m的取值范围．解：根据题意可得△=b2﹣4ac=4﹣4×1×（m+2）≥0，解得m≤﹣1，而x1+x2=2，x1x2=m+2，①当m≤﹣2时，x1、x2异号，设x1为正，x2为负时，x1x2=m+2≤0，|x 1|+|x2|=x1﹣x2==≤3，∴m≥﹣，而m≤﹣2，∴﹣≤m≤﹣2；②当﹣2＜m≤﹣1时，x1、x2同号，而x1+x2=2，∴x1、x2都为正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2＜3，符合题意，m的取值范围为﹣2＜m≤﹣1．故m的取值范围为：﹣≤m≤﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．14.【解析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC =×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．11。
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT
新பைடு நூலகம்探究 跟踪训练
已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二次 方程.
x2+5x+3=0
随堂练习
不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
(1) x2－6x－15＝0；
(2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
(1)x1＋x2＝－(－6)＝6
x1x2＝－15.
(2)
x1＋x2＝－
7 3
，x1
x2＝－39
＝－3.
x1＋x2＝－
5 4
=
5 4
，
x1
x2＝
1 4
.
新知探究
知识点2
与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根 x1，x2 有关的几个代数式的变形：
联系 翻转前后图形完全重合 旋转前后图形完全重合
探索中心对称的性质
尝试借助三角板，画关于点O对称的两个三角形？
A
B
C
O
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中 心，把三角板旋转180°，画出 △A′B′C′；
B’ 第三步，移开三角板.
观察旋转前后的两个三角形你 发现了什么？
探索中心对称的性质
A B
O
旋转后△OAB和△OCD重合 D
C
中心对称图形概念
像这样，把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称。
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT赏析教学课件
3 2
2
2
1 2
13 ; 4
2 1
x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1x2 1+x2x=22
4
1 , (2)x1·x2= 14
,
(3)( x1 x2 ) 2 12 ,
(4)
.
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12
归纳
知1－导
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
知识点
知1－导
思考2 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
归纳
知1－导
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
（来自《典中点》）
知2－练
2 等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元
二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满 导引：足由xx1122＋＋xx2222＝＝4x，12＋则2kx的1·值x2＋为x_2_2_－k_＝_2_x1_1·_x．2＝(x1＋x2)2－2x1·x2
初三年级奥数知识点：一元二次方程的根与系数的关系
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初三年级奥数知识点：⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系，欢迎⼤家阅读。
根与系数之间的关系⼜称韦达定理,指的是如果⽅程ax平⽅+bx+c=0（a不等于0）的两根为x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.需要说明的是,必须保证满⾜：（1）a不等于0（2）判别式⼤于等于0.韦达定理通常解决⼀些已知⽅程求两根的某种运算,如⽅程x平⽅+5x-10=0的两个根分别是x1、x2,不解⽅程求1/x1+1/x2；x1平⽅+x2平⽅；x1⽴⽅+x2⽴⽅等；已知⽅程两个根的某种关系求⽅程中的待定系数；解决直线与圆锥曲线的交点问题,弦长问题等，是中学数学中⼀个⾮常重要的关系.它的⼀般结论是⼀元n次⽅程中根与系数的关系,⼤学⾥才学习.练习1.若x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )A.1B.5C.-5D.62.⼀元⼆次⽅程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1x2的值是( )A.4B.-4C.3D.-33.已知⽅程x2-2x-1=0，则此⽅程( )A.⽆实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有⼀根为-1+24.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m+n的值是( )A.-10B.10C.-6D.25.已知实数x1，x2满⾜x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的⼀元⼆次⽅程是( )A.x2-11x+30=0B.x2+11x+30=0C.x2+11x-30=0D.x2-11x-30=0答案：1．B 2.D 3.C 4.A 5.A。
8.5一元二次方程的根与系数的关系 (共19张PPT)
东平县初中数学
根与系数关系
如果关于x的方程 x2 pxq0
的两根是 x1 , x2 ,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
东平县初中数学
数
方 程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2
学
2x2-3x-2=0
活
3x2-4x+1=0
动 三 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
（３）（x1- x2）2
东平县初中数学
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一 个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
东平县初中数学
1、已知方程3x2－19x+m=0的一 个根是1，求它的另一个根及m的 值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0 的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
东平县初中数学
2.设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根， 利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） (x1 1)( x2 1)
（2）
x2 x1 x1 x2
=
4ac 4a 2
=
东平县初中数学
1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + 12=0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4
东平县初中数学
利用根与系数的关系,求下列方程的两根之 和、两根之积:
(1)x2+7x+6=0 (2)2x2-3x-2=0
东平县初中数学
1、下列方程中，两根的和与两根 的积各是多少？
第2讲 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
第2讲 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1．会用判别式判断一元二次方程的根的情况或根据方程的根的情况确定方程中待定系数的值或取值范围； 2．会利用根与系数的关系，由方程的一个根求方程的另一个根及确定方程中待定系数的值，以及求关于方程的两根的代数式的值．3．会建立一元二次方程解应用题；【教学重难点】根与系数的关系的运用考点1：判断一元二次方程的根的情况知识点与方法技巧梳理：一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可由24b ac -来判定，24b ac-叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，用希腊字母“∆”表示，24b ac ∆=-．①当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根（若a ，c 异号，则必有∆＞0）； ②当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；③当24b ac -＜0时，方程没有实数根．注意：在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般形式． 【例】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）(1)(3)5x x x -+=- （2）01)2(2=++--x k x （k 为常数）【变式】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）(1)(3)5x x x -+=-（2）0)21(4)12(2=-++-k x k x （k 为常数）考点2：根据方程的根的情况确定方程中待定系数的值或取值范围知识点与方法技巧梳理：①如果方程有两个不相等的实数根，则∆＝24b ac -＞0；②如果方程有两个相等的实数根，则∆＝24b ac -＝0；③如果方程没有实数根，则∆＝24b ac -＜0．【例】1、已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实根，求k 的取值范围．【变式2】若关于x 的方程()2421x m x m -+=-有两个相等的实数根，求m 的值和这个方程的根．【例】2、设a ，b ，c 是△ABC 三边的长，且关于x 的方程)0(02)()(22>=--++n ax n n x b n x c 有两个相等的实数根，求证：△ABC 是直角三角形．【变式】已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例】3、已知关于x 的一元二次方程098)6(2=+--x x a 有实数根． （1）求a 的最大整数值； （2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求118732222+---x x x x 的值．【变式】已知关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x -+-+=有实数根． （1）求m 的最大整数值；（2）当m 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求22365342x x x x -+++的值．【例】4、若等腰△ABC 的一边长a ＝6，另两边长b 、c 是关于x 的方程2(32)60x k x k +--=的两个根，求△ABC 的周长．【变式】已知等腰△ABC 的一边长c ＝3，另两边长a 、b 恰是关于x 的方程2(21)420x k x k -++-=的两个根，求△ABC 的周长．考点3：已知方程的一个根，求方程的另一个根及确定方程中待定系数的值知识点与方法技巧梳理：一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，那么，x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca，这就是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系．注意：在使用根与系数的关系之前，应将一元二次方程化成一般形式．【例】已知2-240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．【变式1】已知1是方程250x bx ++=的一个根，求方程的另一个根及b 的值．【变式2】已知1是方程22(1)330m x x m m +-+--=的一个根，求m 的值及方程的另一个根．考点4：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值知识点与方法技巧梳理：把待求的代数式整理成含有x 1＋x 2及x 1x 2的式子【例】1、已知1x ，2x 是方程051022=--x x 的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）1211x x + （2）2212x x + （3）1221x x x x +【变式】已知1x ，2x 是方程2520x x ++=的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）12(2)(2)x x -- （2）21x x - （3考点5：给出两个方程的未知数不同，但结构相同，求代数式的值知识点与方法技巧梳理：两个方程的未知数不同，但结构相同，那么这两个未知数是同一个方程的两个根，由根与系数的关系可求代数式的值【例】1、如果实数a b ≠，且满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值．【变式】如果实数a b ≠，且满足21314a a -=，21314b b -=，求b aa b+的值．【过关检测】1．关于x 的一元二次方程02322=-+-m x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 2．如果一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于（ ） A ．－6 B ．1 C ．－6或1 D ．2 3．已知方程01222=+-+k kx x 的两实根的平方和为429，则k 的值为（ ） A ．3 B ．－11 C ．3或－11 D ．11 4．若关于x 的方程2(2)(3)10a x a x ---+=只有一解（相同的解算一解），则a 的值为（ ） A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1或a ＝25．某地区2015年投入教育经费2500万元，预计2017年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ）A ．225003600x =B ．22500(1%)3600x +=C ．22500(1)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=6．若一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个相等的实根数，则k 的值是__________． 7．若方程2610kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是______________． 8．当k ＝__________时，方程0)1(2=+++k x k x 的两根互为相反数． 9．关于x 的一元二次方程20x m -=的一个根为9，则另一个根为__________．10．已知2+240x x m -+=的一个根，则另一个根为__________，m 的值为__________．11．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0若有两根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝_________，a －b ＋c ＝_________．11．以x 1，x 2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）是：2x -__________x +__________0=13．将一块长比宽多10cm 的矩形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个容积为800cm 3的无盖的盒子，则原铁皮的长为__________cm ，宽为__________cm ．14．长为13米的梯子斜靠在墙上，梯子顶端与地面的垂直距离是12米，如果梯子顶端沿墙面下滑，且下滑的距离与底端滑动的距离相等，则梯子顶端下滑了__________米．15．已知m ，n 是方程x 2+2x －5=0的两个实数根，则m 2－mn +3m +n 的值为__________． 16．不解方程，判断下列方程根的情况：（1）01)2(2=++--x k x （2）224(1)0y my m -+-=（m 为常数）17．已知1x ，2x 是方程2260x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值： （1）1211x x + （2）2212x x + （3）1221x x x x +18．如果实数a b ≠，且满足2231a a +=，2231b b +=，求b a a b +【家庭作业】1．关于x 的一元二次方程2232x x m -+-＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 2．如果一元二次方程2(2)426m x mx m --+-＝0有两个相等的实数根，则m 等于（ ） A ．－6 B ．1 C ．－6或1 D ．23．已知方程2221x kx k +-+＝0的两实根的平方和为294，则k 的值为（ ）A ．3B ．－11C ．3或－11D ．11 4．若关于x 的方程2(2)(3)1a x a x ---+＝0只有一解（相同的解算一解），则a 的值为（ ） A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1或a ＝2 5．已知224x x m -+＝0的一个根，则另一个根为__________，m 的值为__________． 6．不解方程，判断下列方程根的情况： （1）01)2(2=++--x k x（2）224(1)0y my m -+-=（m 为常数）7．解下列方程：（1）2(21)60x x --=（2）2(21)10kx k x k -+++=。
一元二次方程根与系数的关系2
公式的推导过程
如果ax bx c 0(a 0)的两个根是1、x2 x
2
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b 2a
b a
公式的推导过程
如果ax bx c 0(a 0)的两个根是1、x2 x
2
0 两个不相等的实数根
完成表格1的问题
方
2
程
x1
1 -6 -8
x2
-4 1 6
x1+x2
-3 -5 -2
x1•x2
-4 -6 -48
x +3x-4=0 2 x +5x-6=0 2 x +2x-48=0
通过求解，计算，同学们有什么新的发现？ 归纳：二次项系数等于1时 (1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数. (2)两根之积等于常数项.
2.已知一元二次方程的 3x x 6 两根
2
1 x 分别为x1 , x2 ，则：1 x2 __ 3
x1 x2 __ -2
例3：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1、x2，
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2 （2）(x1+1)(x2+1)
x2 x1 （3） x1 x2
2
b b 4ac b b 4ac x1 xb 4ac 2 4a 4ac 2 4a
2 2
c a
如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两个根分别是 x1 、 x2 ，那么：
b x1 x2 a
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第2讲 一元二次方程2：根与系数的关系
根与系数的关系应用很广，很多题目不仅涉及根与系数的关系，还综合了整数的性质（奇偶性、质数等）、因式分解等内容，具有一定的技巧性.
一、 基础知识
1．韦达定理
若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个根12,x x ，则12,x x 与方程的系数a 、b 、c 之间有以下
关系：
12b x x a +=-；12c x x a
⋅= 这是法国数学家韦达（1540－1603年）发现的定理.
反之，若12x x p +=；12x x q ⋅=，则以12,x x 为根的一元二次方程为20x px q -+=
2．根与系数的关系的应用
一元二次方程的根与系数的关系应用十分广泛，常见的类型如下:
(1) 已知方程的一个根，求方程的另一根及方程中的字母系数；
(2) 已知两根之间的关系，求方程中字母的取值和取值范围或字母之间的关系；
(3) 判断一元二次方程实根的符号；
(4) 不解方程，求一元二次方程两根的有关代数式的值；
(5) 已知两根，求作一元二次方程；
(6) 非一元二次方程问题中构造一元二次方程解题.
二、 例题部分
例1已知方程22760x x -+=的一个根为2，求另一个根；
例2方程20x ax b ++=的两根的比为3:4，判别式的值等于2，求此方程的二根.
例3已知关于x 的二次方程2
20x px ++=的两个实根为12,x x ，且1222x x -=，那么p 的值为多少？
例4当1a <-时，方程322
(1)(1)(1)0a x a x a +++-+=的根的情况是（ ）
A ．两负根
B ．一正根、一负根且负根的绝对值大
C ．一正根、一负根且负根的绝对值小
D ．没有实数根 例5已知方程22320x x k -+-=，k 为实数，试证明此方程有两实根，并判断两实根与1的大小关系；
例6如果二次方程2(2)2()20ab b x b a x a ab -+-+-=有两个相等的实根，那么
11a b +=_________；
例7已知关于x 的二次方程22210x ax a +-+=的两个实数根的平方和为17
4，则a 的值为_______；
例8若m 、n 是二次方程2199470x x ++=的两个根，试求22
(19936)(19958)m m n n ++++的值；
例9已知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－1和4，那么
23b c a
+的值为_______；
例10已知方程22350x x --=的两根为12,x x ，求：
（1）2212x x +；（2）3312x x +；（3）5512x x +
例11已知二次方程2310x x -+=的两根为,αβ，求：
（1）
11αβ+；（2）αβ-；（3）33αβ+；（4）33αβ-
例12 已知二次方程2310x x -+=的两根为,αβ，求作：
（1）以2,2αβ为根，二次项系数为1的二次方程；
（2）以22,αβ为根，二次项系数为1的二次方程；
（3）以
11,αβ为根，二次项系数为1的二次方程；
例13 已知方程22980x x -+=，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方；
例14 已知1ab ≠，且22123456789030a a ++=，且23123456789020b b ++=，则
a b
的值为多少？
例15 已知a 、b 、c 满足0,8a b c abc ++==，则c 的取值范围是_________；
例16 已知x 、y 是实数，且221x xy y ++=，求代数式22x xy y -+的取值范围
三、 练习题
1．若方程2296(1)30x a x a -++-=的两根之积等于1，则a 的值是（ ）
A ．23±
B ．23
C ．22±
D ．22
2．两个质数a 、b 是关于x 的整系数方程2210x x t -+=的两个根，则
b a a b +等于（ ） A ．2213
B ．5821
C ．240249
D ．36538
3.设12,x x 是方程222(1)20x k x k -+++=的两个实数根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值是（ ）
A ．－3或1
B ．－3
C ．1
D ．12
k ≥的实数
4．若关于x 的方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，且两根之差的平方小于1，那么实数m 的取值范围是（ ）
A ．0m >
B ．14m ≤
C ．104m <≤
D ．104
m <<
5．已知二次方程210x x -+=的两根为,αβ，求作以
,βααβ
为根，二次项系数为1的二次方程__________________；
6．设12,x x 是方程230x x +-=的两个根，则3212419x x -+的值是_________；
7．已知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两
根为12和4，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－2和6，那么
23b c a +的值为_______；
8．已知25200380a a -+=及28200350b b -+=，求
a b
的值
9．已知实数a 、b 、c 满足0,2a b c abc ++==，则a b c ++的最小值是多少？
10．已知x 、y 、z 为实数，且5,3x y z xy yz zx ++=++=，求z 的最大值和最小值；。